. m mot לכל אורך השאלה, במקרה של כוח חיכוך: = 0.01 [kg; μ א. נתון: = 0.1 k f k = μ k N = μ k mg a = μ k g תור ראשון: לאחר שג'וני גלגל את הגולה הראשונה שלו ל (3 (,2, צ'אק מכוון לעברה ופוגע. חישוב המרחק ההתחלתי בין הגולות: חישוב הזמן עד ההתנגשות (נלקחה רק התשובה הפיזיקלית): ההתנגשות, לכן נשמרים התנע והאנרגיה. חישוב המהירות שבה פגעה הגולה של צ'אק בזו של ג'וני (שנמצאת המנוחה לפני ההתנגשות), ושימוש בשימור תנע ואנרגיה לחישוב המהירויות של הגולות u 2 לזו של ג'וני): v 1 מתייחסות לגולה של צ'אק ו, u 1 לאחר ההתנגשות( בנוסף, זמן עצירה של הגולה של ג'וני: המרחק שעברה הגולה במטרים, ובעזרת הזווית (החישוב הוא מהשיפוע של הוקטור (3 )),,52 הגעה למסקנה שהגולה מחוץ לתחום המשחק. תור שני:
ג,'וני מגלגל בזווית לא נכונה ויפספס. זמן עצירה ומרחק במטרים של גולה 2 שלו: קל לראות כי ג'וני הוציא את הגולה מחוץ למעגלים. זמן עצירה לצ'אק: מרחק עצירה במטרים: מיקום סופי בסנטימטרים: תור שלישי: בהתנגשות הראשונה, שימור התנע: והאנרגיה:
u 2 לגולה הראשונה של צ'אק). v 1 מתייחסות לגולה השלישית של ג'וני ואילו, u 1 (כאשר הפעם החישוב למיקום של הגולה של ג'וני לאחר התנגשות זו: Δ x = v 0 t + 0.5at 2 > ועכשיו לגולות של צ'אק שעומדות להתנגש. גודל המרחק בין גולה 1 ו 2 של צ'אק: ( (25.75 2 ) 2 + ( 2.66 3) 2 )
והזמן עד ההתנגשות ביניהן: המהירות שבה התנגשה גולה 1 בגולה 2 : שימור תנע ואנרגיה: u 2 לגולה השנייה של צ'אק). v 1 מתייחסות לגולה הראשונה של צ'אק ואילו, u 1 (כאשר הפעם זמן העצירה של הגולה השנייה של צ'אק מרחק נוסף ומיקום (אין צורך לדבר על הגולה הראשונה, היא במיקום ההתנגשות):
ואחרון חביב, הגולה האחרונה של צ'אק. הכיוון נתון מראש, גם מהירות התנועה. בנוסף הגולה של צ'אק u 2 לגולה השלישית v 1 מתייחסות לגולה השלישית של צ'אק, ו, u 1 כבדה פי 3 מהגולות הרגילות. (כאן v heavy,begore colliion = 0.4 [ m של ג'וני). נתון: [gr ; mheavy = 3 0 לצ'אק גולה אחת המעגל הפנימי ואחת בחיצוני, ואילו לג'וני גולה אחת במעגל האמצעי. צ'אק מנצח את המשחק. 4 : 2 ב. נשרטט את הקוביה עם סימון לראשית הצירים
נקודה O שבתרשים הימני היא ראשית הצירים. הכיוונים החיוביים מוגדרים להיות ימינה ולמעלה.. μ k על המישורים המשופעים אין, μ k ועל הקוביה עצמה = 0.6 מקדם החיכוך של הרצפה עדיין = 0.1 חיכוך. בנוסף, בכל עלייה על מישור משופע פועלים על הגולה כוחות משמרים ולכן יהיה שימור של האנרגיה המכנית שלה (על גבי המישורים המשופעים בלבד). תור ראשון: צ'אק מגלגל לכיוון מרכז הריבוע מצד שמאל, כלומר על גבי = 0 y. נחשב את המהירות אליה מגיעה הגולה בתחתית המישור המשופע בעזרת הנוסחה v 2 = v 2 0 + 2aΔx (נחשב ביחידות מרחק של מטר): v 2 = 3 2 2 0.1 g 0.2 v = 