X הוכיחו כי קבוצה X סגורה אמ"מ פתוחה P נקודה כלשהי עלינו למצוא כך ש- X P X פתרון: תהא X קבוצה סגורה ניקח נניח בשלילה כי לא קיים כזה, ז"א לכל קיימת כך ש- X מכיוון ש- P P נסיק כי d P, P סגורה מתקיים P B P X P B P, X, P מאחר B P X X בסתירה להנחתינו ש-, P X בכיוון ההפוך: נניח כי X Y הינה קבוצה פתוחה תהא סדרת נקודות כך ש- P P מכיוון ש-, Y כך ש- לכן קיים, P P X Y, P X אז, P B P Y בסתירה לבחירת, P אם P קיים כך ש- או X X הוכיחו כי קבוצה X פתוחה וגם סגורה אמ"מ וגם X לכן קיימות, לכן לפי הטענה P P, X פתרון: נניח כי X גם פתוחה וגם סגורה ונניח בשלילה כי X הינה קבוצה פתוחה בקטע,,,, X P P P P קיבלנו סתירה בשני המקרים P P מתקיים P P, P X P X שנראה בהמשך X או, au אזי U X X a, טענה: יהא b קטע בקו ישר ונניח כי קבוצה פתוחה וגם סגורה כך ש- U a, b U, a, c U ז"א, cu סגורה, U a, c sup x X : מכיוון ש- x U נגדיר,a מכיוון ש- c U c supu c b,, c אם נניח בשלילה ש- c U אז נקבל ש-, c c בסתירה לכך ש- U a, c U פתוחה, קיים כך ש- ואז גם כלומר c, c U a, b U כלומר, c מסקנה: b א עבור כל אחת מהקבוצות הבאות קבעו אם היא פתוחה\סגורה\לא פתוחה ולא סגורה כמוכן מצאו את הסגור, את הפנים ואת השפה:,, X,, אבל, B ולכל מתקיים, X, ; X x, : x, R פתרון: הקבוצה הנתונה לא סגורה מאחר X הקבוצה הנתונה גם לא פתוחה, אכן, X נמצא את הסגור:
; X x x, :, ; it X x, : x, נמצא את הפנים: ונמצא את השפה: X x, : x x, : x X x, : x, R ב פתרון: הקבוצה הנתונה מהווה קבוצה פתוחה ולא סגורה ; X x, : x, R נמצא את הסגור: X x, : x x, : x x, : x נמצא את השפה: X x,si : x, R x 4 מצאו את הסגור של הקבוצה, si x x, פתרון: נקבע מתוך הקבוצה כלשהו קיימת סדרה שייכת ל- כך ש- x לכן כל נקודה X, : לא קשה להשתכנע כי X X X, :, : מהווה קבוצה סגורה, מכאן ש- 5 עבור כל אחת מהקבוצות הבאות קבעו אם היא קומפקטית\קשירה מסילתית:,, : א X x z xz R פתרון: הקבוצה הנתונה אינה קומפקטית, מאחר והיא אינה חסומה )למשל X הבאה מכילה את הקבוצה ) x,, : x R P ניתן לחבר לראשית הצירים הקבוצה הנתונה מהווה קבוצה קשירה מסילתית מאחר וכל נקודה X,P ניתן לחבר ע"י קטעי הישרים ע"י קטע של ישר שכולו "יעבור" ב-, X לכן כל שתי נקודות P X )ראו איור(, P P,
