Microsoft Word - Electrodynamics.doc

תמליל

1 אלקטרודינמיקה 74, חורף תשס"ו דף נוסחאות טנזורים, טרנספורמציית לורנץ ויחסות פרטית סקלר טנזור מסדר אפס בעל גודל קבוע שאינו משתנה במעבר בין מערכות. וקטור- טנזור מסדר. נסתכל על מערכת 'S הנעה במהירות v בכיוון ציר ˆ ביחס למערכת S. וקטור קונטרווריאנטי מסומן ע"י אינדקס A ( A A V V. A A Λ עליון ומקיים A טרנס' לורנץ של 4 -וקטור כלשהו: A ( A A v V V וקטור קווריאנטי - מסומן ע"י אינדקס V. A A ( A A A ( A A תחתון ומקיים A ' ΛA ( v רכיבים קווריאנטים הם בכיוון הגרדיאנט. Λ טרנס' לורנץ של :oos, סימון:, da da הגדרה: "pd" oshη sh η η אם מתקיים במערכת אחת אזי מתקיים בכל מערכת. ds ds מכפלה פנימית בין שני וקטורים היא סקלר ומוגדרת: A A A טרנספורמצית לורנץ של oos בכיוון כלשהו: טנזור מדרגה : δ δ F F Λ F δλ. טנזור קונטרווריאנטי- ומקיים F ( ( ( δ δ δ. F Λ oos ( ( ( ( Fδ. טנזור קווריאנטי - ומקיים Λ Λ F F δ δ δ. F F ( ( ( F δ ΛΛ ומקיים F. טנזור מעורב δ מראיה מטריצית כאשר מחליפים מאינדקס קווריאנטי לקונטרווריאנטי Λ ( de. (או ההפך, במקרה של עמודה (או שורה מחליפים סימן לכל העמודות כל טרנספורמציות לורנץ הן טרנספורמציות סיבוב (או שורות פרט לעמודה (או שורה עם האינדקס אפס. u v מכפלה פנימית או צמצום בין שני טנזורים יוצר טנזור מדרגה נמוכה יותר, u u u. A v u v u δ A הצמצום רק בין אינדקס קווריאנטי לקונטרווריאנטי C ( v מכפלה חיצונית או כפל של טנזורים יוצרת טנזורים מדרגה גבוהה יותר. טרנספורמצית מהיריות: u ( u ( v ( u g g הטנזור המטרי: g g g δ ( ( elve המהירות בין שתי מע' אינרציאליות: ( הגדרת דלתא של קרוניקר: g δ S ( ( האינטרוול בין שני מאורעות: בעזרת הטנזור המטרי ניתן להחליף אינדקס קווריאנטי האינטרוול הינו אינווריאנט תחת טרנספורמצית לורנץ. g g בקונטרווריאנטי ולהפך: תכונות הטנזור המטרי וטרנספורמציות לורנץ: סימון לנקודת עולם: δ δ g Λ Λ g Λ g Λ g Λ Λ δ g (, (,,,, ν ν ν ν ν δ δ ε εδ ε εδ 4 הטנזור האנטי סימטרי ותכונותיו : δ ve pemuo δ l ε ε Odd pemuo l If des e equl lm ε de A ε A A A A ( l l l F ε F דואל לכל טנזור מדרגה ניתן להגדיר את הדואל שלו: אם F סימטרי אז F הוא אפס, אם F אנטי סימטרי אז. F F אלקטרודינמיקה ביחידות של.g.s 4 -מהירות המהירות היא נגזרת ביחס לזמן העצמי המסומן ע"י τ. d u (, u u ds dτ d d ds d d du ( uu u wu w u, ds ds ds ( אלמנט נפח 4 מימדי אלמנט הנפח ה- 4 מימדי בכל מערכת זהה מכיוון ( ( נעזרים בהסכם הסכימה של אינשטיין: ונקבל: ( ds ( d ( d ( d ( d g ( d ( d ( d ( d קונוס האור מקיים את המשוואה. מערכת אינרציאלית בין כל שתי נקודות נקבל קווים ישרים בלבד. אם S היא מערכת אינרציאלית ואם S נעה במהירות קצובה ביחס ל- S אזי גם היא בהכרח אינרציאלית. חוקי הפיסיקה בכל המערכות האינרציאלית זהות. על קונוס האור מתקיים ds. אם > ds (, המאורעות דמויי זמן, כלומר המאורע בעבר יכול להשפיע על זה בעתיד. 45 o דמוי אם < ds (, המאורעות דמויי מרחב, מרחב כלומר ניתן לבחור מערכת צירים כך שציר המרחב מחבר ביניהם. בכל המערכות האינרציאליות מתקיים דמוי זמן ds ds (אינווריאנט לורנץ. עבור מערכת צירים של זמן-מרחב לא אורתוגונלים, קווי קונוס האור יהיו חוצי הזוויות של מערכת הצירים. d d d d התארכות הזמן הזמן עובר לאט יותר אצל S, המערכת עם שעון אחד לאורך המסלול הוא האיטי ביותר.. L L L התקצרות האורך האורך העצמי ארוך יותר, L מדידת האורך, שני הקצוות, חייבת להיות בו זמנית.,,, שכשעוברים מערכת כופלים ביעקוביאן ו- Λ I de,,, ε ε p mu, p p p 4 -תנע p m p ( p ε ε ( ε vp : ˆ של 4 -תנע בכיוון oos

