יחידה 16: בניות באמצעות סרגל ומחוגה שיעור 1. שימוש בסרגל ומחוגה כיצד בונים באמצעות סרגל )ללא מידות( ומחוגה שני קטעים שווים באורכם מנקודה נתונה? תיאור בנייה בנייה נתונה נקודה. משרטטים בעזרת סרגל זווית שקדקודה בנקודה. משרטטים בעזרת מחוגה, קשת שמרכזה, וחותכת את שוקי הזווית בנקודות ו-. נלמד לבצע בניות גאומטריות בסרגל ובמחוגה ונבסס אותן על הגדרות ועל משפטים שלמדנו. ש רטוט קטעים שווים מנקודה נתונה 1. א. בּ צעו את הבנייה לפי התיאור שבמסגרת. ב. ה סבירו מדוע. = משתמשים בסרגל לשרטוט ישרים ולשרטוט קטע בין שתי נקודות. אין משתמשים ביחידות שעל הסרגל למדידה. משתמשים במחוגה לשרטוט מעגלים וקשתות. בעזרת מעגלים או קשתות משרטטים נקודות הנמצאות במרחק שווה מנקודה נתונה או נקודה הנמצאת במרחקים שווים מנקודות נתונות. שילובים במתמטיקה 301
בתקופה שבה חי אוקלידיס )כמשוער בין השנים 330 ל- 275 לפנה"ס( לא היו כלי הנדסה למדידת אורכי קטעים וגדלים של זוויות. תכנון מבנים ומקדשים התבצע באמצעות סרגל )ללא מידות( ומחוגה. בעקבות זאת פיתח אוקלידס גאומטרייה המבוססת על הנחות יסוד שאפשרו שרטוט ישרים ומעגלים בלבד. סרגל, מחוגה ומשפטים גאומטריים מאפשרים ליצור בניות יסודיות ובניות של צורות מורכבות יותר. ש רטוט נקודה הנמצאת במרחק שווה משתי נקודות נתונות 2. נתונות שתי נקודות ו-. יש לבנות שני קטעים שווים באורכם מהנקודות ו-. תיאור בנייה בנייה מסמנים שתי נקודות ו-. משרטטים שתי קשתות באותו רדיוס. אחת מהנקודה והשנייה מהנקודה. מסמנים את נקודת החיתוך* של הקשתות באות. * נקודת חיתוך נוספת נמצאת מתחת לקטע באותו מרחק. מחברים את ואת. א. בּ צעו את הבנייה לפי התיאור. ב. ה סבירו מדוע. = חושבים על... 3. נקודה נמצאת על ישר. א. ב נו בעזרת מחוגה וסרגל משולש שווה-צלעות, שאחת מצלעותיו על הישר. ת ארו את מהלך הבנייה. ב. ה סבירו מדוע המשולש שבניתם שווה-צלעות. 302 שילובים במתמטיקה
העתקת קטע נתון בנקודה נתונה על ישר 4. נתונים קטע, וישר שעליו נקודה. יש להעתיק את הקטע על הישר, בנקודה. תיאור בנייה בנייה משרטטים ישר ועליו נקודה. פותחים את המחוגה ברדיוס הקטע ומשרטטים קשת ברדיוס הזה מהנקודה. מסמנים אחת מנקודות החיתוך של הקשת והישר באות. א. בּ צעו את הבנייה לפי התיאור. ב. ה סבירו מדוע. = שילובים במתמטיקה 303
5. נתונים שלושה קטעים b,, ו- c. א. בּ נו, לפי תיאור הבנייה, משולש שאורכי צלעותיו כאורכי הקטעים הנתונים. b c תיאור בנייה ש רטטו ישר וס מנו נקודה על ישר. ה עתיקו את הקטע בנקודה על הישר, וס מנו את קצה הקטע באות. ש רטטו קשת ברדיוס אורך הקטע b מהנקודה. ש רטטו קשת ברדיוס אורך הקטע c מהנקודה. ס מנו את נקודת החיתוך של שתי הקשתות באות. ב. האם כל המשולשים הנבנים לפי הנתונים האלה חופפים זה לזה? נ מקו. 6. נתון קטע. ב נו קטע הארוך פי 3 מאורכו של. )אין להשתמש במידות שעל הסרגל.( אוסף משימות 1. א. ב נו קטע שאורכו כסכום שני הקטעים הנתונים. ב. ב נו באמצעות מחוגה וסרגל קטע שאורכו כהפרש שני הקטעים הנתונים. 2. משולש הוא שווה-שוקיים. ב נו משולש חופף למשולש המשורטט. 304 שילובים במתמטיקה
