בעיות מילוליות - בעיות הספק.6 פתרון: נסמן: מספר המכשירים שתיקן טכנאי א' בשעה אחת (קצב עבודתו). ( ) כל אחד מהטכנאים תיקן מספר המכשירים שתיקן טכנאי ב' בשעה אחת (קצב עבודתו). 0 מכשירים, לכן: 0 שעות משך זמן עבודתו של טכנאי א'. 0 שעות משך זמן עבודתו של טכנאי ב'. נרכז את הנתונים בטבלה: זמן קצב (הספק) העבודה טכנאי א' טכנאי ב' על-פי הנתונים, טכנאי ב' 0 0 0 עבד ב- שעות יותר מטכנאי א', לכן נקבל את המשוואה הבאה: 0 0 = ( ) 0 0( ) = ( ) 8 60 = 0 / : 0 =, = 0 נפסול את התוצאה =, כי קצב העבודה הוא ערך חיובי, לכן =. קיבלנו כי טכנאי א' תיקן מכשירים בשעה אחת וטכנאי ב' תיקן מכשירים בשעה אחת. תשובה:., 79.6 פתרון: נסמן: מספר המ"ר שריצף פועל א' ביום עבודה אחד (קצב עבודתו של פועל א' ). ( + ) כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים 8 מספר המ"ר שריצף פועל ב' ביום עבודה אחד (קצב עבודתו של פועל ב' ). ימים משך זמן עבודתו של פועל א'.
8 ימים משך זמן עבודתו של פועל ב'. + נרכז את הנתונים בטבלה: זמן קצב (הספק) העבודה פועל א' 8 8 8 + פועל ב' + על-פי הנתונים, פועל א' עבד ביום אחד יותר מפועל ב', לכן נקבל את המשוואה הבאה: 8 8 = ( + ) 8( + ) 8= ( + ) + + = + + = = = 8 8 0, 8 8 נפסול את התוצאה 8 =, כי קצב העבודה הוא ערך חיובי, לכן =. כלומר, הפועל הראשון ריצף מ"ר ליום עבודה אחד והפועל השני ריצף 7 מ"ר ליום. תשובה: מ"ר, 7 מ"ר..6 פתרון: נסמן: מספר חלקי חילוף מסוג א' שהפועל מכין ביום עבודה אחד מספר חלקי חילוף מסוג ב' שהפועל מכין ביום עבודה אחד 0 ימים ימים הזמן הדרוש לפועל להכין את כל חלקי החילוף מסוג א' הזמן הדרוש לפועל להכין את כל חלקי החילוף מסוג ב' לפי הנתונים, הזמן הדרוש לפועל להכין את כל חלקי החילוף הוא 6 ימים, לכן נקבל את המשוואה הראשונה: 0 + = 6 נוסף על כך, נתון כי לאחר שהפועל הכין במשך יומיים חלקי חילוף מסוג א' ובמשך יום אחד הכין חלקי חילוף מסוג ב', הוא סיים להכין 8 חלקי חילוף. לכן המשוואה השנייה היא: + = 8 נפתור את מערכת המשוואות הבאה: 80 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
0 7 + = 6 :6 + = 7 + = ( 8 ) 8 8 + = = 8 7( 8 ) + = ( 8 ) 66 + = 8 7 ± 9 7 + 66 = 0, = =, = 9. נפסול את התוצאה = 9., כי מספר חלקי החילוף הוא מספר טבעי, לכן =. נציב את =. כלומר, הפועל מכין חלקי חילוף מסוג א' או = במשוואה = 8 + ונקבל: 0 0 חלקי חילוף מסוג ב' ביום עבודה אחד. תשובה:.0,.6 פתרון: נסמן: מספר העמודים שהקלדנית תכננה להקליד ביום אחד (הקצב המתוכנן). 60 ימים משך הזמן המתוכנן לסיום העבודה. מספר העמודים שהקלדנית הקלידה ב- הימים הראשונים. מספר העמודים שנותרו להקליד. מספר העמודים שהקלדנית הקלידה ביום אחד בשלב השני (הקצב החדש). ( 60 ) ( ) 60 ימים משך זמן העבודה של הקלדנית בשלב השני. נרכז את הנתונים בטבלה: זמן קצב (הספק) העבודה 60 60 60 60 בפועל מתוכנן שלב א' שלב ב' על-פי הנתונים, הקלדנית סיימה את העבודה יום אחד מאוחר יותר מהמתוכנן. לכן, נקבל את המשוואה הבאה: 60 60 60 60 = + = ( ) 60( ) ( 60 ) = ( ) 60 60 60 + = 8 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
