Technion Isrel Institute of Technology הטכניון מכון טכנולוגי לישראל ה פ ק ו ל ט ה ל ה נ ד ס ה א ז ר ח י ת ו ס ב י ב ת י ת ה מ ס ל ו ל ל ה נ ד ס ת מ י פ ו י ו ג י א ו - א י נ פ ו ר מ צ י ה Fculty of ivil nd Environmentl Engineering Geoinformtion Engineering סמסטר ב' תשע"ג 7/07/013 חשבון תאום 811011-1 בחינת סמסטר מועד א' משך הבחינה 18 דקות. מותר השימוש בכל חומר עזר מלבד מחשבים וטלפונים ניידים. מומלץ לקרוא את כל שאלות הבחינה לפני שמתחילים לפתור. יש להתחיל כל שאלה בעמוד נפרד במחברת הבחינה. חשוב להקפיד על סדר ובהירות. פתרון שאיננו מסודר לא ייבדק. שימו לב לחישובים. יורדו נקודות גם בעבור טעויות חישוב. שימו לב ליחידות וספרות מציינות בפתרון. B שאלה מס' 33%( 1 בכדי לחשב את הקואורדינאטות X,Y( של נקודה נמדדו המרחק והאזימות משתי נקודות ידועות ו- B ניתן להתייחס לקואורדינאטות הנקודות ו- B כגדלים קבועים(. X = 130.000 m Y = 00.000 m X B = 100.000 m Y B = 80.000 m. X (0 = 130 m Y (0 = 80 m עבור נקודה נתונים ערכים מקורבים ג. ד. ''5'89 59 אזימות מ- ל- להלן נתונות המדידות, כאשר דיוק מדידת מרחק הינו,±5 mm ודיוק מדידת אזימות הינו "±5. מרחק מ- ל- 79.980 אזימות מ- B ל- ''07'0 00 דרוש לחשב את הקואורדינאטות המתואמות של נקודה תוך שימוש במודל תאום מתווך. 30.010 מרחק מ- B ל- 4%( הגדר/י את הפרמטרים הנעלמים, את התצפיות, ואת מס' דרגות החופש בבעיה. א. 4%( רשומ/י את משוואות התצפית. ב. 0%( פתור/י את הבעיה וחשב/י את הקואורדינאטות המתואמות של נקודה ניתן להניח שהפתרון מתכנס באיטרציה הראשונה(. הצג/י את כל המטריצות והוקטורים הרלוונטיים לפתרון. 5%( חשב/י את השאריות. B ''5'89 59 אזימות מ- ל- 79.980 מרחק מ- ל- ''07'0 00 אזימות מ- B ל- 30.010 מרחק מ- B ל- שאלה מס' 33%( שימ/י לב שהנתונים בשאלה זו זהים לחלוטין לשאלה מס' 1, אך הדרישות שונות. בכדי לחשב את הקואורדינאטות X,Y( של נקודה נמדדו המרחק והאזימות משתי נקודות ידועות ו- B ניתן להתייחס לקואורדינאטות הנקודות ו- B כגדלים קבועים(. X = 130.000 m Y = 00.000 m X B = 100.000 m Y B = 80.000 m להלן נתונות המדידות, כאשר דיוק מדידת מרחק הינו,±5 mm ודיוק מדידת אזימות הינו "±5. דרוש לחשב את הקואורדינאטות המתואמות של נקודה תוך שימוש במודל תאום מותנה ללא פרמטרים(. 3%( הגדר/י את התצפיות, ואת מס' דרגות החופש בבעיה. 5%( מהו מס' התנאים בבעיה? מהו המודל המתמטי המותנה(? רשומ/י את משוואות התנאי. 0%( פתור/י את הבעיה וחשב/י את השאריות ואת המדידות המתואמות ניתן להניח שהפתרון מתכנס באיטרציה הראשונה(. שימ/י לב כי דרוש להציג את כל המטריצות והוקטורים הרלוונטיים לפתרון. 5%( האם אכן התכנסת בתום האיטרציה הראשונה? יש לגבות את תשובתך באמצעות חישוב. א. ב. ג. ד.