3. ב נו משולש שווה-צלעות, שאורך צלעו כאורך הקטע המשורטט. ב דקו באמצעות מד-זווית שגודל כל זווית 60. 4. ב נו דלתון שאורכי צלעותיו כאורך הקטעים הנתונים ו- b. האם כל הדלתונים הנבנים לפי נתונים אלה, חופפים זה לזה? ה סבירו. b b c 5. ב נו דלתון שאורכי צלעותיו כאורך הקטעים הנתונים ו- b ואורך אלכסונו הראשי כאורך הקטע c. האם כל הדלתונים הנבנים לפי נתונים אלה חופפים זה לזה? ה סבירו. 6. א. ש רטטו משולש כלשהו. ה אריכו, באמצעות סרגל ומחוגה, את צלעות המשולש פעמיים כאורכן. )ראו שרטוט.( E ב. ח ברו את קדקודי המשולש.RH פי כמה גדול שטח המשולש RH משטח המשולש? הוכיחו. ג. ח ברו את קדקודי המשולש.EGK פי כמה גדול שטח המשולש EGK משטח המשולש? הוכיחו. K H R G שילובים במתמטיקה 305
שיעור 2. העתקת זווית איך נע תיק זווית נתונה בלי לדעת את גודלה? איך נ בטיח שהזווית שהעתקנו שווה בגודלה לזווית הנתונה? נלמד להעתיק זווית באמצעות סרגל ומחוגה. 1. נתונה זווית. יש להעתיק את הזווית על ישר בנקודה. תיאור בנייה בנייה מהנקודה משרטטים קשת החותכת את שוקי הזווית הנתונה בנקודות ו-. R E בונים משולש שווה-שוקיים החופף למשולש לפי צ.צ.צ. א. בּ צעו את הבנייה לפי התיאור. ב. ה סבירו מדוע הוא משולש שווה-שוקיים. ג. הוכיחו: = )הוכיחו תחילה כי ). ER העתקת זווית בעזרת סרגל ומחוגה מבוססת על בניית משולשים חופפים לפי צ.צ.צ. דוגמה: במשימה 1 בונים משולש ER חופף למשולש שווה-השוקיים, לפי צ.צ.צ. על-פי השלבים הבאים: משרטטים ישר ועליו נקודה. משרטטים קשת ברדיוס אורך הקטע מהנקודה, ומסמנים את נקודת החיתוך של הקשת עם הישר באות E. משרטטים קשת ברדיוס אורך הקטע מהנקודה E. מסמנים את נקודת החיתוך של הקשתות באות R. משרטטים את RE =, R 306 שילובים במתמטיקה
2. נתונים קטע ושתי זוויות b ו- g. γ β א. ב נו כך שהצלע תהיה באורך הקטע, תהיה בגודל הזווית b, ו- תהיה בגודל הזווית g. )היעזרו בתיאור הבנייה.( β γ שרטוט להדגמת הנתונים תיאור בנייה ה עתיקו את הקטע על ישר בנקודה וס מנו את קצה הקטע באות. ה עתיקו את הזווית b על הישר בנקודה. ה עתיקו את הזווית g על הישר בנקודה. ס מנו את נקודת החיתוך של שוקי הזוויות שהעתקתם באות. התקבל משולש. ב. האם כל המשולשים הנבנים לפי הנתונים במשימה זו, חופפים זה לזה? ה שוו עם חבריכם ונ מקו. 3. נתונים שני קטעים ו- b וזווית g. γ b א. בּ נו משולש שאורכי שתיים מצלעותיו כאורכי הקטעים ו- b וגודל הזווית שבין הצלעות האלה כגודל הזווית g. ש רטטו תחילה שרטוט להדגמת הנתונים. ב. תּ ארו את שלבי הבנייה. ג. האם כל המשולשים הנבנים לפי הנתונים במשימה זו חופפים זה לזה? ה שוו עם חבריכם ונ מקו. שילובים במתמטיקה 307