± 8 + 60 = 0, = = 8, = 0 נפסול את התוצאה 0 =, כי מספר העמודים הוא ערך חיובי, לכן = 8. הקלדנית תכננה. 60 לסיים את העבודה תוך 0 ימים 8 = תשובה : 0..6 פתרון: נסמן: ק"מ אורך הכביש שקבוצה א' סללה במשך שבוע אחד ) קצב העבודה של קבוצה א'). ק"מ אורך הכביש שקבוצה ב' סללה במשך שבוע אחד ) קצב העבודה של קבוצה ב'). שבועות שבועות הזמן הדרוש לקבוצה א' לסלול 6 ק"מ של כביש. הזמן הדרוש לקבוצה ב' לסלול 6 ק"מ של כביש. קבוצה א' עבדה במשך שבועות שבמהלכם סללה ק"מ מהכביש. קבוצה ב' עבדה במשך שבועות שבמהלכם סללה ק"מ מהכביש ובכך סיימה את סלילתו. + = 7 6 6 לכן, המשוואה הראשונה היא: הזמן הדרוש לקבוצה ב' לסלול 6 ק"מ של כביש, גדול בשבוע מהזמן הדרוש לקבוצה א' לסלול 6 6 = 6 ק"מ של כביש. לכן המשוואה השנייה היא: נפתור את מערכת המשוואות הבאה: 7 7 + = = = 7 6 6 = 6 6 = 7 7 6 6 = 7 6 9( 7 ) = 9 + 08 = 7 + 80 9 = 0 : + 60 86 = 0 =, = 7 נציב את =. = נפסול את התוצאה 7 =, כי אורך הכביש הוא ערך חיובי, לכן 7 =. הקבוצה הראשונה סללה ק"מ במשך שבוע אחד במשוואה: = ונקבל כי 9 של עבודה והקבוצה השנייה סללה 9 ק"מ במשך שבוע אחד של עבודה. תשובה: ק"מ, 9 ק"מ. 8 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
אורך התעלה שהטרקטור הראשון חפר במשך שעה אחת..66 פתרון: נסמן: מ' מ' אורך התעלה שהטרקטור השני חפר במשך שעה אחת. לכן נקבל את אי השוויון 8 > + ( + ) שעות הזמן הדרוש לטרקטור א' לסיים את עבודתו. 8 שעות הזמן הדרוש לטרקטור ב' לסיים את עבודתו. + בסיום עבודתם, טרקטור ב' הקדים את טרקטור א' ביותר משעה אחת. הבא: ( + ) לפי הנתונים, > 0, לכן נכפיל את שני אגפי אי השוויון ב- ונקבל: ( + ) 8 > ( + ) + 8 8 > + + 8 8 < 0. ו- = 6 הם: = אך כאמור לעיל, מתקיים > 0 ולכן + 8 8= המשוואה הריבועית 0 של אי השוויון הוא: תשובה: < 6 0<. מכאן שהפתרון. 0< < 6. < < 6.67 פתרון: נסמן: מספר הפריטים שמכין פועל א' בשעה אחת מספר הפריטים שמכין פועל ב' בשעה אחת שעות שעות הזמן הדרוש לפועל א' להכין מחצית מכמות הפריטים הזמן הדרוש לפועל ב' להכין מחצית מכמות הפריטים לפי הנתונים, הזמן הדרוש לפועל א' להכין 0 פריטים גדול בשעתיים מהזמן הדרוש לפועל ב' 0 0. = 0 פריטים. 0 0 להכין לכן נקבל את המשוואה הראשונה: נוסף על כך, נתון שאם שני הפועלים יעבדו ביחד, כעבור 6 שעות של עבודה הם יכינו ( ) פריטים. לכן המשוואה השנייה היא: =. 6 + נפתור את מערכת המשוואות הבאה: 0 0 0 0 : = 0 0 = = = 9 6( + ) = :6 + = 9 8 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
0 0( 9 ) = ( 9 ) 0 80 + 0 = 9 ± + 80 = 0, = =, = 6. = 9 = = ו- נפסול את התוצאה 6 =, כי מספר הפריטים הוא ערך חיובי, לכן קיבלנו כי פועל א' מכין פריטים בשעה, לכן הזמן הדרוש לו להכין לבד 80 פריטים הוא: 80 מכין פריטים בשעה, לכן הזמן הדרוש לו להכין לבד 80 פריטים 0 שעות =. פועל ב'. 80 הוא: 6 שעות = תשובה : 0 שעות, 6 שעות..68 פתרון: נסמן: מספר המדפים שהכין נגר ב' ביום אחד של עבודתו. מספר הפריטים שהכינו שני הנגרים בכל פעם (כל העבודה). בפעם הראשונה, נגר א' עבד במשך לבדו 6 מדפים. 