מומנט התמדה

מומנט התמדה מילות מפתח: גוף קשיח, מומנט התמד,)nertia( מומנט כוח,)Torque( מטוטלת פיסיקלית, מטוטלת פיתול הציוד הדרוש:, דיסקת אלומיניום תלויה על תייל, גלילים פליז תלויים על תייל, - גלילי פליז עם הברגה, משקלות מלבניות מברזל, מאזניים, קליבר, שעון עצר הניסוי: מטרות להכיר את מושג ההתמדה ושיטות למדידת מומנט התמדה למדוד מומנט התמד בעזרת זמן מחזור של תנועה הרמונית סיבובית לחשב מומנט התמד תוך שימוש בתכונת האדיטיביות ומשפט שטיינר תיאוריה 1 11 מומנט התמד החוק השני של ניוטון F=ma קובע כי יש צורך בכוח על מנת לשנות את מהירותו של גוף מסת הגוף היא למעשה ההתמד של הגוף, כלומר ככל שמסת הגוף גדולה יותר הגוף יתמיד בתנועתו ודרוש כוח גדול יותר כדי לשנות את מהירותו באופן דומה, כאשר גוף קשיח מסתובב סביב ציר מסוים יש לגוף נטייה להמשיך בתנועתו הסיבובית, מומנט ההתמד של הגוף הוא האנלוגיה של המסה כלומר ככל שמומנט ההתמד גדול יותר יש צורך במומנט כוח גדול יותר על מנת לשנות את מהירות הסיבוב של הגוף החוק השני של ניוטון עבור תנועה סיבובית של גוף קשיח בעל מומנט התמד מומנט כוח τ הוא, את מומנט ההתמד מחשבים באופן הבא: הנמצאים במרחקים שונים מציר הסיבוב כאשר α היא התאוצה הזוויתית אשר מופעל עליו כאשר נתון אוסף של מסות נקודתיות ) m i ( ) r i מומנט ההתמד מוגדר ע"י: ( )1( i m i r i -70-

כאשר הגוף הנתון איננו נקודתי ניתן לחלק שמרחקו של כל אלמנט מסה מציר הסיבוב הוא את הגוף לאלמנטי מסה קטנים,m i r i r dm ומומנט ההתמד יהיה: )( מומנט ההתמד יהיה תלוי בנוסף למסה גם במיקומו ובכוונו של ציר הסיבוב לדוגמא: גליל בעל מסה M רדיוס המסה וניצב לבסיסים, מומנט ההתמד הוא: R ואורך L המסתובב סביב ציר העובר דרך מרכז 1 MR מרכז המסה ומקביל לבסיסים מומנט ההתמד הוא:, ואילו אם הציר עובר דרך 1 1 MR ML 4 1 איור 1: מומנט התמד של גליל עבור צירים שונים לרוב, נוח לחשב את מומנט ההתמד של גוף עבור ציר סיבוב העובר דרך מרכז המסה כאשר ציר הסיבוב אינו עובר דרך מרכז המסה אלא בציר אחר המקביל לציר העובר דרך מרכז המסה, נוכל להיעזר במשפט שטיינר לחישוב מומנט ההתמד: איור : מוט המסתובב סביב ציר הסיבוב שלא עובר דרך מרכז מסתו -71-