2.933871163 [ m המהירות בראש המישור המשופע (משימור אנרגיה): 0.5 m v 2 = m gh + 0.5 m.64972725 [ 1 v2 v 2 2 = v 2 gh 1 2 = 8.6076 2 9.81 0.3 = 1 m 0 = 1.64972725 0.6 9.81 t t top = 0.280279859 [ זמן העצירה של הגולה שלו: מרחק נוסף שעברה הגולה: Δ r = v 2 t + 0.5at 2 = 1.65 0.28 0.5 0.6 g 0.28 2 = 0.231192661 [m = 23.1192661 [cm הגולה מתחילה את מסעה על הקוביה ב (0,30 ( ומתקדמת ימינה, לכן הגולה הראשונה של צ'אק תגיע ל 6.88[cm x = 30 + 23.1192661 = 6.8807339 [cm כלומר 0) 6.88, (, בתוך הריבוע הפנימי. ג'וני מגלגל לכיוון מרכז הריבוע מצד ימין, כלומר על גבי = 0 y. נחשב את המהירות אליה מגיעה הגולה בתחתית המישור המשופע בעזרת הנוסחה v 2 = v 2 0 + 2aΔx (נחשב ביחידות מרחק של מטר): v 2 = 4 2 + 2 0.1 g ( 0.2) v = 3.950645517 [ m המהירות בראש המישור המשופע (משימור אנרגיה): 0.5 0.5m v 2 = 0.5mgh + 0.5 0.5m.117948043 [ 1 v2 v 2 2 = v 2 gh 1 2 = 3 m הגולה מתחילה את מסעה על הקוביה ב (0 (,30 ומתקדמת שמאלה. לחישוב המהירות שבה תפגע הגולה הקלה של ג'וני בזאת של צ'אק: v 2 = 3.117948043 2 2 0.6 g ( 0.3 + 0.068807339) v 3 = 2.319482702 [ m ההתנגשות אלסטית, כלומר נשמר התנע ונשמרת האנרגיה (נזכור שהגולות של ג'וני קלות יותר הפעם):
0.5 m v 3 = 0.5 m u 1 + m u 2 v 3 = u 1 + 2 u 2 u 1 = 2.319482702 2u 2 0.5 0.5 m v 2 = 0.5m(0.5 ).380000005 2.319482702 u ) 3 u2 + 1 u2 2 v2 = 3 u2 + 2 1 u2 5 = ( + 2 2 2 2 + 2 u 2 2 נקבל שני פתרונות כשאחד מהם לא פיזיקלי. הפתרון שכן: u john = 0.773161 [ m ; u chuck = 1.54632 [ m נמצא את המיקום הסופי של הגולה של צ'אק: v 2 = v 2 + 2 aδx 0 = ( 1.54632) 2 + 2 0.6g ( x.068807339).2719253769 [m 0 chuck1 + 0 x chuck1 = 0 ואז הגולה של צ'אק תסיים את התור הראשון ב (0,27.19 ( נמצא את המיקום הסופי של הגולה של ג'וני: (בס"מ). v 2 = v 2 + 2 aδx 0 = 0.773161 2 2 0.6g ( x.068807339).01802769816 [m 0 john1 + 0 x john1 = 0 ואז הגולה של ג'וני תסיים את התור הראשון ב (0,1.80 ( (בס"מ). תור שני: נכנה את המסה של גולה רגילה כm בסעיף זה. צ'אק משגר את הגולה שלו מלמטה על הקו [m. x = 0.01802769816 מכיוון שאין תלות במסה של הגולה בחישובים שעד ההתנגשות (ואחריה), הגולה תגיע לראש המישור המשופע באותה מהירות כמו. v 2.chuck2 המרחק = 3.117948043 [ m הגולה הקלה של ג'וני מהסעיף הקודם אך בכיוון + ŷ, כלומר: שעליה לעבור עד ההתנגשות הוא [cm 30, המהירות שבה היא תתנגש בגולה של ג'וני: v 2 = aδx.117948043.6g.3.189999999 [ chuck,imp v2 + 2 = 3 2 2 0 0 = 6 m 2 2,chuck2 2 v = 2.487971061 [ m chuck,imp הפעם, ההתנגשות היא התנגות פלסטית! הגולות מתנגשות ונצמדות. משימור תנע: m v + 0 = ( m + 0.5m)u u = 2.487971061.658647374 [.66 [ chuck,imp 1.5 = 1 m 1 m נחשב את מרחק הבלימה (התאוצה עדיין אותו דבר כי המסה נופלת בחישובי הכוחות): 0 2 = 1.658647374 2 2 0.6g ( y comb 0) y combined marble = 0.23369955 [m 23.37 [cm כלומר, הגולה המשולבת נמצאת ב 23.37) 1.80, ( (בס"מ). הגענו למצב שבו לצ'אק יש שתי נקודות ולג'וני נקודה אחת. כדי שג'וני ינצח בהפרש של 3 נקודות, הוא צריך שהגולה שלו תפיל את הגולה של צ'אק מהתיבה ותחזור אחורה לתוך הריבוע האדום. נבדוק מה המהירות המינימלית לאחר ההתנגשות שבה הגולה של צ'אק תגיע לקצה (כלומר תהיה לקצה במהירות 0 ואז תיפול במישור המשופע): 0 2 = v 2 + 2 0.6g ( 0.3 + 0.2719253769).330494463 [ chuck1min v2 = 0 m 2 chuck1min 2 v chuck1min = 0.574886478 [ m נבדוק איזו מהירות התנגשות של הגולה של ג'וני מתאימה ואיזו מהירות לאחר ההתנגשות משיקולי שימור תנע ואנרגיה: 0.5m v john2,minimp = m ( 0.574886478 ) + 0.5m u john2 v john2,minimp = u john2 1.149772957 0.5 0.5m v 2 = 0.5 m ( 0.574886478 ) 2 + 0.5 0.5m u 2 john2,minimp john2
( u john2 1.149772957) 2 = 0.660988926 + u 2 u.287443239 [ john2 john2 = 0 m v john2,minimp = u john2 1.149772957 = 0.862329718 [ m נבדוק אם לאחר התנגשות כזאת הוא מצליח להגיע לריבוע האדום. נמצא את מיקום הגולה של ג'וני לאחר התנגשות שכזאת: 0 2 = 0.287443239 2 2 0.6g ( x minimp + 0.2719253769) x minimp = 0.26490672 [m 26.49 [cm כלומר, מהירות זו לא מספיקה. נחפש מהירויות יותר גבוהות מכאן, כך שבטוח הגולה של צ'אק נופלת. נבדוק כעת מה המהירות המינימלית לאחר התנגשות כדי להגיע לגבול השמאלי של הריבוע האדום (כלומר ל 0) 5, :(( 0 2 = v 2 2 0.6g ( 0.05 + 0.2719253769) v.6163247 [.62 [ potimp,min potimp,min = 1 m 1 m כעת ניעזר בכך כדי למצוא את המהירות בעת ההתנגשות משיקולי שימור תנע ואנרגיה: 0.5m v john2,preimp min = m u chuck + 0.5m 1.6163247 u chuck = 0.5 ( v john2,preimp min 1.6163247) 0.5 0.5m v 2 = 0.5 m.5.5m.6163247 john2,preimp min u2 + 0 0 1 2 chuck v 2 = 2 0.25 ( v.6163247).6163247 john2,preimp min john2,preimp min 1 2 2 + 1 0.5 v 2 + 1.6163247v.918758305 john2,preimp min john2,preimp min 3 = 0 v john2,preimp min = 1.6163247 or 4.848974102 [ m v john2,preimp min = 4.848974102 [ m (לקחנו את התשובה השלילית כי הגולהשל ג'וני מתגלגלת שמאלה לפני ההתנגשות). כעת נחשב את המהירות שבה הייתה הגולה כשעלתה על התיבה ואז אתה המהירות למרגלות המישור ואז את המהירות שבה גלגל ג'וני את הגולה: ( 4.848974102) 2 = v 2 + 2 0.6g ( 0.2719253769 0.3) john2min,upramp v john2min,upramp = 5.499568654 [ m 5.50 [ m 0.5 0.5m v 2 = 