7 ימים, בקצב של 8 מדפים ליום, ולכן הוא הספיק להכין מספר המדפים הנותרים שהכינו שני הנגרים ביחד בפעם הראשונה. מספר המדפים שהכינו שני הנגרים ביחד ביום אחד של עבודתם. מספר הימים ששני הנגרים עבדו ביחד בפעם הראשונה. מספר הימים ששני הנגרים עבדו ביחד בפעם השנייה. ( 6) ( 8+ ) 6 8+ 8+ 6 7 ימים ובפעם השנייה לפי הנתונים, בפעם הראשונה העבודה בוצעה במשך + 8+ העבודה בוצעה במשך ימים. ידוע כי בפעם השנייה, העבודה בוצעה ב- ימים פחות 8+ מאשר בפעם הראשונה. לכן נקבל את המשוואה הבאה: 6 6 6 7+ = 7+ = 7 = 8+ 8+ 8+ 8+ 8+ 8+ 6 = 6= ( 8+ ) : = 8+ = 6 8+ קיבלנו כי נגר ב' מכין 6 מדפים ביום. תשובה:. 6 8 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
.69 פתרון: בבעיות הספק המבוססות על ביצוע חלקים מהעבודה נסמן ב- את העבודה השלמה. התוצאה שתתקבל אינה תלויה בכמות העבודה ולכן אין צורך לסמן את כמות העבודה במשתנה. העבודה השלמה. נסמן: הזמן הדרוש לפועל א' לבצע לבדו את כל העבודה. ימים ( + ימים ) הזמן הדרוש לפועל ב' לבצע לבדו את כל העבודה. קצב העבודה (ההספק) של פועל א'. קצב העבודה (ההספק) של פועל ב'. + 8 החלק מהעבודה שמבוצע על-ידי פועל א' במשך 8 ימים. החלק מהעבודה שמבוצע על-ידי פועל ב' במשך ימים. + נרכז את הנתונים בטבלה: זמן קצב (הספק) לבד בפועל פועל א' פועל ב' פועל א' פועל ב' העבודה 8 + + + ( + ) 8 לפי הנתונים, אם פועל א' יעבוד לבדו במשך 8 ימים ואחריו פועל ב' יעבוד לבדו במשך ימים, ביחד, הם יסיימו את כל העבודה. המשוואה המתקבלת היא: 8 + = ( + ) 8( + ) + = ( + ) + + + = + = = = 8 0 0, נפסול את התוצאה =, כי זמן הוא ערך חיובי, לכן =. פועל א' מבצע לבדו את כל העבודה תוך ימים ופועל ב' מבצע לבדו את כל העבודה תוך ימים =. + תשובה: ימים, ימים. 8 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
.70 פתרון: נסמן: דקות דקות העבודה השלמה (נפח המכלית). הזמן הדרוש לברז ב' למלא את המכלית לבדו. הזמן הדרוש לברז א' למלא את המכלית לבדו. ( + 0) קצב העבודה של ברז ב'. קצב העבודה של ברז א'. + 0 החלק מהעבודה שבוצע על-ידי ברז ב' תוך דקות. החלק מהעבודה שבוצע על-ידי ברז א' תוך דקות. + 0 נרכז את הנתונים בטבלה: זמן קצב (הספק) העבודה + 0 + 0 + 0 + 0 לבד בפועל ברז א' ברז ב' ברז א' ברז ב' לפי הנתונים, שני הברזים מילאו ביחד את המכלית תוך דקות. לכן נקבל את המשוואה הבאה: + = ( + 0 ) + ( + 0 ) = ( + 0 ) + 0 ± 6 + + 0 = + 0 0 = 0, = = 0, = 6 נפסול את התוצאה 6 =, כי זמן הוא ערך חיובי, לכן = 0. ברז ב' ממלא לבדו את המכלית תוך 0 דקות. ברז א' ממלא לבדו את המכלית תוך 0 דקות=. 0 + 0 תשובה: 0 דקות, 0 דקות. 86 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