שאלה מס' 1%( 3 נתון מודל לינארי( של תאום-מתווך עם אילוצים, כבעית אופטימיזציה מסוג,lest-squres כאשר וקטורי הפרמטרים x והשאריות v הם נעלמים. הוקטור מכיל ערכים סטוכסטיים מדודים, והמטריצות d,, מכילות ערכים קבועים. בנוסף נתונה מטריצת המשקלים P עבור התצפיות. T min ; xv, nn n1 n1 nu su s1 v P v v x x d 0 א. 10%( בטא/י את הפתרון עבור הפרמטרים xˆ, כפונקציה של המטריצות P,,,,d מטריצות אלו בלבד(. שימ/י לב כי השתמשת בשמות משתנים נוספים יש להגדירם. יש להציג את הביטוי בצורה המצומצמת ביותר שניתן לדעתך. אם 10%( מצא/י ביטוי עבור מטריצת ה- covrince של הפרמטרים Σ x מומלץ להשתמש ב"חוק התפשטות ה- covrince " עבור הביטוי שהוגדר בסעיף א'(. גם בסעיף זה יש להציג את הביטוי בצורה המצומצמת ביותר שניתן לדעתך. ב. שאלה מס' 18%( 1 נתון מודל תאום מתווך v x n1 n1 nu u1 לינארי(. וקטור הוא וקטור תצפיות סטוכסטי( ו- v הוא וקטור השאריות. וקטור x הוא וקטור פרמטרים מתואמים המחושב על סמך התצפיות( כך שמביא את סכום ריבועי השאריות המשוקללות v T Pv למינימום. P היא מטריצת המשקלים, ו- מטריצת קבועים. בנוסף נגדיר את המטריצה N. = T P μ x = E[x] נסמן ב- E[] μ = את וקטור התוחלת של התצפיות, וב- את וקטור התוחלת של הפרמטרים המתואמים., הוכח את הזהות הבאה = 0 x μ T Pμ μ x T Nμ תוך שימוש בכך שהתוחלת של השאריות שווה לאפס 0 = E[v].
שאלה מס' 1 פתרון: סעיף א': התצפיות הן שני האזימותים ושני המרחקים מ- ל- ומ- B ל- :. n = 4. α,,α B, B. u = הפרמטרים הנעלמים הם קואורדינאטות הנקודה. Xc,Y : מס' דרגות החופש הינו = 4 = u. n בסעיף זה דרוש היה לפרט מהן התצפיות, ומהם הפרמטרים הנעלמים, ולא רק את מספרם. מי שלא פרט מהן התצפיות איבד נקודה. Y Y X X Y YB X X X X Y (1 v rctg ( v X X Y Y 1 ( 3 v rctg (4 v Y B 3 B 4 B B B סעיף ב': משוואות התצפית הינן בסעיף זה כמעט כולם ענו נכון. ניתן כמובן היה להחליף את הסימנים α, α, B, B בערכים מספרים, או לחילופין להתייחס לאיברים בצד שמאל של המשוואות כתצפיות מתואמות. סעיף ג': בסעיף זה דרוש היה לחשב את הפתרון לבעיית התאום המתווך. ניתן כמובן לבחור בכל סוג של יחידות לאורך מטר, ס"מ, מ"מ( עבור המרחקים, ובכל סוג של יחידות זוויתיות מעלות, דקות-קשת, שניות-קשת, או רדיאן( עבור האזימותים, כל עוד מקפידים על התאמת יחידות. בפתרון המוצג כאן בחרנו ביחידות של מטר למרחקים ושניות-קשת לאזימותים. אלו גם היחידות שנבחרו על-ידי מרבית הסטודנטים. ומטריצת המשלים מתקבלת P = σ 0 Σ ᵇ-1 מההיפוך וקטור התצפיות הינו אלכסון מטריצת ה- covrince של התצפיות dig( P 0.04 40,000 0.04 40,000 1/[ ] 1/[m] 1/[ ] 1/[m] dig( b (5 5 [] 6 (0.005 m 510 [m] 5 (5 [] 6 510 [m] (0.005 m b 89 59 5 79.98 m B 0 00 07 B 30.01 m ניתן כמובן לבחור כל ערך עבור σ 0.-priori( במקרה זה הצבנו 1. b b (0 נשתמש בערכים המקורבים Y (0 X (0 = 80 m, = 130 m בכדי לחשב את ואת וקטור ההפרשים 8 0.0 m 7 0.01 m (0 1 Y Y tg (0 X X (0 X X Y Y (0 1 Y YB tg (0 X XB (0 (0 X X Y B YB (0 (0 90 80 m 0 30 m כל שנותר הוא לחשב את מטריצת הנגזרות החלקיות של משוואות התצפית ביחס לפרמטרים הנעלמים:
