מתו% 5 בסיס ומימד סיום) במסגרת הוכחת משפט של בסיסי לכל שני בסיסי של אותו מ"ו יש אותו מספר איברי ), הוכחנו בעצ יותר: משפט: א V מ"ו נוצר סופית, A V קבוצה בת"ל, B V קבוצה פורשת אז. A B הערה: מרחב וקטורי הוא נוצר סופית ז"א: יש בו קבוצה פורשת סופית) א " הוא בעל מימד סופי ז"א: יש בו בסיסי סופי). מסקנות: א dimv = אז: S בת"ל S V של קבוצות בת"ל S פורשת S V א V מ"ו נוצר סופית) אז: כל קבוצה בת"ל ב 9 V מוכלת בבסיס. כל קבוצה פורשת ב 9 V מכילה בסיס. מסקנה זו גוררת את המסקנה הקודמת) הסבר: spa S לא פורשת) א S V בת"ל א% אינה בסיס, אז S) V spa v V \ ואז נבחר, S { S S : = היא בת"ל. קל לראות שג {v א לא פורשת, נמשי% בתהלי%. נקבל סדרה... S S = S 0 S S i dimv S שגודל: הול% ועולה. לפי המסקנה הקודמת, הגדלי חסומי ; לכ: התהלי% בהכרח נעצר, וזה קורה רק כאשר בשלב מסוי ג פורשת, ז"א: בסיס ל 9 V. לכ: כל קבוצה בת"ל מוכלת בבסיס. { v בת"ל.,..., v i } : i כל שלכל v, v,... א S V פורשת, נוכל לבחור וקטורי S v,..., v k התהלי% נעצר רק כאשר אי: ב 9 S וקטור שאינו צ"ל של הוקטורי שנבחרו: V = spa S) spa v,..., vk ) S spa v,..., v k לכ: ) V. בת"ל וג פורשת את { v,..., vk} ז"א: S משפט: א V מ"ו נוצר סופית, "מ של V אז: 0 dimw dimv W = { 0} dimw = 0 W = V dim V = dimw ג הוכחה: יהי A בסיס ל 9 W. V. של B היא קבוצה בת"ל, ולכ: לפי מסקנה קודמת) היא מוכלת בבסיס A V S k ת W
א ) ג ג מתו% 5 0 A לכ:: B ז"א: dimw dimv 0 W = spa φ) dimw = 0 W = { 0 } א)) לבסיס B של V. dim W = A B = dimv : ברור. : א, dim W = dimv נבחר בסיס A ל 9 W ונשלי לפי. A = B הרי וודאי, A B מכיוו: שג, A = B. W = spa A) = spa B) = V ולפי הנחתנו מקבלי ולכ: V = F[ x] W = spa{ x, x dimw = dimv + x + x שדה כלשהו, x W ) = F),...} = { p x) F[ x] p0) = 0} הערה: ג) לא נכו: א = dimv למשל: dim V = < =) אזי: ת W אבל: "מ של V. W V טענה: יהי V מ"ו 9מימדי ותהי. S V אזי: כל שתי מ 9 התכונות הבאות גוררות את התכונה השלישית ואז S היא בסיס ל 9 V: S בת"ל. S פורשת. S = S T S = = dimv = T הוכחה: )+ב) ג): )+ב) S בסיס, S = לפי הגדרת המימד של.V )+ג) ב): S = בת"ל, S V לפי המשפט הקוד, S מוכלת בבסיס T של V: ולכ: S = T בסיס בפרט, פורשת) )+ג) : באופ: דומה S מכילה בסיס T).