חושבים על... 4. נתונה זווית )גודלה 60(. א. ב נו זווית שגודלה 2. )רמז: ראו שרטוט.( α ב. ב נו זווית שגודלה 3. ג. מה גודלה של הזווית 3 במעלות? ה סבירו. α אוסף משימות 1. נתונות שתי זוויות, ו- b. ב נו זווית שגודלה. + b β α 2. ה עתיקו את הזווית שגודלה 40. א. ב נו זווית בת 80. ב. ב נו זווית בת 120. 40 ג. הוסיפו בשרטוט זווית בת 60. 308 שילובים במתמטיקה
3. א. ב נו משולש שווה-צלעות ות ארו את הבנייה. ב. האם המשולשים שבונים כל התלמידים חופפים זה לזה? נ מקו. ג. האם המשולשים שבונים כל התלמידים דומים זה לזה? נ מקו. ד. היעזרו במשולש שבניתם ובנו בעזרתו זווית בת 120. α 4. נתון קטע וזווית. א. ב נו משולש שווה-שוקיים שאורך כל שוק שלו כאורך הקטע, וגודל זווית הראש שלו כגודל הזווית. ב. תּ ארו את שלבי הבנייה. ג. האם כל המשולשים הנבנים לפי הנתונים האלה חופפים זה לזה? נ מקו. α 5. נתונים קטע וזווית. א. ב נו משולש שווה-שוקיים שאורך הבסיס שלו כאורך הקטע, וגודל כל זווית בסיס כגודל הזווית. ב. תּ ארו את שלבי הבנייה. ג. האם כל המשולשים הנבנים לפי הנתונים האלה חופפים זה לזה? נ מקו. 6. לפניכם זווית ישרה. א. היעזרו בהעתקת זווית וב נו משולש ישר-זווית שווה-שוקיים. ב. ב נו משולש ישר-זווית שווה-שוקיים נוסף, שאינו חופף למשולש שבניתם בסעיף א. שילובים במתמטיקה 309
7. ב נו מלבן באמצעות העתקת זוויות ישרות. כמה זוויות ישרות העתקתם? ה סבירו. האם כל המלבנים המתקבלים מבנייה כזו חופפים זה לזה? ה סבירו. 8. ב נו, משושה משוכלל חסום במעגל. )ש רטטו תחילה את המעגל שיחסום את המשושה.( α β שרטוט להדגמת הנתונים 9. נתונים קטע, זווית וזווית b. ב נו שבו אורך הקטע כאורך הקטע, גודל הזווית כגודל הזווית b, גודל הזווית )שמול הצלע ) כגודל הזווית. β α 310 שילובים במתמטיקה
שיעור 3. חציית זווית בנינו זווית שגודלה 2 באמצעות העתקת זווית שגודלה )במעלות(. האם אפשר לבנות זווית שגודלה מחצית מגודלה של זווית נתונה? האם אפשר לבנות זווית ישרה באמצעות זווית שטוחה? α נלמד לחצות זווית באמצעות סרגל ומחוגה. 1. נתונה זווית. יש לחלק אותה לשתי זוויות שוות בגודלן. תיאור בנייה בנייה משרטטים זווית כלשהי. משרטטים קשת החותכת את שוקי הזווית, ומסמנים את נקודות החיתוך ב- ו-. משרטטים שתי קשתות בעלות רדיוסים שוות באורכם: קשת אחת מ- וקשת אחת מ-. מסמנים את נקודת החיתוך של הקשתות באות. ומשרטטים קרן דרך א. ב צעו את הבנייה לפי התיאור. ב. הוכיחו כי חוצה את זווית. )ח ברו את ו- ). חציית זווית באמצעות סרגל ומחוגה מבוססת על בניית דלתון ועל תכונת האלכסון הראשי בדלתון. )אפשר להוכיח גם בעזרת חפיפת משולשים לפי צ.צ.צ.( 2. ש רטטו זווית כלשהי וח לקו אותה, בעזרת סרגל ומחוגה, ל- 4 זוויות שוות בגודלן. שילובים במתמטיקה 311
