מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי المرآز القطري لمعلمي الرياضيات في المرحلتين الاعدادية والثانوية מרובע חסום ועקשן, או נכדי מסר לטיפולי בעיה בגיאומטריה מדור: כתב: תקציר: זה קרה לי בכיתה אברהם בלוך בעיה סטנדרטית מספר הלימוד בגיאומטריית המישור, אשר דרך הפתרון שלה מוגבלת לידע מסוים. עובדה זו מקשה על הפתרון ומאלצת שימוש בקווי עזר. תוך כדי הוכחה מתקבלות תכונות נוספות ומעניינות לריבוע החסום, עד כדי יצירת סדרות אינסופיות של ריבועים חוסמים וחסומים לסירוגין. מילות מפתח: מרובע חסום, ריבוע, נקודת שבת, תהליך יצירת פתרון, סדרה אינסופית, ריבועים. החומר פורסם במסגרת: על"ה 39, תשס"ח 2008, עמוד 66. החומר מכיל בנוסף לעמוד הפתיחה: 5 עמודים. מרכז מורים ארצי במקצוע: מתמטיקה. הפרויקט מבוצע ע"י אוניברסיטת חיפה עפ"י מכרז מס' 6/1.07 הפרויקט מבוצע עבור האגף לתכנון ולפיתוח תכניות לימודים, המזכירות הפדגוגית, משרד החינוך מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי - הפקולטה לחינוך, אוניברסיטת חיפה, חיפה 31905 פקס. 04-8240757 טל' 04-8288351 אתר: דוא"ל: http://highmath.haifa.ac.il hmathcntr@constrct.haifa.ac.il
מרובע חסום ועקשן או נכדי מסר לטיפולי בעיה בגיאומטריה אברהם בלוך inômio de Newton é tão beloqanto a Vens de Milo. qe ha é poca gente para dar por isso. (ernando Pessoa) "רבה יופייה של נוסחת הבינום של ניוטון כמו יופייה של האלה ונוס ממילו. מה שקורה הוא שיש מעט אנשים שנותנים דעתם לכך." (פרננדו פסוא, פורטוגל) ואני מרשה לעצמי להוסיף, שאם כך נאמר לגבי הבינום של ניוטון, אז על אחת כמה וכמה יופיין הרב של בעיה גיאומטרית ודרך פתרונה. אשמח אם אנשים רבים יבחינו ביופי זה. "סבא, תעזור לי בבקשה. יש כאן בעיה בגיאומטריה שאני לא מצליח לפתור וגם לא הפותרים היותר מנוסים בבית." להלן הניסוח המקורי לבעיה אשר "נגדה" ביקש נכדי, את עזרתי. אפשר להסתמך רק על הגדרות, תכונות וטענות בנושאים, כגון: זוויות במשולש, חפיפת משולשים, ישרים מקבילים, ישרים מאונכים זה לזה, וכן על הגדרות ותכונות של המרובעים למיניהם. במאמר זה אציג, הגיאומטריים והדידקטיים, בארבעה פרקים, שחשבתי עליהם לאחר לפתור את הבעיה לשביעות רצונו של הנכד. פרק ראשון: הצגת הפתרון של הבעיה. פרק שני: המרובע ומעניינות. את עיקרי הרעיונות, שהצלחתי החסום, טומן בחובו תכונות נוספות פרק שלישי: שינויים מזעריים בניסוח הבעיה, מובילים לשינויים גדולים בפתרונה. פרק רביעי: בניית הריבוע החסום כאשר נתונים הריבוע החוסם והזווית (שונה מ-.( 45 פרק ראשון: 1 בסרטוט.1 מתואר ריבוע פתרון הבעיה ומרובע חסום בריבוע, כך שצלעותיו של המרובע יוצרות עם הצלעות המתאימות של הריבוע זווית חדה השונה מ-. 