.7 פתרון: נסמן: העבודה השלמה (כמות המים בבריכה מלאה). שעות. קצב העבודה של ברז א'. החלק מהעבודה שבוצע על-ידי ברז א' תוך קצב העבודה של ברז ב'. 9 + קצב העבודה של שני הברזים יחד. 9 שעות משך הזמן בו שני הברזים היו פתוחים יחד. + החלק מהעבודה שבוצע על-ידי שני הברזים יחד. 9 בהתאם לכך, נקבל את המשוואה הבאה: 7 + + = + = 6 + 7 = 6 = 9 6 תחילה, ברז א' מילא את הבריכה לבדו במשך שעות. לאחר מכן, שני הברזים מילאו יחד את הבריכה במשך שעות נוספות. לכן הבריכה התמלאה תוך 8 שעות. תשובה: 8 שעות..7 פתרון: נסמן: שעות העבודה השלמה. הזמן הדרוש לטרקטור א' לחרוש לבד את השדה. ( + שעות ) הזמן הדרוש לטרקטור ב' לחרוש לבד את השדה. קצב העבודה של טרקטור א'. קצב העבודה של טרקטור ב'. + החלק מהעבודה שבוצע על-ידי טרקטור א' במשך שעות. החלק מהעבודה שבוצע על-ידי טרקטור ב' במשך שעות. + לפי הנתונים, שני הטרקטורים חרשו 77.% מהשדה. לכן נקבל את המשוואה הבאה: 87 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
0.77 0 ( ) + + = + + = 0 + 0( + ) + 60 = ( + ) 0 + 0 + 60 = + 6 8 ± 78 0 8 0 = 0, = = 8, = 6 0 נפסול את התוצאה: =, כי זמן הוא ערך חיובי, לכן = 8. טרקטור א' יכול לחרוש לבד את כל השדה במשך 8 שעות. טרקטור ב' יכול לחרוש לבד את כל השדה במשך 0 שעות=. 8+ תשובה: 8 שעות, 0 שעות. פתרון:.7 נסמן: ימים ימים העבודה השלמה (מספר הכיסאות בסך-הכל). הזמן הדרוש לנגר ב' לבצע את כל העבודה. הזמן הדרוש לנגר א' לבצע את כל העבודה. קצב העבודה של נגר ב'. קצב העבודה של נגר א'. ( + ) + + 0 החלק מהעבודה שמבוצע על-ידי שני הנגרים יחד במשך 0 ימים. + לפי הנתונים, שני הנגרים יחד, במשך 0 ימים, יכולים להכין מספר כיסאות הגדול פי מהמספר המקורי. לכן נקבל את המשוואה הבאה: 0 + = ( + ) 0( + ) + 0 = ( + ) + 0 + 60 + 0 = + 9 60 = 0 =, = נפסול את התוצאה =, כי זמן הוא ערך חיובי, לכן =. נגר ב' מכין את כל הכיסאות תוך ימים ונגר א' מכין את כל הכיסאות תוך ימים=. + תשובה: ימים, ימים. 88 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
.7 פתרון: נסמן: שעות העבודה השלמה ) נפח הבריכה). הזמן הדרוש לצינור א' למלא את הבריכה. ( שעות ) הזמן הדרוש לצינור ב' לרוקן את הבריכה. קצב העבודה של צינור א'. קצב העבודה של צינור ב'. החלק מהעבודה שבוצע על-ידי צינור א' במשך שעות. החלק מהעבודה שבוצע על-ידי צינור ב' במשך שעות. לפי הנתונים, כאשר הבריכה הייתה מלאה ב- מנפחה, פתחו את שני הצינורות. במשך שעות, צינור א' מילא את הבריכה וצינור ב' ריקן אותה, כתוצאה מכך הבריכה התרוקנה. לכן נקבל את המשוואה הבאה: + = 0 ( ) ( ) + ( ) = 0 + = = = = 0 0 6, נפסול את התוצאה =, כי זמן הוא ערך חיובי, לכן = 6. צינור א' ממלא לבדו את הבריכה ב- 6 שעות. צינור א' מרוקן לבדו את הבריכה ב- שעות. תשובה: 6 שעות, שעות..7 פתרון: נסמן: שעות ( + שעות ) שעות העבודה השלמה (נפח הבריכה). הזמן הדרוש לברז א' למלא לבדו את הבריכה. הזמן הדרוש לברז ב' למלא לבדו את הבריכה. הזמן הדרוש לברז ג' למלא לבדו את הבריכה. קצב העבודה של ברז א'. + קצב העבודה של ברז ב'. קצב העבודה של ברז ג'. 89 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