חלוקת זווית לשלושה חלקים שווים בעיית שילוש הזווית )טריסקציה של זווית(, העסיקה את היוונים, בהקשר של תכנון מבנים. בעקבותיהם עסקו מתמטיקאים רבים בבעיה זו, ובמשך 2700 שנים היא נחשבה לאחת מהבעיות הגאומטריות הבלתי פתורות. המתמטיקאי הצרפתי אווריסט ג ל וא ה )1811 1832( - עסק באלגברה ופיתח את תורת החבורות ואת תורת ג ל וא ה הנקראת על שמו. בעקבות התפתחות תורתו של ג ל וא ה, הצליחו מתמטיקאים להוכיח כי ברוב המקרים אי-אפשר לחלק זווית לשלושה חלקים שווים בעזרת סרגל ומחוגה. אנך לישר בנקודה שעל הישר 3. ש רטטו זווית שטוחה וח צו אותה. שרטטתם אנך לישר בנקודה על הישר. אנך לישר מנקודה שמחוץ לישר חושבים על... 4. נתון ישר ונקודה מחוץ לישר. ב נו, בעזרת סרגל ומחוגה אנך לישר מהנקודה. תיאור בנייה בנייה משרטטים קשת שמרכזה בנקודה והיא חותכת את הישר בשתי נקודות ו-. משרטטים שתי קשתות בעלות רדיוסים שווים מהנקודה ומהנקודה. מסמנים את נקודת החיתוך של שתי הקשתות באות, ומחברים את. א. ב צעו את הבנייה לפי התיאור. ב. ח ברו את המרובע והוכיחו כי. 312 שילובים במתמטיקה
בניית אנך לישר בנקודה שעל הישר משמעותה חציית זווית שטוחה. בניית אנך לישר מנקודה שמחוץ לישר מבוססת על תכונת האלכסונים בדלתון. אוסף משימות 1. א. ש רטטו ישר ועליו נקודה. ב. ב נו אנך לישר בנקודה הנתונה. ג. ב נו זווית בת 45 על-ידי חציית אחת מהזוויות הישרות שהתקבלו. ד. ב נו באמצעות סרגל ומחוגה זווית בת 225. 2. א. ש רטטו משולש ישר-זווית ובנו גובה מקדקוד הזווית הישרה. ב. אם יש צורך לשרטט גובה מקדקודי הזוויות החדות, ש רטטו. אם לא, ה סבירו. ג. תּ ארו את הבנייה. 3. ש רטטו משולש. א. ב נו גובה לאחת הצלעות. ב. ב נו מלבן ששטחו כפול משטח המשולש. ג. תּ ארו את הבנייה. שילובים במתמטיקה 313
4. א. ב נו משולש שווה-צלעות. ב. ח צו אחת מהזוויות של המשולש. מה גודלה של כל אחת מהזוויות שהתקבלו? ג. ב נו באמצעות סרגל ומחוגה זווית שגודלה 15. b 5. נתונים שני קטעים, ו- b. ב נו מלבן שאורכי שתיים מצלעותיו הנגדיות כאורך הקטע, אורך שתי הצלעות האחרות כאורך הקטע b. האם כל המלבנים הנבנים לפי הנתונים, חופפים זה לזה? ה סבירו..6 נתון. א. ה עתיקו את המשולש. ב. ח צו כל אחת מזוויות המשולש. אם שרטטתם נכון, שלושת חוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת. 7. נתונים קטע, זווית וזווית b. β α c β γ c שרטוט להדגמת הנתונים א. ב נו כך ש: =, = b, = c ב. ח צו את 314 שילובים במתמטיקה
שיעור 4. חציית קטע יש לחלק את משולש לשני משולשים שווי-שטח באמצעות סרגל ומחוגה. נלמד לחצות קטע באמצעות סרגל ומחוגה. 1. נתון קטע. יש לחלק אותו לשני קטעים שווים באורכם. תיאור בנייה בנייה משרטטים שני מעגלים בעלי אותו רדיוס: האחד שמרכזו והאחר שמרכזו. מסמנים את נקודות החיתוך של שני המעגלים ( ו- T בבנייה.( T מחברים את T ומסמנים את נקודת החיתוך F שלו עם הקטע. T א. בּ צעו את הבנייה על פי התיאור. ב. הוכיחו: F היא אמצע. ג. הוכיחו: T בבנייה שביצעתם, הוא אנך אמצעי של הקטע. חציית קטע באמצעות סרגל ומחוגה מבוססת על בניית דלתון ועל תכונת האלכסון הראשי בדלתון. )אפשר להוכיח גם בעזרת חפיפת משולשים לפי צ.צ.צ.( אנך אמצעי לקטע הוא אנך מאמצע הקטע. חציית קטע זהה לבניית אנך אמצעי לקטע. שילובים במתמטיקה 315