)3( Mh c m כאשר h הוא המרחק ההסטה בין הציר העובר דרך מרכז המסה לציר האחר ו M מסת הגוף מומנט התמד הוא גודל אדיטיבי, כלומר, מומנט ההתמד של גוף קשיח הבנוי משני חלקים הוא סכום מומנטי ההתמד של כל אחד מהחלקים )כאשר כל המומנטים מחושבים יחסית לאותו ציר( 1 מטוטלת פיסיקלית במערכות בהן הכוח הפועל על גוף הוא כוח מחזיר הפרופורציוני ישר להעתק מתקבלת תנועה הרמונית )ראה מבוא לתדריך תנודות הרמוניות( לדוגמא מסה המחוברת לקפיץ, הכוח שהקפיץ מפעיל פרופורציוני להעתק ומנוגד לו בכוונו )כוח מחזיר( F=-kx משוואת התנועה עבור תנועה הרמונית נכתבת בצורה : ציר הסיבוב )4( T כאשר: בתנועה )ראה עבודת הכנה( d x x 0 dt k וזמן המחזור של התנודות הוא: m מחזורית של מטוטלת פיסיקלית )גוף עם מומנט התמד המתנודד סביב ציר במרחק CM x cm mg sin x cm x cm מנקודת מרכז המסה של הגוף (, המקביל להעתק הפעם הוא זווית הסיבוב,θ ולמסה - מומנט ההתמד )( ואילו לכוח המחזיר המקביל הוא מומנט הכוח המומנט המחזיר הוא, mg sin x cm הפרופורציוני לזווית משוואת התנועה עבור זוויות מספיק קטנות )שבהן ) sin תהיה: mg איור 3: מטוטלת פיסיקאלית -7-

)5( d mg x cm dt וזמן המחזור של התנודות יהיה: )6( T mg x cm בניסוי נשתמש בתנועה הרמונית כדי למדוד את מומנט ההתמד של גופים שונים )עקב העובדה שמומנט ההתמד פרופורציוני לריבוע זמן המחזור( כמו כן, נחשב את מומנט התמד של גופים מורכבים תוך שימוש בתכונת האדיטיביות ובמשפט שטיינר 13 מטוטלת דו חוטית נתלה גליל באורך d באמצעות שני חוטים מקבילים באורך, L כאשר הגליל מתנודד בתנודות סיבוביות קטנות סביב ציר העובר דרך מרכזו ומקביל לבסיסיו מתקבלת תנועה הרמונית נתבונן באיור 4 ונחשב את מומנט הכוח המחזיר: המתיחות בכל אחד מהחוטים היא: כך ש Mg d L, אם הגליל מוסט בזווית קטנה θ נוצרת זווית ф בין החוט לאנך הכוח המחזיר המופעל ע"י החוט על קצה הגליל הוא בקירוב של זוויות קטנות, המומנט השקול הפועל על הגליל הוא: ובהתאם למשוואה )6( זמן המחזור של התנודות יהיה : Mg sin Mgd 4L T 4L Mgd ממדידת זמן המחזור נוכל לחשב את מומנט ההתמד )7( -73-

איור 4: מטוטלת דו חוטית 14 מטוטלת פיתול כאשר מחזיקים תיל בקצה אחד ומסובבים )מפתלים( את הקצה השני בזווית θ, נוצר בתיל מומנט מחזיר השואף להחזיר את התיל למצבו הקודם )עיין בתדריך לניסוי אלסטיות( ערכו יהיה: Ga L 4 כאשר a רדיוס התיל, L אורך התיל ואילו G מומנט הגזירה אם נתלה גוף בעל מומנט התמד נקבל תנועה הרמונית סיבובית עם זמן מחזור T כאשר מומנט ההתמד פרופורציוני לריבוע זמן המחזור )8( 8L a G T 4 באמצעות שיטה זו )מומנט פיתול( מתוך השוואת זמני המחזור ניתן להשוות בין מומנט ההתמד של גופים שונים -74-

פיתול מטוטלת 15 נקודתיות מסות עםם נתבונן במסה נקודתית המסתובבת סביב ציר מסוים כפי שמתואר באיור 5 r a איור 5: גוף נקודתי מסתובב mv Ek ; V r E k m r mr m האנרגיה הקינטית של הגוף הנקודתי היא: כלומר מומנט התמד של גוף נקודתי שמסתו המסתובב סביב ציר מסוים הוא: )9( mr n i1 m r i i ואם יש מערכת של n גופים נקודתיים: כעת נתבונן בדסקה התלויה על תיל דק ועליה מונחות בצורה סימטרית שתי מסות נקודתיות במרחק מהמרכז h m h h m )בניסוי שיבוצע במעבדה אנו משנים את המרחק h בקפיצות שוות ומודדים את זמן המחזור של הדסקה המסתובבת סביב מרכז מסתה( -75-

