פונקציות ביקוש ותכונותיהן

בעיית הצרכן התחרותי פונקציות ביקוש ותכונותיהן

בעיית הצרכן המגבלות קו התקציב המטרות מקסום ההנאה תועלת דרך הפעולה קניית הסל העדיף ביותר בין כל הסלים האפשריים בהינתן מגבלת התקציב נתונים הכנסה ומחירי המוצרים העדפות בדרך כלל מיוצגות על ידי פונקציית תועלת תוצאות סל צריכה אופטימלי

מציאת סל הצריכה האופטימלי הצגה גראפית X קו התקציב 4 5 O 3 X

מציאת סל הצריכה האופטימלי הצגה גראפית X r O v 3 X 4 5

מציאת סל הצריכה האופטימלי הצגה גראפית X r s O u v 3 4 5 X

מציאת סל הצריכה האופטימלי הצגה גראפית X r s t O u v 3 4 5 X

מציאת סל הצריכה האופטימלי הצגה גראפית X r s t Y O X u v 3 X 4 5

העדפות לא חלקות 05.0 8

פתרון פינתי 05.03 9

העדפות שאינן "מתנהגות יפה" 05.04 0

ביקוש עבור העדפות שאינן מתנהגות יפה X A קו התקציב B A הינה הנק' האופטימאלית C D X

פתרון בעיית הצרכן: הצגה אלגברית נתונים קו התקציב: X + X m פונקציית תועלת: UX X מציאת פתרון פנימי: " מועמדים" לפתרון פנימי ניתנים על ידי הפתרונות של מערכת המשוואות הבאה: MRS / MU MU X X X X תנאי ההשקה X + X m קו התקציב

פתרון פנימי מציאת סל אופטימלי 3X +5X 90 UX X X X X X X MRS / 3 5 X X 3X +5X 90 דוגמה קו התקציב: פונקציית תועלת : מציאת פתרון פנימי: תנאי ההשקה 3 5 קו התקציב 3 מתנאי ההשקה מתקבל כי: /3 X 0 X הצבה למגבלת התקציב גוררת כי: 30 X /3+5X 90 ומתקבל כי: X 0 ו X 6

פתרון פנימי חישוב פונקציות ביקוש כלומר נניח כי המחירים הם ו ניתן כמובן לפתור עבור כל צירוף מחירים והכנסה :. וההכנסהm פונקציית תועלת : UX X X X מציאת הכמויות המבוקשות כפונקציהשל המחירים וההכנסה פתרון פנימי מתבצעת על ידי פתרון : תנאי ההשקה X X קו התקציב X + X m 4 X X X 3 X X m 3 מתנאי ההשקה מתקבל כי : הצבה למגבלת התקציב גוררת כי : + X m ; X m m 3

5 פתרון פנימי חישוב פונקציות ביקוש - קיבלנו כי הכמויות המבוקשות של צרכן עם פונקציית תועלת : UX X X X ניתנות על ידי: X X m m m 3 m 3 /3 זו הינה מערכת הביקוש המרשליאנית של פרט זה. נשים לב כי פרט זה מוציא /3 מהכנסתו על מוצר אחד ו מהכנסתו של מוצר. כלומר הוא מוציא אחוז קבוע מהכנסתו על כל מוצר. תועלת קוב דוגלס. התנהגות ביקוש כזו מאפיינת כל פרט שיש לו פונקציית באופן כללי אם פונקציית התועלת היא: AX α X β אזי הפרט יוציא חלק β α α + β α + וחלק β על מוצר שני. מהכנסתו על מוצר אחד

6 שוקיב תויצקנופ בושיח - יתניפו ימינפ ןורתיפ תלעות תייצקנופ u 0.5 + : :ידי לע ןתינ הקשהה יאנת 0.5 4 0.5 ל שוקיבה רמולכ יאנתמ תורישי לבקתמ יולת וניא הסנכה " קיפסמ " שי דוע לכו הקשהה. הסנכהב :תררוג ביצקתה תלבגמ ךותל הז שוקיב תבצה + 4 : האבה םישוקיבה תכרעמ תלבקתמו 4 4

7 - שוקיב תויצקנופ בושיח - יתניפו ימינפ ןורתיפ "קיפסמ " שי דוע לכ "םיפקת " ולאה םישוקיבה :םייקתמ דוע לכ רמולכ הסנכה 4 :רמולכ קיפסמ הנטק הסנכהה םא 4 שוקיבה תויצקנופו "יתניפ " ןורתפב םיאצמנ ונא :ידי לע תונתינ 0

8 - שוקיב תויצקנופ בושיח - יתניפו ימינפ ןורתיפ שוקיבה תכרעמ תמדוקה המגודה םוכיסל :תואבה תויצקנופה ידי לע תנתינ המלשה < < if if if if 4 0 4 4 4 4 4

ובאופן גראפי... 05.03 9

0 סיכום התנאים מסדר ראשון X + X ו m פתרון פנימי MRS / X פתרון פינתי 0 MRS עקומת האדישות יותר שטוחה מקו התקציב / X למעשה קו התקציב 0 ; X m/ X פתרון פינתי 0 MRS עקומת האדישות יותר תלולה מקו התקציב / X + X + + n X n ו m X למעשה קו התקציב m/ ; X 0 פתרון פנימי עם n מוצרים MRS ij j / i i j ij n

העדפות קואזי ליניאריות העדפות הן קואזי ליניאריות כאשר שיפוע עקומת האדישות קבוע לאורך קווים אופקיים או אנכיים פונקציית תועלת טיפוסית שמייצגת העדפות מעין אלו הינה: UX X gx +X UX או X X +gx MRS/g X קבוע על קווים במקרה הראשון אנכיים ו"ההיפך" במקרה השני. כמו שראינו בדוגמה קודמת בהעדפות מסוג זה מתקבלים גם פתרונות פינתיים.

פירוש נוסף של תנאי ההשקה MU הגענו מהשוואת /MU / לתנאי ההשקה שיפועים. MU / MU / ניתן לכתוב תנאי זה כ MU מייצג את תוספת התועלת מהוצאת שקל נוסף על / הינו הגידול בכמות והכפלתו בתועלת השולית מוצר /. נותנת את השינוי בתועלת. MU מייצג את תוספת התועלת מהוצאת שקל נוסף על / מוצר. השוויון בין השניים גורר כי כי יש להקצות את ההכנסה בין שני המוצרים כך שתוספת התועלת מהשקל האחרון שהוצא על כל מוצר זהה. כאשר יש MU / MU / MU n / n n מוצרים

פירוש נוסף של תנאי ההשקה -? MU / >MU / מה קורה אם על איזה מוצר כדאי להוציא יותר כסף?. כדאי להוציא יותר על השקל ה"אחרון" שהוצאנו עליו היה יותר אפקטיבי תרם יותר תועלת מהשקל האחרון שהוצאנו על. הצגה גראפית במצב כזה עקומת האדישות יותר תלולה מקו התקציב ולכן תזוזה ימינה על הקו מביאה את הפרט לעקומת אדישות גבוהה יותר. 3

ביקושים במקרה של תחליפים מושלמים UX X ax +bx במקרה של תחליפים מושלמים: מתקבל כי 4 X 0 X 0 MU / b/ X ו m/ X ו m/ MU ו / a/ a/ יש לקנות >b/ a/ יש לקנות <b/ כאשר כאשר כלומר במקרה של תחליפים מושלמים כאשר קו התקציב X יותר שטוח מעקומת האדישות יש לקנות רק את וכאשר קו התקציב יותר תלול מעקומת האדישות יש.X לקנות רק את

מספר הערות התנאים מסדר ראשון שתיארנו עד כה הינם הכרחיים אך לא מספיקים. כאשר עקומות האדישות מתנהגות יפה הם גם מספיקים. כאשר עקומות האדישות לא מתנהגות יפה יש לבדוק את כל הנקודות שמקיימות תנאים מסדר ראשון ולבחור את הטובה מביניהן. שרטוט של ההעדפות בדרך כלל מבהיר מהו הסל העדיף. כאשר אפשרויות הצריכה הינן בדידות לא ניתן להשתמש בנגזרות וצריך לנסות ול"התקרב" לתנאים מסדר ראשון ולמצוא על ידי השוואות בין "נקודות סמוכות" את הבחירה האופטימאלית. 5

6 םיליגרת :סאלגוד -בוק תלעות תייצקנופ תייצקנופ םע טרפ לששוקיבה תויצקנופ יכ וארה : תלעות u α β : ידי לע תונתינ β α β β α α + + םימלשומ םימילשמ תייצקנופ םע טרפ לששוקיבה תויצקנופ יכ וארה u Min /α/β :תלעות : ידי לע תונתינ β α β β α α + +? הקשהה יאנת תא " ףילחמ " המ

7 - םיליגרת : זזומ סאלגוד בוק תייצקנופ םע טרפ לש שוקיבה תויצקנופ יכ וארה :תלעות u + + :ידי לע תונתינ if if < < 0 ; ; 0 a n d i f + +

סטאטיקה השוואתית - שינויים בהכנסה עקומת הכנסה-תצרוכת CC עקומות אנגל מישור הכנסה/כמות תכונות המוצר נורמלי נחות ניטרלי מוצר יסוד מוצר מותרות 8

השפעת שינוי בהכנסה על הכמויות הנצרכות X O B X

השפעת שינוי בהכנסה על הכמויות הנצרכות X O B B X

השפעת שינוי בהכנסה על הכמויות הנצרכות X 4 O 3 B B B 3 B 4 X

השפעת שינוי בהכנסה על הכמויות הנצרכות X עקומת הכנסה - תצרוכת 4 O 3 B B B 3 B 4 X

עקומת הכנסה תצרוכת הצגה אלגברית עקומת הכנסה-תצרוכת משורטטת במישור המוצרים. בהינתן ההעדפות יש לחשב את מערכת הביקוש. מערכת הביקושים מספקת מערכת "קשרים סתומים" בין הכמויות הנצרכות המחירים וההכנסה. עבור מחירים נתונים ניתן לחלץ את ההכנסה ולהגיע לקשר בין הכמויות הנצרכות. קשר זה הינו עקומת הכנסה -תצרוכת. שינויים בהכנסה מהווים תזוזה על עקומת הכנסה-תצרוכת ושינויים במחירים מזיזים את כל העקומה. 33

34 - תירבגלא הגצה תכורצת הסנכה תמוקע :האבה םישוקיבה תכרעמ ןתניהב m m X m m X + + :לבקלו m תא ץלחל ןתינ X X X X m + + + :ןכל הניה CC תכורצת הסנכהה תמוקע תאוושמו X X

גזירת עקומת אנגל מעקומת הכנסה-תצרוכת מזון 3 B B B 3 בידור

גזירת עקומת אנגל מעקומת הכנסה-תצרוכת מזון עקומת הכנסה תצרוכת 3 B B B 3 בידור

גזירת עקומת אנגל מעקומת הכנסה-תצרוכת מזון עקומת הכנסה תצרוכת 3 B B B 3 בידור הכנסה

גזירת עקומת אנגל מעקומת הכנסה-תצרוכת מזון עקומת הכנסה תצרוכת Q b a Q cd B B B 3 3 בידור הכנסה

גזירת עקומת אנגל מעקומת הכנסה-תצרוכת מזון עקומת הכנסה תצרוכת Q b a Q cd B B B 3 3 בידור הכנסה Y a Q cd

גזירת עקומת אנגל מעקומת הכנסה-תצרוכת מזון עקומת הכנסה תצרוכת Q b Q b a b 3 Q cd Q cd B B B 3 בידור הכנסה Y Y a b Q cd Q cd

גזירת עקומת אנגל מעקומת הכנסה-תצרוכת מזון Q b3 Q b Q b a b c עקומת הכנסה תצרוכת 3 Q cd Q cd Q cd3 B B B 3 בידור הכנסה Y 3 Y Y a b c Q cd Q cd Q cd

גזירת עקומת אנגל מעקומת הכנסה-תצרוכת מזון Q b3 Q b Q b a b c עקומת הכנסה תצרוכת 3 Q cd Q cd Q cd3 B B B 3 בידור עקומת אנגל הכנסה Y 3 Y Y a b c Q cd Q cd Q cd

43 תירבגלא הגצה לגנא תמוקע :האבה םישוקיבה תכרעמ ןתניהב m m X m m X + + רובע לגנא תמוקע :ידי לע תנתינ X X m +.המוקעה לכ תא וזיזי םיריחמב םייוניש

הגדרות מוצר יקרא מוצר נורמלי אם הכמות המבוקשת ממנו עולה כשההכנסה גדלה מוצר יקרא מוצר נחות אם הכמות המבוקשת ממנו יורדת כשההכנסה גדלה מוצר יקרא מוצר ניטרלי אם הכמות המבוקשת ממנו אינה משתנה כשההכנסה גדלה מוצר יקרא מוצר יסוד אם אחוז ההכנסה המוצא עליו יורד כשההכנסה עולה מוצר יקרא מוצר מותרות אם אחוז ההכנסה המוצא עליו עולה כשההכנסה עולה 44

גידול בהכנסה מוצר נחות X מוצר נורמלי a B O X מוצר נחות

גידול בהכנסה מוצר נחות b X מוצר נורמלי a B B O X מוצר נחות

גידול בהכנסה מוצר נחות b עקומת הכנסה -תצרוכת X מוצר נורמלי a B B O X מוצר נחות

סטאטיקה השוואתית - שינויים במחיר המוצר עקומת מחיר-תצרוכת CC עקומת הביקוש הרגילה המרשאליאנית מישור מחיר/כמות תכונות המוצר רגיל גיפן 48

3 0 X ירידה במחיר המוצר X הנחות 0 m 30 j 0 0 B 0 5 0 5 0 5 3 0 X

3 0 a X ירידה במחיר המוצר X הנחות 0 k m 30 j 0 0 B 0 5 0 5 0 5 3 0 B X

3 0 a X ירידה במחיר המוצר X 0 k עקומת מחיר-תצרוכת j 0 0 B 0 5 0 5 0 5 3 0 B X

גזירת עקומת ביקוש מעקומת מחיר-תצרוכת a X B X

גזירת עקומת ביקוש מעקומת מחיר-תצרוכת a b ירידה במחיר X X B B X

גזירת עקומת ביקוש מעקומת מחיר-תצרוכת X a b c d ירידות נוספות X במחיר 4 3 B B B 3 B 4 X

גזירת עקומת ביקוש מעקומת מחיר-תצרוכת X a b c d עקומת מחיר תצרוכת 4 3 B B B 3 B 4 X

גזירת עקומת ביקוש מעקומת מחיר-תצרוכת X a b c d עקומת מחיר תצרוכת 4 3 B B B 3 B 4 מחיר X X a Q X

גזירת עקומת ביקוש מעקומת מחיר-תצרוכת X a b c d עקומת מחיר תצרוכת 4 3 B B B 3 B 4 X a X מחיר b Q Q X

גזירת עקומת ביקוש מעקומת מחיר-תצרוכת X a b c d עקומת מחיר-תצרוכת 4 3 B B B 3 B 4 X a X מחיר b 3 c Q Q Q 3 X

גזירת עקומת ביקוש מעקומת מחיר-תצרוכת X a b c d עקומת מחיר-תצרוכת 4 3 B B B 3 B 4 X a X מחיר b 3 4 c d עקומת הביקוש Q Q Q 3 Q 4 X

עקומת מחיר תצרוכת הצגה אלגברית עקומת מחיר-תצרוכת משורטטת במישור המוצרים. בהינתן ההעדפות יש לחשב את מערכת הביקוש. מערכת הביקושים מספקת מערכת "קשרים סתומים" בין הכמויות הנצרכות המחירים וההכנסה. עבור הכנסה נתונה ומחיר מוצר ניתן לחלץ את מחיר מוצר ולהגיע לקשר בין הכמויות הנצרכות. קשר זה הינו עקומת מחיר-תצרוכת. שינויים במחיר מהווים תזוזה על עקומת מחיר-תצרוכת ושינויים בהכנסה מזיזים את כל העקומה. 60

6 - תירבגלא הגצה תכורצת ריחמ תמוקע :האבה םישוקיבה תכרעמ ןתניהב m m X m m X + + :יכ תוארהל ןתינ :הניה CC תכורצת - ריחמה תמוקע תאוושמ m X X X + 0.5 0.5

6 תירבגלא הגצה- תינאילאשרמה שוקיבה תמוקע :האבה םישוקיבה תכרעמ ןתניהב m m X m m X + + רובע הליגרה שוקיבה תמוקע :ידי לע תנתינ X m X + תא וזיזי הסנכההו ינשה רצומה ריחמב םייוניש.המוקעה לכ

הגדרות מוצר יקרא מוצר רגיל אם הכמות המבוקשת ממנו עולה כשמחירו יורד מוצר יקרא מוצר גיפן אם הכמות המבוקשת ממנו יורדת כשמחירו יורד 63

גמישויות 64 η גמישות מוגדרת כשינוי יחסי במשתנה מוסבר תלוי חלקי שינוי יחסי במשתנה מסביר בלתי תלוי. נניח כי f מוסבר. הגמישות של ביחס ל כלומר מסביר ו מסומנת ב -. ומוגדרת על ידי : ההגדרה בין שתי נקודות נותן גמישות " כימות " הגמישות הקשתית ניתנת על ידי : בין הנקודות : ו + + קשתית. + +

גמישות נקודתית 65 η d d גמישות נקודתית השינויים לאפס וניתנת על ידי : מתקבלת כשמשאיפים את η d d d d marginal η α η z β 3 3 אזי מכאן רואים מדוע אומרים כי הגמישות הינה. average 3 אזי נקבל: 3 כאשר A α z β " נגזרת לוגריתמית" כאשר היחס בין המשתנה המוסבר והמשתנים המסבירים n ניתן על ידי: ln Ln A + α + ln + α ln +... α n ln n α α α n A... n η i α i כלומר מתקבל כי:

גמישויות בכלכלה בפונקציית הביקוש הכמות המבוקשת מהמוצר הינה המשתנה המוסבר ומחיר המוצר מחירי מוצרים אחרים והכנסה הינם משתנים מסבירים. כך מתקבלות: גמישות מחיר עצמית η 66 גמישות מחיר צולבת גמישות הכנסה η η משמעות אופרטיבית של גמישויות - הגמישות מתרגמת אחוז שינוי במשתנה המסביר לאחוז שינוי במשתנה המוסבר. לדוגמה אם מחיר המוצר עלה ב 5% וגמישות המחיר העצמית היא אזי הכמות המבוקשת מהמוצר תרד ב 0. % ניתן כמובן ל" חבר " שינויים ומתקבל כי : d d d η + η + η d -

חישוב גמישויות 67 η η בהינתן פונקציות הביקוש הבאות: α α + β α + β β חישוב פשוט מראה כי: ; η 0 ; η 0 ; η ; η ו

68 - תויושימג בושיח : תואבהשוקיבהתויצקנופ ןתניהב 4 4 : יכ הארמ "טושפ " בושיח 0 ; ; η η η - ו 4 4 4 4 4 4 ; 4 4 4 η η η

זהויות שונות ניתן להראות את התכונות הבאות: η + η + η כלומר סכום הגמישויות אפס. 0 s η s + sη כאשר s ו מייצגים את אחוז ההוצאה על כל מוצר / s s + sη + s η 0 69

גמישות מחיר עצמית והוצאה על המוצר הביקוש יקרא גמיש קשיח כאשר גמישות המחיר העצמית גדולה קטנה מאחד בערך מוחלט. בעל גמישות יחידתית כאשר הביקוש יקרא גמישות המחיר העצמית שווה לאחד בערך מוחלט. כאשר הביקוש גמיש קשיח עליה במחיר המוצר מורידה מעלה את ההוצאה על המוצר. כאשר הביקוש בעל גמישות יחידתית ההוצאה על המוצר קבועה ואינה תלויה במחיר. 70

גמישות ההכנסה ואחוזי הוצאה על המוצר גמישות ההכנסה משתנה. לשינויים באחוז ההוצאה מתקשרת באופן טבעי על מוצר כשההכנסה כאשר גמישות ההכנסה הינה אחד אחוז ההוצאה על המוצר קבוע ואינו משתנה כשמשתנה ההכנסה. כאשר גמישות ההכנסה גדולה קטנה מאחד אחוז ההוצאה על המוצר עולה יורד כשההכנסה עולה. 7 לכן ניתן לומר שכאשר גמישות ההכנסה גדולה קטנה מאחד המוצר הינו מוצר מותרות יסוד.

העדפות הומוטתיות העדפותיו של פרט תקראנה הומוטתיות אם ההעדפות בין כל שני סלים A ו B נשמרות עבור כל כפולה חיובית של שני הסלים. כלומר אם A עדיף/אדיש על B אזי A עדיף/אדיש על Bלכל חיובית ממש. ההעדפות הינן הומוטתיות אם ורק אם שיפוע עקומות האדישות קבוע לאורך כל קרן היוצאת מהראשית. ההעדפות הינן הומוטתיות אם הן ניתנות לייצוג על ידי פונקציית תועלת שהינה טרנספורמציה מונוטונית עולה ממש של פונקציה הומוגנית מדרגה אחד. המבחן המעשי להומוטותיות הינו חישוב ה MRS ובדיקה האם הוא קבוע לאורך קרן היוצאת מהראשית. 7