פיסיקה למתמטיקאים 6 באפריל 2017

תמליל

1 פיסיקה למתמטיקאים 6 באפריל 017

2 תוכן עניינים 4 הקדמה 1 4 יחידות וקטורים אנליזה וקטורית קואורדינטות פולריות קואורדינטות כדוריות הפונקציות ההיפרבולית פונקציות מבחן פונקצית הדלתא של דיראק I מכניקה 9 10 קינמטיקה תנועה במהירות קבועה תנועה בתאוצה קבועה תנועה קצובה במעגל.3 1 תנועה כללית במעגל מכניקה ניוטונית חוקי התנועה של ניוטון כוחות במקרים שונים חוקי השימור שימור התנע שימור האנרגיה שימור התנע הזויתי גרביטציה מכניקה אנליטית פונקציונלים הגדרה מינימיזציה של פונקציונלים עקרון הפעולה המינימלית קואורדינטות ציקליות

3 םיניינע ןכות 4.3 מכניקה המילטונית טרנספורם לז'נדר ההמילטוניאן ומשוואות המילטון סוגרי פואסון מרחב הפאזה ומשפט ליוביל סימטריות וחוקי שימור חבורות לי משפט נתר (Noether) בעיית קפלר תנודות קטנות ואופני תנודה תנודות קטנות ותדירות אפיינית אוסילטורים מצומדים ואופני תנודה נורמליים מערכות ייחוס טרנספורמציות גליליי מערכות מואצות ומסתובבות חבורת לורנץ II מכניקת הקוונטים הקדמה: מרחבי הילברט מרחבי הילברט כלליים הגדרה: מרחב הילברט אופרטורים במרחב הילברט הגדרה קומוטטורים פונקציות של אופרטורים מרחב הפונקציות L אופרטורים במרחב L מכניקת הקוונטים 7 77 האקסיומות של תורת הקוונטים מרחב המצבים התפתחות בזמן מדידה משוואת שרדינגר מיקום ותנע עקרון אי הוודאות משוואת שרדינגר בור פוטנציאל אוסילטור הרמוני קוונטי תנע זוויתי הצגות של חבורות ואלגברות לי הצגות התנע הזוויתי אטום המימן הקוונטי 7.4

4 3 םיניינע ןכות 7.5 אי שיוויון בל

5 פרק 1 הקדמה 1.1 יחידות מקובל בפיסיקה כי כל גודל נמדד ביחידות. מערכת היחידות המקובלת, שבה נשתמש, נקראות mks והיחידות הבסיסיות בה הן מטר (m) קילוגרם (kg) ושניה (s). יחידה בסיסית נוספת המצורפת לעתים קרובות היא אמפר (A). אנו לא נשתמש בה, שכן לא נדון בחשמל בקורס זה. היחידות של גדלים אחרים ניתנות לבניה מתוך יחידות אלה. לדוגמה, מהירות נמדדת. [x] [t] = m s ביחידות נשתמש גם ביחידות הבאות: עבור כח נשתמש בניוטון עבור אנרגיה נשתמש בג'אול N kg m s J kg m s 1. וקטורים בקורס זה נסמן את ווקטורי היחידה במרחב התלת ממדי בẑ,xˆ.,ŷ כמו כן נשתמש בסימון x r = xˆx + yŷ + zẑ = y z לכל וקטור נשתמש בסימון v = 4 v x v y v z

6 5 המדקה.1 קרפ v t = (v x, v y, v z ) והמוחלף (transpose) של הוקטור יהיה v u v t u = v x u x + v y u y + v z u z מכפלה סקלרית תוגדר להיות מכפלה וקטורית מוגדרת להיות ˆx ŷ ẑ v u ˆx(v y u z v z u y ) + ŷ(v z u x v x u z ) + ẑ(v x u y v y u x ) = v x v y v z u x u y u z שימו לב שהדטרמיננטה איננה דטרמיננטה אמיתית, אלא יש לראותה כשיטה לזכירת המכפלה. d r = ˆxdx + ŷdy + ẑdz = dx dy dz 1.3 אנליזה וקטורית נשתמש בסימונים הבאים: (1.1) gradf( r) f( r) f f ˆx + x y ŷ + f z ẑ (1.) curl v( r) v( r) div v( r) v( r) dv x dx + v y y + v z z ( vz y v ) ( y vx ˆx + z z v ) ( z vy ŷ + x x v x y והלפלסיאן הוא: (1.3) ) ẑ (1.4) f( r) f x + f y + f z (1.5)

7 6 המדקה.1 קרפ 1.4 קואורדינטות פולריות בשני ממדים, y x, נוח לעתים להשתמש בקואורדינטות פולריות, r וθ המוגדרות עפ"י המשוואות x = r cos θ (1.6) y = r sin θ (1.7) 1.5 קואורדינטות כדוריות לעיתים נח להשתמש בקואורדינטיות כדוריות במקום קואורדינטות קרטזיות. זה נכון במיוחד כאשר לבעיה סימטריה כדורית. נגדיר קואודינטות ) [0,,r ϕ [0, π),θ [0, π] כך שמתקיים x = r sin θ cos ϕ (1.8) y = r sin θ sin ϕ (1.9) f(r, θ, ϕ) = 1 r ( r f ) + r r z = r cos θ (1.10) 1 r sin θ θ הלפלסיאן בקואורדינטות כדוריות הוא ( sin θ f ) 1 f + θ r sin θ ϕ (1.11) dxdydz = dx dr dy dr dz dr dx dθ dy dθ dz dθ dx dϕ dy dϕ dz dϕ היעקוביאן של הקואורדינטות הכדוריות הוא drdθdϕ = r sin θdrdθdϕ (1.1) וקטור היחידה rˆ מוגדר להיות ˆr r r = r r (1.13)

8 7 המדקה.1 קרפ 1.6 הפונקציות ההיפרבולית נזכיר את הגדרת הפונקציות ההיפרבוליות sinh u eu e u cosh u eu + e u (1.14) (1.15) tanh u sinh u cosh u = eu e u e u + e u (1.16) ומחישוב מפורש ניתן לראות כי (בדקו) sinh (u + v) = sinh u cosh v + sinh v cosh u (1.17) cosh (u + v) = cosh u cosh v + sinh u sinh v (1.18) 1.7 פונקציות מבחן פונקצית מבחן חלקה היא פונקציה בעלת תומך קומפקטי (כלומר, מתאפסת זהותית מחוץ לבבוצה סגורה) ודיפרנציאבילית בכל מקום. דוגמה לפונקציות מבחן היא משפחת הפונקציות g(x) = { exp ( ) 1 x x x x x 1 < x < x 0 otherwise עבור כל בחירה של x 1, x התומך של הפונקציה הוא ) (x 1, x והפונקציה חלקה C (בעלת נגזרות חלקות מכל סדר). המשפט הבא שימושי: 1 תהי f(x) פונקציה רציפה בתחום [b,a]. אם לכל פונקציית מבחן, g(x) מתקיים ˆ b a f(x)g(x)dx = 0 אז 0 f(x) (זהותית) בקטע b].x [a, הוכחה. נניח בשלילה שקיים x 0 כך ש 0 c,f(x 0 ) = ונניח, ללא הגבלת כלליות ש 0 > a. מרציפות f משמע שקיים > 0 ɛ כך שמתקיים c/ f(x) > לכל.x 0 ɛ < x < x 0 + ɛ לכן, ˆ b a ( ) 1 f(x) exp x 0 ɛ x + 1 x + ɛ x c ˆ b a ( ) 1 exp x 0 ɛ x + 1 x + ɛ x בסתירה להנחה. > 0

9 8 המדקה.1 קרפ 1.8 פונקצית הדלתא של דיראק פונקצית הדלתא של דיראק δ(x) איננה באמת פונקציה. ניתן לראותה כצפיפות של מידה מסוימת על הממשיים או כפונקציונל מפונקציות מבחן לממשיים. היא מוגדרת ע"פ התנהגותה באינטגרציה, ומקיימת δ(x) = 0, x 0 ˆ δ(x)dx = 1 וכן, עבור f(x) רציפה ב 0 : ˆ δ(x)f(x)dx = f(0)

10 חלק I מכניקה 9

11 פרק קינמטיקה לכל זמן t R מוגדר מרחב תלת הקינמטיקה עוסקת בתאור התנועה באופן מתמטי. 1 ממדי, כאשר המיקום של גוף נקודתי מהווה נקודה במרחב. נוח לתאר את תלות המיקום בזמן כפונקציה ווקטורית r. : R R 3 כלומר, בכל זמן המיקום הוא ווקטור במרחב התלת מימדי. r(t) R 3 ההעתק הוא שינוי המיקום בין שני זמנים ) 1. r(t ) r(t המהירות r(t) r(t1) v. = המהירות הרגעית היא t t 1 הממוצעת היא v(t) = d r dt r (.1) שימו לב כי בפיסיקה מקובל לסמן גזירה לפי הזמן בנקודה למעלה. התאוצה הרגעית מוגדרת כשינוי המהירות לפי הזמן a(t) = d v dt = d r dt r (.).1 תנועה במהירות קבועה גוף נע במהירות קבועה. v(t) = v 0 מאינטגרציה על משוואה.1 מקבלים. r(t) = v 0 t + r 0 הגוף, אם כן, נע בקו ישר.. תנועה בתאוצה קבועה גוף נע בתאוצה קבועה. a(t) = a 0 מאינטגרציה על משוואה. מקבלים v(t) = v 0 + at. r(t) = at הגוף, אם כן, נע במישור המקביל לווקטורים v 0 וa והעובר וכן v 0t + r 0 + דרך הנקודה r. 0 במקרה הכללי, מסלול התנועה הוא פרבולה, שציר הסימטריה שלה מקביל לווקטור a. אם הווקטורים v 0 וa מקבילים התנועה תהיה בקו ישר. במקרה זה, גרף המיקום כתלות בזמן יהיה פרבולי. 1 לכאורה, הקינמטיקה איננה מכילה תוכן פיסיקלי. למעשה, נראה בהמשך כי גם ההנחות שנניח פה אינן נכונות בהכרח בפיסיקה המודרנית. 10