2. נחזור למשימת הפתיחה. א. ח לקו משולש שונה צלעות לשני משולשים שווי-שטח. ב. הוכיחו שהמשולשים שהתקבלו הם שווי-שטח. 3. א. נתונים שני קטעים: ו- b. - ב נו דלתון שאורך אלכסונו המשני כאורך הקטע, ואורך אלכסונו הראשי כאורך הקטע b. )רמז: התחילו מהעתקת האלכסון המשני.( - תּ ארו את הבנייה. b - האם כל הדלתונים הנבנים לפי נתונים האלה חופפים זה לזה? ה שוו עם חבריכם. ונ מקו. c b ב. נתונים שלושה קטעים: ו- b ו- c. - ב נו באמצעות סרגל ומחוגה דלתון שאורך אלכסונו המשני כאורך הקטע, אורך אלכסונו הראשי כאורך הקטע b, ואורך אחת מצלעות הדלתון כאורך הקטע c. - האם כל הדלתונים הנבנים לפי נתונים האלה חופפים זה לזה? ה שוו עם חבריכם ונ מקו. 4. נתון משולש ישר-זווית. א. ב נו משולש ישר-זווית חופף למשולש הנתון ות ארו את הבנייה. ב. ב נו תיכון ליתר במשולש שבניתם. ג. כמה משולשים שווי-שוקיים בבנייה שיצרתם? נ מקו. אוסף משימות 1. נתון קטע. ה עתיקו אותו וח לקו אותו לארבעה קטעים שווים באורכם. 316 שילובים במתמטיקה
m b 2. נתונים שלושה קטעים: b,, ו- m. ב נו משולש, שבו אורך הצלע כאורך הקטע, אורך הצלע כאורך הקטע b ואורך התיכון לצלע כאורך הקטע m. )רמז: בנו תחילה את ). m b שרטוט להדגמת הנתונים 3. ש רטטו משולש. G E א. ב נו תיכון לצלע ותיכון E לצלע. ס מנו את נקודת החיתוך של שני התיכונים באות G. ב. הוכיחו: שטח EG שווה לשטח.G 4. נתון משולש שווה-שוקיים, וקטע. א. ב נו משולש חופף למשולש הנתון. ב. ה שלימו את המשולש לדלתון שאורך אלכסונו הראשי כאורך הקטע. ג. תּ ארו את הבנייה. 5. א. ב נו משולש שווה-צלעות, וב נו את אמצעי צלעותיו. ב. כמה משולשים שווי-צלעות בבנייה שיצרתם? הוכיחו. ג. המשולש הכחול שווה-צלעות. קדקודי המשולש הירוק הם אמצעי הצלעות של המשולש הכחול, וקדקודי המשולש האדום הם אמצעי הצלעות של המשולש הירוק. כמה משולשים שווי-צלעות בשרטוט? K M 6. א. ש רטטו דלתון. ב. ב נו את אמצעי צלעותיו. יתקבל מרובע.KMPT )ראו שרטוט.( T P MP = KT ג. הוכיחו: (I) TKM = KMP (II) KTP = MPT (III) שילובים במתמטיקה 317
שיעור 5. בונים משולשים c נתונים אורכי שני קטעים: ו- c. יש לבנות באמצעות סרגל ומחוגה משולש ישר-זווית שאורך אחד הניצבים שלו ואורך היתר c. נבנה משולשים לפי נתונים שונים ונחקור כמה משולשים מתקבלים בכל בנייה. c 1. היעזרו בתיאור הבנייה ובנו משולש ישר-זווית לפי הנתונים במשימת הפתיחה. שרטוט להדגמת הנתונים תיאור בנייה בנייה משרטטים ישר ועליו נקודה. מעתיקים את הקטע בנקודה על הישר )מתקבל קטע.( בונים אנך לקטע מהנקודה. משרטטים קשת שמרכזה ואורך הרדיוס שלה כאורך הקטע c. הקשת חותכת את האנך בנקודה. מחברים את. ב. האם כל המשולשים הנבנים לפי הנתונים במשימה זו חופפים זה לזה? ה שוו עם חבריכם ונ מקו. 318 שילובים במתמטיקה
