אופק מתא ם ה ר ב ה מ ע ל ה מ מ ו צ ע ספר תירגול לבית כרך ראשון סטטיסטיקה א': סטטיסטיקה תיאורית קשר סטטיסטי צירופים והסתברות טקסטים א': טקסטים במתכונת מתא ם טקסטים לקריאה מחקרית
עיצוב ועריכה גרפית: סטודיו הגר ארט לאומנות גרפית כל הזכויות שמורות לאופק מתא"ם אין לשכפל, להעתיק, לצלם, להקליט, לאחסן במאגר מידע, לשדר בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני, אופטי, מכני או אחר- כל חלק שהוא בספר זה. שימוש מכל סוג שהוא בחומר הכלול בספר זה אסור בהחלט אלא ברשות מפורשת מהמו"ל
סטודנט יקר, ספר זה נועד להוות ליווי והשלמה לשיעורי הקורס, וללמידה הפרונטלית הנעשית בכיתה. הספר מכיל מאות שאלות ברוח בחינת המתא"ם, אשר מסודרות באופן מובנה והדרגתי במטרה ללוות את הלמידה בבית. לכל השאלות פתרונות מלאים, שמאפשרים למידה יעילה וממוקדת, והפקת לקחים בזמן אמת. כל יחידות הספר בנויות במתכונת אחידה, המאפשרת התמצאות ומעקב קלים וברורים אחר ההתקדמות והשליטה בנושאי הבחינה. כל אחד מנושאי הבחינה חולק ליחידות משנה בסיסיות והומוגנית, אלו הן 'יחידות הליבה'. לאחריהן מופיעות היחידות האינטגרטיביות, שבהן קיימים כל סוגי השאלות שנלמדו בחלקים הקודמים, וסוגי שאלות נוספים. אלו הן יחידות מורכבות יותר, המשלבות בין סוגים שונים של שאלות, ומשמשות לחזרה ואינטגרציה של החומר. בסוף כל נושא מופיעה יחידת '120 פלוס', בה ניתן למצוא שאלות קשות ומאתגרות, לעיתים קשות יותר מהדרוש לבחינה. השקענו בספר זה מחשבה רבה, עבודת תיכנון קפדנית ותשומת לב לכל פרט ופרט. אנחנו מקווים שתמצאו בספר זה את כל הדרוש לכם לקראת הבחינה, ושהוא ישרת אתכם נאמנה במהלך ההכנה האינטנסיבית לבחינה. לסיום, חובה נעימה היא להודות לכל האנשים, שבזכות כישרונם, תבונתם ומסירותם נוצר ספר זה: לחגית שקרוב- אמנית השאלות היצירתיות- על כישרונך המתפרץ, על המעוף והעקשנות, ועל היכולת לאתגר, להפתיע ולהגביה עוף. לשרון ריבקס- "אשת הטקסטים" שלנו- על היכולת הייחודית ויוצאת הדופן לכתיבת טקסטים, על הרגישות לדקויות ועל החוכמה. על פרוייקט אדיר שבלעדייך לא היה קורם עור וגידים. למאור וולף- על התביעה לתשובות, להבנה ולידע. על שגרמת לכולנו לחשוב, לחשוב ולחשוב. לנועה ביגמן- על הרוח הרעננה וההומור, על העין החדה ועל הנאמנות למתימטיקה- 'למקורות'. ותודה על המסירות לאין קץ. להגר מורן, המעצבת שלנו, שביד בוטחת שילבה בין הצד האסטתי לבין האדיקות המקצועית שלנו, ויצרה שילוב מקסים בין קפדנות ליצירתיות. תודה על כך שהגימור והעיצוב של החומרים היה חשוב לך הרבה יותר משעות שינה. תודתנו והערכתנו העמוקות נתונות לכולכם. גלי גרינפלד, אדי שילמן, אושרה בן דרור. אופק-מתא"ם 2009. אופק מתא ם ה ר ב ה מ ע ל ה מ מ ו צ ע
חלק א'- סטטיסטיקה פרק - 1 סטטיסטיקה תיאורית תיאורית... 1 9 יחידת ליבה- סולמות נתונים תיאורית... 2 15 יחידת ליבה- הצגת נתונים בגרפים ובטבלאות תיאורית... 3 21 יחידת ליבה- חישוב המדדים השונים תיאורית... 4 27 יחידת ליבה- הקשר בין צורת ההתפלגות למיקום המדדים תיאורית...5 33 יחידת ליבה- הקשר בין צורת ההתפלגות למיקום המדדים תיאורית...6 39 יחידת ליבה- שינויים באברי ההתפלגות והשפעתם על מדדים תיאורית...7 43 יחידת ליבה- שינויים באברי ההתפלגות והשפעתם על מדדים תיאורית...8 49 יחידה אינטגרטיבית א' תיאורית...9 55 יחידה אינטגרטיבית ב' תיאורית...10 61 יחידת 120 פלוס פרק - 2 קשר סטטיסטי קשר סטטיסטי 1... 69 יחידת ליבה- מדדי קשר בסולמות איכותיים קשר סטטיסטי 2... 77 יחידת ליבה- חישוב קו רגרסיה קשר סטטיסטי 3... 83 יחידת ליבה- קוי רגרסיה ומקדם המתאם קשר סטטיסטי 4... 89 יחידת ליבה- קשר בציוני תקן קשר סטטיסטי 5... 95 יחידת ליבה- טרנספורמציה על קוי רגרסיה קשר סטטיסטי 6... 101 יחידת ליבה- שונות מוסברת קשר סטטיסטי 7... 107 יחידה אינטגרטיבית א'
קשר סטטיסטי 8... 113 יחידה אינטגרטיבית ב' קשר סטטיסטי 9... 117 יחידה אינטגרטיבית ג' קשר סטטיסטי 10... 123 יחידת 120 פלוס פרק - 3 הסתברות וצירופים הסתברות וצירופים 1... 131 יחידת ליבה- צירופים א' הסתברות וצירופים 2... 135 יחידת ליבה- צירופים ב' הסתברות וצירופים 3... 139 יחידת ליבה- שאלות הסתברות 'קלאסיות' הסתברות וצירופים 4... 143 יחידת ליבה- הסתברות בינומית הסתברות וצירופים 5... 147 יחידת ליבה- שאלות "עץ" ושאלות תוחלת הסתברות וצירופים 6... 153 יחידת ליבה- סוגי מאורעות א' הסתברות וצירופים 7... 159 יחידת ליבה- סוגי מאורעות ב' הסתברות וצירופים 8... 163 יחידה אינטגרטיבית א' הסתברות וצירופים 9... 167 יחידת 120 פלוס חלק ב'- הבנת טקסטים מדעיים בפסיכולוגיה פרק -1 טקסטים במתכונת מתא"ם טקסט... 1 175 The Enhancement of Visuospatial Processing Efficiency Through Buddhist Deity Meditation טקסט... 2 187 Comfortably Numb: Desensitizing Effects of Violent Media on Helping Others טקסט... 3 199 Action Understanding in the Superior Temporal Sulcus Region טקסט... 4 211 Evaluating the Theory-of-Mind Hypothesis of Autism טקסט... 5 221 The Origin of Biases in Face Perception