מתו% 5 שימוש חשוב: א V מ"ו בעל מימד ידוע, ונתונה קבוצה S V שיש לבדוק הא היא בסיס מספיק לבדוק אחת משתי התכונות בת"ל, פורשת), וג לוודא: S = dimv דוגמא: הא ),,4)} {, = S פתרו:: S = = dim R ) R היא בסיס ל 9? R מספיק לבדוק, למשל: S בת"ל. כא: זה קל מאוד ),4) אינו כפולה בסקלר של,)). בצורה יותר שיטתית: דירוג 4 בצורה המדורגת לא קיבלנו שורות אפסי, ולכ: דרגת הצורה המדורגת=, ולכ: דרגת המטריצה המקורית=, ולכ:) שורות המטריצה ה: בת"ל, כמו שרצינו. A נתונה) S נתונה) נשלי עתה את הצגת השיטות למציאת בסיס לתת 9 מרחב ב! F. תזכורת: יש שתי דרכי עקריות להציג תת 9 מרחב של V): = F אוס; הפתרונות של ממ"ל הומוגנית: W = { x F A x = 0} m פרוש של קבוצה סופית) נתונה של וקטורי ב 9 : F W = spa S), S V טופל באחד השיעורי הקודמי דירוג המטריצה, משתני חופשיי וכו'.). = dimw מס' המשתני החופשיי. נתונה קבוצה פורשת S עבור W, ורוצי למצוא: בסיס ל 9 W. השיטה: רושמי את אברי S כשורות של מטריצה, ומדרגי אותה. השורות שאינ: שורות אפסי ) בצורה המדורגת ה: בסיס למרחב W. הסבר: מרחב השורות של מטריצה אינו משתנה בתהלי% הדירוג. מרחב השורות של המטריצה המקורית הוא W. לכ: שורות המטריצה המדורגת פורשות את, W וה: בהשמטת שורות האפסי ) ג בת"ל. הערה: אפשר למצוא ג בסיס מתו% וקטורי הקבוצה הפורשת הנתונה, א שמי לב לפש"אות שבוצעו בעיקר החלפת שורות). דוגמא:.V = R 5 S = {,,,0,0),,,,,),,,,,),,, 4,5,6)}. W : = spa מצא בסיס ל 9 S
4 מתו% 5 4 0 5 6 4 פתרו:: נדרג מטריצה כאמור לעיל. 0 0 0 8 5 6 מדורגת) 4 0 0 5 6 0 0 0 0 בסיס ל 9 :W,,)},,0,0),0,,,5,6),0,0, {, {,,,0,0),,,,,),,, 4,5,6)} בסיס אחר מתו% איברי ): S וקטורי מס' 4,, או :4,, שימו לב: וקטורי מס',, של S תלויי לינארית! הערה: הפעלת פש"א על מטריצה אינה משנה את מרחב השורות, אבל עלולה לשנות את מרחב העמודות א% לא את דרגת העמודות...) דוגמא: R = R + R 0 0 0 spa{, } spa{, } m : = dimw : = dimw k : = dim W < < W משפט: נוסחת המימדי ) יהיו: V מרחב וקטורי נוצר סופית,. V תת 9 מרחבי של W,W אזי : dim W + W ) = dimw + dimw dim W W) נוסחה דומה לגבי קבוצות סופיות): S S S = S + S ) < { c,..., ck, ak+,..., am} { c,..., c, b,..., b } k k+ S מסקנה: א הסכו הוא ישר, אז dim W W) = dimw + dimw dim W W ) = 0 W W כי {0} = הוכחת המשפט: < dimv ולכ: ג c,..., c } { k :W. k, כמוב:: k m נבחר בסיס ל 9 :W W נשלי אותו, מצד אחד, לבסיס של :W ומצד שני, נשלי אותו לבסיס של
5 מתו% 5 + W טענתנו: { c,..., c, a הוא בסיס של,..., a, b,..., b } k k+ m k + א נוכיח זאת, אז: dim W + W ) = k + m k) + k) = m + k = dimw + dimw dim W W ) + W W, ולכ: הוא צירו; לינארי של: α k + ak + +... + β k + bk + +... + γ c +... = 0 α, β, γ F) i j k β k + = βk + =... = 0 נוכיח את טענתנו: W, ולכ: שייכי לסכו W או ל 9 כל הוקטורי הנ"ל שייכי ל 9 + W צרי% לבדוק: הקבוצה הנ"ל בת"ל וג פורשת את c,..., a m W הוא צירו; לינארי של פרישה: כל וקטור של c,..., b W הוא צירו; לינארי של כל וקטור של W ווקטור מ 9 W הוא סכו של וקטור מ 9 + W כל וקטור של c..., a k,..., b,..., + k + אי 9 תלות: נניח שיש תלות לינארית: ויחידות ההצגה נקבל: W אג; ימי: W אג; שמאל W W שני האגפי שווי, ולכ: c,..., c k W W הוא צירו; לינארי יחיד) של וקטור ב 9 לכ: אג; שמאל הוא צירו; כזה, ובגלל אי תלות {...,,..., { b k + c α k α =... + = k + = γ = γ =... = באופ: דומה אפשר להוכיח 0 c ונשאר: γ +... +γ ולכ: ג 0 k c k