בניית משולש ישר-זווית לפי אורך אחד הניצבים ואורך היתר, מבוססת על חפיפת משולשים ישרי-זווית לפי ניצב ויתר. חושבים על... h m m h 2. נתונים שני קטעים h ו- m. א. ב נו משולש שאורך הגובה לצלע שלו כאורך הקטע h, ואורך התיכון לאותה צלע כאורך הקטע m. )רמז: ב נו את משולש E לפי ניצב ויתר והשלימו למשולש ). E שרטוט להדגמת הנתונים האם כל המשולשים הנבנים לפי נתונים האלה חופפים זה לזה? ה שוו עם חבריכם ונ מקו. ב. נתון גם קטע c. - ב נו משולש שאורך הגובה לאחת הצלעות שלו כאורך הקטע h, אורך התיכון לאותה צלע כאורך הקטע m ואורך הצלע כאורך הקטע c. c )רמז: ב נו את משולש E כמו בסעיף א, ח צו את הקטע הנתון c וה עתיקו כל חצי קטע על הישר E משני צידי הנקודה E.( - האם כל המשולשים הנבנים לפי נתונים אלה חופפים זה לזה? ה שוו עם חבריכם ונ מקו. אם לבעיית בנייה יש פיתרון יחיד, אז כל הצורות המתקבלות בבנייה חופפות זו לזו. אם במהלך הבנייה ניתן לשרטט נקודה שרירותית, יכולות להתקבל צורות שאינן חופפות. )כמו בסעיף א במשימה 2.( שילובים במתמטיקה 319
α 3. נתונים קטע, וזווית. א. ב נו משולש שגודל שלו כגודל הזווית, ואורך חוצה הזווית כאורך הקטע. )ש רטטו תחילה שרטוט להדגמת הנתונים.( ת ארו את שלבי הבנייה. האם כל המשולשים הנבנים לפי הנתונים האלה חופפים זה לזה? ה שוו עם חבריכם ונ מקו. ב. נתון קטע נוסף c. ב נו משולש שגודל שלו כגודל הזווית, אורך חוצה הזווית כאורך הקטע, ואורך הצלע כאורך הקטע c. ת ארו את שלבי הבנייה. האם כל המשולשים הנבנים לפי הנתונים האלה חופפים זה לזה? ה שוו עם חבריכם, ונ מקו. c בעקבות... c 4. נתון קטע c. ב נו משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים, שבו אורך היתר כאורך הקטע c. - )ש רטטו תחילה שרטוט להדגמת הנתונים.( תּ ארו את שלבי הבנייה. - האם כל המשולשים הנבנים לפי הנתונים האלה חופפים זה לזה? ה שוו עם חבריכם ונ מקו. - אוסף משימות בכל אחת ממשימות הבנייה ש רטטו תחילה שרטוט להדגמת הנתונים ובסוף הבנייה ר שמו תיאור של שלבי הבנייה. 1. נתונים שלושה קטעים, b,, ו- t. א. ב נו שאורך הצלע שלו כאורך הקטע, אורך הצלע כאורך הקטע b, ואורך התיכון לצלע t. כאורך הקטע ב. האם כל המשולשים הנבנים לפי הנתונים האלה חופפים זה לזה? נ מקו. t b 320 שילובים במתמטיקה
h 2. ב נו שבו אורך הצלע כאורך הקטע, אורך הצלע כאורך הקטע b, ואורך הגובה לצלע כאורך הקטע h. b 3. ש רטטו שני קטעים. א. ב נו משולש שווה-שוקיים שבו אורך הבסיס כאורך אחד הקטעים, ואורך גובה לשוק כאורך הקטע השני. איזה משני הקטעים צריך להיות ארוך יותר: הקטע שאורכו כאורך הבסיס או הקטע שאורכו כאורך הגובה לשוק? ה סבירו. ב. האם כל המשולשים הנבנים לפי הנתונים האלה חופפים זה לזה? נ מקו. h 4. נתונים שני קטעים ו- h. ב נו משולש שווה-שוקיים שבו אורך הבסיס כאורך הקטע, ואורך הגובה לבסיס