אוסף שאלות מס. 3 שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R 2 של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x,y) = x+y x y, f 3 (x,y) = x x 2 +y 2, f 2(x,y) = xy f 4(x,y) = xy x 2 y 2 f 5 (x,y) = 4x 2 +9y 2 36, f 6 (x,y) = x2 y 2. שאלה 2 בנו ביטוי לפונקציה S(x,y) המחשבת את שטחו של משולש שווה שוקיים שאורך בסיסו x ואורך שוקיו y. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? שאלה 3 שרטטו קווי רמה (קווי גובה) c עבור הפונקציות הבאות. בפרט, ציינו ערכים של c שעבורם הצורה של קו הרמה משתנה בפתאומיות. f (x,y) = x+2y, f 2 (x,y) = x 2 y 2 f 3 (x,y) = (x+y) 2 +, f 4(x,y) = x 2 +y 2 f 5 (x,y) = xy, f 6 (x,y) = y 2x 2 f 7 (x,y) = (x )(y ), f 8 (x,y) = (x ) 2 +(y +3) 2 f 9 (x,y) = x y x+y, f 0(x,y) = y x 2 +y 2,
f (x,y) = x + y, f 2 (x,y) = x y. בדקו את השרטוט שלכם בעזרת כלי ממוחשב לשרטוט קווי רמה. למשל https://academo.org/demos/contour-plot/ שאלה 4 נתונה הפונקציה x 2 +2y 2 +. א. שרטטו קווי רמה c עבור 0,,0,,2,0 =.c ב. תארו את עקום החיתוך של הגרף של f עם המישורים x =,x =,x = 2,y =,y =,y = 2. ג. שרטטו סקיצה של הגרף f(x,y) z. = בדקו את השרטוט שלכם בעזרת כלי ממוחשב לשרטוט גרף של פונקציה של שני משתנים, למשל https://academo.org/demos/3d-surface-plotter/ שאלה 5 נתונה הפונקציה. x 2 +y 2 +y א. קבעו את צורתם של קווי הרמה c עבור =,2,3 c, ושרטטו אותם. בדקו בעזרת מחשב. ב. עבור אילו ערכים של c קו הרמה c הוא קבוצה ריקה? 2
שאלה 6 נתונות הפונקציות f (x,y) = x 2 +y 2, f 2 (x,y) = x 2 +y 2 f 3 (x,y) = 8 x 2 +y 2, f 4 (x,y) = 3 x 2 +y 2 f 5 (x,y) = (x ) 2 +(y ) 2 א. איך נראים קווי הרמה של (x,y) f? ב. איך נראים הגרפים של הפונקציות (של משתנה אחד) (0,t) f? (t,t),f (0,t),f ג. שרטטו סקיצה של הגרף של (x,y) f. ד. בעזרת הסקיצה של הגרף של f, שרטטו סקיצות של הגרפים של f. 2 f, 3 f, 4 f, 5 שאלה 7 נתונה הפונקציה +) x(x+)+y(y. א. הראו שקווי הרמה של הפונקציה הזאת הם מעגלים. ב. מצאו את המרכז ואת הרדיוס של קו הרמה העובר דרך הנקודה (,). שאלה 8 א. בעזרת מחשב, שרטטו קווי רמה c של הפונקציה sin(x)sin(y). עבור אילו ערכים של c קו הרמה מורכב מישרים? הסבירו מדוע. עבור אילו ערכים של c קו הרמה הוא קבוצה ריקה? הסבירו מדוע. עבור אילו ערכים של c מורכב "קו הרמה" מנקודות מבודדות? הסבירו מדוע. היכן במישור הפונקציה חיובית והיכן היא שלילית? הסבירו מדוע. בעזרת ההסתכלות על קווי הרמה, נסו לתאר איך ניראה הגרף של הפונקציה. בידקו בעזרת כלי ממוחשב לשרטוט גרפים. ב. בידקו באופן דומה גם את הפונקציה sin(x)+sin(y). 3
שאלה 9 נתונה פונקציה,f(x,y) ומספר a. עבור כל אחת מהפונקציות הבאות, תארו איך משתנים קווי הרמה שלה ביחס לאלו של.f(x,y) ואיך משתנה הגרף שלה ביחס לזה של,f(x,y) א..g(x,y) = f(x,y) a ב. f(x a,y).g(x,y) = ג. a).g(x,y) = f(x,y ד. a).g(x,y) = f(x a,y שאלה 0 בנו פונקציה f(x,y) כך שקו הרמה = 0 f(x,y) יהיה מורכב מאיחוד של שני מעגלים בעלי רדיוס 3 שמרכזיהם בנקודות (,0 ) ו (,0). בדקו אתהפתרון שלכם בעזרת כלי ממוחשב לשרטוט קווי רמה, ובדקו איך נראים קווי רמה אחרים של הפונקציה שבניתם. שאלה תארו את משטחי הרמה של הפונקציות הבאות f(x,y,z) = ln(x 2 +y 2 +z 2 ), f(x,y,z) = e x+2y+3z f(x,y,z) = x 2 +y 2, f(x,y,z) = x2 +y 2. z שאלה 2 נתון המישור = 6 +4z.x 2y א. מצאו פונקציה f(x,y) שהמישור הזה הוא הגרף שלה. ב. מצאו פונקציה g(x,y,z) שהמישור הזה הוא משטח רמה שלה. שאלה 3 א. בהנתן פונקציהשל שנימשתנים( f(x,y האם ניתןתמיד למצואפונקציה של שלושה משתנים g(x,y,z) וערך c כך שמשטח הרמה g(x,y,z) = c הוא הגרף של?f(x,y) ב. בהנתן פונקציה של שלושה משתנים g(x,y,z) וערך c, האם ניתן תמיד למצוא פונקציה f(x,y) כך שהגרף של f(x,y) הוא משטח הרמה?g(x,y,z) = c שאלה 4 נתונה הפונקציה.f(x,y,z) = 4x 2 +4y 2 z 2 שרטטו סקיצות של משטחי הרמה f(x,y,z) = c עבור =,c.c =,c = 0 4
שאלה 5 מצאו את ערכי הגבולות הבאים: x 2 e xy א. 2+x e xy y ב. sin(x 2 +y 2 ) ג. x 2 +y 2 שאלה 6 נתונה הפונקציה א. הראו שזו פונקציה חסומה, כלומר קיים מספר M כך ש f(x,y) M לכל.(x,y) R 2 ב. הראו שהפונקציה אינה רציפה בנקודה (0,0). ג. הראו שהפונקציה רציפה עבור (0,0).(x,y) x 2 y 2 שאלה 7 נתונה הפונקציה הראו שהפונקציה הזו רציפה בכל המישור. xy שאלה 8 נתונה הפונקציה א. הוכיחו שהפונקציה (של משתנה אחד),f(x,0) רציפה בנקודה = 0 x, והפונקציה.y רציפה ב = 0 f(0,y) ב. הראו שקרניים ישרות שיוצאת מהראשית מוכלות בקווי רמה של הפונקציה. ג. הוכיחו שהפונקציה f(x,y) אינה רציפה בנקודה (0,0) =.(x,y) ד. האם הפונקציה f(x,y) רציפה בנקודות (0,0)?(x,y) 5