2 אלקטרודינמיקה 74, חורף תשס"ו דף נוסחאות : F ( F 4 & F F du d ε f p ( מסקנות מסקלרי לורנץ, g m, f ( f, f 4 -כוח. לא ניתן להעלים שדה מגנטי או חשמלי טהור. ds d gu. אם & אזי קיימת מערכת לורנץ שבה אחד השדות f f f f oos של 4 -כוח כללית: יהיה אפס. מתאפס כלומר: א אם < אז עבור, (, 4 -מספר גל: יהיה אפס.,. (, (, מתקיים ב אם > אז עבור A ( φ, A φ - Sle Poel. אם & אזי זה מתקיים בכל מערכת ייחוס. מתאים 4 -פוטנציאל A (, A - Veo Poel φ A למשל למקרה של גל מישורי שייראה גל מישורי בכל מערכת ייחוס., במערכת זו תתקיים אזי קיימת מערכת ייחוס בה.4 φ ( φ A A אם A : ˆ של 4 -פוטנציאל בכיוון oos A ( A φ A A התכונה:, עבור. φ A עבור שדה א"מ קבוע מתקיים: 5. אם במערכת כלשהי בין השדות זווית חדה (או קהה, אזי הזווית תישאר חדה (או קהה בכל מערכת אחרת.. A A A אם בכיוון ẑ אזי 6. אם במערכת כלשהי, > H אזי > H בכל מערכת אחרת. ולהיפך. ρ - Chge Des J ( ρ, J ( ρ, vρ 4 -זרם J vρ - Cue Des ( ( : ˆ של שדות בכיוון oos בגלל התקצרות האורך. ρ ρ אינו סקלר לורנץ, במעבר מערכות ρ dq ( ( הגודל הנשמר כאן הוא המטען ρ. dv ( ( J ρ J הגדרה זו מקיימת את משוואות הרציפות: טרנספורמציה כללית של שדות: ( ( A הקשר של השדות לפוטנציאלים: φ A שדה אלקטרומגנטי שנוצר ממטען שנע במהירות קבועה בכיוון ציר ˆ : du e e m Fu F A A חוק ניוטון יחסותי ds ( ( ( v,, Aeleo Sum Of All leomge Foes H ( ( v ( (, ונקבל: בין כיוון התנועה לבין הווקטור F (, נגדיר זווית ] π [, תכונות וייצוג של טנזור השדה הא"מ: e ( ( s ( s F F ( π π F (, עבור קבוע ערך השדה גדל עבור, וקטן עבור., π F ( F 4 e 4 π F J לשדה בכיוון מקביל לתנועה יש את הערך הכי קטן והוא ( l e l ( F ε F לשדה בכיוון ניצב לתנועה יש את הערך הכי גדול והוא ( F (, גדל. ( F לשים לב! ככל שהמהירות גדלה קטן ו- עבור מהירויות גדולות נקבל כי השדה של מטען נע מכווץ במישור התנועה. Fm Fm mf v השדה החשמלי מרוכז סביב π באינטרוולים צרים עבור משוואות מקסוול ההומוגניות משוואות מקסוול הלא הומוגניות. Δ ורוחב האינטרווליםבסדר גודל H J חלקיק טעון שנע במהירות קצובה v בציר : ρ e במערכת החלקיק: סה"כ 4 משוואות הומוגניות סה"כ 4 משוואות לא הומוגניות F J המתקבלות מ- המתקבלות מ- F / ( e e ( v ( ( ( v J J מקיים את משוואת הרציפות F במע' המעבדה: e e הוכחה: ( (. J F F ( v Smme A Smme e אם ב- החלקיק היה בראשית: השדה רדיאלי. לפי שימור מטען מתקיים: ρdv ρv da J da e V S S

3 אלקטרודינמיקה 74, חורף תשס"ו דף נוסחאות f L ({ q סקלר לורנץ (היא S[ ] L(,, פעולה במכניקה אנליטית d, q } L A, A, A, A, צפיפות הלגרנזיאן: A A כאשר הם כל המסלולים האפשריים של המערכת. L L L T V הינו הלגרנזיאן והוא מקיים: L :φ ( φ, φ משוואות אוילר לגרנז עבור, φ, φ המסלול הפיסיקלי הוא אותו אחד שעבורו הפעולה היא המינימלית, זהו עקרון הווריאציה, כלומר נדרוש S δ. עבור הפעולה של השדה הא"מ: L A A J A d L L מסקלר קיבלנו וקטור. משוואות אוילר לגראנז הפעולהשל חלקיקים ושדה: d משוואות אלה נותנות את משוואות התנועה. S m ds A J d F F d df df Ω 6π Ω, L L הוספה של עבור f כלשהו אל הלגרנזיאן d d S Ples S Ieo S Feld לא משנה את הפעולה ואת משוואת אוילר לגראנז. תנועת מטען תחת שדות נתונים מתוארת ע"י וריאציה של שני האיברים L הראשונים שתיתן חוק לורנץ. המילוטניאן: H v L התפתחות השדות בזמן מתוארת ע"י וריאציה של שני האיברים האחרונים. v S S L הערה: השדה הא"מ מושפע מתנועת המטענים (נזניח השפעתם אם קטנים P תכונות הפעולה: P חוקי שימור בשדה אלקטרומגנטי (.g.s v m S e( e( H S Ple וקטור פויינטינג, זרם האנרגיה: פעולה של חלקיק חופשי: d m d m ds לשים לב! בוקטור פויינטינג יש לקחת את החלק הממשי של כל שדה. m הלגרנזיאן של חלקיק חופשי יחסותי L m H u צפיפות האנרגיה (ליחידת נפח: הפעולה מוגדרת ביחס למערכת המנוחה לכן מתקיים השוויון P J הספק ליחידת נפח:. dτ d d ds ds ( u dε S S J P שימור אנרגיה:. p מעקרון הווריאציה נקבל δ S muδ d האנרגיה של חלקיק:, ε m התנע של חלקיק: p mv p v Feld ( H S p ε תנע של השדה הא"מ: קשר כללי בין התנע, האנרגיה ומהירות חלקיק: PFeld ( Tol pfeld H d 4 ε p m אנרגיה כללית: טנזור מאמצים של מקסוול:. p כאשר, F v גודל המהירות קבוע וכיוון לא, מתקיים m σ H H ( H δ,,,. p m כאשר, F v כיוון המהירות קבוע וגודל לא, מתקיים L l T e ϕ δ L : L Fl F טנזור אנרגיה מומנטום עבור S mds A d פעולה של חלקיק בשדה א"מ: ϕ, 6π כאשר אין תלות מפורשת של L בזמן ובמקום אז תנע כללי נשמר SPle SIeo dp ואנרגיה כללית נשמרת. du e נקבל את חוק ניוטון היחסותי S m Fu δ מגדירים את טנזור האנרגיה מומנטום של השדות שיהיה סימטרי ds ds A. L ל- F m e l T T על ידי הוספת פונקצית כיול - L eφ (, A(, הלגרנזיאן במקרה זה: v l S S S u dp S e( e( H f e( משוואות התנועה (כוח לורנץ: S d σ σ σ d dp dε dp TF T u ( H קשרים נוספים: S σ d m d d d σ σ HH אינו משתנה אם מכיילים את A כלומר. A A f S σ σ σ σ ( H δ δ A A A da d טריקים: δ l lm T F Fl g FlmF צורה קווריאנטית של הטנזור: 4 SFeld F פעולה של השדה הא"מ: F dω dω ddv 6π F T FJ J δ ( S S Ieo Feld 4 -דיברגנס של טנזור האנרגיה נותן 4 משוואות שימור: p T ds, f ובזמן מאוחר יותר וריאציה לשדות: בוחרים שדה בזמן קובעים את השדות בזמנים הללו ושואלים איך השדות ישתנה ממצב התחלתי למצב הסופי, בגלל ריבוי דרגות החופש של השדה מניחים ניתן לקבל את 4 -תנע מטנזור אנרגיה מומנטום: p T dv שבאינסוף השדות והפוטנציאלים מתאפסים (אין זרמים ומטענים. L( { q, q } L(, עוברים למכניקת הרצף, צפיפות הלגרנזיאן ( חוק שימור 4 -תנע כולל, שדה וחלקיקים יחד: feld ( T ples T (, L, אינו טוב מכיוון שהקורדינאטות בלגרנזיאן אמורות ds T p u u m ( עבור חלקיקים: T p d δ להיות בלתי תלויות, אבל, תלויים אחד בשני לכן, מגדירים את

4 4 אלקטרודינמיקה 74, חורף תשס"ו דף נוסחאות של גל א"מ מישורי: - d האינפורמציה המוכלת באמפליטודה - חוק שימור המסה לחלקיקים שלא מבצעים אינט' ביניהם: d e ( e e Im, חוק שימור התנע התלת מימדי: > p ples f feld, נדרוש מהאמפליטודה בריבוע להיות ממשית חיובית: ( Pp Pf ( Tp Tf ds ( σp σf ds Comple VS VS, ונכתוב: & נבחר את הצירים XY שיתלכדו עם עבור מערכת סטטית/סגורה (במע' המנוחה של המערכת u עבור. e ( ˆ ˆ e ˆos ( ˆs ( במידה ויש משטח כלשהוא שכולא את המטענים, ניתן לחשב את הכוח הפועל על המשטח רק בעזרת האינפורמציה על השדות שנמצאים על המשטח. dq Q ρdv J d חוק שימור המטען: os( ˆ s ( ˆ V d S הדרך היחידה שמטען יכול להשתנות בנפח מסוים, היא לצאת ממנו!. e & Im כלומר & קיבלנו אליפסה שגודל הרדיוסים שלה הם תנ"ז של השדה הא"מ: LFeld lfeld pfeld PFeld האליפסה מתארת קיטוב. Tol Tol שני מקרים מנוונים: חופש הכיול A A א. כאשר האליפסה מתנוונת למעגל, נקבל שני קיטובים ימני ושמאלי. Λ(, Λ(, חופש הכיול: (קיטוב ימני (ˆ ˆ ˆe ( מתאר סיבוב עם כיוון השעון תחת טרנספורמציה זו, השדות הפיזיקאליים אינם משתנים. בגלל חופש הכיול אפשר להטיל אילוץ יחיד על. A. A של וקטור השדה החשמלי למישור הניצב ל- ˆ. כיול לורנץ: נדרוש מ- A שיקיים של A (ˆ ˆ ˆe ( מתאר סיבוב נגד השעון (קיטוב שמאלי של אינו מתקיים ניתן למצוא טרנספורמציה אם תנאי לורנץ A f ( המקיימת, (, ( Λ, f הפוטנציאלים ע "י וקטור השדה החשמלי למישור הניצב ל- ˆ. ב. האליפסה מתנוונת לקו ישר, קיטוב ליניארי אינסוף קיטובים. קיבלנו משוואת גלים עם איבר מקור:, (, ( ΔΛ f הכדור של פויאנקרה כיול זה מתאר את הפוטנציאלים כך שהתלות במקור היא קוזאלית נבחר גל מישורי מקוטב בכיוון, ẑ אז השדה החשמלי בכללי ביותר: os( φ ˆ os( φ ˆ כיול קולון קרינה טרנסברסלי: נדרוש ש- A. ( φ כיול קולון מוותר על אינוריאנטיות לורנץ. e ( ˆ ˆ e e {,}. Δ φ φ 4 πρ(, הפוטנציאל הסקלרי מקיים: (, נושאים עימם 4 פיסות מידע (אמפליטודה פאזה. מקבלים "סתירה" לסיבתיות, φ ישתנה בו זמנית עם שינוי, ρ ולכן האיברים מתקבל שמהירות האינפורמציה גדולה ממהירות האור, אולם צריך לזכור ρ שהפוטנציאל אינו חשוב פיסיקלית, אלא השדות, ולכן אין בעצם סתירה. מטריצת הצפיפות (הרמיטית: הפוטנציאל הוקטורי מקיים משוואת גלים עם איברי מקור φ ( J, : ρ, Te( ρ,de( לכן הערכים העצמיים של מטריצת מתקיים φ (, הצפיפות הם ו- כלומר ρ היא מטריצת הטלה. Δ A J(, כל מטריצה הרמיטית בעלת ρ Te( ניתנת לכתיבה: גלים אלקטרומגנטיים מישוריים (.g.s ρ ( σ (,, עובדים בכיול קולון ללא מקורות:, φ Δ φ Δ A φ הם מטריצות פאולי לפי σ הוא וקטור ממשי בעולם תלת מימדי ו- כאשר ˆ כיוון התקדמות הגל וזרימת האנרגיה (וקטור פויינטינג: ˆ כיווןהשדה החשמלי, ניצב לכיוון התקדמות הגל: σ σ σ בסיס לא סטנדרטי: H ( ˆ : כיוון השדה המגנטי, ניצב לכיוון התקדמות הגל ול- מתכונות מטריצות פאולי נקבל ש- de ( ρ לכן על מנת לקיים את כאשר ε ו-, עבור ריק.. ˆ להיות יחידה כלומר דרישת מטריצת ההטלה, על הוקטור H כל קיטוב ניתן לזיהוי ע"י וקטור יחיד ˆ על כדור יחידה. מקרים מיוחדים של כדור פויאנקרה: u ( H צפיפות האנרגיה: עבור הזוג (, (, - קיטוב מעגלי שמאלי, נקבל שהוא e( e( ˆ H S u ˆ וקטור פויינטינג: מיוצג על ידי הקוטב הדרומי כלומר הוקטור, (, ˆ. (. H H D ε - קיטוב מעגלי ימני, נקבל שהוא מיוצג עבור הזוג, (, כאשר עובדים בוואקום מתקיים על ידי הקוטב הצפוני כלומר הוקטור, (, ˆ. שטף התנע של השדה הא"מ נתון ע"י טנזור המאמצים של מקסוול σ. במידה ובוחרים כיוון התקדמות של גל א"מ בכיוון ẑ אזי קיטוב ליניארי מיוצג ע"י הוקטור, ˆ ( os,s כאשר היא זווית הפולריזציה במישור, XY למשל עבור הזוג H. σ u השונה מאפס יהיה σ הרכיב היחיד של, ˆ (,, נקבל שהוא מיוצג ע"י, (, (, ( A e לשים לב שהוקטור הקוטבי שלו (,, ( ˆ מייצג את הקיטוב פוטנציאל וקטורי של גל מישורי מונוכרומטי: e. (, (, הליניארי של הזוג כאשר ווקטור הגל הוא:, ומתקיים יחס הדיספרסיה: ( 45 מיוצג ע"י קיטוב ליניארי בזווית של כלומר, (, A ˆ (,, והוקטור הקוטבי (ההופכי שלו ˆ (,, הוקטור A A נקבל את השדות: A. ( מייצג את הקיטוב הליניארי, (, לשים לב!, מקיימים:.

5 5 אלקטרודינמיקה 74, חורף תשס"ו דף נוסחאות לשים לב! עד עכשיו קיבלנו את כל הנקודות על כדור פויאנקרה מכיוון שעבדנו עם גלים מונוכרומטיים אך בפועל גלים אף פעם לא מונוכרומטיים לגמרי או שהאור מעורבים ממקורות שונים בעלי פולריזציה שונה, לכן מסתכלים על השדות הממוצעים. ρ מטריצת הצפיפות עם מיצוע: כלומר כל מה שפוגע במשטח מוחזר חזרה, כעת הפאזות של : & s δ os s δ os עדיין מתקיים ρ Te( אבל ρ כבר אינה מטריצת ההטלה os s δ מכיוון ש- ρ de ( לא תמיד מתאפס, לכן כל מה שניתן להגיד ש- ρ δ הפרש פאזה בין ל- : s מוגדרת להיות חיובית כלומר ρ : de ( π. de ( ρ ( הפרש הפאזה מתאפס ב- Cl ועבור פגיעה ניצבת כלומר החזרה מתווך בעל מקדם דיאלקטרי קומפלקסי במשוואות מקסוול חייבים מהתכונה de ( ρ ניתן להסיק שהוקטור והוא נמצא בתוך להתחשב גם בזרם המושרה ע"י השדה, נעזרים בחוק אום J σ ואז הספרה, כלומר בתוך כדור פויאנקרה. אור ללא פולריזציה מיוצג ע"י - מרכז כדור פויאנקרה. ε σ ε ( ( אופטיקה ε - Ide, - efleed, - Tsmed מקבלים ב-.. gs : πσ πσ 4 4 ε ε ˆ (, ˆ ( H H תנאי שפה על שדה מגנטי: JSufe H H ρ πσ מעברי תווך :( :σ עבור מוליך גרוע D D 4 J ε תנאים לרציפות הפאזה: πσ πσ עבור מוליך טוב :σ λ ε ε v λ λ λ ( δ עומק החדירה של גל א"מ לתוך החומר למוליך טוב ב-.. gs : s s חוק סנל למעבר תווך: πσ π. יקבל הפרש פאזה של אור מוחזר עם > אפקט דופלר Sell's עבור גל המתקדם בכיוון ציר ˆ מתקיים (,,,. נעשה oos os משוואות פרסנל: s Lw ( (,,, למערכת שנעה במהירות v בכיוון ציר ˆ : os os os os ( os os os os ( l 'F Λ ולכן נקבל הקשרים הבאים: os lλf דוגמא שימושית: os ˆ os os os os ( ( ˆ ( ( os os os os os os os os F F ( os os ( os os os os. לשים לב! מתנהג כמו סקלר. עבור פגיעה ניצבת במשטח כלומר: פוטנציאלים מאוחרים של לינרד וויכרט eflee & Tsme: os( os( T F : A ( A A A J T נבחר בכיול לורנץ - T os( os( T קיבלנו ארבע משוואות גלים עם מקור, מכיוון שהבעיה ליניארית מספיק לפתור זווית ברוסטר לא תהיה החזרה בחלק המקביל. את משוואת הגלים עבור מקור בודד פונקצית 4 -דלתא: δ ( δ ( δ ( Fom Sell's Lw ose ( 9 o כלומר נפתור את המשוואה הבסיסית:( ( ( ( Δ, 4 φ πδ δ. s( Cl נקבל החזרה מלאה מזווית זו זווית קריטית אם > בגלל הסימטריה של בכל מקום פרט לראשית ( Δ, φ φ d os s > Cl נקבל ש- עבור. d בכל מימד Δ המקור, נחפש פתרון רדיאלי. כאשר d

6 6 אלקטרודינמיקה 74, חורף תשס"ו דף נוסחאות השדות המתקבלים מהפוטנציאלים המאוחרים של לינרד וויכרט: φ (, h f הפתרון של המשוואה ב- D : ν uν uν Fν e ( u ( u ( u, ( מת, קדם בזמן. פונקציה h מתארת גל כדורי שיוצא מהנקודה, (, חוזר בזמן. פונקציה f מתארת גל כדורי שמתכנס לנקודה נבחר להסתכל רק בפונקציה h כלומר גלים יוצאים המתקדמים בזמן, מספיק du לבחור רק פונקציה אחת מבין השתיים שיצאו מכיוון שהיא לבדה מקיימת את A A ν Aν ν ds. φ (, h משוואת הגלים (משוואה לא הומוגנית שני האברים הראשונים תלויים בתאוצה ודועכים כמו.. h δ ( נקבל שעל מנת לקבל פתרון חייב להתקיים: ( האיבר השלישי תלוי רק במהירות u ודועך כמו (יותר מהר. J A (, d לכן התוצאה: ( τ (, יש לזכור כי τ הוא פונק' של ולכן ( τ כאשר הזמן המפגר מוגדר ע"י המסלול של החלקיק הנתון, ( ( τ (, ( δ u ומתקיימת המשוואה. לשים לב! ( τ J eδ ( ( J e δ ( ( מטען נקודתי: (( ( u δ ( (, השדה החשמלי והמגנטי: נשתמש בתכונה של וקטור דמוי האור Δ φ δ ( φ לסיכום: טריק מתמטי, זהות של פונקצית דלתא שמופיע בנספח המתמטי: e ( u ν δ ( δ ( δ ( δ ( Fν e δ ( ( u e ( u φ( δ ( כאשר מסתכלים על > ניתן לכתוב את הפתרון: נחלק את השדה החשמלי לרכיב אורכי,Logudl φ ( δ (( ( עבור מקור לא בראשית הצירים: ( ˆ ˆ lˆ ולרכיב רוחבי,Tsvesl כלומר: לשים לב! & הם 4 -וקטורים. e φ 4 πρ( ; ρ( e ρ( δ ( עבור התפלגות מטענים: d l ˆ e הכללה של חוק קולון: ( u ( ע"י ליניאריות נקבל פתרון יסודי של הגל היוצא: φρ ( d φ ( ρ( dρ( δ (( ( ˆ השדה המגנטי נתון ע"י הקשר: l מטען בתנועה: נניח שיחידת מטען נעה בקו עולם τ w כאשר τ הוא זמן מסקנות: ˆ ˆ w ו- τ קשור לזמן המעבדה s השדה חשמלי והמגנטי הכולל: ( s( τ, עצמי. המשמעות של הדבר (( τ w נסכום במערכת החלקיק, w ע"י הקשר. dτ ds 4 -מהירות ניתן ע"י u ( ( ˆ ( ˆ( ˆ ( ˆ מכיוון שישנה רק צפיפות מטען (אין זרם, מכאן נובע הפקטור. e ( ˆ ( ˆ ρ( d τδ ( w( τ צפיפות המטען: v ( dτδ ( s( τ δ ( w( τ δ ( w( τ & לחלק תלוי מהירות ולחלק תלוי תאוצה. ניתן לחלק השדות ( כאשר, s( τ נחשב את הפוטנציאל של המטען: τ, w( - מתאר את האנרגיה האגורה בחלקיק ומלווה את החלקיק. ρ( O v - φ מבטא אנרגיה העוזב את החלקיק בצורת קרינה. ( deδ ( w( τ δ (( ( ˆ כאשר חלקיק באופן מיידי במנוחה ובראשית הצירים: (, ( ed δ ( edτδ ( u u מהאינטגרל (הפונק' δ נבחין כי הוא וקטור דמוי אור שכן הוא (, ( τ, מקיים:. זהו תנאי להשפעה של חלקיק על אוסף מאורעות. ( ( ע"י שימוש בזהות מתמטית של פונקצית דלתא ונזכור ש- לא תלוי,,. d e e ( בזמן העצמי τ נקבל: u es ( ˆ ( ˆ השדה החשמלי: ˆ lˆ dτ e ˆ φ ( e τ w( τ הפתרון הסופי: es השדה המגנטי: u כאשר מחשבים עבור הנקודה בה הוא דמוי אור. ניתן לראות שהשדות ניצבים אחד לשני -, מכיוון שזהו סקלר לורנץ u הוא נכון לכל מערכת, גם עבור מערכת נעה. ומכיוון שבכל מערכת החלק הרוחבי A ( הפוטנציאלים המאוחרים של לינרד וויכרט: e. u של ו- ניצבים אז החלק האורכי של חייב להעלם - l e משפט: הנוסחאות לשדות נשארות נכונות בקירוב גם לא במערכת המנוחה אם e φ A u ( ( v ( ( o( ( (, v נקבל: החלקיק נע לאט ביחס לאור - v o τ u τ τ, ( ( ( ( ( ( ( (

7 7 אלקטרודינמיקה 74, חורף תשס"ו דף נוסחאות קרינה קרינה: שטף אנרגיה העוזב את המקור והולך לאינסוף. P( S da ( הספק היוצא מקליפה כדורית: da lm P( Cos ( fl ume הספק הקרינה:, לכן החלק עבור כדור ברדיוס אלמנט השטח מתנהג כמו da, לכן של וקטור פויינטינג שתורם לקרינה הוא זה שהולך כמו. אנחנו מעוניינים באיברי השדה שמתנהגים כמו. רק האיברים שתלויים בתאוצה מתנהגים כמו dp S ˆ הספק הקרינה ליחידת זווית מרחבית - הגדרה: dω, (, נותן אנרגיה ליחידת שטח ליחידת זמן בנקודת תצפית S ˆ dw S ˆ d הנובעת מקרינה שפלט המטען בזמן (מה שנקלט: אנו מעוניינים בהספק החלקיק עצמו לכן נצטרך לחשב (מה שנקרן: dw dw d d S ˆ S ˆ( ˆ d d d d d d ( d ( ( ˆ d d d המשמעות - קצב פליטת האנרגיה של החלקיק שונה מקצב פליטת האנרגיה הנראה בנקודת בתצפית. דומה לאפקט דופלר - אם החלקיק מתקרב אלינו, אנו נראה הספק גבוה יותר ולהפך. ˆ ( ˆ ( ˆ e( e( d d S שטף קרינת דיפול: ניתן לראות כי התוצאה של כל המכפלות ייתן וקטור בכיוון ˆ. ( ˆ d d s ( S( ˆ ˆ כאשר היא הזווית בין תאוצת הדיפול dˆ לבין ˆ. עבור, π החלקיק לא קורן - S. π π S מקסימלי. עבור, לחלקיק שטף הקרינה מקרינת הדיפול מתנהגת כמו S ( S אז הקרינה d לא דועכת בדרך. כמות הקרינה לאלמנט זוויתי לא משתנה. d P S( ˆ dω שטף הקרינה הכולל של קרינת דיפול: Ω da e P d e e עבור מטען בודד: d d os ( ˆ s ( ˆ דוגמאות: דיפול d המסתובב עם תדירות - ( ( ( os ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. נניח ציר צפייה כציר ŷ אז כלומר נקבל שדה שמשתנה בזמן ומתנדנד בכיוון ציר ˆ.. ẑ נקבל שדה חשמלי מקוטב מעגלית סביב ציר ẑ נניח ציר צפייה כציר. dp ( ( ( הספק הקרינה ליחידת זווית מרחבית יחסותי: (ˆ? d מה קורה אם dω מתי ניתן להזניח את הזמן המפגר? כעת אין ברירה אלא לקרב בקירוב קרינת הדיפול הזנחנו איברים של, התוצאה: ולקחת בחשבון את הסדר הראשון ב- נניח שלחלקיק שסקאלת זמן אופיינית ונמצא בראשית. (, ˆ d D ˆ ( m ˆ ˆ שדה מגנטי:. אם אז זמן מפגר לא חשוב. 6 ( ˆ ˆ d ( D ˆ ˆ ˆ m שדה חשמלי:. אם אז זמן מפגר מאוד חשוב ולא זניח. 6 מה קורה אם החלקיק לא בראשית? m ev מומנט דיפול מגנטי (מומנט של הזרמים: נניח שלחלקיק יש סקאלת זמן אופיינית ולתנועה יש סקלת אורך. D Qˆ Q מכיוון שעבור תנאי זה אפשר להתעלם מהמקום של החלקיק אם e ( ( ( קוואדרופול: δ ( O וגם כיוונו - ˆ - לא משתנה מאותם שיקולים. D מופיע בשל הזמן המפגר ( בין החלקיקים עצמם, כאשר ( מה קורה שיש המון חלקיקים? ˆ המרחק לראשית ו- מרחק מהראשית לחלקיק. כאשר מדובר על הרבה צריך לבדוק מה הפרש הזמנים בין הזמנים המאוחרים של כל החלקיקים מכיוון שכולם נמצאים קרוב אחד לשני אבל לכל אחד יש זמן עצמי קצת שונה. לכן אם מניחים שלחלקיקים יש סקאלת זמן אופיינית סה"כ הקרינה: P d D 5 m 8, ו- אז ולתנועה יש סקאלת אורך אז אם דוגמא לחלקיק הנמצא באופן מיידי במנוחה בראשית הצירים ובעל תאוצה v( ( ( ( ( v( v ההבדל בין זמנים מפגרים בין החלקיקים זניח מאוד ביחס למערכת. קטנה, פיתוחים חשובים: קרינת דיפול: ( ( ( ( ( ( מסתכלים על חלקיקים עם התנאים: λ ( v ( עובדים עם המשוואות המתקבלות עבור חלקיק באופן מיידי במנוחה ובראשי ( ( ( d e - מומנט דיפול חשמלי e הגדרות: מטען כולל - Q ( d אינו תלוי בבחירת הראשית. O כאשר המערכת היא ניטרלית Q (, d e e תאוצת הדיפול עבור המון חלקיקים זהים: e ˆ ˆ d השדה המגנטי, ברגע מסויים: ˆ ( ˆ d - הוקטור המחבר את ראשית הצירים עם נקודת הצפייה. השדה החשמלי, ברגע מסויים:

8 8 אלקטרודינמיקה 74, חורף תשס"ו דף נוסחאות קבועים וקשרים פיזיקלים eˆ e m ( ( שדה חשמלי: m g e [ s] s s π e λ π T ν ( ( עבור האיבר השני: ν f e ˆ e ( ˆ λ, שדה מגנטי: 7 m ˆ לתרגילים חשובים פיתוחים כלליים, בהתאםלאיור למקודם: ( שמתחיל,, H. תנועת חלקיק לא יחסותי בשדה א"מ קבוע ˆ ˆ בראשית- (מתקיים בתנאי ש-. מיקום החלקיק נתון ע"י H ˆ e s, ( os, v המשוואות: v v H m. e כאשר. d ρdv J dv מומנט הדיפול הוא, J בהינתן צפיפות זרם (. מהירות המערכת הנעה כדי שהשדה המגנטי והחשמלי יהיו מקבילים: תגובה קרינתית: חלקיק נע בתנועה מעגלית תחת כוח מרכזי במסלול קבוע כל הזמן קורן קרינת H. H דיפול, ולכן ישנו כוח f ששומר על תנאים סטציונרים. e e e P ( v ההספק קצב הקרינה: ( v ( v. במימד כללי אם φ אזי בכל מקום פרט לראשית יתקיים: d e d. Δ φ φ. f ולכן כוח התגובה הקרינתית הוא P f v d δ בכיוון הפוך למהירות..4 עומק חדירה δ מתקבל כאשר:. e e כאשר q P ( 5. הספק הקרינה של גוף הנע בתנועה מעגלית: תוספות מפיסיקה מ' ותורה אלקטרומגנטית ε dl F dl ( q dl q q כא"מ מושרה: dl d CD D חוק פארדיי האינטגרלי: dl ITol חוק אמפר: I dh dl ˆ חוק ביו-סבר: (לנקודה כלשהי לא סימטרית פוטנציאל של לוחות מישוריים מקבילים טעונים התחתון עם מטען חיובי < Δϕ V והעליון מטען שלילי: ϕ( 4 πσ L L L 4 πσ L L d ρ dv דיפול חשמלי: J A (, d פוט' מגנטי ווקטורי: (, H D ε : H ל- ובין D ל- הקשר בין A J φ ρ : A משוואות מקסוול לפוטנציאלים בכיול לורנץ משוואות מקסוול ההומוגניות משוואות מקסוול הלא הומוגניות בתווך עם מקורות בתווך עם מקורות H J D ρ משפט פוינטינג ( π ( 4

9 9 אלקטרודינמיקה 74, חורף תשס"ו דף נוסחאות נספח מתמטי δ ( ep( ( התמרת פונקצית ד לתא ותכונותיה: d π δ( δ( δ( δ( δ( g ( δ( g ( δ( g'( g'( < dθ( Θ( δ ( d δ ( > d os s A טרנספורמציית סיבוב דו מימדית: s os os os os s sos הזווית בין שני וקטורים כלשהם: ϕ ϕ ( os ( ( ( ( ( e e s sh os osh Tgoome Idees : זהויות מעולם המרוכבות: 4 e d e e s ( s( s ( /( os( os ( s(9 os os(9 s (9 o o(9 s(8 s s( s 4s os( 4 os os s s s( / /os( / / s s s( / / os( / / os os os( / / os( / / os os s( / / s( / / sos / ( s( s( os(8 os ss / ( os( os( (8 os os / ( os( os( s os s( s os oss / os s( s os oss o /s os( osos s s s( sos os( osos s s os( os s ( ( /( os( os ( ( /( os( s ( ( s os π / s / ( L l L ( ( l ( ( L סכומי טורים: l ( A A ( A A q q q A A q ε εm δmδ δδ m ( A ε A טנסור לוי צ'יויטה: εεm δm ( fa ( f A f ( A ( A ( A A ( A זהויות וקטוריות: ( A ( A ( A ( A ( A A C A C A C A ( ( ( ( כדוריות: מעברי קואורדינטות, קרטזיות s osϕ ssϕ os ˆ sosϕˆ ssϕˆ osˆ ˆ ososϕˆ ossϕˆ sˆ ˆ ϕ sϕˆ osϕˆ ˆ sosϕˆ ososϕˆ sϕˆ ˆ ϕ ˆ ˆ ˆ ssϕˆ ossϕˆ osϕˆ ˆ ˆ ϕ ˆ ˆ osˆ sˆ ˆ ˆ ˆ ϕ