טקסט... 6 233 Anticipating One s Troubles: The Costs and Benefits of Negative Expectations טקסט... 7 245 Proverb comprehension reconsidered theory of mind and the pragmatic use of language in schizophrenia טקסט... 8 257 Race Bias Tracks Conception Risk Across the Menstrual Cycle טקסט... 9 267 The Symbolic Power of Money: Reminders of Money Alter Social Distress and Physical Pain טקסט... 10 277 Neural Markers of Religious Conviction טקסט... 11 287 Moving Beyond Deliberative Control of Impulses: The Effect of Construal Levels on Evaluative Associations in Self-Control Conflicts טקסט... 12 299 Cognitive Mechanisms Underlying Recovered-Memory Experiences of Childhood Sexual Abuse טקסט... 13 313 You Can t Always Get What You Want: Infants Understand Failed Goal-Directed Actions טקסט... 14 325 The Negative Consequences of Threat: A Functional Magnetic Resonance Imaging Investigation of the Neural Mechanisms Underlying Women s Underperformance in Math טקסט... 15 337 Thinking About Me: How Social Awareness Evolved פרק - 2 טקסטים לקריאה מחקרית טקסט... 1 351 Fairness in Children s Resource Allocation Depends on the Recipient טקסט... 2 357 טקסט... 7 389 How Is the Boss s Mood Today? I Want a Raise טקסט... 13 427 Life Stress and Major Depression טקסט... 14 433 Emotional Attention: Uncovering the Mechanisms of Affective Biases in Perception טקסט... 15 439 Head Up, Foot Down: Object Words Orient Attention to the Objects Typical Location
סטטיסטיקה כרך ראשון סטטיסטיקה תיאורית אופק מתא ם ה ר ב ה מ ע ל ה מ מ ו צ ע
תיאורית 1 סולמות מדידה 1. מנהל בחברת היי טק מדד את שביעות רצונם של עובדיו בעזרת שאלון בן עשרה פריטים. הנבדקים דרגו את מידת שביעות רצונם לגבי עשרה היבטים שונים של עבודתם בחברה על סולם שנע מ- 1 )כלל לא מרוצה( עד 5 )מרוצה במידה רבה מאוד(. המנהל חישב עבור כל עובד את ממוצע שביעות הרצון, שהיווה מדד כללי לשביעות רצון העובד. לאחר מכן, בדק את הקשר בין ממוצע שביעות הרצון בשאלון לבין משכורת העובד. המנהל גילה כי ניתן לנבא את שביעות רצון העובד בעזרת המשכורת )הנתונה ביחידות של אלפי שקלים(, כך שממוצע שביעות הרצון זהה למשכורת בריבוע. רמת שביעות הרצון כפי שחישב המנהל היא משתנה ומשכורת העובד נמצאת על סולם. )1( בדיד, רווח )2( רציף, מנה )3( בדיד, מנה )4( רציף, לא ניתן לדעת כיוון שנעשתה טרנספורמציה שלא שומרת על תכונות הסולם. 2. מורה בנתה התפלגות של ציוני תלמידיה במבחן בלשון )100-0(. היא החליטה כי בתעודה, במקום לרשום את הציון במבחן, יירשם לכל תלמיד ערך המאון בו נמצא הציון שלו. ציוני התלמידים בלשון כפי שיופיעו בתעודה, מסודרים על סולם: )1( רווח )2( מנה )3( סדר )4( תלוי אם התפלגות הציונים נורמלית או לא 3. איזו מהטענות הבאות איננה נכונה? )1( ניתן להחסיר קבוע שלילי מהמיקום של קבוצת כדורסל בליגה הלאומית מבלי לפגוע בסולם עליו היא נמצאת )2( בהתפלגות ממוצע מספר ילדים במשפחה, בין כל שני ערכים קיימים אינסוף ערכים אפשריים )3( לשכיח של התפלגות מספר ילדים למשפחה ניתן לעשות טרנספורמציה לינארית מבלי לפגוע בסולם עליו הוא נמצא )4( את מיקומו של ילד בסדר האחים )ראשון, שני, שלישי( ניתן לחלק ב- 2 מבלי לפגוע בסולם עליו הוא נמצא 4. רופא בדק את השפעתה של תרופת הרגעה חדשה שקנה על מספר תקריות האלימות בקרב מטופליו. הוא נתן לכל קבוצת מטופלים אחד מארבעת המינונים הבאים: 70 30, 10, או 120 מיליגרם, באחת מתוך שלוש תדירויות: פעם ביום, פעמיים ביום או שלוש פעמים ביום. לאחר שבוע של נטילת התרופה יום יום, מדד הרופא את מספר תקריות האלימות של המטופלים על סולם הנע בין 1- שום תקרית, 2- תקרית אחת, 3- שתי תקריות, 4- שלוש תקריות, וכן הלאה. )1( כל משתני המחקר הם כמותיים )2( קיים רק משתנה אחד איכותי במחקר )3( קיימים במחקר שני משתנים בסולם מנה ואחד בסולם סדר )4( קיימים במחקר שני משתנים בסולם מנה, ומשתנה נוסף בעל מחלקות פתוחות שלא ניתן לקבוע לגביו מהו סולם המדידה 15
אופק מתא ם ה ר ב ה מ ע ל ה מ מ ו צ ע 5. רותי בת ה- 8 החליטה לקבוע מחדש את גילאי חברי המשפחה. גילו של כל חבר משפחה יהיה מספר השנים שלמד בבית ספר או במוסד השכלה אחר, בתוספת מספר השנים בהן עבד במקצועו. )הנח: כל חברי המשפחה של רותי החלו ללמוד באותו גיל, סיימו בית ספר יסודי לפחות ועסקו ברצף במקצועם. לחברי המשפחה של רותי לא היו שנים בהן לא למדו או לא עבדו(. גילאי חברי המשפחה על פי רותי נמדדים על סולם. )1( שמי )2( סדר )3( רווח )4( מנה 6. חוקר מדד את השפעת רמת האינטילגנציה )IQ( על מידת הנינוחות של נבדקים במהלך משחק טריוויה. מידת הנינוחות של הנבדקים נמדדה באמצעות השאלה: באיזו מידה אתה חש בנוח במהלך המשחק? תשובות הנבדקים נעו בסולם מ- 1 כלל לא, עד 100- במידה רבה מאוד. האינטיליגנציה של הנבדקים