במצב כזה לפי משוואה )8( ניתן לראות שהביטוי 8 L 4 ag 8 L 4 ag באות α מכאן נוכל לרשום את משוואה )8( בצורה הבאה: ה- כאן הוא מומנט ההתמד הכולל של הדסקה עליה מומנט ההתמד הכולל יחושב לפי: הוא קבוע נסמן את הביטוי T α mh CM disk הגופים ושל ריבוע זמן המחזור של הדסקה עם שני גופים נקודתיים יחושב לפי: T α mh CM disk הנקודתיים המונחים )10( T mh α α CM disk או 16 הכנה עבודת d x x 0, הראה dt x( t) Acos( t הוא פתרון של המשוואה: 1 הראה ש:( שזמן המחזור הוא: T נתונה דסקית גלילית ברדיוס R ומסה M המסתובבת סביב ציר הסימטריה שלה על הדסקית מונחים שני גלילים קטנים ברדיוס r ומסה m כל אחד המרחק בין מרכז כל גליל למרכז הדסקית הוא h חשב את מומנט ההתמד הכולל 3 נתונה דסקית גלילית ברדיוס, R עובי H וצפיפות מסה ρ המסתובבת סביב ציר הסימטריה שלה בדסקית ישנם שני קדחים עגולים ברדיוס r המרחק בין מרכז כל קדח למרכז הדסקית הוא h חשב את מומנט ההתמד 4 בהתאם למשוואה )(, ניתן לחשב את מומנט ההתמד ע"י חישוב האינטגרל חשב את מומנט ההתמד של מוט דק באורך L ומסה M המסתובב סביב ציר העובר בקצה המוט וניצב למוט רמז: אלמנט מסה אינפיניטסימלי יהיה: M x ומרחקו מציר הסיבוב הוא dm dx L -76- r dm

הניסוי מהלך 1 מדידת מומנט התמד של גליל פליז באמצעות מטוטלת דו-חוטית נתון לך גליל פליז עבורו נמדוד את מומנט ההתמד שקול את הגליל, מדוד את אורכו, רדיוסו ואת אורך החוט L עליו הוא תלוי תלה את גליל הפליז כמתואר באיור 4 וודא שהחוטים מקבילים והגליל אופקי הסט את הגליל להתנודד בתנודות סיבוביות סביב ציר העובר במרכזו וניצב לציר הסימטריה, הקפד על תנודות קטנות ממדי מצא את זמן המחזור מתוך מדידת תקופת זמן של 0 מחזורים מצא את מומנט ההתמד בעזרת משוואה )7(, השווה עם הגודל המחושב מתוך כמתואר באיור הגליל 1 יחידות של מומנט התמד הן [ kg m ] MKS במערכת הסבר כיצד משפיעים הברגים הנמצאים בקצות הגליל על המדידה חשוב כיצד תושפע התוצאה אם התנודות לא תהיינה קטנות )האם תקבל תוצאה גדולה או קטנה מהמצופה( מדידת מומנט ההתמד של גליל פליז באמצעות מטוטלת פיתול א גליל המסתובב סביב ציר העובר במרכזו ומקביל לבסיסים תלה את גליל הפליז על תיל פלדה כך שיסתובב סביב ציר מרכז המסה שלו, באופן דומה לניסוי הקודם אך הפעם על תיל פלדה T )1 מצא את זמן המחזור ) מתוך מדידת תקופת זמן של 10 מחזורים מדוד את קוטר התיל ואת אורכו 5 נתונים שני גלילים בעלי רדיוס ומסה זהה אחד הגלילים מלא והשני חלול דק דופן )מומנט התמד שונה( שנהם מתגלגלים מאותה נקודה התחלתית וממצב מנוחה לאורך מישור משופע בהגיעם לתחתית המישור מהירותו של מי מהם תהיה גבוהה יותר? נמק! -77-