נרכז את הנתונים בטבלה הבאה: זמן קצב (הספק) העבודה + + + + לבד בפועל ברז א' ברז ב' ברז ג' ברז א' ברז ב' ברז ג' היה פתוח ברז א' היה פתוח במשך שעה, פעל בקצב של ולכן מילא מהבריכה. ברז ב' במשך שעתיים, פעל בקצב של ומילא מהבריכה. ברז ג' היה פתוח במשך + + שעות, פעל בקצב של ומילא מהבריכה. מתקבלת המשוואה הבאה: ( ) + + + = + + + = + ( + ) + 6+ ( + ) = ( + ) + 6+ 6+ + 0= + 6 8± 6 8 6 = 0, = =, = 6 נפסול את התוצאה =, כי זמן הוא ערך חיובי, לכן ב- שעות. ברז ב' ממלא אותה ב- 6 שעות, וברז ג' ב- 8 שעות. תשובה: שעות, 6 שעות, 8 שעות. =. ברז א' ממלא לבדו את הבריכה 90 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
שעות, הם יחרשו.76 פתרון: נסמן: שעות שעות העבודה השלמה (שטח השדה). הזמן הדרוש לטרקטור א' לחרוש לבדו את כל השדה. הזמן הדרוש לטרקטור ב' לחרוש לבדו את כל השדה. קצב העבודה של טרקטור א'. קצב העבודה של טרקטור ב'. החלק מהעבודה שמבוצע על-ידי טרקטור א' ב- שעות. החלק מהעבודה שמבוצע על-ידי טרקטור ב' ב- שעות. לפי הנתונים, אם הטרקטור הראשון יעבוד שעות והטרקטור השני יעבוד את כל השדה. נוסף על כך, לכן המשוואה הראשונה היא: + = נתון שאם שני הטרקטורים יעבדו ביחד במשך שעתיים, הם יחרשו 9 לכן המשוואה השנייה היא: = + 9 נפתור את מערכת המשוואות הבאה: נחבר את שתי המשוואות ונקבל: מהשדה. + = + = 0 + = ( ) = 9 9 = = 9 9 + = = = 6 9 שעות. טרקטור ב' יכול לחרוש לבדו את כל נציב את = 9 במשוואה + = ונקבל: טרקטור א' יכול לחרוש לבדו את כל השדה ב- 6 השדה ב- 9 שעות. תשובה: 6 שעות, 9 שעות. 9 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
.77 פתרון: נסמן: העבודה השלמה. שעות הזמן הדרוש לפועל א' לבצע לבדו את כל העבודה. שעות הזמן הדרוש לפועל ב' לבצע לבדו את כל העבודה. קצב העבודה של פועל א'. קצב העבודה של פועל ב'. נרכז את הנתונים בטבלה הבאה: זמן קצב (הספק) העבודה לבד פועל א' פועל ב' שלב שלב פועל א' פועל ב' פועל א' 6 6 לפי הנתונים, בשלב פועל ב' פועל א' עבד לבדו במשך בקצב של שעות, 6 וביצע 6 מהעבודה. פועל ב' עבד לבדו במשך שעות, בקצב של וביצע מהעבודה. בסופו של שלב זה, שני הפועלים סיימו את כל העבודה. לכן המשוואה הראשונה היא: בשלב 6 + = לבדו במשך פועל א' עבד לבדו במשך בקצב של שעות, וביצע שעות וביצע מהעבודה. הם ביצעו ביחד 6% מהעבודה. עבד פועל ב' מהעבודה, לכן המשוואה 9 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
6 + = 00 6 6 + = + = 6 6 8 + = ( ) = 00 0 6 = = 0 + = = 0 0 השנייה היא: נפתור את מערכת המשוואות הבאה: נחבר את שתי המשוואות ונקבל: מצאנו כי פועל א' מבצע לבדו את כל העבודה במשך שעות ופועל ב' מבצע לבדו את כל העבודה במשך 0 שעות. קצב העבודה של שני הפועלים, כאשר הם עובדים יחד, הוא: + = 0 60 60. : = = 60 שעות לכן הזמן הדרוש הוא: שעות. תשובה: 8.78 פתרון: נסמן: העבודה השלמה. שעות הזמן הדרוש לפועל א' לבצע לבדו את כל העבודה. שעות הזמן הדרוש לפועל ב' לבצע לבדו את כל העבודה. קצב העבודה של פועל א'. קצב העבודה של פועל ב'. וביצע לפי הנתונים, בשלב פועל א' עבד לבדו 8 שעות, בקצב של מהעבודה. מהעבודה. בשלב, שני הפועלים ביצעו 8 70 + = 00 פועל ב' עבד לבדו שעות, בקצב של וביצע 70% מהעבודה. לכן המשוואה הראשונה היא: 9 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
