Microsoft Word - RSN_MoedA_2005_Sol.doc

תמליל

1 "אותות אקראיים ורעש" - פתרון בחינת קיץ תשס"ה שאלה א. שימו לב כי ניתן לרשום : Z Z + W וכן V כעת נבדוק עבור כל אחת מהסדרות באם היא מקיימת את התנאי. E { Z,..., Z} E{ Z + W,..., Z} E{ Z,..., Z} + E{ W,..., Z} Z + E{ W} Z : Z W אינו תלוי ב- W הינה סדרה,d ולכן במעבר האחרון השתמשנו בעובדה ש-.W,...,W שהם פונקציות של, Z,..., Z Z כלומר, הינה סדרת.argal {,..., } {,..., } E{ V,..., } E{ V } E E V : נתון, ולכן הוא יוצא מהתוחלת כקבוע. במעבר השני השתמשנו בעובדה ש-,,..., V אינו תלוי ב- V הינה סדרה,d ולכן במעבר האחרון השתמשנו בעובדה ש-.V,...,V שהם פונקציות של.argal הינה סדרת כלומר, { } { } ב. ניעזר במשפט ההחלקה במעבר הראשון: { + } { { } E,..., E E,...,,...,,..., E,..., argal {,..., } {,..., }... {,..., } E E E 3 + E שימו לב לשימושים שגויים במשפט ההחלקה: E{,..., } E{ E{,..., } E {,..., } E{ E{,..., } } {,..., } E{ E{,..., } },..., בהחלקה, תמיד המ"א שנמצא בהתניה לפני ההחלקה, חייב להיות בהתניה בתוחלת החיצונית לאחר ההחלקה. אם לא, אזי שני הביטויים יהיו פונקציות של מ"א שונים - - -

2 { } מתוצאה זו ניתן להסיק כי המשערך האופטימלי במובן ה- MME עבור < נתון ע"י של בהינתן ( ˆ MME הינה סדרת. argal מסעיף ב' נובע כי המשערך ג. בסעיף א' הוכח כי הסדרה, 3 ולכן משערך זה, בשל היותו לינארי, הינו, הינו, בהינתן 3 8 האופטימלי של המשערך הלינארי האופטימלי. ( { } K { } { } {,..., } E E E E E ד. תוחלת התהליך: כלומר, תוחלת קבועה בזמן. ( E{ } η ( (( + (( + (( + ( ( ( ( ( VAR E E E E E ( ( E + E E + E E( ( + E ( ( E + E (( + ( E E ( { } VAR E η VAR VAR ( ( + E ( ( VAR( שונות התהליך: על- מנת שהתהליך יהיה סטציונרי במובן הרחב, שונותו חייבת להיות קבועה. האפשרות היחידה שתנאי זה יתקיים היא כלומר, בכדי שסדרת argal תהיה סטציונרית במובן הרחב, נדרש שהתהליך יהיה מהצורה כאשר הינו מ"א. כמובן שאם תנאי זה מתקיים, אזי התהליך אינו רק,W אלא גם. שימו לב: תשובה מלאה לסעיף זה הינה " כן, סדרת argal יכולה להיות W ואף. להלן דוגמה: ".... פתרון המסתיים בתנאים לסטציונריות ללא דוגמה, קיבל ניקוד חלקי בלבד.

3 שאלה א. מספר ההצלחות של הגלאי בהינתן מספר המשתתפים שנספרו ע"י המארחת, ניתן,, x x ~ B כלומר: לתיאור כמ"א ( ( ( 0 0 ( x ( 0 x( 0 ( 0,, K, ולכן ( 0 0 ( 0 ( ( ( xˆ E x x x ב. בכדי להראות שהתהליך הינו תהליך פואסוני יש להראות שני דברים:. פילוג מסדר ראשון של התהליך הוא פואסוני: P ( x ( P x ( x( λ ( λ ( λ( ( ( P x( λ ( ( ( λ ( ( λ λ λ λ ( λ x (. תוספות בת"ס: (x בלבד. מכיוון שהתוספות התוספות של התהליך תלויות בתוספות של התהליך x בלתי ( בלתי תלויות, מהיותו תהליך פואסוני, גם התוספות של (x של התהליך תלויות. ( ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( E x x P x x ג. נחשב תוחלת מותנית: לפי בייס, ההסתברות המותנית היא: ( ( 0 ( 0 P x x ( ( 0 ( 0 ( 0 P x ( ( ( 0 P x x P x נציב ונקבל: ( ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( λ ( λ ( λ0 0 ( λ λ0 0 ( 0 ( λ ( 0 ( ( ( 0 ( 0 ( 0 P x ( ( ( 0 P x x P x E x x P x x

4 ( λ( ( { ( λ( j 0 j j ( ( λ( ( 0 0 j+ : ( λ ( 0 ( j j ( 0 ( ( λ( 0 ( נחשב את הביטוי ( λ 0 λ 0 λ 0 λ j + λ + j 0 j j 0 j j ( 0 ( λ ( ( ( ( ( λ λ( λ( ובסה"כ נקבל: ( λ( E x 0 x 0 λ ( ( + λ (. x x כלומר, המשערך האופטימלי הוא (, ולכן נתון ע"י: ו-( N Z( Z ( שאלה 3 שיטה : א. הינו מסנן וינר לשערוך לינארי אופטימלי של Z ( ω ( ω ω מ- ( ( ω נחשב את הקרוס ספקטרום בעזרת פונקצית הקרוס קורלציה (נזכור כי חס"ק: Z τ { τ } {( ( ( + ( ( τ } { τ } Z ( τ ( τ Z ( ω Z ( ω ( ω ( ( ( ( ( ( ( ( ω ( ω * ( ω R E Z E g N Z E g Z R g G G Z Z הספקטרום של ( נתון ע"י ( ω ( ω G( ω ( ω + N ( ω ( ( Z * Z ( ( ( ( + ( ω ω G ω ω ω G ω ω N ולכן בסה"כ מתקבל:

5 שיטה :, ( נתון ע"י: מסנן וינר לשערוך לינארי אופטימלי של( Z מ- ( ( ω ˆ ( Z Zˆ ( ω ( ( Z ( ω ( ω ( ω ( ω. ω ω ω Z Z ( כאשר ולכן מתקיים ש-, ( כלומר Zˆ ( המסנן ω ( הוא מסנן וינר לשיערוך מתוך ו-( N Z( ˆ ( ω Z ˆ ( ω ( ω Z ˆ נחשב את (ω ( לפי פונקצית הקרוס קורלציה (נזכור כי חס"ק: Zˆ τ { τ } {( ( ( + ( ˆ ( τ } { τ } ˆ ( τ ( τ ˆ ( ω ˆ ( ω ( ω Z Z Z ( ( ˆ ( ( ( ( ˆ ( * * ( ω ( ω ( ω ( ω ( ω R E Z E g N Z E g Z R g G G G Zˆ ˆ Z ( והעברתו. Zˆ ( ω Z ( ( כלומר, מסנן וינר המתקבל במקרה זה נתון ע"י: * Z ( ( ( ( + ( ω ω G ω Zˆ G N ω ω ω ω דרך אלטרנטיבית לפתרון: מציאת המסנן האופטימלי לשערוך ( מ- Z ( ω ( על-מנת לקבל שערוך ל- ( ω במסנן (הדטרמיניסטי ω ( כצפוי, בשתי השיטות התקבל אותו המסנן ( ב. מכיוון שהתקבל אותו המסנן, לשתי גישות השערוך תהיה אותה שגיאה ריבועית ממוצעת. (Z ו- ( N בעלי קורלציה. אין הדבר מעיד על קורלציה כלשהי בין ג. כעת נתון כי ל-( N קל לראות את הדבר ע"י הדוגמא הבאה:

6 נגדיר ו- N( ( ( N( Z + ( ( Z יכול להיות בעל קורלציה עם קורלציה. וכן עם, N( אם ( חס"ק או בעלי ד. התשובה לסעיף ב' תשתנה. ו-( N עבור ( חס"ק: Z( ( ω ( ω לא ישתנה, ואילו יהיה המסנן האופטימלי לשיערוך במקרה זה, מתוך ( והוא בהכרח יהיה שונה ממה שקיבלנו בסעיף א', ולכן שגיאתו תהיה נמוכה (Z על- מנת לשפר את השערוך יותר. בשיטה הראשונה תנוצל הקורלציה בין ( N לבין ואילו בשיטה השנייה, בעצם העובדה שמשערכים תחילה מ-, ( מאבדים את תרומתו. ( ( הוא חס"ק עם (כי Z( לשערוך N( של ו-( N עבור ( בעלי קורלציה: השגיאה בשיטה הראשונה תהיה נמוכה יותר מאשר בשיטה השניה, כיוון ש- Z( ( ω המסנן הלינארי האופטימלי לשערוך מ- (, ( ולכן לא יתכן מסנן אחר אשר יביא לשגיאה ריבועית ממוצעת קטנה יותר. אולם, במידה וקיימת קורלציה בין ˆ, ˆ ω ביצועי המשערכים ישתוו. שמתקיים ω ו-( N ( ( ( לסיכום, השגיאה הריבועית הממוצעת בשיטה הראשונה תהיה קטנה או שווה לשגיאה הריבועית הממוצעת בשיטה השנייה. הינו כך