מעלה( ומדוד את זמן המחזור במצב זה ( מחזורים ) מתוך מדידת תקופת זמן של 10 ) עבור ציר זה מתוך השוואת זמני המחזור T חשב את מומנט ההתמד במצב ב' ( ושימוש במשוואה )8( השתמש בערך כלומר: 1 שקיבלת מהמטוטלת הדו חוטית T α ; T α 1 1 T 1 1 1 T T1 T α השווה את התוצאה עם הערך המחושב מתוך ממדי הגליל מצא את מהספרות ( ) G steel 10 ואת מודול הגזירה של תיל פלדה, השווה עם הערך הידוע 8410 N m ג דסקית אלומיניום עם משקולות קטנות )גלילים ארוכים( נתונה לך דסקית אלומיניום שמסתה מופיעה על המדבקה, מדוד את רדיוס הדסקית ואת עובייה תלה את דסקית האלומיניום על התיל הקפד שהדסקית תהיה אופקית מדוד את זמן המחזור מתוך מדידת תקופת זמן של 4 מחזורים הברג לדסקית משקולות שוות מסה m במרחק h מהמרכז בצורה סימטרית, מדוד את זמן המחזור חזור על המדידה עבור מרחקים שונים בהנחה שהמשקולות נקודתיים מומנט ההתמד הכולל של הדסקית והמשקולות נתון ע"י : mh cm שרטט בגרף את ריבוע זמן המחזור כפונקציה של h בצע התאמה לינארית לנקודות בגרף שקיבלת וקבל משוואת הישר ב גליל המסתובב סביב ציר העובר במרכזו וניצב לבסיסים תלה כעת את גליל הפליז כך שיסתובב סביב ציר הסימטריה שלו )ראה איור -78-

) כאשר הקבועים הם T b ah משוואת הישר שקיבלת מתארת את משוואה ( 10 a αm ו- b α cm α מצא את cm של הדסקית ואת )העזר במשוואה שקיבלת מתוך הגרף( השווה את מומנט ההתמד שקיבלת עבור הדסקית עם זה המחושב מתוך מימדי הדסקית חשוב כיצד ישפיעו הקדחים על מומנט ההתמד, וכיצד תשפיע העובדה שהמשקולות אינן נקודתיות ד דסקית אלומיניום בתוספת גופים לא נקודתיים נתונים שני גופים זהים בצורת תיבה, מדוד את ממדי התיבה ואת מסתה הנח את הגופים על דסקית האלומיניום במרחק h ממרכזה )בחר לך את המערכת בזווית קטנה מספיק ומדוד את זמן המחזור,) h סובב h h מתוך משוואה )8( עבור מטוטלת פיתול ידוע ש: נסמן את מומנט ההתמד של הדסקית הקודם, 8 L ag T α 4 ללא שום גוף עליה כפי, שמצאת בסעיף tot, 0 ואת מומנט ההתמד של הדסקית יחד עם המשקולות ב- ב- מומנט ההתמד הכללי שווה ל- כאשר: )11( tot 0 tot 0 - מומנט התמד של הדסקה עם התיבות - מומנט התמד של הדסקה בלבד )חושב בסעיף הקודם( -79-

- מומנט התמד של התיבה יחסית לציר הסיבוב העובר במרכז הדסקית מכיוון שהתיבות מסתובבות סביב הציר העובר לא דרך מרכז מסתם, בעזרת משפט שטיינר: יחושב )1( m h C MBOX box tot חשב את לפי הפיתוח הבא: T α T α 0 tot T0 T tot 0 0 0 tot tot tot כאשר: T- tot הוא זמן המחזור של הדסקית עם התיבות עליה T- 0 זמן המחזור של הדסקית בלבד tot מצא את מתוך בהתאם לנוסחה )11( CM BOX חשב את מומנט ההתמד של התיבה סביב מרכז מסתה בהתאם M a b 1 CM BOX ( ) לנוסחה )1( השווה עם הערך המחושב מתוך ממדי התיבות חזור על המדידה של זמן המחזור לדסקית, מהי מסקנתך? כאשר הגופים מונחים בזוויות שונות ביחס -80-