בשלב, שני הפועלים עבדו יחד במשך שעתיים וביצעו ).% = 70% 9.% ( לכן המשוואה השנייה היא: מהעבודה.. + = 00 8 70 8 70 + = 00 + = 00. 9 + = ( ) = 00 0 7 9 = = = 6 0 0 8 7 + = = = 0 6 0 6 נפתור את מערכת המשוואות הבאה: נחבר את שתי המשוואות ונקבל: פועל א' יכול לבצע לבדו את כל העבודה במשך העבודה במשך 0 שעות. תשובה: 6 שעות, 0 שעות. שעות ופועל ב' יכול לבצע לבדו את כל.79 פתרון: העבודה השלמה. נסמן: הזמן הדרוש לנגר א' לבצע לבדו את כל העבודה. שעות הזמן הדרוש לנגר ב' לבצע לבדו את כל העבודה. שעות קצב העבודה של נגר א'. קצב העבודה של נגר ב'. לפי הנתונים, נגר א' עבד שעות בקצב של שעה אחת אחרי נגר א', לכן עבד שעתיים בקצב של ולכן ביצע וביצע מהעבודה. נגר ב' ניגש לעבודה מהעבודה. בשלב הראשון, + = 0 0 שני הנגרים ביצעו מהעבודה. לכן המשוואה הראשונה היא: 9 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
לאחר גמר העבודה, התברר שכל אחד מהנגרים ביצע מחצית מהעבודה. נגר א' מבצע את כל העבודה במשך שעות ולכן הוא מבצע מחצית מהעבודה במשך שעות. באופן דומה, נגר ב' מבצע מחצית מהעבודה במשך שעות. משך זמן העבודה של נגר א' היה גדול בשעה ממשך זמן העבודה של נגר ב'. לכן המשוואה השנייה היא: = נפתור את מערכת המשוואות הבאה: + = 0 0 60 + 0 = 60 + 0 = = = + = 60 + 0( + ) = ( + ) 60 + 80 + 0 = + 78 ± 98 0 78 80 = 0, = = 8, = 0. = + 8= = ו- 0 נפסול את התוצאה =, כי זמן הוא ערך חיובי, לכן 8 נגר א' יכול לבצע לבדו את העבודה ב- 0 שעות. נגר ב' יכול לבצע לבדו את העבודה ב - 8 שעות. תשובה: 0 שעות, 8 שעות..80 פתרון: נסמן: שעות שעות העבודה השלמה (נפח הבריכה). הזמן הדרוש לברז א' למלא לבדו את הבריכה. הזמן הדרוש לברז ב' למלא לבדו את הבריכה. קצב העבודה של ברז א'. קצב העבודה של ברז ב'. על-פי הנתונים, בשלב הראשון ברז א' פעל במשך שעתיים, בקצב של וביצע מהעבודה. 9 = מהעבודה. ברז ב' פעל במשך = + שעות, בקצב של וביצע 9 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
9 + = מכאן שהמשוואה הראשונה היא: ברז א' ממלא לבדו את הבריכה במשך שעות. בשלב השני, הוא ביצע 0% מהעבודה במשך 0. שעות. באופן דומה, ברז ב' ביצע 60% מהעבודה במשך 0.6 שעות. בשלב השני, הבריכה התמלאה תוך 7 שעות. לכן המשוואה השנייה היא: = 7 0.6 0. + נפתור את מערכת המשוואות הבאה: 9 9 + = + = + 9 = + = = 0. 0.6 7 + = 7 + 9 = + = + = + = = = 8 7 70 6 6 89 0 9, 9 6 = =, = = 8 ו- 6 נציב את הערכים של במשוואה = ונקבל : ברז א' ממלא לבדו את הבריכה ב- שעות וברז ב' הבריכה ב- 8 שעות וברז ב' ב- שעות. 6 תשובה: 9 שעות או שעות; ב- 9 או ברז א' ממלא לבדו את שעות. 6 8 שעות, שעות,.8 פתרון: נסמן: העבודה השלמה. שעות הזמן הדרוש לפועל א' לבצע את כל העבודה לבדו. שעות הזמן הדרוש לפועל ב' לבצע את כל העבודה לבדו. קצב העבודה של פועל א'. קצב העבודה של פועל ב'. בשלב הראשון, פועל א' עובד במשך שעות בקצב של פועל ב' עובד במשך שעות בקצב של ומבצע ומבצע מהעבודה. באופן דומה, מהעבודה. שני הפועלים מספיקים לבצע 96 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