12 11 הקיטמניק. קרפ דוגמה: בקרבת כדור הארץ גופים חפשיים נעים בתאוצה קבועה של a, = gẑ כאשר g 9.8 m s וẑ הוא וקטור יחידה בכוון מעלה (החוצה ממרכז כדור הארץ). התנועה שלהם. r(t) = v 0 t + r 0 gt מתוארת ע"י ẑ.3 תנועה קצובה במעגל נדון בגוף מוגבל לתנועה במעגל, לדוגמה ע"י מוט או חוט המחובר לציר קבוע. נניח שנבחר את מערכת הצירים כך שתנועת הגוף היא במישור.xy אם המהירות הזויתית היא, ω ניתן לכתוב את מיקום הגוף ע"י r(t) = R cos(ωt + ϕ) sin(ωt + ϕ) 0 (.3) המהירות נתונה ע"י v(t) = Rω sin(ωt + ϕ) cos(ωt + ϕ) 0 (.4) והתאוצה ע"י a(t) = ω R cos(ωt + ϕ) sin(ωt + ϕ) 0 = ω r (.5) אם נסמן ω, ωẑ נוכל לרשום v = ω r (.6) a = ω v = ω ( ω r) (.7).T = f וזמן המחזור הוא 1 f = ω π בתנועה קצובה במעגל תדירות הסיבוב היא שימו לב שהתאוצה ניצבת למהירות a. v זוהי תכונה כללית של תנועה בה גודל המהירות נשאר קבוע, שכן אם, v = const אזי v v = const ולכן 0 = d dt ( v v) = v v + v v = v v היא נקראת תאוצה התאוצה במקרה זה היא תמיד לכוון המרכז. ומכאן v v. צנטרפטלית. 3 שימו לב כי המהירות הזויתית נמדדת ברדיאנים לשניה או, כיוון שרדיאנים הם יחס חסר יחידות (בין אורך הקשת לרדיוס) ביחידות של אחד חלקי שניה ) 1 s). יחידות אלה נקראות גם הרץ.(Hz) 3 שימו לב: תאוצה צנטרפטלית ולא צנטרפוגלית. על תאוצה צנטרפוגלית נדבר בפרק 5..

13 1 הקיטמניק. קרפ.4 תנועה כללית במעגל בתנועה כללית במעגל ברדיוס R, תלות הזוית בזמן היא פונקציה.θ(t) נסמן ω, = θ וכן, כמו למעלה, ω. = θẑ נקבל cos θ(t) r(t) = R sin θ(t) (.8) 0 המהירות נתונה ע"י v(t) = Rω sin θ(t) cos θ(t) 0 (.9) והתאוצה ע"י a(t) = ω R cos θ(t) sin θ(t) 0 + R ω sin θ(t) cos θ(t) 0 = ω r + ω v (.10) ω אם נסמן ω, ωẑ נוכל לרשום v = ω r (.11) a = ω v + ω r = ω ( ω r) + ω r (.1) במקרה זה המחובר השמאלי של התאוצה הוא רדיאלי (בכוון המרכז) ואחראי על השינוי בכוון המהירות, והשני משיקי (טנגנטי) ואחראי על השינוי בגודל המהירות.

14 פרק 3 מכניקה ניוטונית המכניקה הניוטונית היא תאוריה פיסיקלית המקשרת בין הכוחות הפועלים על גוף לבין תנועתו. 3.1 חוקי התנועה של ניוטון ניוטון ניסח שלושה חוקים לתנועת גופים. החוקים תקפים במערכת צירים נייחת. 1 החוקים הם: 1. גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכוון קבועים. v. = const. גוף שמסתו m ופועל עליו כח F ינוע בתאוצה המקיימת F = m a, כאשר m היא מסת הגוף. 3. אם גוף 1 מפעיל על גוף כח F 1, גוף יפעיל על גוף 1 כח שווה בגודלו ומנוגד בכוונו,. F 1 = F 1 כדי למצוא את התנהגותו של גוף מציירים דיאגרמת כוחות על כל גוף החפשי לנוע free),(body diagram בוחרים מערכת צירים נוחה ככל האפשר, וכותבים משוואת כוחות על הגופים בכל ציר. שימו לב כי זוהי משוואה מסדר שני, כך שיש שני קבועים התלויים בתנאי ההתחלה. בדרך כלל משתמשים במיקום והמהירות בתחילת התנועה לחישוב הקבועים כוחות במקרים שונים קפיץ קפיץ נמצא במצב רפוי באורך l. אם הקפיץ מתארך\מתקצר לאורך l + x (עבור x חיובי או שלילי) הכח שמפעיל הקפיץ הוא, F = kxˆn כאשר nˆ הוא וקטור יחידה בכוון הקפיץ. אם הכיוון המקורי של הקפיץ זהה לכיוון ההתארכות, ניתן לרשום. F = k x חוט החוט מפעיל כח על עצמים המחוברים אליו כאשר הוא נמתח. המתיחות בחוט היא F = T nˆ, כאשר nˆ הוא וקטור יחידה בכוון החוט. מניחים בד"כ כי אורך החוט נשאר קבוע ולכן המתיחות תהיה כזו שלא תאפשר שינוי באורך החוט. 1 מערכת צירים בה מתקיימים חוקי ניוטון נקראת מערכת צירים אינרציאלית. נראה בהמשך שגם מערכות צירים נעות יכולות להיות אינרציאליות. 13

15 14 תינוטוינ הקינכמ.3 קרפ איור 3.1: החלקה במדרון משופע. משטח משטח מפעיל על גוף כח F = N nˆ כאשר nˆ הוא וקטור יחידה הניצב לפני המשטח ומצביע לכיוון הגוף הניצב עליו. מניחים כי המשטח קשיח ולכן N יהיה כזה שלא יאפשר לגוף לנוע בכיוון הניצב למשטח. N יהיה תמיד חיובי או אפס, שכן המשטח איננו מושך אליו את הגוף. גרביטציה בקרבת כדור הארץ מניחים כי הגרביטציה מפעילה על כל גוף כח המכוון כלפי מטה וגודלו F = mgẑ, כאשר ẑ וקור יחידה בכיוון מעלה, m היא מסת הגוף ו.g = 9.8 m s דוגמה: גוף בנפילה חופשית כשגוף חפשי ליפול תחת השפעת הגרביטציה (בקרבת כדור הארץ) נקבל את משוואת הכוחות m r = ma = mgẑ (3.1) זוהי משוואה המתארת תנועה בתאוצה קבועה g בכיוון השלילי של ציר הz (כלפי מטה). התנועה של גוף מתוארת ע"י r(t) = r 0 + v 0 t gt ẑ (3.) מסלול תנועת הגוף, אם כן, יהיה פרבולה, או קו ישר במקרה ש v 0 בכוון ẑ (או שווה לאפס). דוגמה: החלקה במדרון גוף מחליק במדרון נטוי בזווית α. נגביל עצמנו למקרה הדו מימדי בו המדרון המשופע נחתך עם מישור.xz התנועה של הגוף מוגבלת לישר המקביל לפני המדרון. בניצב לפני המישור

16 15 תינוטוינ הקינכמ.3 קרפ נקבל N mg cos α = 0 ובמקביל לפני המישור mg sin α = ma כאשר a היא התאוצה במקביל למישור המשופע. הפתרון יהיה x = x 0 + v 0 t + gt sin α (3.3) כאשר x היא קואורדינטה מקבילה למישור המשופע. דוגמה: אוסילטור הרמוני גוף מחובר לקפיץ המחובר לקיר. הגוף חפשי לנוע בציר ה x. נגדיר את הנקודה = 0 x כנקודה בה הקפיץ רפוי. משוואת הכוחות על הגוף בציר ה x היא F = kx = ma = mẍ (3.4) פתרונה הכללי של משוואה זו הוא x(t) = Acos(ωt + ϕ) (3.5) k ω. שימו לב שתדירות התנודות כלל כאשר A ו ϕ נקבעים ע"פ תנאי ההתחלה וm אינה תלויה במשרעת (אמפליטודה) A כלומר זמן המחזור יהיה זהה בין אם התנודות גדולות או קטנות. דוגמה: מטוטלת מתמטית גוף נקודתי בעל מסה m תלוי מהתקרה בחוט או מוט חסר מסה באורך l. הגוף חופשי להתנדנד במישור.xz הכוחות הפועלים הם גרביטציה (בקירוב של גוף בקרבת כדור הארץ) והמתיחות בחוט. החוט מגביל את התנועה לתנועה במעגל (או על קשת מעגל) ולכן מיקום הגוף מתואר חד ערכית ע"י הזוית θ(t) המתארת את זוית החוט יחסית לאנך לתקרה (הפונה כלפי מטה). הכח הגרביטציוני על הגוף הוא F grav = mgẑ, והכח שמפעיל החוט הוא T וכיוונו מקביל לכיוון החוט. נפרק את הכח הגרביטציוני לרכיב בכיוון T, ולרכיב ניצב ל T. כיוון שהתנועה מעגלית, צורת התאוצה נתונה ע"י משוואה.10. בכיוון הרדיאלי נקבל את המשוואה ובכיוון המשיקי נקבל בחרנו את הכיוון החיובי של ציר ה x לפנות ימינה. T mg cos θ = m θ l

17 16 תינוטוינ הקינכמ.3 קרפ איור 3.: אוסילטור הרמוני בשלבים שונים של התנועה המחזורית.

18 17 תינוטוינ הקינכמ.3 קרפ איור 3.3: מטוטלת מתמטית והכוחות הפועלים עליה.

19 18 תינוטוינ הקינכמ.3 קרפ mg sin θ = ma tangent = ml θ (3.6) משוואה 3.6 אינה פתירה בפונקציות אלמנטריות. אולם, אם נסתפק בתחום בו הזוית θ קטנה ומקיימת,sin θ θ נקבל כי המשוואה נותנת בקירוב mgθ = ml θ (3.7) ופתרונה הוא θ(t) = Acos(Ωt + ϕ) (3.8) Ω. g 3 שוב, תדירות התנודות אינה תלויה l כאשר A ו ϕ נקבעים ע"פ תנאי ההתחלה ו במשרעת (וכאן גם לא במסה), ולכן ניתן להשתמש בתנודות מטוטלת על מנת למדוד זמן, שכן המחזור כמעט לא משתנה עם דעיכת התנודות. קירוב זה נכשל כאשר זווית התנודות אינה קטנה. 3. חוקי השימור 3..1 שימור התנע נגדיר את התנע P של גוף בתור P = m v (3.9) כאשר v הוא ווקטור מהירות הגוף. כאשר מסת הגוף קבועה, ניתן לכתוב את החוק השני של ניוטון בצורה F = P (3.10) נגדיר מערכת המורכבת ממספר גופים.i = 1,..., n אם גוף j מפעיל על גוף i כח, F ij וכן פועל על גוף i כח חיצוני F ie ע"י גורמים מחוץ למערכת נקבל n n n P i = Fie + F ij i=1 i=1 j=1 3 שימו לב שכאן Ω Ω. θ היא תדירות התנודות, ולא המהירות הזוויתית של המטוטלת. לכן היא סומנה באות גדולה.

20 19 תינוטוינ הקינכמ.3 קרפ (כאשר נגדיר לכל F ii = 0 i,, שכן גוף איננו מפעיל כח על עצמו). ניתן לכתוב אזת בצורה n i=1 P i = = = n F ie + i=1 i=1 n n i=1 j=1 F ij n F ie + 1 n n F ij + n F ie + i=1 n i=1 j=1 n i=1 j=1 1 n n j=1 i=1 ( Fij + F ji ) F ji אבל, לפי החוק השלישי של ניוטון לכל i, j נקבל F ij = F ji. לכן, n i=1 n P i = F ie (3.11) i=1 כלומר השינוי בתנע הכללי של המערכת (סכום התנעים של הגופים במערכת) תלוי רק בכוחות חיצוניים. אם אין כוחות חיצוניים או שסכומם הכולל הוא אפס נקבל P n i=1 P i = 0 (3.1) כלומר, P = const (3.13) ממשוואה 3.11 ניתן לראות שגם אם יש כוחות חיצוניים, התנע נשמר בכל כיוון בו לא פועל כח. מרכז המסה מרכז המסה של מערכת המוורכבת ממספר גופים מוגדר ע"י R = n i=1 m i r i n i=1 m i (3.14) M n נקבל שהתנע הכולל של המערכת אם נגדיר את המסה הכוללת של המערכת 1=i m i הוא P = M R, כלומר התנע הכולל נקבע על פי מהירות מרכז המסה. אם התנע נשמר, מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודלה ובכיוונה). דוגמה: התנגשות פלסטית כאשר שני גופים נעים (או יותר) מתנגשים זה בזה, ולא פועלים עליהם כוחות חיצוניים, התנע הכולל נשמר. בהתנגשות פלסטית הגופים נצמדים זה לזה, ונעים יחד לאחר ההתנגשות. נניח

21 0 תינוטוינ הקינכמ.3 קרפ כי גוף 1, בעל מסה m 1 נע לפני ההתנגשות במהירות v 1 ואילו גוף, בעל מסה m נע לפני ההתנגשות במהירות v. לאחר ההתנגשות מהירותם המשותפת של הגופים, u תקיים (m 1 + m ) u = m 1 v 1 + m v (3.15) באופן כללי, בהתנגשות פלסטית של n גופים, u = n i=1 m i v i n i=1 m i (3.16) שימו לב כי התוצאה איננה תלויה כלל בסדר ההתנגשויות ובתכונות הכוחות הפנימיים בין הגופים, ובכך גדולתם של חוקי השימור. ˆ r(t) 3.. שימור האנרגיה עבודה ואנרגיה נניח כי גוף נע במסלול r(t) בין הזמנים t 1 ו t. נבצע אינטגרציה על משוואה 3.10 ˆ ˆ P d r = F ( r, v, t) d r (3.17) r(t) r(t) (זהו אינטגרל מסלולי). בצד שמאל נבצע החלפת משתנים P d r = ˆ t t 1 P vdt = ˆ t d r = d r dt = vdt dt ונקבל t 1 m v vdt = 1 ˆ t t 1 m dv dt dt = mv (t ) mv (t 1 ) כאשר השתמשנו בשוויון האחרון במשפט היסודי של האינפי. אם נגדיר את האנרגיה הקינטית להיות E k = mv (3.18) נוכל לכתוב את משוואה 3.17 בצורה ˆ E k E k (t ) E k (t 1 ) = r(t) F ( r, v, t) d r W (3.19) האינטגרל המסלולי מכונה העבודה של הכח F בין הזמנים t 1 ו t ומסומן W. שימו לב כי זוהי משוואה סקלרית. ממשוואה זו ניתן לחשב את שינוי גודל המהירות של גוף על פי הכוחות שפעלו עליו לאורך המסלול. במקרים מיוחדים ניתן לקבל תוצאות מיידיות מהמשוואה. לדוגמה, כאשר גוף נע במעגל אופקי, כח המתיחות בחוט T תמיד פונה לכיוון מרכז המעגל, ולכן תמיד ניצב לאלמנט המסלול,d r שמשיק למעגל, ומכאן שעבודת כח זה על הגוף היא אפס. לכן, האנרגיה הקינטית תשמר. כלומר, גודל המהירות חייב להשמר למרות שכיוונה לא נשמר. במקרה של מעגל אנכי, הגרביטציה איננה פועלת בכיוון מרכז המעגל, ולכן מבצעת עבודה על הגוף והאנרגיה הקינטית אינה נשמרת. נדון במקרה זה בהמשך.

22 1 תינוטוינ הקינכמ.3 קרפ כוחות משמרים תוצאת האינטגרל המסלולי W = r(t) F,r ),v t) d r תלויה במסלול שנבחר ובזמן התנועה. במקרים רבים הכח איננו תלוי בזמן ובמהירות, אלא רק במיקום הגוף. במקרה כזה נקבל W. = r(t) F (r ) d r עבור כוחות מסויימים תוצאת האינטגרל איננה תלויה במסלול כולו, אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום, ) 1 r 1 r(t ו(. r r(t במקרה כזה ניתן למצוא פונקציה U( r) המקיימת ).W = r(t) F ( r) d r = U( r 1 ) U( r הפונקציה U מכונה "אנרגיה פוטנציאלית". נוכל אז לכתוב את משוואה 3.19 בצורה E k E k (t ) E k (t 1 ) = U( r 1 ) U( r ) ולכן, E(t ) E k (t ) + U( r ) = E k (t 1 ) + U( r 1 ) E(t 1 ) = const (3.0) משוואה זו נכונה לכל זמן ולכן האנרגיה הכללית נשמרת לכל אורך התנועה. גודל הנשמר לכל אורך התנועה נקרא אינווריאנט (או בעברית "שמורה") של התנועה. משפט בתחום כוכבי התנאים הבאים שקולים זה לזה 1. האינטגרל הקווי r(t) F ( r) d r אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום, לכל מסלול במרחב.. האינטגרל על מסלול סגור מקיים = 0 d r r(t) F ( r) לכל מסלול סגור..3 קיימת פונקציה U( r) המקיימת ) r(t) F ( r) d r = U( r 1 ) U( r לכל מסלול המתחיל בנקודה r 1 ומסתיים בנקודה r..4 קיימת פונקציה המקיימת U( r) F ( r) =..5 מתקיים = 0 ( r) F לכל. r r b (t), r a (t) עבור כל שני מסלולים r a(t) F ( r) d r = r b הוכחה. 1 אם F ( r) d r (t) המקיימים r a (t 1 ) = r b (t 1 ) = r 1 וכן, r a (t ) = r b (t ) = r נגדיר מסלול חדש { r a (t) t 1 t t r c (t) = r b (t t) t < t t t 1 זהו מסלול סגור, המתחיל ומסתיים בנקודה r 1 ועובר על כל המסלול (t) r a ולאחריו על המסלול (t) r b בכיוון ההפוך. האינטגרל הסגור על מסלול זה מקיים ˆ ˆ F ( r) d r = F ( r) d r F ( r) d r = 0 r c(t) r a(t) באותו אופן אם לכל מסלול סגור מתקיים שהאינטגרל מתאפס אזי לכל זוג מסלולים ניתן למצוא מסלול סגור מתאים ומהתאפסותו שני האינטגרלים שווים. r b (t)

23 תינוטוינ הקינכמ.3 קרפ 3 1 ברור שאם 3 מתקיים אז האינטגרל לא תלוי במסלול. בכיוון ההפוך, אם 1 מתקיים, נגדיר עבור נקודה שרירותית מסויימת U( r 0 ) = 0 r, 0 ולכל נקודה r נגדיר.U( r) = r 1 זה מוגדר היטב, שכן האינטגרל לא תלוי במסלול. בגלל אי r 0 F ( r) d r התלות במסלול נקבל שעבור כל זוג נקודות r r, 1 מתקיים ˆ r r 1 F ( r) d r = ˆ r r 0 ˆ r1 F ( r) d r F ( r) d r = U( r1 ) U( r ) r אם קיימת הפונקציה U( r) אזי היא מקיימת d dx U = d ˆ r+xˆx F ( r) d r = F dx ( r) ˆx = F x ( r) r באותה צורה, עבור y וz מקבלים ( r). U = F וcurl grad זה נובע מיידית מהגדרת U. לכל פונקציה סקלרית U( r) 5 4 (בדקו!). 5 זהו משפט סטוקס. כאן משתמשים בעובדה שהתחום הוא כוכבי. בתחומים עם "חורים" כיוון זה עלול להכשל. E = כאשר בבעיה מספר גופים (n) נשמר סה"כ האנרגיה n E ki + U i ( r 1,..., r n ) i=1 קפיץ בקפיץ בממד אחד הכח הוא F, = kx כאשר x ההתרחקות מנקודת שיווי המשקל. נגדיר את נקודת הייחוס של האנרגיה הפוטנציאלית בנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא, אם כן U(x) = ˆ x 0 ( kx )dx = kx גרביטציה (בקרבת כדוה"א) הכח הוא. F = mgẑ נגדיר את נקודת הייחוס בראשית הצירים. האנרגיה הפוטנציאלית היא U( r) = ˆ r ( mgẑ) d r = 0 0 ˆ z( r) mgdz = mgz דוגמה: התנגשות אלסטית בהתנגשות אלסטית בין שני גופים הן התנע והן האנרגיה נשמרים. ההתנגשות רגעית ולאחריה הגופים נפרדים. נניח כי גוף 1 בעל מסה m 1 מגיע במהירות v 1 ויוצא לאחר ההתנגשות במהירות u. 1 גוף בעל מסה m מגיע במהירות v ויוצא לאחר ההתנגשות במהירות u. משימור התנע מקבלים

24 3 תינוטוינ הקינכמ.3 קרפ m 1 v 1 + m v = m 1 u 1 + m u (3.1) ולכן m 1 (v 1 u 1 ) = m (u v ) (3.) מצד שני, משימור האנרגיה m 1 v 1 + m v = m 1u 1 + m u כלומר, m 1 (v 1 u 1) = m (u v ) (3.3) מחלוקת משוואה 3.3 במשוואה 3. מקבלים v 1 + u 1 = v + u (3.4) או, לחלופין v 1 v = (u 1 u ) (3.5) כלומר, הפרש המהירויות בין הגופים הופך סימן לאחר ההתנגשות. מפתרון משוואות 3.1 ו 3.5 ניתן למצוא את מהירויות שני הגופים לאחר ההתנגשות. שימו לב כי במימד גבוה יותר לא ניתן למצוא את מהירויות הגופים משימור התנע והאנרגיה בלבד. במימד d שימור התנע נותן d משוואות ושימור האנרגיה עוד אחת, סה"כ d כך שאם > 1 של.( u רכיבים וd רכיבים של u 1 d) נעלמים d משוואות, אך ישנם d + 1 לא ניתן להסיק מהן המהירויות לאחר ההתנגשות משימור התנע והאנרגיה בלבד, ויש צורך להתחשב גם באופן ההתנגשות. בהתנגשות בין כדורי ביליארד,לדוגמה, כיוון תנועתם לאחר ההתנגשות תלוי במיקום נקודת הפגיעה שימור התנע הזויתי אם נכפול משמאל (מכפלה וקטורית) את משוואה 3.10 בr נקבל r P = r F (3.6) נגדיר עתה את התנע הזוויתי L = r P (3.7) אם נגזור אותו לפי הזמן נקבל d L dt = r P + r P (3.8)

25 4 תינוטוינ הקינכמ.3 קרפ נשים לב שלפי ההגדרה P = m v = m r ולכן = 0 r r P = m r ומכאן נקבל לפי משוואות 3.6 ו 3.8 L = r F τ (3.9) האיבר הימני במשוואה 3.9 נקרא הטורק (torque) ולעיתים גם מומנט הפיתול. הוא שווה לכח כפול אורך הזרוע הניצב לכח. במקרים מסויימים ניתן לבחור את ראשית הצירים כך שהכח יפעל תמיד במקביל לr. במקרים כאלה התנע הזוויתי הוא אינווריאנט של התנועה. L(t) = const שימו לב כי חוק שימור זה, כמו שימור התנע, הוא ווקטורי. כלומר, מתקיים לכל רכיב בנפרד. במקרים מסויימים רק חלק מרכיבי הטורק מתאפסים ולכן רק חלק מרכיבי התנע הזוויתי נשמרים. כח מרכזי אם הכח על גוף מסויים פועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב, נקבע את ראשית הצירים באותה נקודה. במקרה זה נקבל F r ולכן = 0 F r תמיד. עבור כח כזה התנע הזוויתי (יחסית לראשית הצירים) נשמר לכל אורך התנועה. פוטנציאל אפקטיבי כאשר גוף נע במישור (לדוגמה (xy ניתן לכתוב את האנרגיה הכללית בצורה E = m(ẋ + ẏ ) + U(x, y) = m(ṙ + r θ ) + U(r) (בדקו!). אולם, התנע הזוויתי הוא l. = mr θ ולכן, E = mṙ + l mṙ + U(r) mr + U eff(r) הגודל U eff (r) l mr + U(r) מכונה "הפוטנציאל האפקטיבי". ניתן להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי. 3.3 גרביטציה בנוסף לשלושת חוקי התנועה, קבע ניוטון גם חוק רביעי, הנוגע לכח הגרביטציה ששני גופים מפעילים זה על זה. לפי חוק זה הכח שמפעיל גוף על גוף 1 הוא F 1 = Gm 1m ( r 1 r ) r 1 r 3 Gm 1m ˆr r (3.30) כאשר m3 kg s = G הוא קבוע הגרביטציה האוניברסלי (המייצג את כוחה של rˆ r הוא וקטור יחידה המצביע הגרביטציה), r = r 1 r הוא הווקטור בין הגופים, ו r מגוף לכיוון גוף 1.

26 5 תינוטוינ הקינכמ.3 קרפ כח הגרביטציה הוא כח משמר. מקובל לבחור את נקודת האינסוף כנקודת הייחוס עבור הפוטנציאל הגרביטציוני. האנרגיה הפוטנציאלית היא ˆ r ( U( r) = Gm ) 1m ˆr r d r = Gm 1m (3.31) r

27 פרק 4 מכניקה אנליטית 4.1 פונקציונלים הגדרה פונקציונל הוא פונקציה ממרחב פונקציות מסוים לסקלרים (לדוגמה הממשיים), S : B R כאשר S הוא הפונקציונל וB מרחב פונקציות כלשהו. לדוגמה f f(x 0 ) f ˆ f(x)dx ˆ f f(3) + f (8) + f (x)dx הם פונקציונלים. בקורס נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה S( q) = ˆ t t 1 L( q, q, t)dt (4.1) כאשר (t L( q,,q הוא צירוף כלשהו של q q, וt המכונה הלגרנז'יאן של הבעיה. בעיות רבות ניתנות לניסוח בצורה מינימיזציה של פונקציונלים פעמים רבות אנו מעוניינים למצוא את הפונקציה שעבורה ערך הפונקציונל S מינימלי (או, לעיתים, מקסימלי). נניח שאנו מחפשים את הפונקציה q(t) המקיימת q(t ) = b,q(t 1 ) = a שעבורה הפונקציונל מינימלי. תנאי הכרחי לכך ש( q(t נותנת מינימום הוא שלכל פונקציה p(t) המקיימת = 0 ) p(t 1 ) = p(t נקבל S(q + p) = ˆ t t 1 L(q + p, q + ṗ, t)dt 6 ˆ t t 1 L(q, q, t)dt = S(q)

28 7 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ נבחר ɛh(t) p(t) = עבור פונקציה h(t) כלשהי. נשים לב שכאשר L גזירה מתקיים L(α(ɛ), β(ɛ), t) = L(α(0), β(0), t)+ɛ dl dɛ S(q +p) = ˆ t L(q +ɛh, q +ɛḣ, t)dt = t 1 dα +o(ɛ) = L(α(0), β(0), t)+ɛdl dα ˆ t t 1 dɛ +ɛdl dβ נקבל [ L(q, q, t) + ɛh L ] q + ɛḣ L q + o(ɛ) dt L הן נגזרות פורמליות של הביטוי L ובהנחה שL גזירה לפי שני הפרמטרים. q ו L q כאשר מכאן מקבלים S S(q + p) S(q) = ˆ t t 1 [ ɛh L q + ɛdh dt ] L q + o(ɛ) dt אם q גזירה פעמיים לפי t ניתן לבצע אינטגרציה בחלקים על המחובר השני באינטגרל ולקבל S = ɛh L q t ˆ t + t 1 t 1 [ ɛh L q ɛh d ] L dt q + o(ɛ) dt אבל בחרנו את h(t) כך ש 0 = ) h(t 1 ) = h(t ולכן המחובר הראשון מתאפס. כמו כן, ניתן לבחור את ɛ להיות קטן כרצוננו, כך שאם האינטגרלים סופיים רק האיברים הלינאריים בɛ תורמים. לכן, האניטגרל חייב להתאפס לכל פונקציה,h(t) אחרת S יהיה שלילי עבור (h או h ( בהתאמה בסתירה למינימליות של q. מכאן, לפי משפט??, L ɛhחייב להתאפס זהותית בקטע ) t). 1, t אם הלגרנז'יאן q d L dt q שהביטוי הלינארי תלוי במספר פונקציות (t) i =,1..., n q i אותו התנאי חייב להתקיים עבור כל אחת מהן בנפרד. מכאן נקבל, 1 dβ dɛ +o(ɛ) משפט 3 תנאי הכרחי להיותן של פונקציות (t) i = 1,..., n q i מינימום של הפונקציונל = S( q) t הוא שלכל i מתקיימת משוואת אוילר לגרנז': t 1 L(q 1,..., q n, q 1,... q n, t)dt L d L = 0 (4.) q i dt q i S(y, y, x) = ˆ x x 1 dx + dy = דוגמה: הקו בעל האורך המינימלי בין שתי נקודות ˆ x x 1 אורך קו y(x) ניתן לתאור ע"י ( ) dy 1 + dx dx 1 קבלת התנאים המספיקים עבור מינימיזציה של הפונקציונל היא מסובכת ובכל מקרה, בשימוש בפורמליזם זה לצורך פתרון בעיות פיסיקליות תנאים אלה אינם נחוצים.

29 8 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ L(y, y, x) = 1 + y הלגרנז'יאן הוא, אם כן נכתוב משוואת אוילר לגרנז' עבור המשתנה x והפונקציה y(x) ונקבל y 0 d dx = y y 1 + y = c כלומר עבור קבוע c ומפישוט המשווא המקבלים y = c 1 עבור קבוע כלשהו c. 1 מכאן מקבלים y = c 1 x + c כלומר, הקו הקצר ביותר בין שתי נקודות הוא קו ישר. אי תלות בקואורדינטות משפט 4 בהתמרת קואורדינטות מq ל( p(q p = אם הפונקציה q = q 0 נותנת מינימום של הפונקציונל (כלומר מקיימת את משוואת אוילר לגרנז') אזי גם ) 0 p 0 p(q מקיימת את משוואת אוילר לגרנז'. ṗ(q, q) = dp ולכן הוכחה. אם p(q) p = אז dq q L q = L dp p dq + L ṗ ṗ q = L dp p dq + L d p ṗ dq q L q = L ṗ ṗ q = L dp ṗ dq 0 = L dp p dq + L ṗ 0 = L q d L dt q d p dq q d dt ( L ṗ dp dq ) כמו כן ידוע כי כלומר הפורמליזם כאן מוגבל לקוים שאינם מקבילים לציר הy כיון שהנחנו שy הוא פונקציה חד ערכית של x. ניתן לפתור כאן באופן כללי בהנחה ש( x(t ו( y(t הן שתי פונקציות התלויות בפרמטר t אך החישוב מעט יותר מסובך והפתרון דומה.