נמדדה בעזרת ההפרש בין מספר השאלות שהנבדקים השיבו עליהן נכונה לבין מספר השאלות שבדרך כלל נבדקים עונים עליהן נכונה במשחק זה. )1( במחקר שני משתנים איכותיים בדידים )2( במחקר שני משתנים כמותיים רציפים )3( במחקר משתנה איכותי בדיד ומשתנה כמותי רציף )4( במחקר משתנה איכותי ומשתנה כמותי ושניהם בדידים 7. במרכז לאימון כלבים מאמנים כלבים לשפר את קפיצתם למרחק. שיפור מוגדר כקפיצה למרחק גדול יותר מאשר הקפיצה הקודמת. לאחר כל קפיצה, כלב יקבל 3 פרוסות נקניק אם ביצע שיפור של יותר מ- 10 ס מ, 2 פרוסות נקניק אם ביצע שיפור של 10-1 ס מ, ופרוסת נקניק אחת- אם לא ביצע שיפור. בסוף יום אימונים מחשבים לכל כלב את אחוז הקפיצות שבהן חל שיפור, ומדרגים את הכלבים על הסולם הבא: A- חל שיפור בלמעלה מ- 50% מהקפיצות B- חל שיפור ב- 30% עד 50% מהקפיצות C- חל שיפור בפחות מ- 30% מהקפיצות מספר הנקניקים שהכלב מקבל נמצא על סולם אחוז הקפיצות שבהן קפץ הכלב גבוה יותר מאשר בקפיצה שקדמה לה נמצא על סולם הדירוג אותו מקבל כל כלב בסוף יום )A ),C,B נמצא על סולם. )1( מנה, מנה, שמי )2( רווח, מנה, שמי )3( מנה, מנה, סדר )4( רווח, רווח, סדר 8. המורה להיסטוריה, שולה, בונה מבחנים בני 10 שאלות ובודקת אותם באופן הבא: הציון המקסימלי הוא 100, על כל תשובה לא נכונה יורדות לתלמיד 5 נקודות. הוא משתנה בדיד, הנמצא על סולם מנה. )1( ההפרש בין ציונו של תלמיד כלשהו במבחן זה, לבין ציונו במבחן חוזר אצל המורה שולה )2( שכיח הציונים של נתונים מקובצים של תלמידי כיתות שונות במבחן זה )3( ההפרש בין ממוצע הציונים של תלמידי כיתות ה לממוצע הציונים של תלמידי כיתות ו במבחן זה )4( תשובות 1 ו- 2 נכונות 16
תיאורית - 1 סולמות מדידה 9. על מנת לקבוע את מחיריהם של הירקות בגינתו לפי איכותם, סידר אליעזר הגנן את הכרובים שלו לפי הקבוצות הבאות: 1- גדול ויפה, 2- גדול ולא יפה, 3- קטן ולא יפה, ואת תפוחי האדמה: 1 עד 50 גרם, 51 עד 100 גרם, 101 עד 150 גרם. הסולם הגבוה ביותר עליו אפשר לסדר את הכרובים הוא סולם והסולם הגבוה ביותר עליו ניתן לסדר את תפוחי האדמה הוא סולם. )1( סדר, רווח )2( סדר, יחס )3( שמי, מנה )4( סדר, סדר 10. יששכר סידר את אוסף הבולים שלו לפי שנת הנפקתם לספירת הנוצרים, מהמספר הנמוך לגבוה. לאחר מכן, חשב כי הוא מעונין לסדר את הבולים לפי מספר השנים שחלפו מאז יוצר הבול, מהנמוך לגבוה. הוא החליט להעניק לכל בול ערך מתוקן לפי החישוב: )שנת ההנפקה( - 2009= הערך המתוקן Y סולם שנת ההנפקה נמדד על סולם הערך המתוקן נמדד על סולם וסדר הבולים בסולם החדש )1( מנה, רווח, לא ישתנה )2( רווח, מנה, ישתנה. )3( מנה, מנה, לא ישתנה. )4( רווח, רווח, ישתנה. 17
תיאורית - 1 תשובות סולמות מדידה תשובה )2(. רמת שביעות הרצון כפי שחישב המנהל הינה ממוצע של דירוג שביעות הרצון בסולם של 1 עד 5. בניגוד לסולם שביעות הרצון שהוא משתנה בדיד, ממוצע שביעות הרצון הוא משתנה רציף, שיכול לקבל כל ערך שבין 1 ל- 5. משכורת העובד הינה משתנה על סולם מנה, מפני שיש משמעות לרווח וליחס בין הערכים )משכורת של 1000 היא פי 2 ממשכורת של 500( ונקודת האפס מייצגת היעדר מוחלט של משכורת. תשובה )3(. בציון מאוני יש משמעות לסדר כך שערך מאון גבוה יותר משמעותו ציון גבוה יותר. אולם, הרווחים אינם קבועים, ולא ניתן להסיק מתוך היחס בין המאונים השונים לגבי הציונים הגולמיים )בניגוד, למשל, לציוני תקן(. הרווח בין מאון למאון מציין את מספר התלמידים בין ציון לציון ולא מייצג את הפער בין הציונים עצמם, ולכן היחס בין המאונים לא בהכרח זהה ליחס בין הציונים. לפיכך, ציון המאון 100 אינו בהכרח גבוה מציון המאון 99 באותה מידה שציון המאון ה- 99 גבוה מציון המאון ה- 98. תשובה )3(. מספר הילדים במשפחה הוא משתנה על סולם מנה, בו יש משמעות לרווח ונקודת האפס אינה שרירותית. מסיבה זו לא ניתן לעשות טרנספורמציה לינארית מסוג החסרת/הוספת קבוע על השכיח )שהוא איבר בהתפלגות( מבלי לפגוע בסולם עליו הוא נמצא. מסיח )1( נכון כי החסרת קבוע שלילי, היא תוספת קבועה ומותרת בסולם סדר ומטה. מסיח )2( נכון מכיוון שמספר ילדים הוא אמנם משתנה בדיד, אך הממוצע הוא רציף. מסיח )4( נכון מפני שחלוקה בקבוע מותרת בכל סולם. תשובה )1(. כל משתני המחקר הם כמותיים )מינון תרופה, מספר פעמים ביום, מספר תקריות( ונמצאים על סולם מנה, בו קיימת משמעות ליחס בין הערכים ונקודת האפס אינה שרירותית )מציינת היעדר מוחלט של התופעה(. על אף שהחוקר בחר במינונים בעלי רווח לא קבוע, עדיין מינון 30 גדול פי 3 ממינון.10 תשובה )3(. רותי למעשה ביצעה טרנספורמציה של )6-( על סולם הגילאים, כך שמנין השנים של כל חבר משפחה מתחיל בכיתה א, כאשר הוא בן 6, וערכו בסולם הגילאים החדש הוא 0. טרנספורמציה של הוספת קבוע לסולם מנה משנה את תכונותיו והופכת אותו לסולם רווח. בסולם הגיל שרותי יצרה יש רווחים קבועים ובעלי משמעות בין הערכים, אך נקודת האפס היא שרירותית, ומציינת את גיל תחילת הלימודים. בפועל, אם גילו של חבר משפחה בסולם החדש שרותי יצרה הוא 0, נוכל לדעת כי הוא למעשה בן 6. תשובה )4(. המשתנה שבו נמדדה מידת הנינוחות של הנבדקים הוא בסולם סדר, מכיוון שכל נבדק דיווח על מידת הנינוחות בסולם דירוגי של 1 עד 100. כידוע, סולם סדר )וגם שמי( הינו סולם איכותי. הדירוגים נעו בין 1 ל- 100, במספרים שלמים, ולכן המשתנה הוא בדיד. מספר השאלות שהנבדקים השיבו עליהן נכונה הוא משתנה בסולם מנה, ומספר השאלות שבדרך כלל נבדקים עונים עליהן נכונה הוא משתנה בסולם מנה. ההפרש בין המשתנים יהיה אף הוא בסולם מנה )כאשר ההפרש 0, אין כל הפרש בין השאלות שהנבדק השיב עליהן נכונה לבין מספר השאלות שבדרך כלל נבדקים משיבים עליהן נכונה, כלומר נקודת האפס אינה שרירותית(. מכאן, שהמשתנה על פיו נמדד ה- IQ הוא משתנה כמותי )סולמות רווח ומנה(. השאלות נספרו במספרים שלמים ובדידים, ולכן גם ההפרש ביניהן יהיה מספר שלם ובדיד. שאלה 1 שאלה 2 שאלה 3 שאלה 4 שאלה 5 שאלה 6 18
תיאורית 1 תשובות - סולמות מדידה תשובה )3(. מספר הנקניקים שהכלב מקבל הוא חישוב פשוט של כמות הנקניקים, הנמדד בסולם מנה. הרווחים הם קבועים והאפס מסמל היעדר מוחלט של נקניק. אין משמעות לכך שבפועל כלב מקבל לפחות נקניק אחד, גם אם לא השתפר, מכיוון שאם הוא היה מקבל 0 נקניקים- המשמעות היתה שלא היה מקבל נקניק כלל. אחוז הקפיצות בהן חל שיפור הוא משתנה המחושב כקפיצות בהו חל שיפור )סולם מנה( מתוך סך הקפיצות הכללי )סולם מנה(. ישנם יחסים בעלי משמעות בין הערכים, כך שאם חל שיפור ב- 20% מהקפיצות, זה אחוז גדול פי 2 משיפור שחל ב- 10% מהקפיצות בלבד. אפס מציין היעדר מוחלט של שיפור. הדירוג שהכלב מקבל בסוף היום נמצא על סולם סדר, מכיוון שיש משמעות לסדר,C<B<A אולם, הרווחים בין הערכים אינם קבועים, משום שכל ערך כולל טווח ערכים. מסיבה זו לא ניתן לומר באיזו מידה גדול השיפור של כלב שקיבל A משיפור של כלב שקיבל B, וההפרש ביניהם איננו בהכרח זהה להפרש בין כלב שקיבל C לכלב שקיבל B. תשובה )1(. ציוני המבחנים לפי שיטתה של המורה שולה הם על סולם רווח, נקודת האפס היא שרירותית, תלמיד שקיבל 50 לא ענה אף תשובה נכונה, וציון אפס אינו אפשרי. הרווח בין הציונים הוא בעל משמעות כך שתלמיד שקיבל 80 ענה תשובה נכונה אחת יותר מאשר תלמיד שקיבל 75. מסיבה זו גם שכיח הציונים הוא על סולם רווח. לעומת זאת, כאשר יחושב ההפרש בין ציון של תלמיד מסויים לציונו במבחן החוזר, האפס אינו שרירותי, הוא מייצג היעדר מוחלט של שינוי בציון, לפיכך הוא נמדד על סולם מנה. המשתנה הינו בדיד כיוון שההפרש יהיה במספרים שלמים בלבד. מסיח )3( אינו בדיד מכיוון שהממוצע כולל את כל טווח המספרים בין 50 ל- 100, וכולל גם מספרים שאינם שלמים, ולכן גם משתנה ההפרש יהיה רציף. תשובה )4(. הגנן סידר את הירקות לפי איכותם כך שלסדר יש משמעות: גדול ויפה איכותי יותר מגדול ולא יפה אשר שניהם איכותיים יותר מקטן ולא יפה. עם זאת, אין אחידות ברווחים, לא ניתן לומר באיזו מידה כרוב בדירוג 1 איכותי יותר מכרוב בדירוג 2. למרות שסולם המדידה המקורי של תפוחי האדמה הוא סולם מנה )משקל בגרמים(, תפוחי האדמה סודרו לפי מקבצים, והרווחים ביניהם כבר אינם קבועים )למשל, הרווח בין תפוח אדמה במקבץ 1 לתפוח אדמה בין מקבץ 2 יכול לנוע בין 1 ל- 50 (. לסדר כמובן, יש משמעות, ותפוח אדמה במקבץ 3 בהכרח גדול יותר מתפוח אדמה במקבץ 2 שגדול מזה שבמקבץ 1, ולכן הסולם הוא סולם סדר. תשובה )2(. מניין השנים לספירת הנוצרים נמדד על סולם רווח. הסולם מודד שנים לא מיום היווצרות העולם ותחילת מדידת הזמן )...( אלא מודד כמה שנים חלפו מאז לידתו של ישו, כאשר נקודת האפס שרירותית. הטרנספורמציה תשנה את הסולם, שכן היא למעשה בודקת כמה שנים חלפו מאז יוצר הבול ועד היום, כלומר, סולם מנה: אם חלפו 0 שנים- למעשה לא חלפו שנים כלל. אם חלפו עשר שנים-חלפה כמות כפולה של שנים לעומת 5 שנים. עם זאת, סדר הבולים ישתנה. לפני הטרנספורמציה, המספר שהיה קודם לכן הגדול ביותר, נניח שנת 2009, יהיה כעת המספר הקטן ביותר- 0, ולהיפך. ניתן לדעת זאת גם על פי הטרנספורמציה עצמה, שבה שנת ההנפקה מופיעה בסימן )-(, כלומר היחס של הערך המתוקן אליה הוא יחס הפוך. שאלה 7 שאלה 8 שאלה 9 שאלה 10 19
תיאורית 2 הצגת נתונים בגרפים ובטבלאות 1. חוקר בדק את התפלגות ההכנסה המשפחתית עבור סטודנטים בחוג לפילוסופיה. איזה מהצגות הגרפיות הבאות אינה מתאימה להצגת הנתונים: )1( היסטוגרמת שכיחות יחסית )2( פוליגון שכיחות מצטברת )3( דיאגרמת מקלות )4( עקומת שכיחויות 2. בהיסטוגרמת שכיחות, המחלקה השניה רחבה יותר מהראשונה. מה מהבאים אינו אפשרי: )1( צפיפות המחלקה השניה היא הגדולה ביותר )2( צפיפות המחלקה השניה שווה לצפיפות המחלקה הראשונה )3( שכיחות המחלקה השניה שווה לשכיחות המחלקה הראשונה )4( כל התשובות אפשריות 3. היסטוגרמת השכיחות הבאה מתאר את שכיחות התינוקות בחדר התינוקות, לפי כמות הדייסה שהם אוכלים בארוחה )ביחידות של סנטימטר מעוקב- cc (: 50 40 30 20 10 0 כמות הדייסה 10 עד 20 20 עד 30 30 עד 40 40 עד 50 50 עד 70 70 עד 80 איזו מהטענות הבאות נכונה בהכרח? )1( מספר התינוקות שאוכלים 15cc בארוחה הוא הגדול ביותר )2( מספר