6.% מהעבודה ב- שעות. לכן המשוואה הראשונה היא: 6. + = 00 7% מהעבודה שעות. בשלב השני, הוא מבצע פועל א' מבצע לבדו את כל העבודה במשך במשך 0.7 שעות. ידוע שהזמן הדרוש לפועל ב' לבצע 7% מהעבודה, גדול בשעה מהזמן הדרוש לפועל ב' לבצע את כל העבודה. לכן המשוואה השנייה היא: 0.7 = נפתור את מערכת המשוואות הבאה: 6. + = 8 + = + = 8 00 0.7 = = = + = 8 + = 8 7 + = 0 88 + 96 = 0 =, = 8 = במשוואה = ונקבל: < 0 =, נפסול את התוצאה הנ"ל, מאחר נציב את פועל א' יכול לבצע. = וזמן הוא ערך חיובי. נציב את = במשוואה = ונקבל: 8 לבדו את כל העבודה ב- שעות ופועל ב' ב- 8 שעות. תשובה: שעות, 8 שעות. 6.8 פתרון: נסמן: העבודה השלמה. שעות הזמן הדרוש למכונה א' לבצע לבדה את כל העבודה. שעות הזמן הדרוש למכונה ב' לבצע לבדה את כל העבודה. קצב העבודה של מכונה א'. קצב העבודה של מכונה ב'. בשלב הראשון, מכונה א' ייצרה החילוף במשך מחלקי החילוף במשך שעות ומכונה ב' יצרה מחלקי שעות. המכונות עבדו במשך 0 שעות, לכן המשוואה הראשונה היא: 6 97 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
+ = 0 6 9 בשלב השני, מכונה א' עבדה במשך 9 שעות, בקצב של וביצעה מהעבודה. באופן דומה, 9 מכונה ב' עבדה במשך 9 שעות בקצב של וביצעה מהעבודה. החלק מהעבודה שבוצע על- ידי שתי המכונות, בשלב השני, הוא: =. לכן המשוואה השנייה היא: 6 9 9 + = נפתור את מערכת המשוואות הבאה: + = 0 6 6 + = 0 = 0 9 9 8 + 8 = 8 + 8 = + = 8( 0 ) + 8 = ( 0 ) 60 6 + 8 = 0 + = + = = = 8 60 0 : 69 080 0, = 0 נציב את ערכי ו- במשוואה ונקבל: = 0 = 7, = 0 = 0 מכונה א' יכולה לבצע לבדה את כל העבודה ב- שעות ומכונה ב' ב- 7 שעות; או מכונה א' יכולה לבצע לבדה את כל העבודה ב- שעות ומכונה ב' ב- 0 שעות. תשובה: שעות, 7 שעות או שעות, 0 שעות..8 פתרון: נסמן: העבודה השלמה. מספר הפועלים בקבוצה. שעות הזמן הדרוש לקבוצת הפועלים לבצע את כל העבודה. מהעבודה, קצב העבודה של פועלים הוא, לכן הקבוצה יכולה לבצע ב- שעות 0 0 כלומר לבצע את כל העבודה. לכן המשוואה הראשונה היא: 0 = על-פי הנתון, הקבוצה עבדה במשך שעתיים כמתוכנן, בקצב של וביצעה מהעבודה. 0 0 98 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
( לאחר שעזבו שני פועלים, נותרו בקבוצה ( מאוחר יותר מהמתוכנן, כלומר שאר הפועלים עבדו במשך לכן המשוואה השנייה היא: פועלים, אשר סיימו את העבודה שעה וחצי + = שעות. + = 0 0 = 0 = 0 0 + ( ) = 0 + 0 = 0 0 = 0 = 0 + + = 0. + 0 + = 0 קיבלנו מערכת של שתי משוואות: = 0 (. + ). + = 0. + = 60 = 0. + 60 = 0 = 6, = = 6. כלומר 0 =, משום שמספר הפועלים הוא מספר טבעי ולכן נפסול את התוצאה 6 פועלים. בהתחלה היו בקבוצה 6 פועלים. תשובה:.8 פתרון: נסמן: העבודה השלמה (כמות הברגים שהוזמנה). קצב העבודה (ההספק) של כל אחת מהמכונות שבמפעל. מספר המכונות שביצעו את ההזמנה בהתחלה. מספר המכונות שסיימו את העבודה. ( + ) ימים ימים הזמן המתוכנן לביצוע הזמנה בהתחלה. משך זמן ביצוע ההזמנה בפועל. ( ) 99 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