0.5mgh + 0.5 0.5m ( 5 2.499568654 ) john2min,downramp v john2min,downramp = 30.24525538 + 2 9.81 0.3 = 6.010927996 [ m 6.01 [ m ולמרגלות המישור: וכעת, המהירות המינימלית שבה ג'וני צריך לגלגל את הגולה שלו על מנת לנצח בהפרש של שלוש נקודות: ( 6.010927996) 2 = v 2 + 2 0.1 g ( 0.2) v.043480403 [.04 [ john2min min = 6 m 6 m (לכיוון שמאל כמובן). נבדוק כעת מה המהירות המקסימלית לאחר התנגשות כדי להגיע לגבול הימני של הריבוע האדום (כלומר ל 0) ( 5, :( 0 2 = v 2 2 0.6g ( 0.05 + 0.2719253769) v.946716604 [.95 [ potimp,max potimp,max = 1 m 1 m כעת ניעזר בכך כדי למצוא את המהירות בעת ההתנגשות משיקולי שימור תנע ואנרגיה: 0.5m v john2,preimp max = m u chuck + 0.5m 1.946716604 u chuck = 0.5 ( v john2,preimp max 1.946716604)
0.5 0.5m v 2 = 0.5 m.5.5m.946716604 john2,preimp max u2 + 0 0 1 2 chuck v 2 = 2 0.25 ( v.946716604).946716604 john2,preimp max john2,preimp max 1 2 2 + 1 0.5 v 2 + 1.946716604v.684558305 john2,preimp max john2,preimp max 5 = 0 v john2,preimp max = 1.946716604 or 5.840149813 [ m v john2,preimp max = 5.840149813 [ m (לקחנו את התשובה השלילית כי הגולה של ג'וני מתגלגלת שמאלה לפני ההתנגשות). כעת נחשב את המהירות שבה הייתה הגולה כשעלתה על התיבה ואז אתה המהירות למרגלות המישור ואז את המהירות שבה גלגל ג'וני את הגולה: ( 5.840149813) 2 = v 2 + 2 0.6g ( 0.2719253769 0.3) john2max,upramp v john2min,upramp = 6.390622456 [ m 6.39 [ m 0.5 0.5m v 2 = 0.5mgh + 0.5 0.5m ( 6 2.390622456 ) john2max,downramp v john2min,downramp = 40.84005537 + 2 9.81 0.3 = 6.835645937 [ m 6.84 [ m ולמרגלות המישור: וכעת, המהירות המקסימלית שבה ג'וני צריך לגלגל את הגולה שלו על מנת לנצח בהפרש של שלוש נקודות: ( 6.835645937) 2 = v 2 + 2 0.1 g ( 0.2) v.86428841 [.86 [ john2max max = 6 m 6 m (לכיוון שמאל כמובן). 00 [ cm = 1[ m כעת נראה מה אם הוא ישגר במהירות הנמוכה ב 1 מהמהירות המינימלית,כלומר. 5.043480403 [ m במהירות של v 2 = 5.043480403 2 + 2 0.1 g ( 0.2) v.004427497 [.00 [ down down = 5 m 5 m 0.5 0.5m ( 5.004427497) 2 = 0.5mgh + 0.5 0.5m v 2 up v up = 25.04429458 2 9.81 0.3 = 4.377018914 [ m 4.38 [ m v 2 = ( 4.377018914) 2 + 2 0.6g ( 0.2719253769 0.3) imp v imp = 3.524994899 [ m 3.52 [ m המעלה המישור המשופע: וכעת למהירות ההתנגשות: אבל ראינו שצריך מהירות שגודלה נמוך מכך כדי להפיל את הגולה של ג'וני, אך היא צריכה להיות עם ערך מוחלט יותר גבוה כדי להגיע לריבוע האדום. כלומר, הגולה של ג'וני תפיל את זו של צ'אק אך תהיה באיזור ששווה נקודה אחת. לכן התוצאה הסופית תהיה שג'וני ינצח. 2 : 1