פתרון מבחן סיווג במתמטיקה שאלה מס 1 חשבו: sin(2 arccos ( ) 1 ) = ( sin 2 arccos ( )) ( 1 = 2 sin arccos 3 ( )) ( 1 cos arccos 3 ( )

תמליל

1 פתרון מבחן סיווג במתמטיקה.0.09 שאלה מס sin arccos = 9 sin arccos = sin arccos cos arccos = 8 = הערה: משתמשים כאן בכך ש.sin arccos x = cos arccos x = x = 9 שאלה מס תנו דוגמה בנוסחה אחת לפונקציה f : N N שהיא חח ע ולא על. תזכורת: N היא קבוצת המספרים הטבעיים fn = n נגדיר למשל: f : N N על ידי.f n = n זו פונקציה חח ע כי אם,f n = f n כלומר n = n אז.n = n.f n כך ש = n N לא על כי לא קיים f הערה: קיימות אפשרויות רבות שאלה מס תנו דוגמה לפונקציות fx ו gx שמקיימות fx.lim x וגם = lim gx x gx וגם = 0 lim x fx = 0 כתבו כל אחת מן הפונקציות בנוסחה אחת. fx = x gx = x נגדיר למשל: x f x = ו x g x = מתקיים: = 0 x lim x f x = lim x ו = 0 x lim x g x = lim x אבל f x lim x g x = lim x x x = lim x = הערה: קיימות אפשרויות נוספות לפתרון

2 שאלה מס מצאו את כל המספרים הממשיים המקיימים: x x + 0 x לפתור את אי השוויון x x + זה כמו לפתור את אי השוויון x,x + כלומר + x x + x x + = x וזה אם ורק אם 0 x,x כלומר x.0 שאלה מס 5 מצאו פונקציה fx המקיימת: tanx f x = ו =.f π fx = ln cos x + + ln f x = tan xdx =.C = + ln נתון f x = tan x ולכן sin x dx = ln cos x + C cos x ln ולכן cos π + C אז = f π כיוון ש = שאלה מס 6 תנו דוגמא לפונקציה זוגית fx לא קבועה המקבלת מקסימום מקומי ב = x. כתבו את הפונקציה בנוסחה אחת. fx = x + x.f x = fx זוגית ולכן f נתון זוגית ומקבלת מקסימום מקומי ב = x כלומר יש ל x f מקסימום מקומי גם ב = x נקח למשל פונקציה גזירה שיש לה נקודת מינימום מקומי ב = 0,x לכן = + x f x = x x.f x = x + ו x x + x הערה: קיימות אפשרויות נוספות לפתרון

3 שאלה מס 7 tan π lim + h h 0 5h = 5 נגדיר fx = tan x מתקיים: f x 0 = lim h 0 tan x 0 + h tan x 0 h = cos x 0 tan π lim + h h 0 5h tan π = lim + h tan π h 0 h 5 = 5 cos π x0 = π מתקיים נקח = 5 = 5 שאלה מס 8 תנו דוגמא לפונקציה x f שתחום הגדרתה הוא: 8] [5, ].[, fx = x + x x 5 x 8 נסתכל על 8 x.f x = x + x x 5 הפולינום שבתוך השורש הוא אי שלילי בתחום [8,5] [, ]. שאלה מס 9 מצאו את נקודת החיתוך בין הישר,, t l : x, y, z =, 0, 0 + והמישור = 5 z.x + y,, 6 : l. במשוואת המישור נציב את משוואת הישר t x, y, z =, 0, 0 + t,, = + t, t, = 5 z x + y ונקבל: 5 = + t + t t = + t t = ולכן נקודת החיתוך היא 6,.,