, לכן ב- קצב העבודה של מכונות הוא ימים (כמתוכנן) המפעל יכול לבצע מהעבודה, כלומר לבצע את כל ההזמנה. מכאן שהמשוואה הראשונה היא: = על-פי הנתון, מכונות עבדו במשך ימים כמתוכנן ולכן ביצעו מההזמנה. לאחר מכן, גדל מספר המכונות ב- וכתוצאה מכך, העבודה הסתיימה ב- ימים מוקדם מהמתוכנן, כלומר + מכונות סיימו את ביצוע ההזמנה תוך 6 = ימים. ( + )( 6) + = ( ) = = ( + )( 6) + ( + )( 6) = + = = = + 6 + 0 = + + 0 = ( ) מכאן שהמשוואה השנייה היא: נפתור מערכת המשוואות הבאה: = = + 0 + 0 = + = 0 = + = + = = = 0 0 0,. = = = = 9 נפסול את התוצאה = קיבלנו שבהתחלה עבדו, משום שמספר הפועלים הוא מספר טבעי ולכן מכונות ושבפועל העבודה נמשכה = ( 9 ימים. 6) תשובה: מכונות, 6 ימים. 00 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
..8 פתרון: נסמן: שעות שעות העבודה השלמה ) המרחק בין A ל- ). B הזמן הדרוש לרכבת א' להגיע מ- A ל-. B הזמן הדרוש לרכבת ב' להגיע מ- B ל-. A מהירותה של רכבת א'. מהירותה של רכבת ב'. במהירות ולכן עברה מהמרחק שבין. B ל- A 8 בשלב הראשון, רכבת א' נסעה במשך. שעות,. רכבת ב' עברה מהמרחק שבין מהמרחק כולו ולכן שתי.. + = 8 A ל-. B באופן דומה, לפי הנתונים, כעבור. שעות, המרחק בין שתי הרכבות היה ( = ) 8 8 הרכבות עברו ביחד מהדרך. המשוואה הראשונה היא: נוסף על כך, נתון שרכבת א' הגיעה ל- B שעתיים לפני שרכבת ב' הגיעה ל-. A כלומר, הזמן הדרוש לרכבת ב' להגיע ליעדה, גדול בשעתיים מהזמן הדרוש לרכבת א' להגיע ליעדה. לכן המשוואה השנייה היא: = נפתור את מערכת המשוואות הבאה:.. + = 8 + = 8 ( + ) + = ( + ) = + = 6 + + = 0 + = 0 =, = 6 = = +. לרכבת א' נפסול את התוצאה =, כי זמן הוא ערך חיובי, לכן = ומכאן: 6 דרושות שעות בכדי לעבור את המרחק בין A ל- B ולרכבת ב' דרושות 6 שעות בכדי לעבור את המרחק הנ"ל. תשובה: שעות, 6 שעות. 0 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
.86 פתרון: נשרטט סקיצה: נסמן: C נקודת המפגש של שני הרוכבים. העבודה השלמה ) המרחק בין A ל-.( B. B ל- A שעות הזמן הדרוש לרוכב א' להגיע מ-. A ל- B שעות הזמן הדרוש לרוכב ב' להגיע מ- A C B מהירותו של רוכב א'. מהירותו של רוכב ב'. לפי הנתונים, רוכב א' עבר את הקטע CB במשך שעות, לכן את הקטע AC הוא עבר שעות. רוכב ב' עבר את הקטע AC במשך שעות, לכן את הקטע BC הוא במשך עבר במשך שעות. שני הרוכבים יצאו בו-זמנית זה לקראת זה ועד הפגישה הם היו בדרך במשך פרק זמן שווה. לכן המשוואה הראשונה היא: רוכב א' עבר את הדרך AC במהירות קבועה של הוא: = במשך שעות, לכן המרחק AC ( ) המרחק. רוכב ב' עבר את הדרך BC במהירות קבועה של במשך ( ). AC הוא: נפתור את מערכת המשוואות הבאה: המשוואה השנייה היא: שעות, לכן + = 0 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים
7 = = + 7 6 = + 6 8 8 + = + = + = 7 = + 7 6 = + 7 7 6 6 + 9 6 8 + = + 6 6 = 6 6 + 9 = 6 6 + 9 + = 6 + 7 6 8 = 0 =, = במשוואה שעות, רוכב ב' = =. נציב את נפסול את התוצאה =, כי זמן הוא ערך חיובי, לכן 7 + = ונקבל: =. רוכב א' עובר את המרחק בין A ל- B במשך 6 עובר את המרחק הנ"ל ב- שעות. שעות. שעות, תשובה: 0 כל הזכויות שמורות אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים