מטח המרכז לטכנולוגיה חינוכית שבילים מתמטיקה לבית הספר היסודי מדריך למורה תוכן העניינים מבוא לחוברות "שבילים" כיתה ד'....... 3 כפל במאונך.......................... 5 מספרים ראשוניים ומספרים פריקים..... 35 חזקות............................... 51 נספחים................................ 63 1
צוות המתמטיקה במטח ייעוץ מדעי פרופ פרלה נשר ריכוז הצוות ד ר שרה הרשקוביץ כתיבת החוברת לתלמיד והמדריך אסנת אפרת, ד"ר שרה הרשקוביץ, אנטולי קורפטוב, הגר רובינק צוות הפיתוח רגינה אובודנקו, ד ר אלכס אוליצין, אסנת אפרת, ד ר אילנה ארנון, דקלה בר גיל, ד"ר שושנה גלעד, ד ר ילנה זריא, הלית חפר, ד"ר ורדה טלמון, דורית כהן, ד ר לאונטי לבנברג, טובי מגדל, רותי מירון, ילנה נפתלייב, ד ר מיכל סוקניק, אנטולי קורופטוב, הגר רובינק, שלי רוטה, ד ר בבה שטרנברג עריכה חוה בן זקן, יעל רגב עריכת מגדר והפקה דליה בסון צוות הגרפיקה שירה בכר, איילת גוטרמן, ישי יגיל ריכוז השתלמויות ד ר אלכס אוליצין מזכירות הצוות לילך רון, קטרינה שחאדה עיצוב וביצוע גרפי של המדריך למורה חנה פילר עיצוב וביצוע גרפי של החוברת לתלמיד סטודיו ניצן שמיר - מעצבים איורים איתן קדמי הבאה לדפוס גדי נחמיאס הוצאה לאור המרכז לטכנולוגיה חינוכית הודפס בשנת 2006 תודתנו נתונה לבתי הספר היסודיים שהשתתפו בניסוי "שבילים" - כיתה ד, תשס"ו ועזרו לנו בתהליך היצירה והניסוי של חומר זה: "א.ד. גורדון" - תל אביב, "אור לטף" - גבעת אולגה חדרה, "אחד העם" - חדרה, "אם המושבות" - פתח תקוה, "ביה"ס לטבע סביבה וחברה" - תל אביב, "בלפור" - תל אביב, "בן גוריון" - קריית מוצקין, "גורדון" - קריית אתא, "דרור" - חיפה, "הדר השרון" - מושב חרות, "וייצמן" - קריית מוצקין, "זבולון המר" - טירת הכרמל, "יבנה" - גבעת אולגה חדרה, "יחדיו" - קיבוץ רמת הכובש, "מבואות" - באר טוביה, "ממ"ד הרי"ן" - רמלה, "מוריה" - חדרה, "ניצני אשכול" - מועצה אזורית אשכול, "פיק"א" - פתח תקוה, "צמח א" - אשדוד, "פרנקל" - ירושלים, "קדימה" - קריית ביאליק, "קציר" - קציר, "רבין" - שוהם, "רוטשילד" - אור עקיבא, "רוממה" - חיפה, "רמב"ם" - חיפה, "שזר" - תל אביב, "שילה" - פרדס חנה, "שפרינצק" - קריית גת. תודה מיוחדת נתונה לבי"ס שז"ר - הרצליה, שעזר לנו בתהליך היצירה והניסוי של פרקי השברים בכיתה ד. כל הזכויות שמורות למטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית קריית משה רואו, רח קלאוזנר 16, תל אביב, ת ד 39513, מיקוד 61394 צוות המתמטיקה - טל 03-6460177, דוא ל,math@cet.ac.il אתר באינטרנט www.cet.ac.il/math מוקד תמיכה טלפוני של מטח בשעות 18:00-8:00 המספק תמיכה מקצועית: 1-800-366-555 זכויות הקניין הרוחני, לרבות זכויות היוצרים והזכות המוסרית של היוצר/ים בחוברת זו, מוגנות. אין לשכפל, להעתיק, לסכם, לצלם, להקליט, לתרגם, לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני, אופטי, מכני או אחר, כל חלק שהוא מחוברת זו. כמו כן, אין לעשות שימוש מסחרי כלשהו בחוברת זו, בכולה או בחלקים ממנה, אלא אך ורק לאחר קבלת רשות מפורשת בכתב ממטח (המרכז לטכנולוגיה חינוכית). 2
מבוא לחוברות "שבילים" כיתה ד' הסדרה "שבילים" מותאמת לתכנית הלימודים החדשה ומתבססת על: לקחים שהופקו מהפעלת הסדרות "אחת, שתיים ו...שלוש" ו"ועוד אחת" למהדורותיהן השונות במשך כ 25 שנה וממשוב של מורים ומדריכים. שתי הסדרות האלה נכתבו בידי צוות המתמטיקה של המרכז לטכנולוגיה חינוכית (מטח) וצוות המתמטיקה של האגף לתכניות לימודים במשרד החינוך (ת"ל). מחקרים עדכניים שנערכו בתחום הוראת המתמטיקה בארץ ובעולם. לקחים שהופקו מניסוי החוברות הנוכחיות בכיתות. המדריכים למורה כל אחד מהמדריכים למורה כולל הצעות לפעילויות ולדיונים עם התלמידים, חלקם מיועדים לעבודה עם כל תלמידי הכיתה וחלקם לעבודה עם קבוצות תלמידים קטנות יותר. חשוב לעשות עם התלמידים את הפעילויות המוצעות במדריך למורה, מכיוון שהן מעשירות את אלה שבחוברת לתלמיד, ולעתים קרובות משמשות הקדמה והכנה לדפי העבודה הכלולים בה. עם זאת אין הכרח לבצע עם כל התלמידים את כל הפעילויות. דפי העבודה מהחוברת לתלמיד משולבים במדריך למורה (במדריך הדפים האלה מוקטנים). בסוף המדריך למורה יש נספחים המיועדים לצילום לתלמידי הכיתה והם כוללים: דפי רב-דף דפים פתוחים שבדרך כלל אין בהם נתונים מספריים מסוימים. אפשר להשתמש ברב-דף כמו שהוא (התלמידים ישלימו את כל הנתונים החסרים בדף), ואפשר להשתמש בו גם כתבנית לדפים אחרים, כאשר רושמים לתלמידים מראש מקצת מהנתונים והתלמידים משלימים את השאר. באופן כזה אפשר ליצור דפים ברמות שונות, בהתאם לצורכי התלמידים השונים. מבדקים מבחנים המתאימים למהלך הפרק. משחקים הוראות ואבזרים למשחקים המיועדים לתלמיד בודד או לקבוצת תלמידים. הפניות לשימוש במשחקים אלה מופיעות ביחידות השונות במדריך למורה. דפי גזירה דפים לגזירת כרטיסים שישמשו את התלמידים בפעילויות השונות המוצעות במדריך למורה. מקצת הדפים האלה נמצאים גם בחוברות לתלמיד (שם הם מופיעים בצבע). באתר האינטרנט של מטח: www.cet.ac.il/ math אפשר למצוא את דפי הגזירה וכן דוגמאות של דפים מהחוברת. האתר מתעדכן בפעילויות נוספות לאורך השנה. החוברות לתלמיד החוברות פותחות בפנייה למשפחה ובה הסבר קצר על נושאי הלימוד העיקריים. דפי העבודה בחוברות לתלמיד הם משני סוגים: יש דפי עבודה המתאימים לעבודה עצמית, ויש דפים המבוססים על דיונים ועל פעילויות (כיתתיות או קבוצתיות) המתוארות במדריך למורה. בדפי העבודה יש הפניות לפעילויות מתאימות במדריך למורה והערות להורים ולמורים. פעילויות מיוחדות בחוברות: מקצת הפעילויות מסומנות בסמל רצוי לעודד תלמידים המסוגלים לכך להתמודד עם פעילויות בדפים אלה יש פעילויות חזרה על נושאים שכבר נלמדו בפרקים אלה. יש דפים המסומנים בסמל Â Â ÈÁ קודמים וחשוב לחזור עליהם שוב. האבזרים לתלמיד העבודה בחלק מחוברות הלימוד מבוססת על פעילות באבזרים מוחשיים הנמצאים במארז אבזרים לתלמיד. 3
4
כפל במאונך תוכן העניינים מבוא לפרק "כפל במאונך"............................ 6 א. כפל ב 10, ב 100 וב 1,000 (תזכורת)............... 10 ב. כפל בעשרות שלמות ובמאות שלמות............... 14 ג. כפל בעזרת חוק הפילוג............................ 16 ד. כפל במאונך דרך מפורטת........................ 22 ה. כפל במאונך דרך מקוצרת........................ 27 שוב חישוב : - ישר המספרים................................... 32 - פעולות במספרים שלמים......................... 33 נספחים לפרק מבדקים............................................. 64 דפי רב דף.......................................... 71 משחק: כפל בטבלה.................................. 75 משחק: כפל בקובייה................................. 76 5
מבוא לפרק "כפל במאונך" בחוברת זו התלמידים ממשיכים לעסוק בפעולות החשבון, מכירים דרכים לפתרון תרגילי כפל של מספרים רב ספרתיים ולבסוף לומדים את האלגוריתם המקובל של כפל במאונך. במהלך הלימודים בשנים הקודמות הכירו התלמידים את פעולות החשבון (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) וגם חלק מהאלגוריתמים המקובלים לביצוען (חיבור במאונך, חיסור במאונך, כפל במאונך כשהכופל חד ספרתי). המטרות בחוברת זו: להרחיב את הידע של התלמידים על פעולות חשבון (כפל במאונך כשהכופל דו ספרתי ותלת ספרתי), לחזק מיומנויות שקנו התלמידים בשנים קודמות (חיבור, חיסור וכפל של מספרים בתחום האלפים בדרכים שונות) וכן להמשיך ולפתח את תובנת המספרים. בחוברת זו השתדלנו להקפיד על דרך ההוראה הזאת: - נקודת המוצא - עיסוק בבעיה מילולית או מצב מציאותי - פורמליזציה של הבעיה (או המצב) בעזרת תרגיל מתאים - פתרון התרגיל על ידי שימוש במיומנות הנדרשת. רצף ההוראה של הפרק "כפל במאונך" - רקע מתמטי ודידקטי א. כפל ב 10, ב 100 וב 1,000 (תזכורת) ביחידה זו עוסקים בדרכים שונות לחישוב בעל פה של תרגילים מסוגים שונים. דרכים אלה כבר נלמדו בכיתה ג', וכאן הן מופיעות כתזכורת בלבד. דרכי החישוב של כל תרגילי הכפל בעל פה מתבססות על שימוש בחוקי הפעולה (חוק הפילוג, חוק הקיבוץ וחוק החילוף) ועל הבנת המבנה העשרוני. דוגמה א: = 4,000 1,000 4 = 10) (100 4 = 10 100) (4 = 10 400 כאן נעשה שימוש בחוק הקיבוץ. 2,000 300 דוגמה ב: = 2,300 100 3 100 + 20 = 100 23 20 + 3 כאן הפתרון מבוסס על חוק הפילוג ועל הבנת המבנה העשרוני. הערה דידקטית: תלמידים רבים "מכלילים" כפל בחזקות של 10 בעזרת הכלל של "הוספת אפסים". יש להדגיש שכלל זה תקף רק בקבוצת המספרים השלמים השונים מאפס ומשמש דרך לזכור מושג מתמטי מוגדר היטב. חשוב שהתלמידים ילמדו מדוע "הכלל עובד" ולא יסתמכו על זכירת הכלל. ב. כפל בעשרות שלמות ובמאות שלמות בדוגמאות שלהלן נפרט את סוגי התרגילים ביחידה זו ונראה מה הם החוקים שכל סוג תרגילים מתבסס עליהם. דוגמה א - פתרון המבוסס על חוק הקיבוץ: כאן נעשה שימוש בחוק הקיבוץ. 6 40 = 6 (4 10 ) = (6 4) 10 = 24 10 = 240 6
מבוא לפרק "כפל במאונך" דוגמה ב - פתרון שמשתמשים בו בחוק החילוף (יחד עם חוק הקיבוץ): כאן נעשה שימוש בחוק החילוף. כאן נעשה שימוש בחוק הקיבוץ. 60 3 = (6 10) 3 = 6 (10 3) = (6 3) 10 = 180 הערה דידקטית: התלמידים אינם צריכים לדעת לפרט בכל פתרון את החוקים שבהם משתמשים. המידע הכתוב כאן מיועד למורה בלבד. ג. כפל בעזרת חוק הפילוג בכיתה ג' כבר הכירו התלמידים פתרון של תרגילי כפל על ידי פילוג. הם למדו כפל מספר רב ספרתי במספר חד ספרתי וכפל מספר דו ספרתי במספר בעשרות שלמות. בכיתה ד' חוזרים על סוגים אלה ומרחיבים את תחום המספרים שהתלמידים עוסקים בו. להלן פירוט של פתרון התרגילים מהסוגים השונים המבוסס על חוק הפילוג ועל הבנת המבנה העשרוני. - כפל מספר רב ספרתי במספר חד ספרתי: 600 40 8 324 2 = 300 2 + 20 2 + 4 2 = 600 + 40 + 8 = 648 300+20+4 - כפל מספר דו ספרתי במספר בעשרות שלמות: 800 100 45 20 = 40 20 + 5 20 = 800 + 100 = 900 40+5 - כפל מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי: 800 100 120 15 45 23 = 45 20 + 45 3 = 40 20 + 5 20 + 40 3 + 5 3 = 1,035 20+3 40+5 40+5 יש להדגיש שבפתרון התרגילים לא תמיד יעיל להשתמש בפילוג לפי המבנה העשרוני או בפילוג של כפל מעל חיבור. יש מצבים מסוימים שבהם נוח יותר להשתמש בדרכים אחרות. פירוט על כך נביא בהמשך, כשנדון בפעילויות שבחוברת לתלמיד. 7
מבוא לפרק "כפל במאונך" ד. כפל במאונך (דרך מפורטת) ביחידה זו נלמדת דרך פתרון של תרגילי כפל של מספרים רב ספרתיים, שבה כל שלב בתהליך (כל מכפלה חלקית) נכתב במפורט. דרך זו מבוססת על המבנה העשרוני של המספרים הרב ספרתיים, והמטרה המרכזית של לימוד הכפל בדרך זו היא העמקת ההבנה של המבנה העשרוני של המספרים. האלגוריתם המקובל לחישוב הכפל הוא למעשה כתיבה מקוצרת של הדרך הנלמדת בשלב זה, והמעבר אליו נעשה ביחידה הבאה. לפיכך מטרה נוספת היא שהדרך הנלמדת כאן תשמש בסיס להבנת האלגוריתם המקובל ותמנע את טעויות החישוב השכיחות אצל תלמידים המבצעים את החישוב בלי הבנה. האלגוריתם של כפל במאונך מבוסס על חוק הפילוג ועל הבנת המבנה העשרוני. דוגמה: 6 437 לפי המבנה העשרוני: = 400 + 30 + 7 437 לכן ניתן לכתוב את התרגיל כך: 6 7) (400 + 30 + = 6 437 לפי חוק הפילוג נקבל: = 2,622 42 = 2,400 + 180 + 6 7 6 + 30 6 + 400 אפשר לפתור תרגיל זה במאונך כך: יח' עש' מא' אל' 7 יחידות 6 3 עשרות 6 4 מאות 6 + 4 3 7 6 1 4 2 1 8 0 2 4 0 0 2 6 2 2 זיכרון התוצאה הערות: א. שורת הזיכרון הכתובה בפתרון משמשת לזיכרון של תרגיל החיבור שאותו מחשבים לאחר שכופלים את היחידות, העשרות והמאות של המספר התלת ספרתי. כתיבת שורת הזיכרון נעשתה כאן רק כדוגמה. כל מורה ישקול אם להשתמש בכתיבה כזאת לפי הצרכים הלימודיים של כיתה מסוימת. בחוברת לתלמיד לא השארנו מקום מיוחד לזיכרון. 4 3 7 6 4 2 1 8 2 4 ב. חשוב לשים לב למקום שכותבים את מכפלת העשרות ולמקום שכותבים את מכפלת המאות. יש תלמידים השוגים וכותבים את המכפלות כך: יח' עש' מא' אל' יח' עש' מא' אל' 6 7 6 30 6 400 + + 4 3 7 6 4 2 1 8 0 2 4 0 0 2 6 2 2 לתלמידים אלה כדאי להמליץ לפרט את מהלך הפתרון כך: התוצאה 8
מבוא לפרק "כפל במאונך" באותו האופן אפשר לפתור גם תרגילי כפל של מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי. דוגמה: 29 63 לפי המבנה העשרוני: = 20 + 9 29 לכן: 9 63 20 + 63 = 9) (20 + 63 = 29 63 לפי המבנה העשרוני גם: = 60 + 3 63 לכן: 9 3) (60 + + 20 3) (60 + = 9 63 20 + 63 ממשיכים לפתור בעזרת חוק הפילוג ומקבלים: 60 20 + 3 20 + 60 9 + 3 9 = 1,200 + 60 + 540 + 27 = 1,827 פתרון התרגיל במאונך: 29 9 20 63 60 3 9 3 9 60 20 3 20 60 + יח' עש' מא' אל' התוצאה 6 3 2 9 2 7 5 4 0 6 0 1 2 0 0 1 8 2 7 ה. כפל במאונך (בדרך מקוצרת) חשוב לציין ששליטה טובה באלגוריתם המקובל (הדרך המקוצרת) איננה המטרה העיקרית של הפרק, ותלמידים שיתקשו בלימודו יכולים לוותר עליו ולפתור את תרגילי הכפל בדרך המפורטת. 4 3 7 6 2 6 2 2 את התרגיל שפתרנו בעמוד הקודם בדרך המפורטת אפשר לפתור בדרך מקוצרת כמו בדוגמה שממול: בדרך זו כותבים מעל הספרות המתאימות בתרגיל את הספרות שצריך לזכור. התוצאה 2 4 יח' עש' מא' אל' 1 2 4 3 3 6 2 יש תלמידים ששוכחים להוסיף את הספרות הכתובות בזיכרון, לדוגמה: 1 יח' עש' מא' אל' 1 2 4 3 3 9 2 דוגמה לטעות שכיחה אחרת - מוסיפים את הספרה שבזיכרון לפני שכופלים: 1 יח' עש' מא' אל' + 6 3 2 9 5 6 7 1 2 6 1 8 2 7 דוגמה לדרך הפתרון המקוצרת של תרגיל כפל של מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי שאותו פתרנו קודם בדרך המפורטת: התוצאה יח' עש' מא' אל' 9
א. כפל ב 10, ב 100 וב 1,000 (תזכורת) פעילויות פתיחה ניתן לפתוח את הנושא בעזרת ישר המספרים. תלמידים שאינם זוכרים את הכלל הפורמלי של כפל ב 10 וב 100 יכולים להיעזר במודל של ישר המספרים, שיש בו שימוש בחיבור חוזר. 3 100 = 300 1. פתרו בעזרת ישר המספרים. דוגמה 0 100 200 300 ˇ 100 8 = ˇ 4 100 = בפעילות הזאת התלמידים אמורים להיזכר איך כופלים מספר שלם שונה מאפס ב 10 וב 100 ועל סמך זה להגיע לכלל איך כופלים ב 1,000. 2. האם אתם זוכרים את הכללים? א. איך כופלים מספר שלם שונה מאפס ב 10? ב. איך כופלים מספר שלם שונה מאפס ב 100? ג. איך כופלים מספר שלם שונה מאפס ב 1,000? בדרך כלל התלמידים קולטים את הכללים האלה די מהר, אך מקצתם אינם שמים לב למהות הכללים - הגדלת המספר הנכפל פי 10, פי 100 ופי 1,000. לכן מומלץ לדון עם התלמידים בשאלות האלה: מה הקשר בין הגורם שכופלים ובין המכפלה כשכופלים את הגורם ב 10? כשכופלים את הגורם ב 100? כשכופלים את הגורם ב 1,000? רצוי להציע לתלמידים לכתוב במילים כמה מתוצאות הכפל ולבטא אותן בקול רם. כמו כן מומלץ לבצע פעילות הפוכה: להשמיע לתלמידים כמה מספרים ולבקשם לכתוב את המספרים האלה בצורה מקובלת. 10
א. כפל ב 10, ב 100 וב 1,000 (תזכורת) עמוד 6 פעילות 2 ופעילות 4 את כל התרגילים בפעילויות אלה אפשר לפתור בכמה דרכים: שימוש בכלל הפורמלי שימוש במבנה העשרוני דוגמה: 1,000 19 הם תשעה עשר אלף, וכותבים זאת כך: 19,000. שימוש בחוק הקיבוץ דוגמה: = 4,000 1,000 4 = 10) (100 4 = 10 100) (4 = 10 400 כל אחד מהתלמידים יפתור בדרך הנוחה לו. יש להדגיש שהתלמידים אינם חייבים לשלוט במושגים הפורמליים של חוקי החשבון מספיקה מיומנות מעשית. כדי להקנות לתלמידים הרגל להשתמש בשפה המתמטית המקובלת מומלץ להזכיר להם את המונחים שמשתמשים בהם בפעולת הכפל (גורם, גורם, מכפלה). יש לצפות שבשלב זה רוב התלמידים ישתמשו בכלל הפורמלי לפתרון התרגילים. מומלץ לדון עם התלמידים על הקשר שבין הגורם למכפלה כאשר כופלים את הגורם ב 10, ב 100 וב 1,000 ולשאול אותם איך קשר זה בא לידי ביטוי במבנה העשרוני של המספרים. ייתכן שיהיו תלמידים שיתקשו בכתיבה ובקריאה של תוצאות הכפל. 11
א. כפל ב 10, ב 100 וב 1,000 (תזכורת) עמוד 7 פעילות 5 בפעילות זו יש אוסף של משוואות. מומלץ לדון בחשיבות של בדיקת הפתרונות. את הפתרונות אפשר לבדוק בעזרת כללי הכפל ב 10, ב 100 וב 1,000 או בעזרת חוק הקיבוץ. לדוגמה, פתרון סעיף ג: = 60,000 1,000 60 בדיקה: = 60,000 10 10 10 60 = 1,000 60 כל פעם התוצאה גדלה פי 10 ומקבלים בשלבים את המכפלות האלה: 60,000. 6,000, 600, פעילות 6 אפשר לענות על הבעיה בשתי דרכים: א. בעזרת תרגיל שרשרת מחשבים את סך כל הימים (17 18) + ואחר כך מחשבים את סך כל השעות: 10 17).(18 + ב. מחשבים לחוד את מספר השעות ביולי (10 18) ולחוד את מספר השעות באוגוסט (10 17), ואחר כך מחשבים את סך כל השעות: (10 18) + (10 17). יש תלמידים שטועים ופותרים את הבעיה בעזרת תרגיל שרשרת הכתוב כך: 10 17 18. + לתלמידים אלה אפשר להציע להשוות בין תרגיל זה לתרגיל הכתוב כך: 10 (17 18) + מה דומה בשני התרגילים? מה שונה בהם? כמו כן אפשר להציע לתלמידים לכתוב בעיה מילולית שאפשר לפתור בעזרת התרגיל הראשון ובעיה שאפשר לפתור בעזרת התרגיל השני. פעילות 8 מקצת התלמידים מבלבלים בין הפעולות כפל וחיבור. פעילות זו עוסקת בהבחנה בין שתי הפעולות. כדאי לדון עם התלמידים על הקשר שבין גורם למכפלה כאשר כופלים את הגורם ב 10 לעומת הקשר שבין מחובר לסכום כאשר מוסיפים למחובר 10. לדוגמה, אפשר לשאול: מה קורה למספר הספרות של מספר לאחר שכופלים אותו ב 10 בהשוואה למספר הספרות של מספר לאחר חיבור של 10? בכל פעם שכופלים מספר טבעי ב 10 מספר הספרות גדל. לעומת זאת בחיבור 10 למספר יש להבחין בין מקרים שונים: בדרך כלל מספר הספרות אינו גדל, לדוגמה:.40 + 10 = 50 ואולם יש לשים לב גם למקרים "מיוחדים", לדוגמה: = 100 10.90 + 12
א. כפל ב 10, ב 100 וב 1,000 (תזכורת) עמוד 8 פעילות 9 ביצוע הפעילות דורש מהתלמידים גם חוש למספרים (במקרים שאפשר להשלים ספרות) ויכולת הנמקה (במקרים שאי אפשר להשלים ספרות). דוגמה: = 2 10 12 במקרה זה אי אפשר להשלים ספרות. נימוק אפשרי: כאשר כופלים ב 10, הספרה האחרונה במכפלה היא תמיד אפס. פעילות 11 יש תלמידים שפותרים כך: = 20 + 0 10 2 יש להבהיר שפתרון זה איננו נכון בפעילות זו, משום שהם התבקשו להשלים כאן אותו מספר בשני המקומות. פעילות 12 בפעילות זו יש תרגילי שרשרת שבהם פעולות חשבון שונות. אפשר לשאול את התלמידים שאלות נוספות, לדוגמה: - מה יקרה אם נשנה את סדר הפעולות? - מה יקרה אם נשנה את המספר ההתחלתי? פעילות דומה אפשר למצוא ברב דף 1, פעילות 2 (בסוף מדריך זה, עמוד 71). מבדק ליחידה א בסוף המדריך, עמוד 64. 13
ב. כפל בעשרות שלמות ובמאות שלמות המטרה: להוליך את התלמידים לטכניקה של כפל בעשרות שלמות ובמאות שלמות (או להזכיר אותה) על ידי "גילוי עצמי". פעילויות פתיחה 1. פתרו בדרך הנוחה לכם. א כל אחד מ 3 משרדים הזמין בקייטרינג 6 חבילות אוכל. כמה מנות אוכל יש להכין בקייטרינג, אם ידוע שכל חבילה מכילה 10 מנות? חישוב: תשובה: הבעיה הזאת משמשת פתיחה ליחידה זו. אפשר לפתור אותה בשתי דרכים לפחות: דרך א: = 180 10 (6 3) המספר הכולל של החבילות כפול מספר המנות בחבילה. דרך ב: = 180 3 (10 6) מספר המנות לכל משרד כפול מספר המשרדים. ב ארוחת ילדים במסעדה עולה 40 שקלים. כמה עולות 200 ארוחות? חישוב: תשובה: דיון: בכמה דרכים אפשר לפתור את הבעיה? 2. רונית, טל ושירה פתרו את תרגיל הכפל הזה: 20 3. שתיים מהבנות השתמשו בישר מספרים ריק. טל פתרה כך: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 20 = 60 20 20 20 רונית פתרה כך: 3 20 = 60 שירה פתרה בלי להשתמש בישר מספרים: 3 20 = 3 2 10 = 6 10 = 60 14
ב. כפל בעשרות שלמות ובמאות שלמות דיון: מה דומה ומה שונה בשלוש דרכי הפתרון? בדיון אפשר להדגיש שבכל הדרכים התקבלו תוצאות שוות, אף שהדרכים שונות: א. חיבור חוזר של 20 מחוברים שווים ב. חיבור חוזר של 3 מחוברים שווים ג. שימוש בחוק קיבוץ. כל הדרכים נכונות, אך מומלץ לדון ביעילות של כל אחת מהן. רצוי להגיע לידי מסקנה שהשימוש בחוקי החשבון הוא היעיל ביותר. עמוד 9 פעילות 1 לפני פתרון התרגילים מומלץ לדון על הקשר ביניהם ולשער מה יהיה הקשר בין התוצאות ורק לאחר מכן לפתור ולבדוק את ההשערות. פעילות 2 בפעילות זו יש דיון פתוח שאמור להדגיש דרכים שונות של חישוב. אין להגיע לידי מסקנה מכריעה. כל אחד מהתלמידים יכול לפתור בדרך הנוחה לו ביותר. פעילות 4 בפעילות זו התלמידים אינם נדרשים לפתור תרגילי כפל, אלא ניתנת להם משימה הפוכה: המכפלה נתונה, והתלמידים מתבקשים לכתוב תרגילים שונים המתאימים לה. שימו לב גם לאפשרות הזאת: 2,400 1 = 2,400. יש תלמידים שאינם שמים לב לכתוּב בהוראה וחושבים כי המשימה היא לכתוב תרגיל כלשהו (ולא תרגיל כפל דווקא) שתוצאתו היא 2,400, לדוגמה: = 2,400 400.2,000 +.2,000 + 400 10 = 2,400 מומלץ לדון עם התלמידים על החשיבות של קריאת ההוראה והבנת הנקרא. מבדק ליחידה ב בסוף המדריך, עמוד 65. 15
ג. כפל בעזרת חוק הפילוג עמוד 10 פעילות 5 הפעילות עוסקת בפתרון משוואות. התלמידים יכולים לכתוב דרכים שונות לפתרון. לדוגמה: בסעיף א נתונה המשוואה הזאת: = 150 5. דרכי פתרון אפשריות: בעזרת תרגיל החילוק המתאים: = 30 5,150 : ולכן = 150 30.5 על ידי נסייה וטעייה, למשל: 5 10 = 50 5 20 = 100 5 30 = 150 בעזרת תרגיל שרשרת ושימוש בחוק הקיבוץ: (5 3) 10 = 5 (3 10) = 5 30 = 150 אפשר לציין שדרך הפתרון אינה תלויה במקום של הגורם במכפלה (משמאל לסימן הכפל או מימין לו) זהו חיזוק נוסף להבנת חוק החילוף של כפל במספרים טבעיים. רב דף 1 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 71. עמוד 11 פעילות 1 פעילות זו משמשת פתיחה לנושא. ההדגמה הגרפית משמשת כלי לבדיקה מעשית של התשובה. (אפשר למנות את הנקודות ולהשתכנע בנכונות התשובה.) אפשר לבקש מהתלמידים להציע דרך לפתרון הבעיה. בניסוי ראינו שיש תלמידים שמתחילים למנות את הנקודות ויש תלמידים שמחפשים דרך יעילה יותר (חיבור חוזר, כפל). יש לעודד את התלמידים להשתמש בדרך היעילה ביותר במקרים האלה - חישוב בעזרת תרגיל כפל. כנימוק נוסף ליעילות של תרגיל כפל אפשר להביא בעיה דומה שיש בה מספר גדול של שורות ומספר גדול של נקודות בכל שורה. 16
ג. כפל בעזרת חוק הפילוג עמוד 12 בפעילות 3 יש תלמידים שכותבים לבעיה פתרון שגוי כזה: 7 + 13 8 = 20 8 = 160 לתלמידים אלה מומלץ להזכיר את סדר פעולות החשבון ואת תפקיד הסוגריים, ולאחר מכן לבקש מהם לתקן את הפתרון שלהם. הפתרון הנכון: 56 104 = 160 8 13 8 + 7 = 8 13) (7 + או = 160 8 20 = 8 13) (7 + פעילות 4 משמשת הקדמה לדיון שיופיע בהמשך, בפעילות 5, על פילוג מעל חיבור ופילוג מעל חיסור. בפעילות 5 מוצגות שתי דרכים לפתרון אותו תרגיל - פילוג מעל חיבור ופילוג מעל חיסור. שתי הדרכים נכונות, ובכל סעיף בפעילות 6 התלמידים יכולים לשקול באיזו דרך נוח יותר לפתור. בדרך כלל התלמידים נוטים להשתמש בפילוג מעל חיבור, ואולם בסעיף ג נוח להשתמש גם בפילוג מעל חיסור כך: 500 10 98 5 = 100 5-2 5 = 490 100-2 17
ג. כפל בעזרת חוק הפילוג עמודים 18-13 נושא הפעילויות בעמודים האלה הוא כפל מספר תלת ספרתי במספר חד ספרתי וכפל מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי. המודל המוצע כאן הוא המודל של מלבני כפל. בכל מלבן כפל מפרידים (מפלגים) את הגורם (או את שני הגורמים) לפי המבנה העשרוני שלהם. ההפרדה הזאת מסייעת לבצע את תרגיל הכפל בעל פה ובזאת חשיבותה. כמו כן פילוג לפי המבנה העשרוני משמש הכנה ללימוד כפל במאונך. שימו לב, בעמוד 16 אלה הוצעו גם פילוגים שלא לפי המבנה העשרוני. רצוי לדון בדרכים השונות ולהשוות ביניהן: במה הדרכים האלה שונות? (פילוגים שונים) במה הן דומות? (אותה תוצאה) אפשר לשאול את התלמידים איזו דרך נראית להם היעילה ביותר ומדוע. כפעילות פתיחה לתרגילי כפל של מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי (עמוד 17) אפשר להציע לתלמידים את הבעיה הזאת: לאבא היה שדה מלבני. אבא חילק את השדה בין ארבעת ילדיו (דן, רז, דנה ורונה) באופן כזה: 30 מ' 9 מ' 20 מ' החלק של רז החלק של רונה 7 מ' החלק של דנה החלק של דן - חשבו שטחי החלקים של הילדים. - חשבו את שטח השדה כולו. בכמה דרכים אפשר לחשב? 18
ג. כפל בעזרת חוק הפילוג רב דף 2 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 72. 19
ג. כפל בעזרת חוק הפילוג עמוד 19 פעילות 23 פעילות זו משמשת משימת חקר. יש לעודד את התלמידים לחפש קשרים שונים בין המכפלות. מטרת הפעילות היא להראות קשר בין כפל לחיבור. כך, למשל, שורה ראשונה ניתנת להשלמה בשתי דרכים: א. על ידי כפל: 101 1 = 101, 101 2 = 202, 101 3 = 303, 101 4 = 404 ב. על ידי חיבור: 101, 101 + 101 = 202, 202 + 101 = 303, 303 + 101 = 404 אפשר לבקש מהתלמידים לחפש גם קשרים אחרים, למשל, קשר בין המכפלות באלכסון האחר, באלכסונים קצרים וכדומה. פעילות 24 כהכנה לפעילות זו אפשר לבדוק מקרים פרטיים, ורק אחר כך להגיע לידי הכללה. פעילות 25 לפני ביצוע הפעילות אפשר להציע לתלמידים לשער מה יהיו התוצאות הסופיות בשני המקרים המוצגים בפעילות: א. בוחרים מספר, מכפילים אותו ב 5 ולתוצאה מוסיפים 5: = 5 5 + ב. לאותו מספר שבחרנו קודם מוסיפים 1, ואת התוצאה כופלים ב 5 : = 5 (1 + ) האם בשני המקרים יתקבלו תוצאות שוות? 20
ג. כפל בעזרת חוק הפילוג עמוד 20 פעילות 26 פעילות זו ממשיכה את פעילות 24 מהעמוד הקודם. מהתלמידים נדרש להבין ששינוי בגורמים גורר שינוי גם במכפלה. התלמידים יכולים לפתור בדרכים שונות: - לפתור כל סעיף ולהשוות את התוצאות. - לשים לב, למשל, שבתרגיל המקורי יש 4 פעמים 35 ואילו בסעיף א יש רק שלוש פעמים 35. מומלץ לעודד את התלמידים להשלים את הסעיפים בלי חישובים אלגוריתמיים פורמליים אלא בעזרת שיקולים לוגיים שיוליכו לחישובים בעל פה. פעילות 27 התלמידים מתבקשים לזהות את ספרת היחידות בתוצאה של תרגילי כפל. המיומנות הזאת יעילה במצבים רבים בחשבון, אבל בראש ובראשונה בבדיקת הנכונות של פתרון התרגילים. עמוד 21 פעילות 28 שימו לב, יש שוני מהותי מבחינת התלמידים בין התרגיל 22 33 (שבו ספרת היחידות של התוצאה היא תוצאה מיידית של כפל 3 ב 2 ) ובין התרגיל 28 49 (שבו ספרת היחידות של התוצאה היא הספרה האחרונה במכפלה המתקבלת מכפל של 9 ב 8 ). פעילות 29 את הפעילות הזאת אפשר לבצע גם בעזרת חישובים וגם בעזרת אומדן. למשל, בתרגיל 199 3 הגורם השני (199) קטן מ 200, ולכן התוצאה של תרגיל הכפל 199 3 קטנה מהתוצאה של התרגיל 200 3, כלומר קטנה מ 600. מבדק ליחידה ג בסוף המדריך, עמוד 66. 21
ד. כפל במאונך דרך מפורטת התלמידים כבר עסקו בכפל במאונך בכיתה ג'. בכיתה ד' מחזקים ומרחיבים את הנושא הזה. באיור שבראש עמוד 22 מודגש הקשר בין כפל במאונך בדרך מפורטת לבין כפל בעזרת פילוג (מלבן כפל). בעצם אפשר לומר שהדרך המפורטת של כפל במאונך היא שיטה אחרת של שימוש בחוק הפילוג. יש להדגיש ששיטה זו מאפשרת שימוש באלגוריתמים קודמים, למשל, חיבור במאונך. שימו לב, יש דרכים שונות לרשום כפל במאונך: אפשר לכתוב את שורת הזיכרון המשמשת לזיכרון של תרגיל החיבור שמחשבים לאחר שכופלים את היחידות, העשרות והמאות של מספר רב ספרתי במספר חד ספרתי. אפשר לכתוב בצד את כל החישובים של החיבור. אפשר לכתוב בתרגיל את המכפלות בלבד ולבצע את כל החישובים בעל פה. כל מורה יבחר את השיטה המתאימה לצרכים של תלמידי כיתתו. כל השלבים כפל במאונך מבוססים על כפל בתוך לוח הכפל ועל חיבור במאונך. לכן מומלץ לחזור עם התלמידים על מיומנויות האלה. עמודים 23-22 בפעילות שבעמודים אלה יש תרגילי כפל של מספר תלת ספרתי במספר חד ספרתי. מומלץ לפתור אותם עם המורה. לפני שהתלמידים מתחילים לפתור כל תרגיל, רצוי לדון בשאלה: כמה שורות יהיו מתחת לשורות התרגיל? מדוע? בעמודים האלה מופיעים גם תרגילים שיש בהם הספרה אפס. יש תלמידים שמבלבלים בין כפל באפס ובין חיבור של אפס. לכן מומלץ להזכיר לתלמידים אלה איך כופלים באפס. כדי למנוע מהתלמידים טעויות מומלץ להזכיר להם לייחד שורה נפרדת לכל הכפלה באפס. שימו לב, את התרגילים אפשר לפתור בכמה דרכים: בכפל במאונך, בעזרת מלבנים או בעזרת פילוג. אין למנוע מהתלמידים להשתמש בדרכים האלה. רב דף 3 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 73. 22
ד. כפל במאונך דרך מפורטת עמוד 24 בתרגילים שבעמוד זה כופלים מספר ארבע ספרתי במספר חד ספרתי. עמוד 25 בעמוד זה יש דוגמה של כפל במאונך של מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי. שימו לב: שלבי הפתרון המוצגים בעמוד זה קרובים לאלגוריתם המקובל (של כפל במאונך בדרך מקוצרת), משום שהתלמידים נדרשים לבצע אותם בסדר קבוע ונדרש מהם להבין היטב את המבנה העשרוני של המספרים. כדי להדגיש את הסדר הנכון של שלבי הפתרון הוספנו חצים בתוך התרגיל (מובן שאין התלמידים נדרשים לסמן חצים כאלה). 23
ד. כפל במאונך דרך מפורטת עמוד 26 סעיף א יש להביא את כל התלמידים לידי מסקנה שבתרגיל זה כדאי להחליף את סדר הגורמים כדי לפתור את התרגיל בדרך קלה יותר. למשל, אפשר להציג להם סעיף זה כך: + רון פתר כך: יח' עש' מא' אל' שירה פתרה כך: יח' עש' מא' אל' + 4 5 6 1 4 5 3 0 0 2 4 0 0 2 7 4 5 6 1 4 5 5 3 0 0 4 0 2 4 0 0 2 7 4 5 השוו את הפתרונות של שני התלמידים. איזו דרך נוחה יותר? לחיזוק המיומנות של כפל מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי אפשר להציע לתלמידים לשחק במשחק כפל בטבלה. הוראות המשחק ולוח המשחק בסוף מדריך זה, עמוד 75. 24
ד. כפל במאונך דרך מפורטת עמוד 27 את רוב התרגילים בפעילות זו אפשר לפתור בעל פה ולא בכפל מאונך דווקא. כך למשל בסעיפים ב ו ה אחד הגורמים הוא 100. בכפל ב 100 עסקו התלמידים בתחילת הפרק. בסעיפים ג ו ד יעיל להשתמש בפילוג. לדוגמה, את התרגיל שבסעיף ד פותרים בעזרת פילוג כך: 217 11 = 217 10 + 217 1= 2,170 + 217 = 2,378 10+1 בסעיף א אפשר להגדיל את המספר 50 פי 2 ומקבלים את התרגיל 41 100. תוצאת התרגיל החדש היא 4,100. מכיוון שהגדלנו את אחד הגורמים פי 2, תוצאה זו גדולה פי 2 מהתוצאה המבוקשת, ולכן יש להקטין את התוצאה הזאת פי = 2,050 2: 2 4,100 : בסעיף ג כופלים לראשונה מספר תלת ספרתי במספר דו ספרתי. רצוי לדון כאן בשאלה: כמה שורות יהיו מתחת לשורות הגורמים? מדוע? לאחר מכן אפשר לתת לתלמידים לנסות לפתח שיטה לפתרון בכוחות עצמם. רצוי להדגיש שדרך הפתרון שהם למדו מתאימה לכל המספרים ללא תלות במספר הספרות שבכל אחד מהגורמים. עמוד 28 חלק מהתלמידים מנסים לפתור את התרגיל שבפעילות 3 בעזרת פילוג מורחב. 113 123 = (100 + 10 + 3) (100 + 20 + 3) = 100+10+3 100+20+3 = 100 100 + 100 20 + 100 3 + 10 100 + 10 20 + 10 3 + 3 100 + 3 20 + 3 3 במקרה כזה אפשר להציע לתלמידים להשוות את הדרך שלהם לדרך המפורטת של כפל במאונך ולהביע את דעתם על היעילות של שתי הדרכים. 25
ד. כפל במאונך דרך מפורטת עמוד 29 בפעילות 6 בכל התרגילים פרט לסעיף ג יש אפס באחד הגורמים או בשניהם. בדיון בכיתה כדאי להביא את התלמידים לידי מסקנה שבמקרה של כפל באפס אפשר לחסוך שורות ולכתוב כמו + + 8 6 4 0 2 4 0 3 2 0 0 3 4 4 0 7 8 0 3 0 2 4 0 0 2 1 0 0 0 2 3 4 0 0 בדוגמאות שלהלן. סעיף א במקום לכתוב כך: אפשר לכתוב כך: + + 8 6 4 0 0 0 2 4 0 3 2 0 0 3 4 4 0 7 8 0 3 0 0 0 0 2 4 0 0 2 1 0 0 0 2 3 4 0 0 סעיף ז במקום לכתוב כך: אפשר לכתוב כך: עמוד 30 בעמוד זה יש בעיות שלפתרונן משתמשים בתרגילי כפל. את בעיות 8 ו 9 אפשר לפתור בתרגיל אחד או בכמה תרגילים. 26 מבדק ליחידה ד בסוף המדריך, עמוד 67.
ה. כפל במאונך דרך מקוצרת הוראת הכפל בדרך מקוצרת מיועדת למי שכבר למד לפתור תרגילי כפל במספר חד ספרתי בדרך המקוצרת בפרק "כפל עד 10,000" (כיתה ג'). מי שלא למד - צריך להשלים את הלימוד על פי פרק זה. יש להדגיש שבתכנית הלימודים הנוכחית נדרש להביא את התלמידים לידי שליטה בכפל מספרים בתחום ה 1,000 בדרכים המוכרות לתלמידים, ולא באלגוריתם המסורתי דווקא. לכן יש להרשות לתלמידים להתקדם לפי יכולתם ולהשתמש בדרכים שנלמדו קודם. עמוד 31 עמוד זה משמש תזכורת לפתרון בדרך מקוצרת. בעמוד זה כופלים מספר תלת ספרתי במספר חד ספרתי, ולכן בדרך הפתרון יש רק שורה אחת. מומלץ לקשר את פתרון התרגיל שבדוגמה בדרך המקוצרת לפתרון של אותו תרגיל בדרך המפורטת. הדרך המפורטת: הדרך המקוצרת: 4 3 7 3 1 3 1 1 + 4 3 7 3 2 1 9 0 1 2 0 0 1 3 1 1 בשתי הדרכים כופלים במספר החד ספרתי (ב 3 ) קודם את היחידות של המספר התלת ספרתי (7), אחר כך את העשרות שלו (3) ולבסוף את המאות שלו (4). אבל בכפל בדרך מקוצרת במקום לכתוב כל תוצאה של כפל בשורה נפרדת ולסכם את הכול בסוף - מסכמים את המספרים בתוך כדי הכפל (אפשר להשתמש לשם כך בזיכרון). 27
ה. כפל במאונך דרך מקוצרת עמוד 32 בעמוד זה כופלים מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי, ולכן בדרך הפתרון יש שלוש שורות: שתי שורות של מכפלות ושורת הסכום. רב דף 4 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 74. עמוד 33 התרגיל שבדוגמה: בעמוד זה כופלים מספר דו ספרתי במספר דו ספרתי שיש בו 0 (עשרות שלמות). השיטה המסורתית של כפל מאונך בדרך מקוצרת דורשת לבצע את הרישום הזה: + 4 3 6 0 0 2 5 8 2 5 8 0 תוצאת ההכפלה בספרת היחידות 0 של הגורם 60 תוצאת ההכפלה בספרת העשרות 6 של הגורם 60 הרשומה בהזזה של מקום אחד שמאלה (מקום העשרות) מומלץ להביא את התלמידים לידי מסקנה שבמקרה הזה רישום בשתי שורות מיותר (אף שהוא מותר) ורצוי לחסוך שורה ולרשום את המכפלות בשורה אחת, כמו בדוגמה שבחוברת לתלמיד. 28
ה. כפל במאונך דרך מקוצרת סעיף ג בתרגיל זה אין להשתמש ברישום חסכוני, משום שלפי סדר הרישום כאן כופלים תחילה את ספרת היחידות 2 של הגורם 42 בגורם 30, והתוצאה איננה אפס, לכן יש לרשום אותה בשורה נפרדת: + 3 0 4 2 6 0 1 2 0 1 2 6 0 אם משתמשים בחוק החילוף אפשר לפתור את התרגיל כך: 4 2 3 0 1 2 6 0 מומלץ לדון עם התלמידים על אפשרות פתרון זו שהיא נוחה יותר. רב דף 4 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 74. עמוד 34 בעמוד זה יש תרגילי כפל של מספר תלת ספרתי במספר דו ספרתי. שימו לב, בסעיפים ד ו ה כופלים מספר תלת ספרתי שיש בו 0 במספר תלת ספרתי, ואולם עובדה זו אינה משנה את דרך הפתרון של כפל במאונך בדרך מקוצרת. 29 רב דף 4 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 74.
ה. כפל במאונך דרך מקוצרת עמוד 35 פעילות 5 פעילות זו אפשר לפתור בדרך של נסייה וטעייה. המטרה כאן להביא את התלמידים לידי המסקנות האלה: המכפלה גדולה יותר ככל שהגורמים גדולים יותר. הסכום גדול יותר ככל שהמחוברים גדולים יותר. ההפרש הגדול ביותר מתקבל כאשר המחוסר הוא הגדול ביותר והמחסר הוא הקטן ביותר. כהמשך לפעילויות המופיעות בעמוד הזה אפשר להציע לתלמידים את המשחק כפל בקובייה. לוח המשחק והוראות המשחק בעמוד 76 במדריך זה. 30
ה. כפל במאונך דרך מקוצרת עמודים 38-36 מבדק ליחידה ה בסוף המדריך, עמוד 68. מבדק מסכם לפרק "כפל" בסוף המדריך, עמודים 70-69. 31
שוב חישוב ישר המספרים עמודים 40-39 בעמודים אלה יש פעילויות חזרה הקשורות לישר המספרים ולמספרים מכוונים. עמוד 39 פעילות 1 בסעיף ב התלמידים מתבקשים לתכנן ישר מספרים, כלומר לסמן שנתות במרווחים שווים ולבחור יחידה מתאימה. בפעילות זו היחידה שכדאי לבחור היא 100. אין חובה לסמן גם את המספר 0, אבל מומלץ לעשות זאת. בחירה טובה של מקום המספר 0 מקלה את העבודה ומדגישה את המשמעות של מספרים מכוונים. עמוד 39 פעילות 3 ועמוד 40 פעילות 4 יש לשים לב לתכנון נכון ונוח של ישר המספרים: סימון האפס בנקודה מתאימה, בחירת היחידה הנוחה והקפדה על סדר המספרים אחרי הסימון. כך, למשל, בפעילות 3 (עמוד 39) היחידה שכדאי לבחור היא 1,000 ש"ח ומומלץ לסמן את המספר 0 כך שמימינו יהיה מקום לסימון 12 יחידות לפחות ומשמאלו 7 יחידות לפחות. אפשר להציע לתלמידים להתנסות בפעילות ואחר מכן לדון בתשובותיהם. 32
שוב חישוב פעולות במספרים שלמים עמודים 44-41 33
מספרים ראשוניים ומספרים פריקים תוכן העניינים מבוא לפרק "מספרים ראשוניים ומספרים פריקים"........ 36 א. מספר ראשוני ומספר פריק......................... 37 ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים...................... 44 ג. בניית מספר מגורמים ראשוניים..................... 48 נספחים לפרק מבדק מסכם......................................... 77 דפי רב דף 5 ו 6...................................... 79 כרטיסי מספרים...................................... 81 לוח המאה........................................... 82 35
מבוא לפרק "מספרים ראשוניים ומספרים פריקים" הנושא "מספרים ראשוניים ומספרים פריקים" בתכנית הלימודים של משרד החינוך (תשס"ו) לפי תכנית הלימודים יש לייחד לנושא כ 5 שעות לימוד. תיעשה הבחנה בין מספרים ראשוניים לבין מספרים פריקים (בחוברת לתלמיד - עמודים 49-48): א. מספר ראשוני הוא מספר טבעי שיש לו שני מחלקים (גורמים) שונים בדיוק: 1 והמספר עצמו. ב. מספר פריק הוא מספר שיש לו יותר משני מחלקים. יובהר כי 1 אינו מוגדר כמספר ראשוני וגם ולא כמספר פריק. (בחוברת לתלמיד - עמוד 49 למטה) התלמידים ילמדו לפרק מספרים בתחום ה 100 לגורמים ראשוניים (בחוברת לתלמיד - עמודים 56-52) התלמידים ילמדו גם לבנות מספר מגורמיו (בחוברת לתלמיד - עמודים 58-57) יודגש כי כל מספר פריק מתפרק למכפלה יחידה של גורמים ראשוניים. אפשר, כמובן, להגיע למכפלה הזו בדרכים שונות (שינוי סדר הגורמים). (בחוברת לתלמיד - עמודים 54-53) מושגים מרכזיים בפרק והגדרתם מתחלק ב... (ללא שארית) x מתחלק ב y, אם בתוצאה של התרגיל x : y אין שארית (התוצאה היא מספר שלם). דוגמאות: 40 מתחלק ב 8, כי = 5 8. 40 : 44 אינו מתחלק ב 8, כי (שארית (4 5 = 8. 44 : מח ל ק של מספר y מח לק של x, אם בתוצאה של התרגיל x : y אין שארית (התוצאה היא מספר שלם). דוגמה: 8 מחלק של,40 כי = 5 8. 40 : מספר ראשוני: מספר שיש לו שני מחלקים בלבד (1 והמספר עצמו) מספר פריק: מספר שיש לו יותר משני מחלקים פירוק מספר לגורמים ראשוניים: תרגיל כפל של גורמים ראשוניים שמכפלתו היא המספר הנתון. דוגמה: הפירוק לגורמים ראשוניים של המספר 90 הוא 5 3 3 2. תחום המספרים המונחים "מספרים ראשוניים" ו"מספרים פריקים" מוגדרים בתחום המספרים הטבעיים בלבד - מספרים שלמים חיוביים (...3,1),2 ולכן בפרק זה עוסקים רק במספרים טבעיים. 36
א. מספר ראשוני ומספר פריק מה לומדים ביחידה זו? הגדרת המושג "מחלק של..." מציאת כל המחלקים של מספר נתון - המספר 1 הוא המספר היחיד שהוא מחלק של כל מספר (שלם). - כל מספר שיש לו שני מחלקים בדיוק, מחלקיו הם המספר עצמו ו 1. הגדרת המושג "מספר ראשוני" הגדרת המושג "מספר פריק" מיון מספרים לפריקים ולראשוניים - המספר 1 אינו מספר פריק ואף אינו מספר ראשוני. - כל מספר טבעי, מלבד 1, הוא או ראשוני או פריק. שיטה למציאת כל המספרים הראשוניים עד למספר מסוים הנ פ ה של ארטוסתנס. עמוד 46 מטרת הפעילויות בעמוד זה - תרגול המושג "מחלק של...". בפעילויות 1 ו 2 המשימה היא לכתוב את כל המחלקים של מספר נתון. יש לשים לב שרושמים בין המחלקים גם את המספר 1 וגם את המספר עצמו. בפעילות,1 לדוגמה, המחלקים של 28 הם אלה:.28,14,7,4,2,1 37
א. מספר ראשוני ומספר פריק הנה הצעות למשחקים שמטרתם תרגול במציאת מחלקים של מספר. 1. משחק: לאיזה מספר המחלק מתאים? מהלך המשחק: המורה רושמת על הלוח שמונה מספרים. כל ילד בוחר מתוכם ארבעה מספרים ורושם אותם על דף. המורה מקריאה תיאורים כמו: 10 הוא מחלק של המספר; 5 אינו מחלק של המספר וכדומה. כל ילד שיש ברשימתו מספרים מתאימים מוחק את כל המספרים המתאימים. המנצח מי שמחק ראשון את כל המספרים שלו. 2. תחרות מציאת המח לקים המורה רושמת מספר על הלוח. כל קבוצה צריכה למצוא כמה שיותר מחלקים של אותו מספר. כעבור זמן קצר (כשתי דקות) התלמידים הופכים את הדפים ונותנים למורה לבדוק. הקבוצה המנצחת הקבוצה שרשמה את מספר המחלקים הגדול ביותר בלי שום טעות. עמוד 47 במשחק שבפעילות 5 משתמשים בכרטיסי המספרים שבסוף החוברת לתלמיד (נמצאים גם בסוף מדריך זה, עמוד 81). הפעילויות בעמוד זה משמשות הכנה למיון מספרים טבעיים למספרים ראשוניים ולמספרים פריקים. התלמידים בודקים כל מספר: האם יש למספר יותר משני מחלקים? בדרך זו התלמידים מוצאים את המספרים הראשוניים (מספר שיש לו שני מחלקים בלבד, המספר עצמו ו 1 ). בשלב זה אין משתמשים במונחים מספר ראשוני ומספר פריק. את הגדרת המונחים יפגשו התלמידים בעמוד הבא. בפעילויות שבעמוד זה אין צורך למצוא את כל המחלקים של מספר, אלא רק לבדוק אם יש למספר יותר משני מחלקים. למשל, אם מקבלים כרטיס שרשום עליו המספר 24: המספר הזה זוגי ולכן מלבד 1 ו 42 גם 2 הוא מח לק שלו. ל 24 יש אפוא יותר משני מחלקים ולכן שמים את הכרטיס בצד. 38
א. מספר ראשוני ומספר פריק עמודים 49-48 בראש עמוד 48 מובאות ההגדרות של מספר ראשוני ומספר פריק: מספר שיש לו שני מחלקים בלבד (1 והמספר עצמו) נקרא מספר ראשוני. מספר שיש לו יותר משני מחלקים נקרא מספר פריק. לפי ההגדרות אפשר להסתפק במציאת שלושה מחלקים כדי להשתכנע שמספר הוא פריק. מכיוון ש 1 והמספר עצמו הם מח לקים של כל מספר, די להראות שיש למספר מחלק אחד הגדול מ 1 וקטן מהמספר עצמו. לדוגמה: 21 הוא מספר פריק, כי 7 הוא מח לק שלו. לעומת זאת אולי קשה יותר להשתכנע שמספר הוא ראשוני, כי צריך לדעת בוודאות שאין לו מחלק נוסף מלבד 1 והמספר עצמו. פעילות 7 בעמוד 48 בפעילות זו משתמשים בכרטיסי המספרים (שנגזרו מסוף החוברת למשחק שבפעילות 5 בעמוד הקודם). ממיינים את המספרים שבכרטיסים למספרים ראשוניים ולמספרים פריקים לפי הכלל שבראש העמוד. פעילות 8 בעמוד 48 בפעילות זו עוסקים במיון מספרים דו ספרתיים למספרים ראשוניים ולמספרים פריקים. בכל סעיף נתונה אחת הספרות של המספרים ויש להשלים את הספרות החסרות כך שיתקבלו מספרים ראשוניים ומספרים פריקים. מומלץ לדון בכל האפשרויות השונות בכל סעיף. בסעיף א מספרים דו ספרתיים שספרת העשרות שלהם היא 1: ראשוניים,11 19,17,13 פריקים,10 18,16,15,14,12 בסעיף ב מספרים שספרת היחידות שלהם היא 1: ראשוניים,11 71,61,41,31 פריקים,21 91,81,51 בסעיף ג את המספרים שספרת העשרות שלהם 4: ראשוניים,41 47,43 פריקים,40 49,48,46,45,44,42 בסעיף ד מספרים שספרת היחידות שלהם היא 4: כל המספרים האלה פריקים בסעיף ה מספרים שספרת היחידות שלהם היא 7: ראשוניים,17 97,67,47,37 פריקים,27 87,77,57 אפשר לשלב בעמוד זה עבודה בלוח המאה (לוח מאה לצילום נמצא במדריך זה בעמוד 82). הלוח מקל על התלמידים למצוא דוגמאות מתאימות ולהכליל. למשל ניתן להצביע על המספר 87 בלוח ולשאול אם הוא ראשוני או פריק וכיצד הלוח עוזר להחליט. התלמידים יכולים להסתייע בלוח בכמה דרכים, למשל, להתחיל ממספר שהם משוכנעים ש 3 הוא מחלק שלו (90, 75 וכדומה) ולדלג קדימה (או אחורה) בדילוגים של 3. גם ישר המספרים מתאים לפעילויות כאלה. לוח המאה מזמן שיחות דומות על מספרים אחרים, למשל מספרים שספרת היחידות שלהן 0 או 5 וכן הלאה. 39
א. מספר ראשוני ומספר פריק פעילות 10 בעמוד 49 לרוב פותרים את הפעילות בדרך של נסייה וטעייה: מחברים מספר פריק כלשהו ומספר ראשוני כלשהו ובודקים את הסכום: אם הסכום הוא מספר ראשוני התרגיל מתאים לסעיף א, אם הסכום הוא מספר פריק התרגיל מתאים לסעיף ב. הנה דוגמאות לתרגילים מתאימים: = 17 11 = 7 6 + 3 = 17 4 + 5 12 + א = 8 2 = 20 6 + 5 = 25 15 + 11 14 + ב פעילות 11 בעמוד 49 נושא הפעילות: המספר 1 אינו פריק ואינו ראשוני. בפעילות "בוחנים" את המספר 1 לפי ההגדרות של מספר ראשוני ושל מספר פריק ומגיעים לידי מסקנה שהמספר 1 הוא יוצא דופן במיון למספרים ראשוניים ולמספרים פריקים. כמה מחלקים יש למספר 1? מחלק אחד בלבד המספר 1. האם המספר 1 פריק? לא, כי אין לו יותר משני מחלקים. האם המספר 1 ראשוני? לא, כי אין לו שני מחלקים. דיון: האם יש עוד מספר שאינו ראשוני ואינו פריק? (לא. כל מספר שהוא גדול מ 1 מתחלק בשני מספרים לפחות, בעצמו וב 1, ולכן כל מספר גדול מ 1 הוא או ראשוני או פריק. 40
א. מספר ראשוני ומספר פריק משחק בקבוצות: מי אני? מחליטים מהו מספר המהלכים שיהיו במשחק. בכל מהלך המורה אומרת את אחת ההגדרות האלה (או הגדרה דומה): - אני מספר דו ספרתי ואני גם ראשוני. ספרת היחידות שלי 9. מי אני? - ספרת היחידות שלי היא 7 ואני מספר ראשוני קטן מ 60. מי אני? - אני מספר פריק חד ספרתי. מי אני? - אני מספר זוגי וראשוני. מי אני? - אינני מספר פריק וספרת העשרות שלי היא 3. מי אני? - אני מספר דו ספרתי ואני גם פריק. ספרת היחידות שלי היא 9. מי אני? - אני מספר דו ספרתי ראשוני ושתי ספרותי שוות זו לזו. מי אני? - אני מספר חד ספרתי ראשוני. מי אני? הילדים בכל קבוצה עורכים על דף רשימה של כל המספרים המתאימים שמצאו. כשהם מסיימים, הם הופכים את הדף. כל קבוצה מקבלת נקודה על מספר מתאים ומפסידה נקודה על מספר שאינו מתאים. בתום מספר המהלכים שהוסכם עליו סופרים את הנקודות שצברה כל קבוצה. מנצחת הקבוצה שצברה את מספר הנקודות הגדול ביותר. הערה: אם רוצים להקל את המשחק אפשר להגביל את תחום המספרים, למשל, לעסוק רק במספרים קטנים מ 40. עמודים - 51-50 הנפה של ארטוסתנס ארטוסתנס *(Eratosthenes) ארטוסתנס (194-276 לפנה"ס) מתמטיקאי, גאוגרף ואסטרונום יווני. נולד בקירנה (כיום בלוב) וחי באלכסנדריה, מצרים. ארטוסתנס התעניין במדעי היקום, בשירה, בתאטרון, בספרות, בגאוגרפיה, באתלטיקה (בצעירותו), במתמטיקה ובטבע. הוא גילה שיטה למציאת כל המספרים עד מספר נתון הקרויה על שמו, הנפה של ארטוסתנס, וכן את היקף כדור הארץ. הוא חיבר ספרים על כל אחד מתחומי ידיעותיו (כ 50 חיבורים שלו נזכרים במקורות שונים). רוב החיבורים שלו אבדו ורק אחדים נמצאו. כמשורר חיבר שירים על נושאים מיתולוגיים, שנועדו, לדבריו, לשעשוע ולא ללמידה. הפעילות היותר חשובה שלו הייתה בתחום הספרות. ספרו על סדר הזמנים היה ניסיון ראשוני בקביעת זמנים למאורעות ספרותיים ומדיניים חשובים ממלחמת טרויה ועד יום מותו של אלכסנדר מוקדון. הנפה של ארטוסתנס בתורת המספרים "הנפה של ארטוסתנס" היא אלוגריתם פשוט - שיטת ניפוי המסייעת למצוא את כל המספרים הראשוניים עד למספר שלם מסוים. בשיטת הנפה של ארטוסתנס מנפים החוצה את המספרים הפריקים ואת המספר 1, שהוא לא ראשוני ולא פריק, ומשאירים את המספרים הראשוניים. *מתוך: אנציקלופדיה,YNET Biblioth`eque national de France התמונה:, www.ynet.co.il/enc 41
א. מספר ראשוני ומספר פריק כדי להשתמש בנפה של ארטוסתנס למציאת כל המספרים הראשוניים מ 1 עד 100, מכינים רשימה של כל המספרים עד 100 ועובדים לפי השלבים האלה: א. מוחקים את 1 (כי 1 אינו ראשוני). ב. מקיפים את 2 (כי הוא המספר הראשוני הקטן ביותר). מוחקים את כל הכפולות של 2 במילים אחרות: מוחקים כל מספר שני. ג. מקיפים את המספר הראשוני הבא 3. מוחקים את כל הכפולות של 3, כלומר, מוחקים כל מספר שלישי. חלק מהכפולות של 3, לדוגמה 6, כבר נמחקו כי הן גם כפולות של 2. ד. מקיפים את המספר הראשוני הבא 5, ומוחקים את כל כפולותיו. ה. ממשיכים בתהליך עד שכל המספרים עד 100 מחוקים או מוקפים. בסוף התהליך המספרים המוקפים הם כל המספרים הראשוניים מ 1 עד 100. בעמודים 51-50 התלמידים מבצעים אלגוריתם זה לבדיקת המספרים עד 100. כך תיראה הרשימה לאחר ביצוע התהליך: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 100 99 42
א. מספר ראשוני ומספר פריק 43
ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים מה לומדים ביחידה זו? כותבים תרגילי כפל שונים (שבהם שני גורמים ויותר) למכפלה נתונה. מוצאים את תרגיל הכפל שבו מספר הגורמים הגדול ביותר (תרגיל הכפל הארוך ביותר) המתאים למכפלה נתונה. בהמשך לומדים שהגורמים בתרגיל הזה הם מספרים ראשוניים, ולכן תרגיל זה נקרא פירוק המספר לגורמים ראשוניים. מפרקים מספרים לגורמים הראשוניים שלהם בדרך שיטתית. מגיעים לידי המסקנה שלכל מספר נתון יש פירוק יחיד לגורמים ראשוניים עמודים 53-52 בעמודים אלה עוסקים בתרגילי הכפל (גם תרגילים שבהם יותר משני גורמים) המתאימים למכפלה נתונה. לסיכום מחפשים את תרגיל הכפל "הארוך ביותר" - תרגיל הכפל שבו מספר הגורמים הגדול ביותר המתאים למכפלה. פעילויות אלה משמשות הכנה לעמודים הבאים, העוסקים בפירוק מספר לגורמים ראשוניים. פעילות פתיחה (לעמוד 52) מבקשים מהתלמידים לכתוב תרגיל כפל שבו שני גורמים ותוצאתו = 48 48: שואלים מי יכול להיעזר בתרגיל שכתב כדי לכתוב ל 48 תרגיל שבו שלושה גורמים. רמז: כתבו תרגיל כפל לאחד הגורמים. דוגמאות: = 48 8 6 ולכן: = 48 2 4 6 4 2 או: = 48 8 6 ולכן: = 48 8 2 3 3 2 מטרת הפעילויות בעמוד 52 היא להוליך את התלמידים למסקנה שתרגיל הכפל הארוך ביותר שאפשר לכתוב למספר הוא יחיד (אם לא מתחשבים בסדר הגורמים), וכל הגורמים בתרגיל זה הם מספרים ראשוניים. דוגמה: 2 2 2 2 3 = 48 דיון: שואלים את התלמידים: מדוע, לדעתכם, אין כותבים את הגורם 1 בתרגילי הכפל? מה קורה כשכותבים את הגורם 1 בתרגיל כפל? (המספר 1 הוא מספר ניטרלי בכפל אינו משנה את התוצאה.) מטרת הפעילות בעמוד 53 היא ללמד שיטה למציאת תרגיל הכפל שבו מספר הגורמים הגדול ביותר למכפלה נתונה ולהראות שלא משנה מאיזה תרגיל כפל מתחילים לפרק מספר לגורמים - תמיד מגיעים לאותו תרגיל הארוך ביותר (לא בהכרח באותו סדר של גורמים) והוא מכפלה של גורמים ראשוניים. פעילות פתיחה (לעמוד 53) המורה רושמת מספר על הלוח 90. היא מבקשת מהתלמידים שיציעו תרגיל כפל שבו שני גורמים שמכפלתם 90. המורה רושמת את כל התרגילים על הלוח (למעט תרגילים שבהם הגורם 1). מפרקים את הגורמים בהדרגה, עד שמגיעים לתרגיל הארוך ביותר. (בכל שלב יכולות להיות הרבה אפשרויות - בוחרים אחת מהן.) המורה שואלת: מה מיוחד בתרגיל האחרון? (כל הגורמים ראשוניים.) בשלב זה המורה יכולה לשאול: אבל מה יקרה אם נתחיל מתרגיל אחר? האם נקבל פירוק אחר? בוחרים תרגיל כפל אחר שבו שני גורמים אחרים שהציעו התלמידים קודם ומחפשים בעזרתו את תרגיל הכפל הארוך ביותר. 44
ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים עמודים 56-54 פעילות 4 (בעמוד 54) מוליכה להגדרה הכתובה אחריה: תרגיל הכפל הארוך ביותר שאפשר לכתוב למספר נקרא פירוק המספר לגורמים ראשוניים. לפני שהתלמידים מפרקים לגורמים את המספרים שבפעילות 5 (עמודים 55-54) אפשר לבקש מהם לשער: לאילו מהמספרים הנתונים הפירוק לגורמים ראשוניים יהיה הארוך ביותר? הקצר ביותר? מטרת פעילות 6 (בעמוד 56) היא להכין את התלמידים להגדרה הזאת: לכל מספר יש פירוק יחיד לגורמים ראשוניים. התשובות לשאלות המועלות בדיון: - בשני הפירוקים שהתקבלו למספר 90 יש אותם ארבעה גורמים. - בכל פירוק יש סדר גורמים אחר. - בכפל אין חשיבות לסדר הגורמים (חוק החילוף וחוק הקיבוץ). המסקנה: שני הפירוקים האלה זהים. גם בפעילויות 3 ו 4 בעמודים הקודמים הוסבה תשומת לב התלמידים לכך שתמיד בפירוק "הארוך ביותר" מתקבל אותו תרגיל (בסדר אחר של הגורמים). 45
ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים פעילות פתיחה (לפעילות 7 בעמוד 56) המורה מבקשת מהתלמידים לפרק את המספר 80 לגורמים ראשוניים: 80 = 2 2 2 2 5 לאחר שהתלמידים מסיימים, המורה שואלת: - איך הפירוק של 80 עוזר למצוא את הפירוק של 160? רמז למי שצריך: בכמה צריך לכפול את הפירוק של 80? - איך הפירוק של 80 עוזר למצוא את הפירוק של 240? - איך הפירוק של 80 עוזר למצוא את הפירוק של 160? - איך הפירוק של 80 עוזר למצוא את הפירוק של 40? - איך הפירוק של 80 עוזר למצוא את הפירוק של 800? 46
ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים פעילויות אתגריות נוספות א. מה יוצא דופן? 16 64 32 24 (למספר 24 יש שני מח לקים ראשוניים שונים, 2 ו 3, ואילו לשאר המספרים יש רק מחלק ראשוני אחד 2). ב. מה יוצא דופן? 27 49 9 81 (למספרים 9 27, ו 81 יש מחלק ראשוני אחד 3, ואילו המחלק הראשוני של 49 הוא 7). 47
ג. בניית מספר מגורמים ראשוניים מה לומדים ביחידה זו? בונים מספרים שונים מגורמים ראשוניים נתונים. מוצאים מח לקים (לא רק ראשוניים) של המספרים שנבנו. עמודים 58-57 פעילויות פתיחה 1. המורה חדה חידה: רינה פירקה מספר לגורמים ראשוניים ובתרגיל הכפל שקיבלה היו רק שני גורמים שונים: 3 ו 5. המספר שהיא פירקה גדול מ 40 וקטן מ 50. מהו המספר? האם יש עוד אפשרויות? התלמידים פותרים את המשימה הזאת בדרך של נסייה וטעייה: הם כותבים תרגילי כפל שונים הבנויים מהגורמים 3 ו 5, פותרים אותם ומחפשים תרגיל שתוצאתו בתחום הנתון: = 45 5 3 3. כך התלמידים מתנסים בבניית מספרים מגורמים ראשוניים נתונים. 2. המורה כותבת על הלוח ארבעה מספרים: 98. 77, 60, 56, היא אומרת לתלמידים ששניים מהמספרים האלה בנויים מהגורמים 2 ו 7 בלבד. התלמידים מתבקשים למצוא את המספרים האלה בלי לפרק אותם לגורמים ראשוניים. דיון: התבוננו בארבעת המספרים. על אילו מהם אפשר לומר בוודאות שאינם בנויים מ 2 ומ 7? 77 הוא מספר אי זוגי ולכן אינו מתחלק ב 2. 60 אינו מתחלק ב 7 (או: אחד הגורמים של 60 הוא 5.) לכן נראה ש 56 ו 98 הם המספרים המתאימים. התלמידים יפרקו אותם לגורמים ויבדקו אם צדקו. 7 7 2 = 98 7 2 2 2 = 56 בפעילות 1 צריך לבנות מספרים מכל המספרים הנתונים ורק מהם. כלומר, בפירוק לגורמים של המספרים שבונים יופיעו הגורמים הראשוניים הנתונים ורק הם. בפעילות 2, סעיף ב - בפעילות האתגר הכוונה גם למחלקים פריקים. למשל, המחלקים של המספר 50 שנבנה בדוגמה הם אלה: 25 10, 5, 2, 1, ו 50. בפעילות 4 המספר המבוקש הוא = 81 3 3 3.3 המחלקים של 81 הם אלה: 27 9, 3, 1, ו 81. פעילויות בעל פה או בכתב המתאימות גם לפתיחת שיעור (אחרי עמוד 57) 1. נסו למצוא מספר שגורמיו הראשוניים הם 2 ו 5 בלבד והוא מתחלק ב 100 : מתחלק ב 3 : : מתחלק ב מתחלק ב 4 : התלמידים ילמדו שאם הגורמים הראשוניים של מספר הם 2 ו 5 בלבד, הרי שהמספר אינו מתחלק במספר ראשוני אחר (לדוגמה: 7 או 3). כמו כן הם ילמדו שיש אינסוף מספרים המתחלקים ב 2, ב 5 ובמכפלות הנוצרות מהם. 48
ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים 2. נסו למצוא מספר שיש לו רק גורם ראשוני אחד - הגורם 5 והוא מתחלק ב 4 : מתחלק ב 5 : מתחלק ב 20 : מתחלק ב 10 : מתחלק ב 25 : מתחלק ב 50 : מתחלק ב 35 : מתחלק ב 125 : 3. נסו למצוא מספר שגורמיו הראשוניים הם 3 2, ו 5 בלבד והוא מתחלק ב 4 : מתחלק ב 3 : מתחלק ב 12 : מתחלק ב 7 : מתחלק ב 20 : מתחלק ב 10 : מתחלק ב 120 : רב דף 5 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 79. רב דף 6 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 80. מבדק מסכם לפרק בסוף מדריך זה, עמודים 78-77. 49
50
חזקות תוכן העניינים מבוא לפרק "חזקות"............................ 52 א. תרגילי שרשרת כפל לעומת חיבור............ 53 ב. מהו תרגיל חזקה?............................ 54 ג. בסיס ומעריך................................ 56 ד. סדר המספרים בתרגיל חזקה.................. 58 שוב חישוב: - פעולות במספרים שלמים................... 60 - חישובי זמן................................ 61. - מצולעים.................................. 61 - שברים.................................... 62 נספחים לפרק מבדק מסכם................................... 83 דפי רב דף. 8-7................................. 84 דפי עבודה. 3-1................................. 86 51
מבוא לפרק "חזקות" הנושא "חזקות" בתכנית הלימודים של משרד החינוך (תשס"ו) לפי תכנית הלימודים יש לייחד לנושא זה שתי שעות לימוד וזה הפירוט: החזקה תילמד ככתיב מקוצר לכפל חוזר. בהקשר זה נזכיר: כפל הוא חיבור חוזר. יודגם כי אם מסתכלים על החזקה כפעולה בין מספרים טבעיים, אין היא פעולה חילופית. דוגמה: = 5 2 5 2 התלמידים יכירו את משמעות החזקה גם כאשר הבסיס או המעריך הם 1. קשיים צפויים בהוראת הנושא 1. טעות שכיחה פתירת תרגיל חזקה כתרגיל כפל דוגמה לשגיאה: = 15 3 5 = 3 5 טעות זו נובעת מחוסר הבנה של משמעות תרגיל החזקה, ואפשר למצוא אותה אצל תלמידים רבים גם אחרי שכבר נלמד הנושא בגלל חוסר תרגול ושימוש בפעולה זו בהמשך. 2. קושי בהבנת משמעות המספר 1 בתרגילי חזקה. דוגמה לשגיאה: = 5 5.1 טעות זו נובעת מאי הבנת המשמעות של פעולת החזקה וכן מחוסר תרגול. טיפול בטעות כזאת חייב להתבסס על משמעות הפעולה: 1=1 1 1 1 1= 5 1, ולא על לימוד כללים כמו הכלל הזה: תוצאת תרגיל של 1 בחזקת מספר אחר היא תמיד 1. 3. אי הבנה שחזקה איננה פעולה חילופית. אי הבנה זאת נובעת כמובן מהבנה לקויה של משמעות פעולת החזקה ומסתמכת על הידע הקודם של התלמידים על פעולות אחרות כמו כפל וחיבור שהן פעולות חילופיות. בגלל הקשיים שפורטו לעיל חשוב לחזור על נושא החזקות גם בהמשך הלימודים, הן בכיתה ד' והן בכיתות הבאות. במדריך יש המלצות לתרגול נוסף שיכול לשמש גם כחזרה. 52
א. תרגילי שרשרת - כפל לעומת חיבור מה לומדים ביחידה זו? ביחידה זו התלמידים משווים בין פעולת הכפל לפעולת החיבור במטרה להמחיש את הגידול המהיר של תוצאת פעולת הכפל בהשוואה לפעולת החיבור במספרים שלמים חיוביים. עמודים 61-60 מומלץ להתחיל ולבצע את הפעילות יחד עם התלמידים כדי לוודא שהם מבינים את ההוראה. חשוב שהתלמידים ישימו לב שבכל פעם צריך לחזור על אותו מספר בתרגיל השרשרת. לאחר הדיון שבסוף עמוד 61 אפשר להוסיף פעילות דומה של השוואה בין חמישה מחוברים שווים בתרגיל חיבור לבין תרגיל כפל של חמישה גורמים שווים. + + + + < 100 < 100 תוספת זאת תחדד את ההבדל בין הכפל לחיבור, שכן בכפל יתאימו רק שלושה גורמים: 1 0, ו 2, ואילו בחיבור יתאימו 20 מחוברים: מ 0 עד 19. פעילויות אלה, העוסקות בגודל המספרים, חשובות לפיתוח תובנת המספרים והפעולות. 53
ב. מהו תרגיל חזקה? מה לומדים ביחידה זו? ביחידה זו מגדירים פעולה בינרית חדשה - פעולת החזקה: תרגיל חזקה ככתיב מקוצר של תרגיל כפל שיש בו גורם חוזר כתיבה וקריאה של תרגיל חזקה פתרון תרגילי חזקה. בשלב זה בכל פעם שהתלמידים מתבקשים לפתור תרגילי חזקה יש להורות להם לכתוב את תרגיל הכפל המתאים כדי לנסות ולמנוע את השגיאה הרווחת של פתרון תרגיל חזקה כתרגיל כפל. דוגמה לשגיאה כזאת: 2 7 = 2.7 פעילות פתיחה המורה רושמת תרגיל שרשרת של חיבור שבו 10 מחוברים שווים: 17+17+17+17+17+17+17+17+17+17= המחובר (17) נבחר, משום שלא נוח לפתור את תרגיל החיבור בעל פה. לעומת זאת קל מאוד לפתור את תרגיל הכפל המתאים: 17 10. כלומר, תרגיל הכפל לא רק מקצר את הכתיבה אלא אף מקל את הפתרון. המורה שואלת באיזו דרך נוח לפתור את התרגיל. ניתן להתיר שימוש במחשבון. עמודים 63-62 לעמוד זה מתאים רב דף 7 (עמוד 84 במדריך זה). לעמוד זה מתאים רב דף 8 (עמוד 85 במדריך זה). 54
ב. מהו תרגיל חזקה? פעילויות לתרגול נוסף של כתיבה ופתרון תרגילי חזקות 1. הכתבות קצרות: המורה מקריאה תרגיל חזקה. התלמידים כותבים אותו, כותבים את תרגיל הכפל המתאים לו ופותרים. אם מעוניינים לתרגל רק כתיבה של תרגיל חזקה אפשר לוותר על שלב הפתרון. 2. חזקה קטנה מ מבקשים מהתלמידים לכתוב תרגילי חזקה שבהם מספרים מ 1 עד 10 בלבד, כך שיתקבלו רק תוצאות קטנות ממספר מסוים. מבקשים מהם למצוא את כל האפשרויות. כאן מומלץ לערוך דיון על דרך הפעולה של התלמידים. דרך נוחה היא לכתוב תחילה את כל הבסיסים המתאימים למעריך 2 וכן הלאה. 3. תרגילים להגדרות המורה כותבת על הלוח שני מספרים, למשל: 3 ו 5, ומבקשת מהתלמידים לכתוב בעזרתם תרגיל חזקה שתוצאתו מתאימה להגדרה מסוימת. הנה דוגמאות להגדרות: התוצאה גדולה מ התוצאה קטנה מ התוצאה גדולה מ וקטנה מ התוצאה היא אי זוגית התוצאה היא מספר זוגי התוצאה מתחלקת ב ספרת היחידות של התוצאה היא 4. קישור בין חזקות ובין פירוק לגורמים ראשוניים בעזרת רב דף 5 (מהפרק "מספרים ראשוניים ומספרים פריקים", עמוד 79 בסוף מדריך זה). ברב דף זה רושמים רק גורם ראשוני אחד בכל שורה, והתלמידים רושמים תרגיל כפל ותרגיל חזקה המתאימים לו. 55
ג. בסיס ומעריך מה לומדים ביחידה זו? מכירים את המונחים בסיס ומעריך. עוסקים באופן מפורט יותר בשני סוגים של תרגילי החזקה היותר שימושיים בהמשך: מספרים ריבועיים (המעריך 2) ומספרים שהם חזקות של 10 (הבסיס 10). לומדים לפתור תרגילי חזקה שבהם הבסיס הוא 1: תוצאתם של תרגילים אלה היא תמיד 1, משום שלתרגיל חזקה שהבסיס שלו 1 מתאים תרגיל כפל חוזר שבו כופלים את המספר 1 שוב ושוב. לומדים לפתור תרגילי חזקה שבהם המעריך הוא 1, לדוגמה: = 5 1 5. למעשה אין תרגיל כפל המתאים לתרגיל חזקה זה, והתוצאה היא הבסיס עצמו. הצעה לפעילויות נוספות יש בדפי עבודה המצורפים בנספחים שבסוף מדריך זה, עמודים 88-86. בדף עבודה 1 יש טבלה להשלמה של מעריכים, בסיסים ותרגילים במספרים שונים, בדף עבודה 2 יש פעילות דומה המתמקדת במספרים 1 ו 10 בתרגילי חזקה, ובדף עבודה 3 יש תרגול נוסף בתרגילי חזקה שבהם מגבלות שונות. עמודים 66-64 כהכנה לפעילות 4 בעמוד 65 אפשר להציג לתלמידים לוח כפל לא מסומן ולשאול אותם אם יכולים להיות בו מספרים ריבועיים והיכן הם יהיו מסודרים. חשוב לציין שאמנם המספר 36 הוא ריבועי ונמצא באלכסון המרכזי, אך אפשר למצוא אותו בלוח הכפל גם במקומות אחרים (4 9 9 4, ( וכך גם המספרים הריבועיים 16 ו 4. מומלץ לקשר את פעילות 4 לפעילות 3 ולשאול אם הם סימנו בלוח גם את התוצאות של תרגילי החזקה שבפעילות 3. יש לשים לב שאם הבסיס שרשמו גדול מ 10, אז התוצאה גדולה מ 100, ולכן לא תימצא בלוח. כדאי לערוך דיון ולשאול את התלמידים מדוע המספרים הריבועיים נקראים כך, כפי שמוצע בפעילות 5 בעמוד 65. אפשר לדבר על שטח של ריבוע ועל מצב אחר שבו פריטים מסודרים בצורת ריבוע ולשאול מהו תרגיל החזקה המתאים למציאת מספר הפריטים בסידור הזה. דוגמה: לפניכם חפיסה ריבועית של קוביות שוקולד או עוגה ריבועית המחולקת למנות: 4 2 = 16 מהו מספר הקוביות (או המנות)? 56
ג. בסיס ומעריך 57
ד. סדר המספרים בתרגיל החזקה מה לומדים ביחידה זו? התלמידים מגלים שחוק החילוף איננו חל על פעולת החזקה. הם לומדים זאת בהשוואה לשתי פעולות שחוק החילוף כן חל עליהן: פעולת הכפל ופעולת החיבור. התלמידים חוקרים תרגילים שבהם נתונים שני מספרים וצריך להחליט איזה מהם כדאי לבחור כבסיס ואיזה כמעריך כדי לקבל תוצאה גדולה יותר. למעט מקרי קצה ומספרים קטנים (1), תמיד כדאי לבחור את המספר הקטן כבסיס ואת המספר הגדול כמעריך, פועל יוצא מהבנת ההגדלה של פעולת הכפל. ואולם בשלב זה אין לתלמידים כלים כדי להבין זאת והם פועלים בדרך של נסייה וטעייה. ההבנה שחזקה איננה פעולה חילופית אינה פשוטה - טבעי שהתלמידים ישוו פעולה זאת לפעולות מגדילות אחרות במספרים טבעיים שהן תמיד חילופיות: כפל וחיבור. רק התנסות תביא אותם לידי מסקנה שפעולת החזקה אינה פעולה חילופית. עמודים 70-67 58
ד. סדר המספרים בתרגיל החזקה 59
שוב חישוב פעולות במספרים שלמים עמודים 73-71 60
שוב חישוב חישובי זמן, מצולעים עמוד 74 (חישובי זמן) עמוד 75 (מצולעים) 61
שוב חישוב שברים עמודים 78-76 62