Y Y X X 80 0 80 80 X X Y Y 80 0 80 80 Y YB X XB 0 30 30 30 B B X X Y YB B B 0665 0665 0665 0665 0 30 30 30 X Y -578.3 0 [" ]/[m] 0 1 [ - ] 0 6875.5 [" ]/[m] 1 0 [ - ] הכפל בערך "ρ של השורה הראשונה והשלישית במטריצה הוא לצורך התאמת היחידות. כעת נותר רק לסיים את החישוב N -1 = 3.6896E-06 0 0 5.17893E-07 N = T P = 305907.8139 0 0 1930900.01 u = T P = 15.06 115.14. x X 130.004 m Y 80.001 m, x N u 1 0.0040 m 0.0006 m ווקטור הפתרון הינו כך שהקוא' המתואמות של נק' הינן.v = b סעיף ד': בכדי לחשב את השאריות דרוש לחשב את המרחקים והאזימותים המתואמים וקטור ( תוך שימוש בקוא' המתואמות, ואז כיון שמדובר באיטרציה האחרונה נתון בשאלה(, ניתן גם לחשב לפי. v = x שני הפתרונות התקבלו. v = -.3 [ " ] 0.01 [ m ] -3.0 [ " ] -0.006 [ m ] רוב הפתרונות לסעיפים ג' ו-ד' היו נכונים, או כמעט נכונים. טעות נפוצה היתה לבחור ביחידות של שניות או מעלות עבור האזימותים בוקטור ההפרשים, אך לא להתייחס לכך במטריצת הנגזרות החלקיות. על כך הורדו לפחות 5 נקודות. מי שהמשיך בחישוב וקיבל גם ערכים גדולים מאוד עבור השאריות ביחס לדיוקי המדידות(, אך לא התייחס לכך, איבד 3 נקודות נוספות בסעיף ד.
שאלה מס' פתרון:,1 סעיף א': התצפיות הן שני האזימותים ושני המרחקים מ- ל- ומ- B ל- : α, α, B, B כמו בשאלה מס' 1(. מס' דרגות החופש הוא 0. ניתן להסיק זאת מכך שאם היינו מנסים לפתור בעיה זו באמצעות מודל תאום מתווך כמו בשאלה מס' למעשה היינו מנסים למצוא שני פרמטרים תוך שימוש בארבע משוואות תצפית. סעיף ב': מס' התנאים הינו =r. זאת כיון שבמודל תאום מותנה ללא פרמטרים( מס' דרגות החופש זהה למס' התנאים. עבור המודל המתמטי היו מספר אפשרויות נכונות מבחינה תיאורטית בביטויים הבאים התצפיות מסומנות בכחול(. הדרך הפשוטה ביותר היא לבחור בדומה לצלעון( במודל של אי-סגירה ב- X וב- Y : X cos( X cos( B B B Y sin( Y sin( B B B לחילופין, ניתן היה להשתמש ב"חוק הסינוסים" עבור משולש B α B α α α B α B α B + 36 B B sin( sin( sin( B B B B המודל המתמטי יכול לכלול כל צמד מתוך שלוש המשוואות הללו. כמובן שגם מומלץ לכפול במכנים ולעבור לצורה פשוטה יותר בשביל B הגזירה ואז שלוש המשוואות הן: sin( sin( B B B B B B B sin( sin( B sin( sin( B B B B באופן תיאורטי, ניתן היה גם לבחור מודל מתמטי הכולל את "חוק הקוסינוסים", כלומר אחת משלוש המשוואות הבאות במקרה שכזה חישוב הנגזרות עשוי להיות מורכב יותר(. cos( B B B B cos( B B B B cos( B B B B B B לסיכום כל בחירה של שתי משוואות כלשהן מתוך שש המשוואות הללו שלוש עבור "חוק הסינוסים" ושלוש עבור "חוק הקוסינוסים"( מהווה מודל מתמטי אפשרי בבעיה. מי שבחר במס' שונה של תנאים כמובן איבד נקודות, אך עיקר הנקודות על כך ירדו בסעיף ג' כיון שהפתרון כמובן שגוי. אם חלק מהתנאים כן היו נכונים, כן נתנו חלק מהנקודות.
f X cos( X cos( 0 1 B B B f Y sin( Y sin( 0 B B B סעיף ג': נבחר במודל של אי-סגירה ב- X וב- Y במקרה זה החישוב של וקטור w, על-ידי הצבה במשוואות המודל המתמטי, הוא מיידי w X cos( X cos( B B B Y sin( Y sin( B B B -0.0069 [ m ] -0.010 [ m ] החישוב של מטריצת הנגזרות החלקיות B B B 1 1 sin( cos( B sin( B cos( B 1 1 cos( sin( B cos( B sin( B [m] [] [ ] [ ] [m] [] -0.000388 3.88E-05 4.94E-09-1 1.5E-08 1-0.000145-3.39E-05 בחישוב של המטריצה B והוקטור w נעשה שימוש אך ורק בארבע התצפיות dig(p = [ 0.04, 40000, 0.04, 40000 ] [ 1 / ["]² 1 / 1 [m]² / ["]² 1 / [m]² ] ראוי לציין גם שמטריצת המשקלים היא כמו בפתרון שאלה מס' 1: M = BP -1 B T =.87588E-05 1.65431E-09 1.65431E-09.559E-05 נחשב את המטריצה -.3 [ " ] 89 59'50'' 0.01 [ m ] 80.001 m. = b + v = -.99 [ " ] 0 00'04'' -0.006 [ m ] 30.004 m = w,v = -P -1 B T M -1 והתצפיות המתואמות הינן -.3 [ " ] 89 59'50'' 0.01 [ m ] 80.001 m -.99 [ " ] 0 00'04'' -0.006 [ m ] 30.004 m לסיום מחושבות השאריות הפתרונות שהתקבל עבור השאריות אמור להיות זהה לשאלה מס' 1. בתהליך החישוב, מומלץ היה לחשב קודם כל את המטריצה P, 1- B T אשר היא למעשה כפל של העמודות של B T מי שהגיע בחישוב עד מטריצה B ווקטור w בצורה נכונה, קיבל לפחות 15 מתוך עשרים הנקודות. עבור פתרונות בהם היחידות לא תאמו, הורדו לפחות 3 נקודות. בסקאלארים.. סעיף ד': בכדי לודא התכנסות דרוש להציב את התצפיות המתואמות במשוואות התנאי ולודא שמתקיים = 0 F( לדוגמא, עבור הפתרון בדרך הראשונה מתקבלים ערכים 0.0000004 m עבור התנאי הראשון ו- 0.00000009- m עבור התנאי השני. מי שענה נכון מבחינה תיאורטית ללא חישוב( קיבל 3 נקודות מתוך החמש. אם החישוב שגוי רק מפני שתוצאות סעיף ג' שגויות ניתנה נקודה נוספת מתוך החמש. טעות נפוצה היתה לחשב את ה-.-posteriori unit vrince זהו איננו מדד להתכנסות.
שאלה מס' 3 פתרון: למעשה הפתרון לשאלה זו הוצג בהרצאה באופן כעט מלא פרק 11.(, כל שנותר היה למעשה להשלים את החלקים החסרים. סעיף א': דרוש היה לתת ביטוי עבור הפרמטרים המתואמים x המביאים לפתרון של בעית תאום-מתווך עם אילוצים לינארית( T min ; xv, nn n1 n1 nu su s1 v P v v x x d 0 T min ; xv, nn ru rn r1 su s1 v P v x B v w 0 x d 0 x = N -1 u = N -1 ( T M -1 w + T T -1 [ N -1 (- T M -1 w + d ] ניתן להתייחס לבעיה כמקרה פרטי של "מודל משולב עם אילוצים", שעבורו הבעיה הינה והפתרון עבור הפרמטרים כאשר עשינו שימוש ב- ] d M = BP -1 B T ; N = T M -1 ; T = N -1 T ; u = T M -1 w + T T -1 [ N -1 (- T M -1 w +, x + Bv + w = 0. x Iv = 0 כיון שבמקרה שלנו מדובר במודל מתווך עם אילוצים נוכל להחליף את r משוואות-התנאי ב- n משוואות עבור מקרה זה M = BP -1 B T = P -1 N = T M -1 = T P T = N -1 T כתוצאה מכך, w = - ו-. r=n נציב,B = -I T M -1 w = - T P ובנוסף ולכן נקבל לאחר ההצבה x = -N -1 (- T P + T T -1 [ N -1 ( T P + d ] = N -1 T P N -1 T T -1 N -1 ( T P N -1 T T -1 d x = [N -1 N -1 T T -1 N -1 ] T P N -1 T T -1 d והפתרון הינו ניתן כמובן למצוא את הפתרון באמצעות הגדרת פונק',grnge וגזירתה, והשוואת הנגזרות החלקיות לאפס, אך זה עשוי לארוך זמן רב יותר ( vxλ,,, η v Pv ( λ x v ( η x d T T T r1 s1 בפתרונות רבים הוצגו גדלים שאינם מופיעים בשאלה אשר לא הוסבר מהם, ועל כך הורדו נקודות. כל מי שהגיע לביטוי הנכון קיבל לפחות מחצית מהנקודות בסעיף זה, גם אם לא המשיך לצמצם.. לא הורדו נקודות למי שבחר לגזור את פונק' grnge למרות שזה מיותר(. יחד עם זאת, לא נתנו נקודות אם הפתרון שהוצג אינו נכון.
פ סעיף ב': x = [N -1 N -1 T T -1 N -1 ] T P N -1 T T -1 d = R + const. אפשר לייצג את הפתרון בצורה R ולכן ניתן לבטא את מטריצת ה- covrince של הפרמטרים המתואמים תוך שימוש בהתפשטות ה- covrince. Σ x = RΣ R T = [N -1 N -1 T T -1 N -1 ] T P [ σ 0 P -1 ] P[N -1 N -1 T T -1 N -1 ] = σ 0 [I N -1 T T -1 ] N -1 T P N -1 [I T T -1 N -1 ] = σ 0 [N -1 N -1 T T -1 N -1 N -1 T T -1 N -1 + N -1 T T -1 N -1 T T -1 N -1 ] = σ 0 [N -1 N -1 T T -1 N -1 + N -1 T T -1 N -1 ] T = σ 0 ² [ N -1 N -1 T T -1 N -1 ] סעיף ב' כל מי שהציג את הדרך, כלומר שימוש ב"התפשטות ה- covrince " והסביר מהן המטריצות הרלוונטיות לפתרון קיבל לפחות מחצית מהניקוד. מי שהשלים את הפיתוח קיבל ניקוד בהתאם. שאלה מס' 1 פתרון:. μ T Pμ μ T x Nμ x בשאלה זו דרוש להוכיח שעבור מודל מתווך לינארי( + v = x מתקיימת הזהות זהות זו הוצגה בהרצאות בפרק 8.3. דרך אחת לפתרון היא התייחסות למודל המתווך כמקרה פרטי של מודל-משולב, כך שנציב,w=- ו- M, 1- P= ואז הזהות הופכת להיות, μ T =μ T w M -1 x Nμ x μ w אשר עבורה קיימת הוכחה מסודרת בהרצאות המתבססת גם היא על כך ש- = 0 E[v] רק.10..4 v=x יחד עם זאת, דרך פשוטה הרבה יותר היא פיתוח באופן ישיר, תוך שימוש ב- = 0 E[v] וב- µ = µ x, E[] = E[x] E[v] = E[x] 0 ולכן התוחלת של וקטור כלומר,. µ T Pµ = (µ x T P(µ x = µ T x T Pµ x = µ T x Nµ x בשל כך