X x,, z : x z 4 R ב פתרון: הקבוצה הנתונה היא סגורה וחסומה, לכן קומפקטית הקבוצה הנתונה מהווה קבוצה קשירה מסילתית כי כל שתי נקודות שלה ניתן לחבר ע"י המסילה שמורכבת מ"הדבקת" שני קטעי ישרים עם קשת של מעגל )ראו איור(, ניתן לחברן גם ע"י שלושה קטעי ישרים )ראו איור( X Y הוכיחו או הפריכו את הטענה הבאה XY, קבוציות סגורות 6 א תהיינה i x : x X, Y Y x, x : x מתקיים: X x, : x פתרון: הטענה אינה נכונה למשל ניקח i x : x X, Y X Y הוכיחו או הפריכו את הטענה הבאה ב תהיינה XY, קבוציות קומפקטיות i x : x X, Y x X אז קיימות סדרות, i x : x X, Y פתרון: הטענה נכונה נניח בשלילה כי ע"פ משפט היינה-בורל קיימות להן תת-סדרות שמתכנסות: x Y כך ש-, x x,, x נסיק x, x מצד שני מצד אחד x X, Y X Y, x בסתירה לנתון ש- מקומפקטיות כי 7 חשבו את הגבולות הבאים )אם קיימים(: ; ( x, ) (, a) si( x) x א si( x), מכאן x x x,, פתרון: אם a אז ( x, ) (, a) si( x) a x
5 x, x ( x, ) x, x x,, x, ב כאשר פתרון: מתקיים,, מצד שני 5, 9 7 5, x,, x, לכן הגבול לא קיים, :,, G x x a b x פונקציה רציפה הוכיחו כי הקבוצה פתוחה : a, 8 תהא b וקשירה ב- x, x, פתרון: כל שתי נקודות ניתן לחבר ע"י מסילה שמורכבת מ"הדבקה" של שלושה max )המקסימום קיים ע"פ משפט וויירשטרס(, אזי נקח את x x, x קטעי ישרים יהא c כך ש- x c המסילה שהיא "הדבקה" של שני קטעי ישרים אנכיים וקטע ישר אופקי אחד:,,,,,,,,, x x c x c x c x c x G מסקנה: G קשירה מסילתית, x, x x, b, a x חהא x x, כלומר, x G כך שאם G פתוחה ניקח x נראה כי מרציפותה של בפרט קיים, x x אז x מתקיים x x x, x, : x x x, G ז"א כל נקודה של G הינה נקודה פנימית שלה, מכאן ש- G הינה קבוצה פתוחה x, e, x, x x 9 הוכיחו כי הפונקציה רציפה ב- פתרון: הפונקציה הנתונה מהווה הרכבה של שתי פונקציות: 4
u u e, u, u, u x, x לכן די להוכיח כי פונקציה של משתנה אחד u u e, u, u u e, u, u u u רציפה ב- u אם אז u u u ואם אז u מסקנה: u רציפה ב- G קומפקטית וקשירה מסילתית ותהא : D פונקציה רציפה נגדיר תהא D, G x,, x z R : x,, x D; x,, x z x,, x הוכיחו כי קומפקטית וקשירה מסילתית פתרון: ע"פ משפט ווירשטרס, פונקציה אם כך ש- רציפה בתחום קומפקטי אז היא חסומה בו, כלומר קיים T כך G סגורה P x, z P לכל PD מאחר D קומפקטי, D חסום, מכאן קיימת תיבה G נראה כי x P G נציג x T T T c, c c D מתקיים T c ש- ב- סדרה כך ש- הינה תיבה ב- P מתקיים, P עלינו להראות כי x, z P P x x G תהא x כאשר D מרציפותה של x z x כמוכן, נציג נסיק כי מכיוון ש- נסיק כי, x z x P z z P x, z, P x, z אזי G G תהיינה P G ז"א עתה נראה את קשירות המסילתית של P מאחר D קשירה מסילתית, קיימת מסילה רציפה שמחברת את x D, P x D עם P, נבנה P :, D רציפה, ז"א, נסמנה ב-, D P וכולה "עוברת" בתחום מסילה בתוך ל- P בשלושה חלקים: P G שמחברת 5
P x, z קטע ישר שמחבר נקודות, P x, x קטע ישר שמחבר נקודות P x, z P P P x, x ומסילה שמחברת נקודות על פני משטח t t, t : t, G 6