התינוקות שאוכלים בין 40cc ל- 50cc בארוחה גדול ממספר תינוקות שאוכלים בין 50cc ל- 70cc בארוחה. )3( מספר התינוקות שאוכלים 30cc בארוחה קטן ממספר התינוקות שאוכלים 20cc בארוחה )4( מספר התינוקות שאוכלים בין 70cc ל- 80cc בארוחה שווה למספר התינוקות שאוכלים בין 30cc ל- 40cc בארוחה 4. חוקר מדד את מספר החיילים שהתגייסו ליחידות קרביות בכל שבוע במהלך חודש ינואר 2009. הוא הציג את הנתונים בהיסטוגרמת צפיפות מצטברת, כאשר כל עמודה מייצגת שבוע. גובה המחלקה השלישית שווה לגובה המחלקה הראשונה ששכיחותה 100, איזה מהבאים אינו אפשרי: )1( בשבוע הראשון והשלישי מספר המתגייסים ליחידות קרביות זהה )2( בשבוע השני והשלישי מספר המתגייסים ליחידות קרביות זהה )3( בשבוע השני כלל לא התגייסו חיילים ליחידות קרביות )4( בשבוע השלישי כלל לא התגייסו חיילים ליחידות קרביות 20
5. נתונה הטבלה הבאה המתארת את שכיחות זמן ההמתנה לאוטובוסים בקווים עירוניים: מחלקה א ב ג ד זמן המתנה לאוטבוס )בדקות( 0-5 5-10 10-20 20-40 שכיחות המחלקה 60 40 40 80 בהיסטוגרמת צפיפות שתבנה על סמך נתוני הטבלה: )1( גובה מחלקה ב יהיה שווה לגובה מחלקה ג )2( צפיפות מחלקה א תהיה שווה לצפיפות מחלקה ב )3( גובה מחלקה ג יהיה שווה לגובה מחלקה ד )4( צפיפות מחלקה ד תהיה גדולה מצפיפות מחלקה א 6. בהיסטוגרמה הבאה מוצגת השכיחות היחסית המצטברת של גברים במכון הכושר לפי מספר השעות שהם מתעמלים בכל יום: 100 80 60 1 עד 2 40 2 עד 3 20 3 עד 4 0 4 עד 5 שעות במכון הכושר להלן נתונים שונים לגבי שכיחות הגברים במכון כושר לפי מספר השעות שהם מתעמלים כל יום. איזו מהטבלאות הבאות מציגה נתונים אשר יכולים להתאים להיסטוגרמה שלעיל: )3( )2( )1( מספר שעות שכיחות מספר שעות שכיחות מספר שעות שכיחות 60 1 עד 2 30 1 עד 2 30 1 עד 2 0 2 עד 3 0 2 עד 3 30 2 עד 3 80 3 עד 4 40 3 עד 4 70 3 עד 4 4 ומעלה 60 4 ומעלה 30 4 ומעלה 100 )4( טבלאות 2 ו- 3 מתאימות להצגת הנתונים. 21
אופק מתא ם ה ר ב ה מ ע ל ה מ מ ו צ ע תיאורית - 2 הצגת נתונים בגרפים ובטבלאות 7. בהיסטוגרמה בה ציר ה- Y מודד צפיפות נתונות שתי עמודות, A ו- B. עמודה A גבוהה מעמודה B, וצפיפותה של עמודה A זהה לשכיחותה. איזה מהבאים אינו אפשרי: )1( העמודות מייצגות שכיחות זהה )2( עמודה B מייצגת שכיחות גבוהה מזו של A )3( צפיפות עמודה B גבוהה מצפיפות עמודה A )4( צפיפות עמודה B זהה לשכיחותה 8. בהמשך לנתוני השאלה הקודמת נתון כי שכיחות שתי העמודות זהה. מה אינו אפשרי? )1( רוחבה של עמודה B הוא 2 )2( רוחבה של עמודה B הוא 1.5 )3( רוחבה של עמודה B הוא 0.8 )4( רוחבה של עמודה B גדול מרוחבה של עמודה A 9. כיצד תיראה עקומת השכיחות היחסית של הנתונים המוצגים בהיסטוגרמת השכיחות המצטברת הבאה: 140 120 100 80 60 40 20 0 ממוצע הבגרות מחלקה 1 מחלקה 2 מחלקה 3 מחלקה 4 )1( עקומה סימטרית פעמונית )2( קו לינארי עולה )3( עקומה א-סימטרית שלילית )4( התפלגות אחידה 22
10. נתוני הטבלה הבאה מתארים את שכיחות הסטודנטים לכלכלה לפי מספר הסיגריות שהם מעשנים ביום: מספר הסיגריות ליום 0-5 5-10 10-20 20-25 שכיחות 15 100 60 15 לו יציגו את נתוני הטבלה בפוליגון שכיחויות )על פי ארבעת המקבצים המוצגים בטבלה(, וכן יציגו את הנתונים באופן לא מקובץ, בעקומת שכיחויות המתארת התפזרות רציפה של ערכי ציר ה- X, מה מהבאים נכון בהכרח? )1( ערך ה- Y בפוליגון, אך לא בהכרח בעקומת השכיחויות, יהיה שווה ל- 0 עבור 25 סיגריות. )2( בשני התיאורים הגרפיים תהיה עלייה בגרף בתחום שבין 0 ל- 7.5 סיגריות, ואז ירידה בגרף בתחום שבין 7.5 ל- 12.5 סיגריות )3( בעקומת השכיחויות, אך לא בהכרח בפוליגון, ערך Y הגבוה ביותר יתקבל עבור הערך 10 סיגריות )4( ערך ה- Y בפוליגון, אך לא בהכרח בעקומת השכיחויות, יהיה הגבוה ביותר עבור הערך 7.5 סיגריות 23
תיאורית - 2 תשובות הצגת נתונים בגרפים ובטבלאות תשובה )3(. ההכנסה המשפחתית הינה משתנה רציף ובדיאגרמת מקלות ניתן להציג משתנה בדיד בלבד. כל שאר ההצגות הגרפיות המוצעות מתאימות להצגת משתנה רציף. תשובה )4(. בהיסטוגרמה, שכיחות העמודה שווה למכפלת רוחבה בצפיפותה. מכיוון שיש נתונים רק לגבי רוחב העמודה, ולא ידועות הצפיפויות )גובה( או השכיחויות, כל התשובות אפשריות. תשובה )4(. בהיסטוגרמת שכיחות יש לבדוק את שטחה של כל עמודה על מנת להסיק לגבי שכיחותה. )לרוב, מצורף לכל היסטוגרמה קנה מידה לפיו ניתן לראות מהי השכיחות המתאימה לכל יחידת שטח נתונה(. מהשוואת שטחי העמודות ניתן לראות, כי מספר התינוקות שאוכלים בין 70cc ל- 80cc שווה למספר התינוקות שאוכלים בין 30cc ל- 40cc בארוחה. מסיח )2( אינו נכון כיוון ששטחי העמודה של התינוקות שאוכלים בין 40cc ל- 50cc זהה )ולא גדול( לשטח העמודה של תינוקות שאוכלים בין 50cc ל- 70cc בארוחה. מסיחים )1( ו-) 3 ( לא נכונים מכיוון שעבור משתנים רציפים )המוצגים בהיסטוגרמה, פוליגון או עקומה חלקה( לא ניתן לבדוק שכיחות של ערכים נקודתיים, אלא רק אלא טווח של ערכים. תשובה )1(. בהיסטוגרמה המתוארת כל עמודה מייצגת שבוע, כלומר רוחב המחלקות זהה, ולכן הגובה מייצג, למעשה, את השכיחות המצטברת. בהיסטוגרמה מצטברת, כל עמודה כוללת גם את שכיחות קודמותיה, ותוספת הגובה של כל עמודה ביחס לקודמתה, מייצגת את שכיחות אותה המחלקה )שאינה מצטברת(. מכיוון ששכיחות המחלקה השלישית לא שונה משכיחות המחלקה הראשונה, הרי שהתוספת היא אפס, כלומר, בשבוע השני והשלישי לא התגייסו מתגייסים נוספים מעבר למתגייסים בשבוע הראשון )מסיחים 4(. 