4 .sin x + sin x כך שמתקיים = 0 < x < π שאלה מס 0 מצאו מספר ממשי x = π 6 מתקיים = x sin x + sin ולכן sin x + sin x cos x = sin x + sin x sin x = 0 נסמן sin x = t ונקבל את המשוואה = 0 + 5t t לכן = t או =.t כלומר = x sin או = x.sin כיוון ש < x < π 0 נבחר ב = x sin לכן.x = π 6 שאלה מס רשמו את השארית בחלוקת הפולינומים: +5x+ px = x +x +x בפולינומים x+ qx = x rx = x x + x + x + 5x + : x x + = x + 6x x x x + x + x x 6x x + 5x 6x + 6x 6x 5x x + 5x + 5x 5 x למעשה: x px = qx x + 6x שאלה מס תנו דוגמא למספר ממשי x שעבורו = x log 5 x + x + x + + log 5 x = = log 5 x + x + x + + log 5 x = log 5 x + x + x + x = log 5 x לכן x = 5 x = 6 x =

5 f : [0.5, [0,.f x = x + x שאלה מס נתונה הפונקציה: f = נמצא תחילה את המקור של = y = fx = x + x = x + x x = הערה: למשוואה הריבועית יש עוד פיתרון שלא נמצא בתחום ההגדרה. f y = קבלנו ש = f לכן = f מתקיים: f f y = f x נמצא את.f f x = x + x + x f = f = שאלה מס חשבו את סכום המספרים הטבעיים 500 n 60 המסתיימים בסיפרה S = a = 6; d = 0 נגדיר סדרה חשבונית: = 9 n a 9 = a n = a + dn = 6 + 0n n = S = a +a nn = 6+9 = שאלה מס 5 נתון ש x,x הם שורשי הפולינום + 7x.p x = x + x הם שורשים שלו, x מצאו פולינום q x = ax + bx + c כך ש q x = x + 7x + מתקיים p x = x + 7x + = x x x x לכן 7 = x x = ; x + x הערה: אפשר גם בעזרת וייטה q x = ax + bx + c = a x x x x = a x x + x x + x x כמו כן, לכן, + 7x.q x = x + 5

6 שאלה מס 6 נתון ש = a + a a + a = רמז: ניתן להשתמש בנוסחאת הבינום עבור: a + a = a + a = a + a a + a a + a = a + a + a + a ע י העברת אגפים נקבל את התוצאה. שאלה מס 7 נתון שבפיתוח נוסחאת הבינום של + a n המקדמים של,a a, a מהווים סדרה חשבונית. מצאו את n n = 7 + a n = Σk=0 n n k a k n k = Σk=0 n n k לפי נוסחאת הבינום של ניוטון. a k a = n ; a = n ; a = n לכן בסדרה חשבונית מתקיים a a a = a n n = n n לכן ע י פתרון המשוואה נקבל את התוצאה. שאלה מס 8 מצאו נקודת מקסימום מקומי של הפונקציה f x = ln x + x + בתחום הגדרתה., ln 5 f x = x + x + x + 6x מהשוואת הנגזרת לאפס נקבל = 0 x או = x שניהם בתחום ההגדרה. בעזרת הנגזרת השניה או ע י בדיקת תחומי עליה וירידה בעזרת הנגזרת הראשונה נמצא ש = x היא נקודת מקסימום מקומי. 6

7 שאלה מס 9 בסדרה הנדסית של מספרים מרוכבים האיבר הראשון הוא + i והאיבר השני הוא. חשבו את האיבר העשירי. a 0 = a 0 = a q 9 = i 8 ולכן: q = a a = a 0 = i 8 = 8 cis 8 7π מתקיים: i = +i מתקיים i = cis 7π לכן לפי כלל דה מואבר = u v = שאלה מס 0 יהיו v, u וקטורים כך שמתקיים = u v =, נתון שוקטורים u v ו u + v ניצבים. חשבו את u. v. המכפלה הסקלרית של וקטורים ניצבים היא אפס ולכן מתקיים: 0 = u v u + v = u u v v לכן = v u v = u 7