אוניברסיטת בן גוריון בנגב מדור בחינות מס' הנבחן: כל התשובות חייבות להיות מלאות ומנומקות היט כל התשובות חייבות יבדקו על-ידי הבודק. ניקוד הסופי יתבצע לפי 5 תשובות הטבות ביותר. תאריך הבחינה: 3.7.6 שם המורה: גולדשטיין, לוין, ליידרמן מבחן ב: חדו"א א מס' הקורס: -- מיועד לתלמידי: מתמטיקה, מדעי המחשב שנה: א', סמ' ב: ', מועד: ב' משך הבחינה: 3 שעות חומר עזר: דף נוסחאות אחד (בגודל סטנדרטי מחשבון פשוט.. יהי מספר ממשי חיובי כך ש- R תהי ( פונקציה רציפה לכל. לכל R. ( t = ( t לכל. R הראה כי ( = ( ( t = a( t t a>, t, נתונה העקומה (ציקלוידה בצורה פרמטרית : y( t = a( cos t. מצא את האורך של ציקלוידה. נסמן ב- Gתחום שחסום ע''י ציקלוידה וציר. מצא את הנפח גוף הסיבוב של תחום Gסביב ציר נתון האינטגרל הלא-אמיתי d. cos קבע האם האינטגרל מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר. תן הוכחה לתשובתך. (/ n n נתון טור החזקות lnn מצא את הרדיוס התכנסות של הטור. חקור את ההתכנסות בקצוות. מוגדרת בתחום < y + ע''י הפונקציה y (, ( + y α,(, y (, (, y = ln( + y,(, y = (, מצא את כל הערכים של α כך שפונקציה (y (, מצא את כל הערכים של α כך שפונקציה (y (, /3 /3 (, y = 3 נתונה פונקציה + 3y y מצא את הנקודות האקסטרמום המקומי של (y (, רציפה בנקודה (,. דיפרנציאבילית בנקודה (, { (, : } G= y + y מצא את הערך הגדול היותר ו את הערך הקטן היותר של (y (, בעיגול.3.4.5.6 -בהצלחה-
א'' ( t פתרונון של המבחן מועד ב' 6 g = ( t שאלה נגדיר את פונקצית העזר: ערך קבוע לכל כי ערך לא תלוי ב-. מצד שני מותר להשתמש בנוסחת נוימן-לייבניץ b β l = + α '( t y '( t R g = const כי (t ( רציפה. ובכן = const' g ' = ( = ( לכל ז ( = ( לכל R ( t = a( t t a>, t, y( t = a( cos t t l = a ( cos t + ( t = a cost = a = t t t = a = a a cos 8a = = 3 3 3 3 V = y ( d = y ( t '( t = a ( cos t = a ( 3cost+ 3cos t cos t = a = a t t + t d t = a + = a 3 + cos t 3 3 3 3 ( [ 3 ] 5 שאלה לכן cos ~, שאלה 3 cos אינטגרלים d ו d שקולים ולכן אינטגרל d מתבדר בהחלט. cos cos נחקור את ההתכנסות בתנאי: = + = cos cos cos ( + cos מתכנס בתנאי לפי מבחן דיריכלה. אינטגרל d d אינטגרל מתכנס בהחלט לפי מבחני השוואה
d= d d cos ( cos משום ש ו d מתכנס. לכן גם מתכנס בתנאי. שאלה 4 an ln lim lim n R= = n a n lnn ln( / ( lim = lim כמו כן =. n, ~,לכן t נזכיר כי, t ~ t ln / n n לכן רדיוס התכנסות: =R. n בקצה = מקבלים טור חיובי מספרי הוא שקול לטור מספרי nlnn lnn., בעזרת מבחן אינטגרלי נראה שטור הזה מתבדר. נגדיר פונקצית עזר = ln אזי: לפי כלל לופיטל.. d= ln(ln = ց, n מתבדר. ז''א אינטגרל מתבדר.לכן לפי מבחן השוואה גם טור lnn n n בקצה = מקבלים טור עם סימנים מתחליפים ( ( lnn נראה שטור הזה מתכנס לפי מבחן לייבניץ. ~ n מונוטונית: n lnn nlnn < < <, lnn< ln( < n n n לכל n < ולכן ln( lnn שאלה 5 פונקציה מוגדרת בעיגול הפתוח < +y. היא רציפה בכל נקודה, y, גם בנקודה (, ( היא רציפה לכל <α משום ש- α α ( + y p lim = p= + y = lim = = =, ln + y p ln( p כי היא פונקציה אלמנטרית. { } y נרשום את התוספת שלמה: = + (, (, y+ε(, y ( ( y 3
(, = (, α (, (, ( = lim ln( = lim α< α. אם α, ז"א = מטעם סימטריה אזי ז"א פונקציה לא דיפרנציאבילית. ε(, y =. α. α α ( ln( (, = ( + ( y ( לכן ולכן = ln α p lim ε(, y = lim y, p ln (, = α ( p התשובה: פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה שאלה 6 קודם כל נציין את התכונות הסימטריה הבאות של (, y (, = (,, (, = (,, (, = (, y y y y y y = not eist, = /3, (,,(, ±,( ±,,( ±,,(, ± ( y, = = =± /3 /3, ( y לפי תכונות הסימטריה של, נחקור את הנקודות האלה: מקבלים שהנקודות חשודות של הן: (, (, (, 4/3, = (, 8 8 = = = 3 3 3, 8 8 8 =, = >, < 3 3 3, יש מקסימום מקומי ב- לפי מבחן הנגזרת מסדר ל y (, ( y, 4 הנגזרות החלקיות לא קיימות ב- (, ( לכן לא ניתן להשתמש במבחן הנגזרות מסדר. נצג את בצורה: y <, < (, y (, /3 4/3 /3 4/3 (, y = 3 + 3y y 3 3 מההצגה הזאת ברור ש: (, (, y > = כאשר לכן ל-( y (, יש מינימום מקומי ב- (, לא קיימת ב- (, ( לכן לא ניתן להשתמש במבחן הנגזרות מסדר. (,
ז, y= ( y נחקור את ההתנהגות של, לאורך הישרים= /3 /3 4/3 (, y = + 3y y = + 3y y 3 ברור ש- (, (, y > = כאשר y > y (, = 3 /3 = (, - d d d d /3 (, = = = = 4/3 (, = = < = 8 3 3 = לפי הנגזרת השנייה עבור פונקציות של משתנה אחד ל יש מקסימום מקומי ב- = ו מקסימום מקומי לאורך הישר (, דומות ל -, ±,(, ( ''א אין אקסטרמום. (, ( y כך ל-, יש בנקודה מינימום מקומי לאורך הישר =y (, נקודת אוכף. לכן ל-( y (, אין אקסטרמום מקומי ב- (, לפי שיקולי הסימטריה ( הנקודות,, ±, דומות ל (,, ז''א מקסימום ונקודות (, = y= t, = נציג את השפה של העיגול בצורה פרמטרית: cost משיקולי הסימטריה ניתן להניח ש- t /3 /3 g( t = ( ( t, y( t = 3cos t+ 3 t ועבור t< < /3 /3 g '( t = cos t( t + t cost = לכן בעיגול y +.(, (, ±, ± t = t t= t = 4 /3 tan tan tan = y =, g 3.77 4 4 4 ( =, y( =, g( = =, y =, g = בתוך העיגול נמצאת רק נקודות האקסטרמום המקומי וגם בנקודות, בנקודה = min בנקודה ma 3.77 5