כאורך הקטע h. האם כל המשולשים הנבנים לפי הנתונים האלה חופפים זה לזה? נ מקו. 5. ש רטטו קטע וזווית. ב נו משולש שווה-שוקיים שבו אורך הגובה לשוק כאורך הקטע, וגודל זווית בסיס כגודל הזווית. E 6. נתון ריבוע ובתוכו מרובע. המרובע הפנימי נוצר על-ידי חיבור אמצעי הצלעות של הריבוע החיצוני. ה עתיקו את השרטוט באמצעות סרגל ומחוגה. G K הוכיחו, על-סמך הבנייה שביצעתם, שהמרובע הפנימי הוא ריבוע. H שילובים במתמטיקה 321
h 7. נתון קטע h. ב נו משולש שווה-צלעות שבו אורך הגובה לצלע כאורך הקטע h. 8. נתונים קטע וזווית. α א. ב נו משולש שווה-שוקיים שגודל זווית הראש שלו כגודל הזווית ואורך חוצה הזווית הזו כאורך הקטע. ב. האם אפשר לבנות משולש שווה-שוקיים שבו אורך זווית הבסיס כגודל הזווית? ה סבירו. 9. שרטטו שני קטעים h ו- b. ב נו משולש שווה-שוקיים שאורך השוק שלו כאורך הקטע b, ואורך הגובה לבסיס המשולש כאורך הקטע h. איזה משני הקטעים צריך להיות ארוך יותר: b או h? נ מקו. 322 שילובים במתמטיקה
שומרים על כושר סטטיסטיקה והסתברות 1. לפניכם תוצאות של סקר שנעשה בכיתה. 20 ילדים ציינו את העונה שהם הכי אוהבים. קיץ אביב חורף עונה 8 6 4 שכיחות א. שרטטו דיאגרמת עמודות להציג את המידע. ב. בוחרים תלמיד באקראי. מה ההסתברות שהתלמיד אינו אוהב את עונת הקיץ? לפניכם ציונים במתמטיקה של תלמידי כיתה ט: 2. סתיו 2 10 9 8 7 6 5 4 ציון 2 4 9 8 4 2 מס' תלמידים 1 א. כמה תלמידים בכיתה? ב. מהו הציון השכיח? ג. מהו הציון הממוצע של התלמידים? ד. שם של תלמיד מהכיתה נבחר באקראי, מה ההסתברות: שציונו יותר מ- 7? שציונו לפחות 6? שציונו 8? שציונו פחות מהממוצע? 3. לפניכם דיאגרמה המתארת את הסיבות העיקריות להגעה לספריה אצל תלמידות כיתות ט. א. מהו אחוז התלמידות שמגיעות לספריה בעיקר לשם חיפוש מידע? ב. מהו אחוז התלמידות שמגיעות לספריה לא לשם חיפוש מידע? ג. בכיתות ט יש 200 תלמידות. כמה תלמידות מגיעות לספריה בעיקר להכנת עבודות? הכנת עבודות 15% משחקים 20% שיחה עם חברות 25% חיפוש מידע 40% בכד 3 כדורים שחורים, 2 כדורים לבנים. מוציאים מהכד, בלי להסתכל, 4 כדורים. 4. ר שמו לכל מאורע, אם הוא: בלתי אפשרי, אפשרי או וודאי. ד. שלושה מהכדורים לבנים וכדור אחד שחור. א. לכל ארבעת הכדורים צבע זהה. ה. לשניים מארבעת הכדורים צבע זהה. ב. שניים מהכדורים לבנים ושניים שחורים. שלושה מהכדורים שחורים וכדור אחד לבן. ו. ג. לכל אחד מארבעת הכדורים צבע שונה. בקופסה 12 פתקים עליהם רשומים המספרים הבאים: 5. 17 27 37 47 57 67 13 23 33 43 53 63 א. מוציאים מבלי להסתכל, פתק אחד. חשבו את ההסתברות של המאורעות הבאים: המספר הנבחר קטן מ- 30, המספר הנבחר זוגי, המספר הנבחר מתחלק ב- 3. ב. לאיזה מהמאורעות הבאים סיכוי גדול יותר? הסבירו. להוציא פתק עליו רשום מספר גדול מ- 50 או להוציא פתק עליו רשום מספר קטן מ- 40. ג. ר שמו מאורע מתאים להסתברות 1 3 שילובים במתמטיקה 323