30 9 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ d dt ( L ṗ dp dq 0 = L dp p dq + L ṗ ) = ( d dt ) L dp ṗ dq + L ṗ d dp dt dq = ṗ q = d p dq q d p dq q d dt ( ) L dp ṗ d dp dt dq dq L ṗ d p dq q אבל וכן ומכאן ומכאן 0 = ( L p d ) L dp dt ṗ dq כלומר אם dp לא מתאפס (ההתמרה הפיכה) אזי גם p מקיים משוואת אוילר לגרנז'. 3 dq S( r) = ˆ t t 1 4. עקרון הפעולה המינימלית נניח נגדיר את הפונקציונל הבא (המכונה פעולה ( [ T ( r) ] U( r) dt (4.3) T ( r) E k = m r כאשר ו( U( r היא האנרגיה הפוטנציאלית. זהו פונקציונל שהלגרנז'יאן שלו הוא L. = T U לגרנז'יאן זה נקרא הלגרנז'יאן הפיסיקלי של המערכת. נכתוב את משוואות אוילר לגרנז' עבורו ונקבל לכל קואודינטה L d L = 0 r i dt r i אם נציב את הצורה המפורשת של T וU נקבל m r d dt (m r) = P = U( r) F ( r) (4.4) אך משוואה זו זהה לחוק השני של ניוטון. לכן, במקום לכתוב משוואות כוחות עבור כל גוף בבעיה, ניתן לכתוב לגרז'יאן פיסיקלי עבור כל הגופים בבעיה ולפתור משוואות אוילר לגרנז'. 3 שימו לב כי גודל הפעולה עצמה לא חייב להיות אינווריאנטי אך המשוואה כן.

31 30 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ כפי שראינו במשפט 4 ניתן להשתמש בכל סט קואורדינטות (r ) q i לתיאור המערכת הפיסיקלית. פתרון משוואות אוילר לגרנז' ייתן את תיאור התנהגות המערכת בקואורדינטות אלה. יש צורך רק לבטא את האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית באמצעות הקואורדינטות החדשות. לכן, ניתו להשתמש בכל מערכת קואורדינטות לתאור המערכת המכנית. לפורמליזם הלגרנז'י מספר ייתרונות על פני הגישה הניוטונית: ניתן לעבוד בכל מערכת קואורדינטות, לאו דווקא קרטזיות. אפשר לכתוב משוואות כמספר דרגות החופש בלבד, ולא כמספר הצירים (מועיל כאשר יש אילוצים). ניתן להכניס אילוצים באמצעות כופלי לגרנז'. דוגמה: מטוטלת מתמטית l כאשר T = ml θ עבור מטוטלת מתמטית כמתואר בתמונה 3.3 האנרגיה הקינטית היא אורך החוט, והאנרגיה הפוטנציאלית (יחסית למסמר) נתונה ע"י U. = mgl cos θ לכן, ומשוואת אוילר לגרנז' נותנת ml θ L = T U = + mgl cos θ ml θ + mgl sin θ = 0 כלומר, קיבלנו אותה משוואה כמו משמוש ישיר בחוקי ניוטון, ללא צורך בפרוק לצירים או התעסקות במתיחות בחוט. אולם, נדרשנו לדעת לבטא את האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית בעזרת θ קואורדינטות ציקליות מקובל להגדיר עבור כל קואורדינטה תנע מוכלל: P i L q i (4.5) וכח מוכלל F i L q i (4.6) וממשוואת אוילר לגרנז' מקבלים. P i = F i אם הקואורדינטה q i לא מופיעה מפורשות בלגרנז'יאן (אלא רק הנגזרת שלה) היא מכונה קואורדינטה ציקלית. במקרה זה מקבלים = 0 i, P כלומר, התנע המוכלל עבור קואורדינטה זו נשמר: P i = const (4.7)

32 31 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ 4.3 מכניקה המילטונית טרנספורם לז'נדר בהנתן פונקציה קמורה או קעורה f(x) של משתנה x, נגדיר את המשתנה y להיות y(x) = f x y חד חד ערכי בx בגלל המונוטוניות של הנגזרת ולכן קיימת גם (בתחום מסויים) פונקציה הופכית.x(y) טרנספורם לז'נדר של f(x) יוגדר להיות g(y) = x(y)y f(x(y)) (4.8) מהגדרת הטרסנפורם מתקבל g y = y x y + x f y = y x y + x f x x y = y x y + x y x y = x (4.9) ולכן המשתנה הצמוד לy הוא x, וכן טרנספורם לז'נדר של g הוא h(x) = xy g(y) = xy (xy f) = f(x) כלומר, טרנספורם לז'נדר הוא ההפכי של עצמו ההמילטוניאן ומשוואות המילטון נתייחס למשתנה q בלגרנז'יאן כמשתנה בלתי תלוי (נקודתית) בq. נגדיר את התנע הצמוד לקואורדינטה כמשתנה הטרנספורמציה p = L(q, q, t) q (4.10) ונבצע טרנספורם לז'נדר ללגרנז'יאן H(p, q) = p q(p, q) L(q, q(p, q), t) (4.11) ביטוי זה, המבוטא באמצעות q וp בלבד, בלי q נקרא ההמילטוניאן. אם יש יותר מקואורדינטה אחת, מקבלים, באופן כללי ( n ) H(p 1,..., p n, q 1,..., q n ) = p i q i L(p 1,..., p n, q 1,..., q n, t) (4.1) i=1 כאשר גם כאן יש לבטא את H באמצעות q i ו p i בלבד. ממשוואה 4.9 מקבלים H p = q

33 3 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ H q q(p, q) = p q = q(p, q) q ( L(q, q, t) q ( p L(q, q, t) q כמו כן, ממשוואה 4.11 מקבלים ) L(q, q, t) q q(p, q) q + ) L(q, q, t) q ממשוואה 4.10 נובע כי p L(q, q, t) q = 0 ולפי משוואת אוילר לגרנז' L(q, q, t) q = d L dt q = ṗ ומכאן מקבלים H q = ṗ באופן כללי מקבלים עבור כל קואורדינטה את משוואות המילטון q i = H p i (4.13) ṗ i = H q i (4.14) עבור n קואורדינטות q, i קיבלנו n משוואות מסדר ראשון במקום n משוואות מסדר שני בפורמליזם הלגרנז'י. הערה בקואורדינטות קרטזיות, כאשר הפוטנציאל איננו תלוי בזמן, מתחילים מהלגרנז'יאן L = T U = m r ומקבלים U( r) p i = L ṙ i = mṙ i P i

34 33 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ כאשר r i הוא y x, או z בהתאמה. כלומר, התנע המוכלל הוא פשוט התנע הקווי. ההמילטוניאן הוא, אם כן, n H(p, q) = p i ṙ i L i=1 = r (m r) = m r + U( r) ( m r U( r) = p m + U( r) T + U ההמילטוניאן כאן שווה לאנרגיה הכללית. תכונה זו איננה נכונה באופן כללי בכל בחירת קואורדינטות. כמו כן, ההמילטוניאן איננו אינווריאנטי תחת מעבר קואורדינטות. כאשר רוצים לחשבו בקואורדינטות חדשות, יש להמיר את הלגרנז'יאן ולבצע טרנספורם לז'נדר מחדש. 4 ) סוגרי פואסון בתנועת גוף, רבים מהגדלים הדינמיים (כלומר התלויים בתנועה) ניתנים לכתיבה כפונקציה של הקואורדינטות והתנעים המוכללים. עבור זוג גדלים כאלה, t) A(p 1..., p n, q 1..., q n, ו( t B(p 1..., p n, q 1..., q n, ניתן להגדיר את סוגרי פואסון שלהם n ( A B {A, B} B ) A (4.15) q i p i q i p i i=1 ניתן לראות שתמיד {A,A}. {B =,B} ניתן להשתמש בסוגרי פואסון כפורמליזם נוסף למכניקה הקלאסית. לדוגמה, בחישוב שינוי עם הזמן של גודל קינטי נקבל da dt = A n t + ( A q i + A ) ṗ i q i p i i=1 המחובר הראשון הוא התלות המפורשת של A בזמן. הוא מתאפס אם A לא תלוי מפורשות בזמן (אלא רק דרך q וp ), כפי שקורה ברוב המקרים המעניינים. נציב את משוואות המילטון (4.13 ו 4.14 ) ונקבל da dt = A n t + i=1 ( A H + A ) H q i p i p i q i ומכאן נובע da dt = A + {A, H} (4.16) t כלומר סוגרי פואסון של משתנה דינמי (שאינו תלוי מפורשות בזמן) עם ההמילטוניאן נותנת את קצב השתנותו בזמן. 4 יש התמרות קואורדינטות מסוימות שתחתן ההמילטוניאן כן אינווריאנטי. הן נקראות התמרות קנוניות, ויש להן חשיבות במכניקה. לא נעסוק בהן במסגרת קורס זה.

35 34 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ מרחב הפאזה ומשפט ליוביל ראינו כי בפורמליזם ההמילטוני מצבה של מערכת בעלת n גופים בd ממדים בזמן נתון מתואר בצורה מלאה ע"י dn מספרים p. i q, i נגדיר מרחב בן dn ממדים שכל נקודה בו מתוארת ע"י הקואורדינטות הנ"ל. מרחב זה נקרא מרחב הפאזה, וכל נקודה בו מסמנת את מצבה של המערכת כולה בזמן מסוים. שינוי המיקום והתנע של כל הגופים במערכת מתואר ע"י תנועת הנקודה עם הזמן. לכל נקודה ניתן לצייר חץ המתאר את כיוון תנועת המערכת מאותה נקודה. ע"י המיפוי האקספוננציאלי ניתן להמשיך את החץ ולקבל קו במרחב הפאזה המתאר את התנהגות המערכת לאורך זמן. משוואות המילטון הן משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון הנתונות בצורה נורמלית. אם הן ממלאות את תנאי ליפשיץ (כלומר איננו מתקרבים לנקודה סינגולרית) אז יש להן פתרון יחיד עבור תנאי התחלה נתונים. לכן, לא ייתכן ששני קווים כאלה יחתכו בנקודה. דרך כל נקודה במרחב עובר קו אחד ויחיד. כלומר, ההמילטוניאן מחלק את מרחב הפאזה לאוסף מסלולים זרים. הפיכות בזמן נניח שהלגרנז'יאן לא תלוי מפורשות בזמן (רוב הלגרנז'יאנים הפיסיקליים אינם תלויים מפורשות בזמן, שכן מניחים שתנאי הבעיה והכוחות בין הגופים תלויים רק במיקומם ואינם שונים מהותית מזמן לזמן). במקרה כזה (q L. = L(q, אם נהפוך את כיוון הזמן כלומר נעבור לזמן חדש t = t נקבל שהקואורדינטות יהיו q = q וכן נקבל, q = dq dt = dq dt = dq dt dt dt = q p = L q = L d q q d q = L q = p כלומר, כצפוי, המיקום נשאר אותו מיקום, אך המהירות והתנע, שהם נגזרות לפי הזמן מחליפים סימן. אם ההמילטוניאן הוא בצורה הרגילה בקואורדינטות קרטזיות נקבל ממשוואות המילטון ṗ = dp dt H = p p + U(q) = m m + U(q ) q = q = H p = p m = p m = H p = dp dt = H q = U q = U q = H q כלומר, במערכת פיסיקלית בה האנרגיה הקינטית מוגדרת באופן הרגיל והפוטנציאל תלוי רק במיקום, הן ההמילטוניאן והן משוואות המילטון שומרים על צורתם בהפיכת כיוון הזמן. ניתן לראות זאת גם מהעובדה שהתאוצה היא הנגזרת השנייה לפי הזמן ואינה משנה את סימנה עם הפיכת כיוון הזמן, ולכן הכח נראה זהה. משמעות הדבר היא שמסלול תנועה פיסיקלי שמורץ לאחור יראה גם הוא כמסלול אפשרי מבחינה פיסיקלית. כמו כן, מידיעת מצבם של הגופים בזמן מסוים ניתן לחשב את מצבם לא רק בכל זמן בעתיד אלא גם בכל זמן בעבר.

36 35 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ משפט ליוביל לעתים רוצים לדון באנסמבל (אוסף) של מערכות כלומר אוסף של מערכות מעלות המילטוניאן זהה אך במצבי התחלה שונים, כאשר קיימת פונקצית צפיפות כלשהי כגון צפיפות ההסתברות להיות במצב מסויים. פונקצית הצפיפות תסומן ע"י (q,ρ(p, כאשר מספר המצבים ביחידת נפח יהיה.ρ(p, q)dpdq כדי להראות כי הצפיפות אינווריאנטית יש להראות כי אלמט השטח.dpdq אינווריאנטי בזמן. לשם כך נשתמש ביעקוביאן של המעבר בין אלמנטי השטח בזמנים שונים.dp(t)dq(t) נקבל כי p(t ) q(t ) p(t dp(t )dq(t ) = 1) p(t 1) p(t ) q(t ) dp(t 1)dq(t 1 ) q(t 1) q(t 1) (t t 1)/ɛ p(t 1+nɛ) q(t 1+nɛ) = p(t 1+(n 1)ɛ) p(t 1+(n 1)ɛ) dp(t 1 )dq(t 1 ) n=1 p(t 1+nɛ) q(t 1+(n 1)ɛ) q(t 1+nɛ) q(t 1+(n 1)ɛ) שימו לב כי ) p(t ו( q(t הם משתנים שונים מ( p(t 1 ו(,q(t 1 אך תלויים בהם חד חד ערכית (לפי יחידות הפתרון של מערכת המד"ר). משפט 5 (ליוביל) אם המיקום והתנע מתפתחים לפי משוואות המילטון מזמן t 1 לזמן t אזי = ) dp(t )dq(t.dp(t 1 )dq(t 1 ) dp(t )dq(t ) = (t t 1)/ɛ n=1 p(t 1+nɛ) p(t 1+(n 1)ɛ) p(t 1+nɛ) q(t 1+(n 1)ɛ) p(t 1+nɛ) p(t 1+(n 1)ɛ) p(t 1+nɛ) q(t 1+(n 1)ɛ) q(t 1+nɛ) p(t 1+(n 1)ɛ) q(t 1+nɛ) q(t 1+(n 1)ɛ) q(t 1+nɛ) p(t 1+(n 1)ɛ) q(t 1+nɛ) q(t 1+(n 1)ɛ) = 1 + o(ɛ) הוכחה. ראינו כי dp(t 1 )dq(t 1 ) (4.17) נראה כי Det p(t+ɛ) p(t) p(t+ɛ) q(t) q(t+ɛ) p(t) q(t+ɛ) q(t) = ואז גבול המכפלה במשוואה 4.17 הוא 1. נסמן [p(t)+ɛṗ(t)+o(ɛ)] [q(t)+ɛ q(t)+o(ɛ)] p(t) p(t) [p(t)+ɛṗ(t)+o(ɛ)] q(t) [q(t)+ɛ q(t)+o(ɛ)] q(t) בזמן t המשתנים p(t) ו( q(t הם משתנים בלתי תלויים ולכן q(t) q(t) = 1, p(t) p(t) = 1, p(t) q(t) = 0, q(t) p(t) = 0 Det = 1 + ɛ ṗ(t) p(t) ɛ ṗ(t) q(t) ɛ q(t) p(t) 1 + ɛ q(t) q(t) ומכאן, בהזנחת האיברים מסדר קטן מלינארי בɛ = 1 + ɛ ṗ(t) p(t) + ɛ ṗ(t) q(t) + o(ɛ)

37 36 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ איור 4.1: מרחב הפאזה ווקטורי הזרימה (ṗ,q ( עבור אוסילטור הרמוני. אבל לפי משוואות המילטון ) = 0 ṗ(t) p(t) + q(t) q(t) = ( H ) + ( H p(t) q q(t) p ולכן אלמנט השטח לא משתנה עם הזמן. באופן כללי יותר ניתן להראות כי גם עבור n קואורדינטות מתקיים n dp i (t )dq i (t ) = i=1 n dp i (t 1 )dq i (t 1 ) i=1 באופן כללי, מרחבים שיש בהם אלמנט שטח\נפח כזה נקראים מרחבים סימפלקטיים manifolds) (symplectic והחבורה שמשמרת את אלמנט הנפח נקראת החבורה הסימפלקטית (ב n ממדים). אנו רואים, אם כן מההפיכות בזמן שההתפתחות המילטוניאנית מגדירה חבורת לי 5 בפרמטר אחד (t). ממשפט ליוביל נסיק שחבורה זו היא תת חבורה של החבורה הסימפלקטית. 5 חבורות לי יוגדרו בסעיף 4.4.1

38 37 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ איור 4.: מרחב הפאזה ווקטורי הזרימה (ṗ,q ( עבור מטוטלת מתמטית. שימו לב שבקרבת הראשית המצב דומה לאוסילטור הרמוני.

39 38 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ 4.4 סימטריות וחוקי שימור חבורות לי חבורת לי היא חבורה בעלת מבנה טופולוגי של יריעה (manifold) כלומר, קיים d מסוים (ממד החבורה) כך שלכל נקודה ביריעה יש סביבה פתוחה הנראית כמו סביבה פתוחה ב R. d בסביבת כל נקודה, ניתן לאפיין איבר על ידי d פרמטרים ממשיים. כמו כן, פעולת החבורה צריכה להיות חלקה (גתלות בפרמטרים), וכן פעולת ההפכי בחבורה. כלומר (בערך) כל איבר בחבורה g G מאופיין ע"י d פרמטרים ) d g = g(α 1, α,..., α כאשר מכפלת כל זוג איברים בחבורה נותנת איבר שלישי בחבורה g(α 1, α,..., α d )g(β 1, β,..., β d ) = g(γ 1, γ,..., γ d ) ולכל i מתקיים ש ) d γ i (α 1,..., α d, β 1,..., β היא פונקציה רציפה וגזירה בכל המשתנים. כמו כן, לכל איבר קיים איבר הפכי (g(α 1, α,..., α d )) 1 = g(β 1, β,..., β d ) כאשר לכל i מתקיים ש( β i (α 1, α,..., α d היא פונקציה רציפה וגזירה בכל המשתנים. התאוריה של חבורות לי דורשת קורס שלם. נתמקד כאן בדוגמאות פשוטות ובשימושים בפיסיקה. במקרים רבים ניתן להציג את איברי החבורה ע"י מטריצות. 6 דוגמה לכך היא חבורת הסיבובים במישור,xy שאיבריה הם R(α) עבור α. R הם מקיימים = R(α)R(β) (β R(α + וכן R( α) R 1 (α) = (קל לראות כי הפונקציות רציפות וגזירות). חבורה זו היא חד ממדית, שכן ניתן לאפיין כל איבר בה ע"י פרמטר אחד. ניתן לייצג את איברי החבורה בעזרת מטריצות באופן (ישנן גם דרכים אחרות): ( ) cos α sin α R(α) = (4.18) sin α cos α (בדקו שמטריצות אלה מקיימות את פעולת החבורה).חבורה זו נקראת SO() (או לעתים (R (SO(, כאשר O מציין Orthogonal וS מציין Special שכן זוהי חבורת המטריצות הממשיות האורתוגונליות מסדר שהדטרמיננטה שלהן 1 (ולכן.(Special החבורה ()O כוללת את כל המטריצות האורתוגונלית מסדר, שהן הסיבובים והשיקופים במישור. דוגמה נוספת היא חבורת הסיבובים בשלושה ממדים,,SO(3) שהיא חבורה תלת ממדית ניתן לאפיין כל איבר שלה בעזרת 3 פרמטרים (לדוגמה זוויות אוילר שלא נדון בהן כאן). דוגמה נוספת לחבורת לי היא החבורה הנוצרת ע"י הזרימה ההמילטונית בזמן t (שהוא הפרמטר). ראו סעיף משפחה חד פרמטרית משפחה חד פרמטרית של איברים בחבורת לי, היא תת חבורה של חבורת לי, שאיבריה מאופיינים ע"י פרמטר אחד, והפרמטר המתאים למכפלת איברים הוא סכום הפרמטרים של האיברים. כלומר, לכל שני איברים במשפחה,R(α) R(β) מתקיים R(α+β).R(α)R(β) = לדוגמה, חבורת הסיבובים במישור, עם הפרמטריזציה שהוצגה במשוואה 4.18 היא משפחה חד פרמטרית (הכוללת, במקרה זה, את החבורה כולה). עבור חבורת הסיבובים 6 לדיון קצת יותר מדויק על ייצוג איברי חבורת לי ע"י מטריצות ראו סעיף 7.3.

40 39 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ במרחב,,SO(3) ניתן להגדיר משפחות חד פרמטריות שונות ע"י (α),rˆn סיבובים בזווית R z ו( α ) R y (α),r x (α) משפחות חד פרמטריות שונות יהיו, לדוגמה.ˆn סביב הציר α (סיבובים סביב ציר y x, או z). החבורה נוצרת ע"י משפחות אלה. האלגברה של חבורת לי עבור משפחה חד פרמטרית (α) R i של חבורת לי G איבר היחידה הוא R, i (0) = 1 G שכן (α).r i (α)r i (0) = R i (α + 0) = R i נגדיר G i dr i(α) dα α=0 (לשם הפשטות, נתייחס ל( α ) R i כמטריצה ואז גם G i מטריצה, כשהגזירה היא לכל איבר בנפרד). נקבל, לפי הגדרת הנגזרת R i (ɛ) = 1 + G i ɛ + o(ɛ) עבור משפחות שונות, i, נקבל מטריצות שונות G. i המטריצות G i נקראות לעיתים "היוצרים האינפיניטסימליים של החבורה" (למרות שהן לא יוצרים של החבורה, וכלל אינן איברים בחבורה). בצורה מדוייקת יותר, מכונה האלגברה של המטריצות G i (בליווי הפעולות שיוסברו בהמשך) האלגברה של חבורת לי זו. מהסגירות של החבורה נובע כי מכפלת כל זוג איברים בחבורה היא איבר בחבורה ולכן, אם R i ו R j הן שתי משפחות שונות, וR,a b אזי, R i (aɛ)r j (bɛ) = (1 + ag i ɛ + o(ɛ)) (1 + bg j ɛ + o(ɛ)) = 1+ɛ (ag i + bg j )+o(ɛ) כלומר, גם ag i + bg j איבר באלגברה של החבורה. דוגמה: SO() עבור המשפחה החד פרמטרית ממשוואה 4.18 נקבל G dr(α) ( ) ( ) sin α cos α 0 1 dα = = α=0 cos α sin α 1 0 α=0 זהו היוצר האינפיניטסימלי של.SO() המפה האקספוננציאלית ניתן לכתוב כל איבר במשפחה בצורה [ ( α )] n R i (α) = R i n [ R i (α) = lim R i ( α ] n [ n n ) = lim 1 + α n n n G i + o(n )] 1 exp (αgi ) exp (αg i ) = ובגבול ניתן לפתח את הביטוי לטור לפי הפרמטר α ולקבל (αg i ) n = 1 + αg i + (αg i) n! n=1 + (αg i) 3 3! +...

41 40 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ כך נתנו משמעות לאקספוננט של מטריצה. לכן, בהנתן היוצר האינפיניטסימלי ניתן לבנות את המשפחה החד פרמטרית, ובהנתן כל היוצרים האינפיניטסימלים ניתן לבנות את כל המשפחות בחבורה, ולכן את החבורה כולה. 7 אם ניקח (ɛ) g 1 = R 1 ו( ɛ ) g = R נקבל g 1 g g 1 1 g 1 קומוטטורים.g 1 g g 1 הקומוטטור של החבורה הוא 1 g 1 (בדקו!) = R 1 (ɛ)r (ɛ)r 1 ( ɛ)r ( ɛ) ( = 1 + ɛg 1 + ɛ G ) ( 1 + o(ɛ ) 1 + ɛg + ɛ G ( 1 ɛg 1 + ɛ G ) ( 1 + o(ɛ ) 1 ɛg + ɛ G = 1 + ɛ (G 1 G G G 1 ) + o(ɛ ) 1 + ɛ [G 1, G ] + o(ɛ ) ) + o(ɛ ) ) + o(ɛ ) כאשר הסימן [G 1, G ] G 1 G G G 1 נקרא סוגרי לי brackets) (Lie של האלגברה, 8 ומכאן אנו רואים שהאלגברה סגורה תחת פעולת סוגרי לי. מכאן ההצדקה לשם שבחרנו "אלגברת לי" מדובר באלגברה של היוצרים האינפיניטסימליים, המהווים שדה וקטורי מעל הממשיים והמלו ו ים, בנוסף לפעולות החיבור והכפל הסקלר בפעולה נוספת (דמויית כפל, אך עם הבדלים מסויימים) של סוגרי לי. שימו לב שאלגברת לי אינה סגורה תחת כפל מטריצות רגיל (ואכן, לפעולה זו אין משמעות בהקשר לחבורה). דוגמה: SO() ראינו כי היוצר האינפינטסימלי של החבורה הוא ( ) 0 1 G = (4.19) 1 0 נשים לב כי I) G = I מטריצת היחידה בממד,( G G 3 = וI G 4 = וכן הלאה באופן מחזורי. לכן exp (αg) = 1 + αg + α G + α3 G ) 3! ) = (1 α + α4 4! G (α α3 3! + α5 5! +... = cos α + G sin α ( ) ( ) = cos α + sin α ( ) cos α sin α = sin α cos α כזו. 7 התעלמתי כאן מבעיות מסוימות. לדוגמה, יש חבורות (כמו ()O) שלא לכל איבר שלהן ניתן להגיע בצורה 8 שימו לב שזוהי גם נגזרת לי של השדה הוקטורי הנוצר ע"י היוצר G על פי השדה הוקטורי הנוצר ע"י היוצר G 1 ביריעה של החבורה.

42 41 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ כלומר (ואולי במפתיע), שחזרנו את כל איברי החבורה מתוך המטריצה הבודדת G משפט נתר (Noether) באופן כללי, סימטריה היא פעולה שמותירה מבנה מסויים ללא שינוי. פעולות הסימטריה מהוות חבורה, שכן הפעלת שתי פעולות כאלה בזו אחר זו גם היא לא תשנה את המבנה, וכן לכל פעולה יש פעולה הופכית, המחזירה את המצב לקדמותו, וגם פעולה זו אינה משנה את המבנה. בפיסיקה קיים קשר בין סימטריות לבין חוקי שימור. לדוגמה, האינווריאנטיות של חוקי הפיסיקה בזמן גוררת את שימור האנרגיה (ננסח זאת באופן מתמטי מייד) לו כוח הגרביטציה היה נמוך יותר ביום ב מביום א, ניתן היה להעלות משקולת לגג ביום א' וביום ב' לשחרר אותה ולהרוויח יותר אנרגיה משהושקעה בהעלאתה. העובדה שהכוחות אינם משתנים מזמן לזמן מחייבת את שימור האנרגיה. אמי נתר הוכיחה משפט המקשר בין חבורות סימטריה רציפות של בעיה פיסיקלית לבין חוקי שימור. נניח שקיימת משפחה חד פרמטרית של סימטריות השומרות על הלגרנז'יאן. כלומר, קיים משתנה s כך ש i dl ds = 0 ( L dq i q i ds + L ) d q i = q i ds i אזי מתקיים ( L dq i q i ds + L ) d dq i = 0 q i dt ds אם q i הוא המסלול הפיסיקלי כלומר מקיים משוואת אוילר לגרנז' אזי ולכן ומכאן נובע (( d L dt q i i ) dqi ds + L q i d dt i L = d L q i dt q i L q i dq i ds = i ) dq i = ds i p i dq i ds = const ( ) d L dq i = 0 dt q i ds כאשר, כדי למצוא את הגודל הנשמר במערכת הקואורדינטות המקורית, נציב = 0 s, כלומר dq i p i ds = const s=0 i כאמור, חבורת לי מגדירה אלגברה של היוצרים האינפיניטסימלים, וכן מהאלגברה ניתן לבנות את החבורה ע"י המפה האקספוננציאלית. נוכיח עתה את משפט נתר בגרסה כללית יותר 9 על פי היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסימטריה. 9 קיימת גרסה כללית עוד יותר, שלא נדון בה.

43 4 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ משפט 6 (נתר) אם הלגרנז'יאן של מערכת אינווריאנטי לסדר ראשון בɛ עבור טרנספורמציה q i q i + r ( i ɛ r Q ir, ) L q i L T r q i i S = t t + r ɛ r T r כאשר ɛ r הם גדלים בלתי תלויים. אזי לכל r, ˆ t t 1 Ldt L q i Q ir = const הוכחה. נתבונן בפעולה עבור r כלשהו נגדיר q i(t ) = q i (t) + ɛ r Q ir, t = t + ɛ r T r ומכאן, S = q i(t) + q i(t)ɛ r T r + o(ɛ) = q i (t) + ɛ r Q ir q i(t)ɛ r T r = q i (t)ɛ r T r + o(ɛ) q i(t) = q i (t) + ɛ r Q ir q i (t)ɛ r T r + o(ɛ) q i (t) + δq i (t) וכן לכן, השינוי בפעולה בעקבות הטרנספורמציה (בהזנחת איברים לא לינאריים ב ɛ) r הוא ˆ t+ɛ rt r t 1+ɛ rt r = ɛ r T r L t t 1 + L( q, q )dt ˆ t t 1 ˆ t = ɛ r T r L t t 1 + t 1 ˆ t = ɛ r T r L t t 1 + t 1 = ɛ r T r L t t 1 + i i i ˆ t t 1 Ldt ( L δq i (t) + L ) d q i i q i dt δq i(t) dt ( d L (ɛ r Q ir q i (t)ɛ r T r ) + L d dt q i i q i ( ( )) d L (ɛ r Q ir q i (t)ɛ r T r ) dt dt q i ( L q i (ɛ r Q ir q i (t)ɛ r T r ) ) t [ ( ) L T r q i L L ] Q ir = const q i q i t 1 ) dt (ɛ rq ir q i (t)ɛ r T r ) ולכן, dt

44 43 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ דוגמאות אם הלגרנז'יאן בלתי תלוי בזמן. כלומר, אינווריאנטי תחת הטרנספורמציה t, t + ɛ אזי ( ) L q i L H = const q i כלומר, ההמילטוניאן נשמר. אם מערכת הקואורדינטות קרטזית, ההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכוללת. כלומר, שימור האנרגיה נובע ממשפט נתר על פי סימטריית ההזזה בזמן. אם הלגרנז'יאן אינווריאנטי תחת הזזה במרחב (נאמר בקואורדינטה x) אז x x + ɛ איננו משנה את הלגרנז'יאן, ולכן L ẋ p x = const כלומר התנע בכיוון x נשמר (ראינו זאת כבר, שכן x קואורדינטה ציקלית). אם הלגרנזיאן אינווריאנטי תחת סיבובים במישור xy ראינו קודם ממשוואה 4.19 שבסדר ראשון בɛ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x 0 1 x x y + ɛ = + ɛ y y 1 0 y y x L ẋ y L ẏ ( x) = xp y yp x L z = const נקבל כלומר, התנע הזוויתי בכיוון z נשמר. 4.5 בעיית קפלר קפלר ניסח שלושה חוקים לגבי מסלולי תנועת כוכבי הלכת (הפלנטות) במערכת השמש. חוקי קפלר התבססו על מידע אמפירי תצפיות אסטרונומיות. ננסה לקבל את החוקים באופן תאורטי, בהסתמכות על חוקי ניוטון בלבד. נניח כי שני גופים (לדוגמה השמש וכדוה"א) נעים תחת הפוטנציאל הגרביטציוני ביניהם. מסתו של האחד היא m 1 ומיקומו יסומן r. 1 מסתו של השני היא m ומיקומו יסומן r. האנרגיה הקינטית של תנועתם היא T = m 1 r 1 + m 1 r והאנרגיה הפוטנציאלית U = Gm 1m r 1 r הלגרנז'יאן הוא, אם כן L = m 1 r 1 + m 1 r + Gm 1m r 1 r

45 44 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ נעבור לקואורדינטות חדשות R = m 1 r 1 + m r m 1 + m r = r r 1 (R מציין את מיקום מרכז המאסה וr את המיקום היחסי בין הגופים). נבודד את r 1 ואת r ונציב בלגרנז'יאן, ונקבל (בדקו!) L = M R + µ r + Gm 1m r 1 (m µ = מכונה המסה המצומצמת. כאשר M = m 1 +m היא המסה הכוללת ו ) 1 +m 1 1 רואים מייד כי R היא קואורדינטה ציקלית (ליתר דיוק, שלושת רכיביה הם קואורדינטות ציקליות) ולכן התנע הצמוד אליה נשמר P R M R = const כלומר מרכז המסה נע במהירות קבועה. זה לא מפתיע, שכן יש פה שימור תנע של המערכת כולה. נתבונן בחלק הלגרנז'יאן הנוגע לתנועה הפנימית במערכת בלבד L 1 = µ r + Gm 1m r תנאי ההתחלה של הבעיה הם ) 0, r(t ו( r(t 0. ללא הגבלת הכלליות נוכל לבחור את מישור xy כך ששני הווקטורים האלה יכללו בו. נכתוב את הלגרנז'יאן כתלות מפורשת בקואורדינטות :x, y, z L 1 = µ(ẋ + ẏ + ż ) + Gm 1 m z µ z = (x + y + z ) 3/ Gm 1 m x + y + z נכתוב משוואת אוילר לגרנז' עבור z ונקבל קל לראות כי פתרון משוואה זו עבור תנאי ההתחלה = 0 ) 0 ż(t 0 ) = 0,z(t הוא = 0 z(t) לכל t. לכן, ניתן להציב = 0 z בלגרנז'יאן ולקבל L = µ(ẋ + ẏ ) + Gm 1m x + y נעביר את x וy לקואורדינטות פולריות ונקבל (בדקו!) L = µṙ + µr θ + Gm 1m r

46 45 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ P θ L θ = µr θ = l רואים כי גם θ קואורדינטה ציקלית ומכאן כאשר הקבוע l הוא רכיב הz של התנע הזויתי, הנשמר בבעיה. מכאן נקבל dθ dt θ = l µr (4.0) משוואת התנועה עבור r היא µ r = µr θ Gm 1m r = l µr 3 Gm 1m r (4.1) לא ניתן לבצע אינטגרציה אנליטית על משוואה זו. אולם ניתן להסיק ממשוואות התנועה את החוקים הבאים. החוק הראשון של קפלר ממשוואה 4.0 מקבלים כי כאשר 0 l, θ היא פונקציה מונוטונית ממש של t ולכן ניתן להעביר משתנים מt לθ. נקבל dr dt = dr dθ dθ dt = l dr µr dθ d r dt = d dr dt dt = d ( ) l dr dt µr = l ( ) d l dr dθ µr dθ µr dθ ולכן ( ) l d l dr r dθ µr = l dθ µr 3 Gm 1m r s du נקבל dθ d u dθ = u Gm 1m µ l נציב זאת במשוואה 4.1 ונקבל אם נגדיר משתנה חדש 1 r u נקבל זוהי משוואה ללא θ. ניתן לפתור אותה באמצעות ההצבה d u dθ = ds dθ = ds du ds = s du dθ du = u Gm 1m µ l s = u Gm 1m µ l u c ומאינטגרציה נקבל

47 46 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ כאשר c קבוע אינטגרציה. נחלץ את s ונקבל s du ( dθ = ± c 1 u Gm ) 1m µ l עבור קבוע אחר c. 1 אינטגרציה נוספת תתן 10 arccos u Gm1mµ l c 1 = θ θ 0 ומכאן r 1 u = Gm 1m µ l + c 1 cos(θ θ 0 ) r = l Gm 1 m µ ε cos(θ θ 0 ) או (4.) זוהי משוואה המייצגת חתכי חרוט. כאשר ε c 1 l /Gm 1 m µ מיצג את האקסצנטריות. עבור = 0 ε נקבל מעגל. עבור < 1 ε < 0 אליפסה, עבור = 1 ε פרבולה ועבור > 1 ε היפרבולה. במקרה = 0 l נקבל שהתנועה היא לאורך קו ישר. 11 החוק הראשון אותו קבע קפלר הוא שמסלולי כוכבי הלכת סביב השמש הם אליפטיים. אנו רואים כאן שאכן, התנועה היחסית כין כוכב לכת לשמש היא אליפטית. כמו כן, אם מרכז המסה לא נע (או שנתבונן בתנועה יחסית למרכז המסה), נקבל שהן כוכב הלכת והן השמש מבצעים תנועה אליפטית סביב מרכז הכובד שלהם (כאשר אליפסת השמש קטנה בהרבה מזו של כוכב הלכת). בנוסף למסלולים שראה קפלר, יש גם מסלולים שאינם סגורים, שצורתם היפרבולית או פרבולית. במערכת השמש שלנו מסלולי כוכבי הלכת אליפטיים קרובים למעגליים וכן קיימים כוכבי שביט שמסלוליהם אליפטיים ביותר. החוק הראשון של קפלר מיוחד לתנועה בפוטנציאל הפרופורציוני ל 1 r. החוק השני של קפלר השטח שמכסה הווקטור בתנועת הפלנטרית בין הזמנים t 1 ו t נתון ע"י ˆ θ(t) θ(t 1) 1 r dθ נגזור את השטח לפי הזמן ונקבל ρ d dt ˆ θ(t) θ(t 1) 1 r dθ = θ 1 r = l µ (4.3) כיוון שהתנע הזוויתי l הוא קבוע תנועה, קצב מילוי השטח קבוע. זהו החוק השני של קפלר שגילה שכוכבי הלכת מכסים שטחים שווים בזמן שווה. חוק זה מאפיין לא רק תנועה פלנטרית, אלא כל סוג של כח מרכזי, בו נשמר התנע הזוויתי. 10 מקבלים קוסינוס או סינוס בהתאם לסימן שבוחרים. כיון שההפרש ביניהם קבוע ניתן לבלוע אותו לקבוע האינטגרציה ולכן אין חשיבות לסימן שבחרנו. 11 המקרה של ε שלילי שקול למקרה של ε עם הפרש פאזה של π.

48 47 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ איור 4.3: בעיית קפלר הוקטור r מכסה שטחים שווים בזמן שווה. A = = ˆ π 0 ˆ π 0 1 r dθ ( 1 l Gm 1 m µ l 4 G m 1 m µ ) 1 dθ 1 + ε cos(θ θ 0 ) π (1 ɛ ) 3/ החוק השלישי של קפלר שטח האליפסה הוא קצב מילוי השטח מתקבל ממשוואה 4.3 ולכן זמן המחזור הוא היחס בין השטח לקצב מילוי השטח: T = A ρ = πl 3 G m 1 m µ (1 ɛ ) 3/ (4.4) מצד שני, אורך הציר הארוך של האליפסה (המוגדר כ a ) שווה לסכום המרחק הקצר ביותר והארוך ביותר מהאליפסה למוקד. מרחקים אלה מתקבלים ממשוואה 4. כאשר הקוסינוס שווה ל 1 או 1 בהתאמה. לכן a = l Gm 1 m µ ε + l Gm 1 m µ T = const a 3/ 1 1 ε = l Gm 1 m µ 1 1 ε (4.5) מהשוואה בין משוואות 4.4 ו 4.5 מקבלים

49 48 תיטילנא הקינכמ.4 קרפ כאשר הקבוע תלוי רק במסות הגופים ובקבוע הגרביטציה האוניברסלי. אם נניח ש m 1 m אזי µ m ונקבל שהקבוע בקרוב איננו תלוי ב m. זהו חוק קפלר השלישי במסלוליהם של כוכבי הלכת במערכת השמש זמן המחזור בריבוע פרופורציוני לציר האליפסה הארוך בשלישית (עבור מסלול מעלי בקרוב זה פשוט המרחק בשלישית). וקטור לפלס רונגה לנץ בפוטנציאל גרביטציוני קיים וקטור נוסף שהוא קבוע תנועה. ווקטור זה נקרא ווקטור לפלס רונגה לנץ ומוגדר ע"י A = P L Gm 1 m µˆr (4.6) הוא מצביע בכיוון הציר הראשי של האליפסה וגודלו פרופורציוני לאקסצנטריסטיות של ובדקו שהוא אכן אינווריאנטי. השתמשו בהגדרת rˆ במשוואה האליפסה. (חשבו את A ( תנודות קטנות ואופני תנודה תנודות קטנות ותדירות אפיינית עבור כח משמר, ניתן לכתוב את משוואת התנועה בצורה נתבונן תחילה במקרה החד ממדי m r = U( r) mẍ = du dx (4.7) נניח שלפוטנציאל נקודת קיצון מסויימת, x, 0 בה מתקיים du(x 0 ) dx = 0 נפתח את U לטור טיילור סביב הנקודה ונקבל U(x) = U(x 0 ) + U (x 0 )(x x 0 ) + 1 U (x 0 ) (x x 0 ) +... כאשר אם x 0 נקודת קיצון של הפוטנציאל, אזי = 0 ) 0 U. x) במצב כזה F = U (x 0 ) = 0 כלומר, באותה נקודה לא פועל כח על הגוף. נקודה כזו נקראת נקודת שיווי משקל. אם היא נקודת מינימום אזי כשנזיז את הגוף מעט מנקודת שיווי המשקל נקבל כח המחזיר אותו לכיוון נקודת שיווי המשקל. נקודה כזו נקראת נקודת שיווי משקל יציב. אם הנקודה היא נקודת מקסימום (או נקודת פיתול) אזי כשנרחיק את הגוף מנקודת שיווי המשקל, הכח ידחף אותו הרחק מהנקודה. נקודה כזו נקראת נקודת שיווי משקל לא יציב. אם הפוטנציאל בסביבת הנקודה קבוע, כל נקודה בסביבה תהיה גם היא נקודת שיווי משקל. במקרה כזה אם נזיז