3, 2, מכיוון שנתון ששכיחות המחלקה הראשונה היא 100, הרי שבשבוע הראשון לא התגייסו אותו מספר אנשים )100( כמו בשבוע השלישי )0(, ולכן מסיח 1 אינו אפשרי. תשובה )3(. על מנת לחשב את גובה )צפיפות( המחלקה יש לזכור כי בהיסטוגרמת צפיפות: שכיחות המחלקה = גובה )צפיפות( רוחב. שאלה 1 שאלה 2 שאלה 3 שאלה 4 שאלה 5 מכאן, שהגובה )הצפיפות(=שכיחות המחלקה חלקי הרוחב שלה. רוחב העמודה במקרה זה הוא טווח הדקות בכל מחלקה. לפיכך גבהי המחלקות יהיו: צפיפות )גובה( מחלקה א : 15=60/5 צפיפות )גובה( מחלקה ב : 10=40/5 צפיפות )גובה( מחלקה ג : 4=40/10 צפיפות )גובה( מחלקה ד : 4=80/20 מכאן, שגבהי מחלקות ג ו-ד זהים )מסיח 3(. תשובה )4(. בהיסטוגרמת שכיחות יחסית מצטברת, כל עמודה כוללת גם את שכיחות היחסית של קודמותיה, ותוספת הגובה של כל עמודה ביחס לקודמתה, מייצגת את השכיחות היחסית של אותה המחלקה )שאינה מצטברת(. מהיסטוגרמת השכיחות היחסית המצטברת ניתן לראות כי בעמודה הראשונה נכללים 30% מהאברים. שאלה 6 24
העמודה השניה זהה לעמודה הראשונה. המשמעות היא שבעמודה השניה לא נוספו תצפיות מעבר לעמודה הקודמת, כלומר, שכיחותה 0. בעמודה השלישית נוספו 40% מהאברים )הצטברות מ- 30% ל- 70% ( ובעמודה הרביעית נוספו עוד 30% מהאברים )מ- 70% ל- 100% (. ההיסטוגרמה מתארת צפיפות יחסית, כלומר, הנתונים הם באחוזים מתוך הכלל. 30% ו- 40% מתוך 100% יכולים לייצג 30 ו- 40 תצפיות מתוך 100 תצפיות, וגם 60 ו- 80 תצפיות מתוך 200 תצפיות. מכאן שטבלאות 2 ו- 3 שתיהן מתאימות. תשובה )3(. בהיסטוגרמה המתוארת ציר ה- Y מודד צפיפות, לפיכך אם עמודה A גבוהה יותר, בהכרח צפיפותה גדולה יותר מזו של עמודה B, ולכן מסיח 3 מתאר מצב לא אפשרי. כמו כן, מכיוון ששכיחות עמודה מחושבת על ידי מכפלת צפיפותה ברוחבה, ואין נתונים אודות רוחבה של עמודה B, לא ניתן לדעת בוודאות מה תהיה צפיפותה או שכיחותה של עמודה B, ושאר התשובות אפשריות. תשובה )3(. שכיחות העמודה = צפיפות העמודה )גובה( רוחב העמודה. מכאן ש: רוחב העמודה= שכיחות העמודה צפיפות העמודה. מאחר שידוע מנתוני השאלה הקודמת ששכיחות עמודה A זהה לצפיפותה, ניתן להסיק כי רוחב עמודה A שווה 1. עוד נתון, כי עמודה A גבוהה יותר מעמודה B, וכי שכיחות שתי העמודות זהה. כדי ששכיחות שתי העמודות תהיה זהה, רוחב עמודה B מוכרח להיות גדול יותר מרוחב עמודה A, כלומר גדול מ- 1. המסיח היחיד בו מצב זה לא מתקיים הוא 3 ולכן אינו אפשרי. תשובה )4(. בהיסטוגרמת צפיפות מצטברת תוספת השכיחות בכל עמודה ביחס לקודמתה, מייצגת את שכיחות העמודה בהיסטוגרמת שכיחות שאינה מצטברת. גובהה של העמודה הראשונה הוא 30, ובכל עמודה השכיחות המצטברת גדלה ב- 30 ביחס לקודמתה. מכאן, שהשכיחות היחסית של כל אחת מהעמודות שווה ל- 30, ולכן מדובר בהתפלגות אחידה. תשובה )4(. עקומת השכיחויות של ערכי X מבוססת על ערכי השכיחות האמיתיים ולא המקובצים של המשתנה, וקשה להסיק לגביהם בצורה מדוייקת מתוך הערכים המקובצים. ניתן לדעת בוודאות כיצד ייראה הפוליגון המבוסס על הערכים המקובצים הנתונים, אבל לא ניתן לדעת בוודאות לגבי צורתה המדוייקת של עקומת השכיחויות הלא מקובצת. שאלה 7 שאלה 8 שאלה 9 שאלה 10 הפוליגון מבוסס על עמודות ההיסטוגרמה, ונוצר על ידי חיבור נקודות האמצע של העמודות, כך שיווצר קו רציף. העמודה הגבוהה ביותר היא העמודה של 5-10 סיגריות )ניתן לחשב את גובה העמודה ע י חלוקת שכיחות העמודה ברוחב העמודה(. נקודת האמצע של העמודה היא 7.5, והיא תהיה הנקודה הגבוהה ביותר בפוליגון. לא ניתן להגיד באופן וודאי שהדבר נכון גם בעקומת השכיחות, ולכן מסיח 4 נכון. נקודת ה- 0 של הפוליגון אינה מסתיימת בקצוות המחלקות, אלא מעבר להן, כך שנקודת האפס בפוליגון המתואר תהיה בנקודה 27.5 מימין ו- 2.5 משמאל, ולכן מסיח 1 אינו נכון. מסיח 2 אומנם נכון עבור הפוליגון, אולם לא ניתן לקבוע כי התיאור נכון בוודאות גם עבור עקומת השכיחויות, ולכן המסיח אינו נכון. מסיח )3( מתייחס לערך ספציפי בעקומת השכיחויות, ואין לדעת מתוך הטבלה המקובצת מה יהיה ערכו בעקומת השכיחויות הלא מקובצת. 25
תיאורית 3 חישוב המדדים השונים 1. בטבלה הבאה מוצגות השכיחויות של נשים בחדר הלידה בחודש מסוים לפי מספר הלידות שלהן )כולל הנוכחית(: מספר לידות 1 2 3 4 שכיחות 20 20 30 50 מה יהיה ערך החציון? )1( 2 ושני שליש 3 )2( 2.5 )3( )4( 3 ושני שליש 2. חוקר עורך מחקר על יכולת הלמידה של חתולים. לצורך מחקרו הוא מעביר את החתולים במעבדתו סדרה של עשרה מבוכים, ורושם את זמן הביצוע שלהם. ידוע כי כל חתול משתפר במבוך הבא ביחס לקודמו. איזה מהמדדים הבאים הוא המתאים ביותר לצורך בדיקת יכולת הלמידה של כל חתול במחקר? )1( הממוצע )2( הטווח )3( השונות )4( החציון 3. באליפות הנוער בטניס 100 מתמודדים. מספר הנצחונות שלהם במשחקי העונה הנוכחית מתפלג נורמלי. נועם נמצא במאון ה- 20, עם 3 נצחונות. לתחרות נוספו 100 מתמודדים חדשים, שכולם נמצאים מעל המאון ה- 60 של ההתפלגות המקורית. איך ישפיע הדבר על מיקומו של נועם? )1( ירד למאון ה- 15 )2( ירד למאון ה- 10 )3( יישאר במאון ה- 20 )4( לא ניתן לדעת כיצד יושפע מיקומו של נועם כיוון שמאונים אינם טרנספורמציה לינארית של הנתונים. 4. מהירות הנסיעה המינימלית המותרת על כביש 6 היא 55 קמ ש, והמקסימלית היא 110 קמ ש. בעקבות תשדיר שיצא לרדיו, ביקש ראש אגף התנועה לבדוק האם חלה ירידה במספר הנהגים העוברים את המהירות המותרת. הקטנה של איזה מהמדדים תאפשר לו לדעת בוודאות כי אומנם חלה ירידה כזו? )1( טווח )2( חציון )3( שונות )4( הקטנה של אף אחד מהמדדים לא תעיד בהכרח על ירידה בכמות הנהגים העוברים על המהירות המותרת. 26
5. בהתפלגות ציונים בכיתה מסויימת אחוז השגיאות הוא 50, והשכיח גדול מהחציון. מה ניתן לומר על הממוצע? )1( קטן מהשכיח )2( גדול מהשכיח )3( שווה לשכיח )4( לא ניתן לדעת 6. ציוני המבחן בסטטיסטיקה מתפלגים נורמלית בכל המועדים. גלית קיבלה 80 במועד א, ו- 70 במועד ב. עבור אילו נתונים לא יתכן כי ציון התקן של גלית במועד ב יהיה גבוה יותר מאשר במועד א? )1( אם הממוצע בשני המועדים שווה, אך השונות במועד ב גדולה יותר )2( אם הממוצע במועד ב קטן יותר, אך השונות במועד ב גדולה יותר )3( אם הממוצע במועד ב גדול יותר, אך השונות במועד ב קטנה יותר )4( תשובות )1( ו-) 3 ( נכונות 7. בהתפלגות מסוימת עשר תצפיות. 5 תצפיות שוות לשכיח שערכו 70 ושאר התצפיות שונות זו מזו. החציון הוא 80. מה יתכן כי יהיה ערכו של הממוצע? 80 )1( 120 )2( )3( תשובות 1 ו- 2 אפשריות )4( הנתונים המוצגים בשאלה אינם אפשריים 8. בהתפלגות נורמלית הטווח הבין רבעוני הוא 6 ומספר התצפיות בטווח זה הוא 30. אילו מהטענות הבאות בנוגע להתפלגות זו נכונה? )1( עבור כל רבעון בהתפלגות טווח הערכים הוא 3 )2( התצפית אשר 75% מהתצפיות קטנות ממנה, גדולה ב- 6 מהממוצע )3( ערכן של 15 תצפיות בהתפלגות גדול מהממוצע ביותר משלוש )4( ערכן של 30 תצפיות הוא בין 0 ל- 6 9. חוקר מסויים גידל במעבדתו 20 עכברים אשר משקליהם עוקבים: משקל כל עכבר גדול בגרם אחד ממשקל העכבר שלפניו. למרבה התסכול, גילה החוקר כי העכבר השמן ביותר, שוקל 2 גרם יותר מהעכבר שלפניו. הוא החליט לשחררו לחופשי. מה יקרה בעקבות זאת למדדי התפלגות 19 העכברים הנותרים? )1( החציון יקטן בגרם אחד )2( אמצע הטווח יקטן בגרם אחד )3( הממוצע יקטן ב- 2/19 )4( השונות תקטן פי 2 2 27
אופק מתא ם ה ר ב ה מ ע ל ה מ מ ו צ ע תיאורית - 3 חישוב המדדים השונים 10. במפעל לאריזת ירקות מקפידים לעמוד בתקן לפיו החריגה מהמשקל הנדרש לא תעלה על 10 גרם. באחד מפסי הייצור, שכלל 20 אריזות, נמצאו שתי אריזות בעלות חריגה גדולה מהמותר, אחת גדולה מדי ביחס לנדרש ואחת קטנה מדי. הפרשיהם של משקלי שתי האריזות מהמשקל הממוצע שווים. ערכו המוחלט של ציון התקן של אריזה כלשהי כאשר יחושב בהתפלגות הכוללת את כל 20 האריזות יהיה ערכו המוחלט של ציון התקן של אותה אריזה כאשר יחושב לאחר ניפוי שתי האריזות החורגות. )1( גדול יותר מ- )2( קטן יותר מ- )3( זהה ל- )4( שונה, אך לא ניתן לדעת אם גדול או קטן מ- 28
תיאורית - 3 תשובות חישוב המדדים השונים תשובה )2(. ערך החציון הוא הערך שעד אליו מתפלגים מחצית מן המקרים. סך כל המקרים בטבלה המתוארת הם סכום השכיחויות של כל ערך: 20+20+30+50=120, ולכן עד לחציון יהיו 60 אברים: 60=120/2=2/n. מאחר שמדובר בטבלה מקובצת, יש לחפש את המחלקה אשר עד אליה כלולים 60 מקרים. ניתן לראות שעד למחלקה השניה )כולל( קיימים 40 מקרים )20+20( ואילו עד למחלקה השלישית קיימים 70 מהמקרים. מכאן שהחציון כלול במחלקה השלישית, שערכה הוא 3. תשובה )2(. במחקר המתואר החוקר מעוניין לבחון את יכולת הלמידה של החתול, כלומר, בכמה התקצר זמן הביצוע של כל חתול ככל שהוא ביצע יותר מבוכים )כאשר נתון כי תמיד חלה השתפרות(. המדד שיתאר את מידת השיפור )קיצור זמן הביצוע( בצורה הטובה ביותר הוא הטווח, שמייצג את ההפרש בין זמן הביצוע הארוך ביותר, שהוא במבוך הראשון, לזמן הביצוע הקצר ביותר, במבוך האחרון. תשובה )2(. בהתפלגות המקורית נועם נמצא במאון ה- 20, כלומר, מקום 20 מלמטה, ומעליו 80 מתמודדים. השינוי של תוספת המתמודדים, התרחש מעל המאון ה- 60 ולכן לא השפיע על הסדר של התצפיות מתחת למאון ה- 60. תוספת של 100 מתמודדים חדשים משמעותה שסה כ האיברים בהתפלגות גדל פי 2 והוא שווה כעת 200. אם קודם לכן היו מעל נועם 80 מתמודדים, כעת יש מעליו 180 מתמודדים. מכאן, שמיקומו של כל מאון קטן פי 2. ניתן לראות זאת גם מתוך החישוב הבא: בהתפלגות המקורית מיקומו של נועם הוא -20/100 אחוזון 20. בהתפלגות החדשה מיקומו של נועם הוא 20/200, אחוזון 10. תשובה )4(. הטווח מציג את ההפרש בין הערך הנמוך ביותר לגבוה ביותר, ולא ניתן להסיק ממנו בוודאות אם חלה ירידה במספר הנהגים העוברים את המהירות המותרת. ייתכן שהטווח יקטן כי נהגים שנהגו קודם לכן במהירות המינימלית המותרת נוסעים כעת מהר יותר. ירידה בחציון יכולה לנבוע מכך שמהירותם של מספר נהגים הפכה להיות נמוכה מהחציון, אך מאחר שלא ידוע ערכו של החציון, ואם הוא נמוך מהמהירות המקסימלית המותרת, הירידה לא בהכרח חלה אצל אלו שנהגו מעל המהירות המותרת. השונות מלמדת על הסטיות הריבועיות מהממוצע ולא ניתן להסיק ממנה בוודאות אם חלה ירידה במספר הנהגים העוברים את המהירות המותרת. הסטיות מהממוצע יכולות להיות קטנות יותר אם נהגים שנהגו קודם לכן במהירות המינימלית המותרת נוסעים כעת מהר יותר, ומהירותם מתקרבת למהירות הממוצעת. תשובה )1(. נתון שאחוז השגיאות הוא 50%, כלומר מחצית מהאיברים שווים לשכיח, ומחציתם שונים ממנו. ידוע כי החציון קטן מהשכיח, כלומר כל האיברים השווים לשכיח )50%( נמצאים מעליו, ו- 50% האיברים השונים מהשכיח נמצאים מתחתיו. הממוצע מושפע מכל הערכים בסידרה, ומאחר שהשכיח הוא למעשה האיבר המקסימלי בסדרה, ש- 50% מהאיברים שווים לו והשאר קטנים ממנו, ניתן לדעת בוודאות שגם הממוצע יהיה קטן ממנו. שאלה 1 שאלה 2 שאלה 3 שאלה 4 שאלה 5 29
אופק מתא ם ה ר ב ה מ ע ל ה מ מ ו צ ע תיאורית 3 תשובות - חישוב המדדים השונים שאלה 6 תשובה )1(. ציון התקן מחושב כך: משום כך אפשרי )אך לא הכרחי( כי ציון 70 יניב ציון תקן גבוה יותר מאשר 80. הדבר אפשרי אם במועד ב יהיה או ממוצע נמוך יותר )שיצור מונה גדול יותר, ולכן שבר גדול יותר( או שונות קטנה יותר )שתיצור מכנה קטן יותר ולכן שבר גדול יותר(. אם הממוצע שווה )מסיח 1(, ההפרש עבור הציון 80 יהיה גדול יותר, וחלוקתו בשונות קטנה יותר, תבטיח כי ציון התקן עבור 80 יהיה בהכרח גבוה יותר. תשובה )2(. בהתפלגות ערכים בדידה החציון שווה לממוצע ערך ה- n/2 וערך ה- 2+1/n. בהתפלגות זו ערך ה- 2/n, האיבר החמישי, הוא 70. כדי שהחציון יהיה 80, הערך ה- 2+1/n חייב להיות 90, ושאר התצפיות שוות או גדולות ממנו. נתון כי חמש התצפיות שונות זו מזו, כלומר התצפית במקום ה- 2+1/n )90( היא הקטנה ביותר, ושאר התצפיות גדולות ממנה. אם כל 5 התצפיות הנוספות היו, 90 ערך הממוצע המינימלי האפשרי היה 80. מכיון שנתון כי התצפיות שונות זו מזו, והן תהיינה 90 ומעלה, הממוצע בהכרח יהיה גדול מ- 80 )מסיח 2(. תשובה )3(. בכל רבעון בהתפלגות נמצאות רבע מהתצפיות, במקרה זה 15. נתון כי הטווח הבין רבעוני הוא 6, ובהתפלגות נורמלית הוא מתחלק באופן סימטרי מימין ומשמאל לממוצע, כלומר 3 מעל ומתחת לממוצע. לפיכך, 15 התצפיות שברבעון הרביעי גדולות מהממוצע ביותר מ- 3. מסיח )1( לא נכון מאחר שבהתפלגות נורמלית התצפיות ברבעונים הקיצוניים מתפרשות על טווח ערכים רחב יותר, שבמקרה זה יהיה בהכרח גדול מ- 3. מסיח )2( לא נכון, מכיוון שהתצפית ש- 75% מהתצפיות קטנות ממנה היא בדיוק קצהו הימני של הטווח הבין רבעוני, שנמצא בין C 25 ל- C, 75 וידוע שהיא גדולה מהממוצע ב- 3, ולא ב- 6. מסיח )4( לא נכון, מאחר שהנתונים בשאלה מתייחסים לאורכו של הטווח הבין רבעוני )6( אך אין להסיק מכך לגבי ערכי X ביניהם הוא ממוקם )ייתכן למשל שהטווח הבין רבעוני נמצא בין 100 ל- 106 (. תשובה )2(. אמצע הטווח מחושב על ידי סכום הערכים הקיצוניים לחלק לשתיים: שאלה 7 שאלה 8 שאלה 9 מכיוון שלאחר הוצאת העכבר הערך הגבוה ביותר קטן ב- 2, אמצע הטווח יקטן בגרם אחד. מסיח 1 אינו נכון, מפני שלאחר הוצאת איבר אחד מההתפלגות מספר האיברים ירד ל- 19, וכעת החציון ימוקם באיבר ה- 10. החציון לפני כן היה שווה לאמצע בין ערך האיבר ה- n/2 )האיבר ה- 10 ( לערך האיבר ה- 2+1/n )האיבר ה- 11 (. מכיוון שהערכים גדולים זה מזה בגרם אחד החציון יקטן בחצי גרם בלבד. מסיח 3 אינו נכון, מכיוון שהשינוי בממוצע הוא הפחתה של העכבר השמן ביותר מהסכום, והתוצאה תחולק במספר האיברים החדש- 19. מכיוון שלא נתון משקלו של העכבר השמן לא ניתן לדעת מהו השינוי בממוצע. מסיח )4( אינו נכון כי אומנם השונות תקטן מאחר שהוצאנו ערך קיצוני מההתפלגות, אך לא ניתן לדעת בכמה, מכיוון שאין נתונים לגבי הממוצע או לגבי ערכי ההתפלגות. שאלה 10 תשובה )2(. ציון התקן מחושב כך: לאחר הוצאת שתי האריזות הקיצוניות שנתון שהפרשן מהממוצע שווה, הממוצע לא ישתנה. אולם, סטיית התקן של ההתפלגות תקטן, שכן יוסרו מחישובה שתי התצפיות שסטייתן מהממוצע היא הגדולה ביותר. ולכן, בחישוב ציוני התקן לאחר ניפוי שתי האריזות, עבור כל אריזה המונה יהיה זהה למונה בחישוב שלפני ניפוי שתי האריזות, אך המכנה יהיה קטן כי סטית התקן תקטן, ולכן ערכו של השבר יגדל. ניתן להבין זאת גם מבלי להיעזר בחישוב: הפיזור בהתפלגות האריזות הכוללת את האריזות החורגות 30
גדול יותר. משום כך, האריזות הלא חורגות קרובות יותר לממוצע ביחס לכלל ההתפלגות, וציוני התקן שלהם יהיו קטנים יותר בערכם המוחלט. לאחר הניפוי של האריזות החורגות, הפיזור של ההתפלגות קטן יותר, ולכן קירבתן של האריזות האחרות לממוצע בולטת פחות, וציוני התקן שלהם גדולים יותר.
אופק מתא ם ה ר ב ה מ ע ל ה מ מ ו צ ע www.ofek-mitam.com