45 סרטוט 1 בעיה: בתוך ריבוע חסום מרובע יוצרות זווית, השונה מ-, 45 עם צלעות הריבוע. הוכח: המרובע הוא ריבוע. הערה: הסבר מדוע התנאי, שצלעותיו 45 ההוכחה עליך להגיע לשלב שאכן תנאי זה נחוץ. חייב להתקיים. במהלך לגבי הדרך לפתרון הבעיה, אמר לי הנכד שקיימת מגבלה: יש להשתמש אך ורק בחומר שנלמד עד אז בכיתתו, וזה לא כולל קטעים פרופורציונאליים, משפט תאלס ודמיון משולשים. כלומר, נוכיח בשלב זה שכל הזוויות הפנימיות של המרובע הן ישרות. לשם כך, נתבונן בנקודה ב- : ישנן שלוש זוויות שקדקודיהן : זווית, זווית, שהיא פנימית במרובע החסום, וזווית. 90 לכן מתקיים השוויון: (90 ) 180. 90 ומכאן אותו הטיעון מאפשר לקבוע שכל ארבע הזוויות הפנימיות במרובע החסום הן זוויות ישרות. מסקנה: המרובע החסום הוא מלבן. על"ה 39 אוגוסט 2008 66
2. נתגבר על האכזבה שגורם לנו המרובע, שעד עכשיו "לא מסכים" להיות ריבוע, ונראה מה אפשר להסיק מזה שהוא "כבר הסכים" להיות מלבן. א) שכל שתי צלעות נגדיות בו הן מקבילות ושוות באורכן. ב) ששני אלכסוניו חוצים זה את זה, ושווים באורכם. אם נסמן ב- את מפגש האלכסונים (סרטוט 2), מתקיים: (1) סרטוט 2 3. כדי להתקדם לעבר פתרון הבעיה, נחקור את המיקום של נקודה ביחס לריבוע המקורי. לשם כך, נעביר דרך ישר וב- המאונך ל- (ולכן מאונך גם ל,( ונסמן ב- R את נקודות החיתוך של הישר P עם הצלעות בהתאמה (סרטוט 3). נציין גם שהישר בשני המשולשים שלהם ב- סרטוט 3 מקביל לצלעות ו- ו-. כעת, נתבונן : R ו- P הן קודקודיות, והצלעות הם ישרי-זווית, ו- לפי (1). קיבלנו ששני המשולשים P ו- ; P R נוסף לכך, מתקיים השוויון המרובע PR הוא מלבן). R הזוויות שוות באורכן חופפים ולכן משני השוויונות האחרונים נובע ש- (2) 1 R= P= 2 באותו אופן, אם נעביר דרך ישר v המאונך ל- (ולכן מאונך גם ל- ( ונסמן ב- הישר v עם ו- ו- ; Q מכאן נובע: וב- Q את נקודות החיתוך של בהתאמה, נקבל שני משולשים חופפים (3) 1 Q = = 2 4. כעת יש לנו "מספיק תחמושת" כדי להוכיח שגם המשולשים R ו- Q (סרטוט 4) הם חופפים: שניהם ישרי-זווית, הניצבים שלהם היתרים ו- "מרוויחים" כי: R ו- Q שווים באורכם (לפי (2) ו- (3)), גם שווים באורכם (לפי (1)). מחפיפה זו אנו סרטוט 4 (4) R Q 5. על סמך שוויון הזוויות (4), נוכל לחשב את גודלה של הזווית שבין האלכסונים של המרובע החסום מסקנה: באורכם : (5) R R Q R מהעובדה שאלכסוני המרובע RQ 90 גם שווים (לפי (1)), וגם מאונכים זה לזה (לפי (5)) נובע כי המרובע החסום הוא ריבוע. מ.ש.ל. פרק שני: תכונות נוספות ומעניינות לריבוע ה"צעיר" המרובע החסום טומן בחובו תכונות נוספות ומעניינות. 1. נחשב את גודל הזווית X, שכרגע "נכנס" למשפחת הריבועים, (סרטוט 5). הזווית היא אחת מהזוויות שבין האלכסון של הריבוע החסום, לבין האלכסון של הריבוע החוסם. שינויים מזערים בניסוח הבעיה, מובילים לשינויים גדולים בפיתרון הבעיה! P R Q PR (כי הרי P R Q v על "ה 39 אוגוסט 67 2008
הז( במשולש כך ש- 45 : והזווית מפוצלת, 45 ו-. 90 x 45 (45 90 ומכאן: ) 180 מפתיע). סרטוט 5 לכן: x (כמה לא.2 נחזור לסרטוט,3 שם קבענו כי: Q P. P, Q האלכסונים של מכאן שהנקודה ( לכן, נמצאת ו- של המרובע החוסם; שייכת לחוצה הזווית של במרחקים שווים וכן (מפגש מהצלעות במילים אחרות, ; שייכת לאלכסון ; אותו הטיעון מראה ש- נמצאת על האלכסון. כלומר: נקודת המפגש של אלכסוני הריבוע החסום מתלכדת עם נקודת המפגש של אלכסוני הריבוע החוסם המסקנה הזו נותנת לנקודה המקורי. ( החדות, הנקודה מעמד של החסומים בריבוע. 3. כתוצאה מכניסת המרובע (מפגש האלכסונים של הריבוע נקודת שבת: עבור כל הזוויות היא נקודת המפגש של כל הריבועים למשפחת הריבועים, אפשר לקבוע שכל ארבעת המשולשים ישרי-הזווית (סרטוט,,(1 ו-,, חופפים זה לזה (היתרים שווים בהיותם צלעות של ריבוע, והזוויות ליד היתר הן ו- ). 90 מכאן נובע שבכל משולש כזה, סכום אורכי הניצבים שווה לאורך צלע הריבוע החוסם. "מריח" כמו משפט פיתגורס, אבל זה לא!) פרק שלישי: שינויים מזעריים הבעיה. שינויים בניסוח הבעיה, מובילים לשינויים גדולים בפיתרון 1. ניתן לשנות "טיפה" את נוסח הבעיה, ובמקום הנתון "זווית קבועה אפשר להגדיר שקדקודי המרובע החסום ", את צלעות הריבוע החוסם לקטעים, מחלקים כך שמתקיים. במקרה זה הכנסת המרובע החסום שבבעיה פוחתת. 2. כאשר הזווית תקפה. עבור והמשולשים גם במקרה שבו למשפחת הריבועים הייתה מיידית, אבל מידת היופי, 45 ההוכחה שהוצגה בפרק הראשון אינה 45 הנקודה, P מתלכדת עם הנקודה, Q, P (סרטוט (3 וכו' "נעלמים". אבל 45 המרובע החסום הוא ריבוע (סרטוט 6). סרטוט 6 ההוכחה נובעת מכך שהמשולשים R, RQ, QP ו- P חופפים. במשולש הישר-זווית, P שבו יתר ו-. P ניצב, מתקיים P מכאן אפשר לקבוע כי:, באופן המתואר בבעיה, הריבוע בהיקפו ובשטחו. כאשר הזווית בין כל הריבועים החסומים בריבוע PQR, 0 המרובע הוא מינימאלי חסום באופן קצת מאולץ, ולמעשה, במקרה זה הוא מתלכד עם הריבוע. אפשר, אם כך, לומר שבין כל הריבועים החסומים בריבוע באופן המתואר בבעיה, הריבוע עבור הזווית, הנוצר 0 הוא מקסימאלי בהיקפו ובשטחו..3 7 בסרטוט. מתוארים שני מרובעים חסומים בתוך הריבוע צלעותיו של המתאימות של הריבוע האחד יוצרות זווית 90 עם הצלעות, וצלעותיו של האחר יוצרות זווית עם הצלעות המתאימות של. במקרה זה הריבועים החסומים שמתקבלים חופפים (שוב, על סמך משולשים חופפים). P R Q v x על"ה 39 אוגוסט 2008 68
מסתבר שאפשר למקם את כל ארבעת הקודקודים,,, סרטוט 7 מכאן שבניית הריבוע החסום עם זווית, 90 זהה לבניית הריבוע החסום כשהזווית היא הקדקודים הקודקודים,,,, ' ' ' ',,, מציינים תנועה אבל עם מסמנים תנועה במגמה נגדית מחוגי השעון, נגד (אם אזי כיוון מחוגי השעון). מכאן אפשר להסיק כי מספיק לחקור את השתנות הריבוע החסום כאשר. 0 45 פרק רביעי: בניית ריבוע חסום בניית הריבוע החסום כאשר נתונים הריבוע החוסם והזווית (שונה מ-.( 45 נתון הריבוע ונתונה זווית. כיצד למקם את הנקודה על הצלע, כך שהזוויות בין צלעות המרובע החסום, וצלעותיו המתאימות של הריבוע המקורי, יהיו כולן שוות ל-? ובמילים אחרות: בהינתן ריבוע וזווית, איך נבנה את המרובע החסום המתואר בבעיה המקורית? (וקביעת על ישנה חשיבות רבה לבחירת מיקום הנקודה מגמה "עם מחוגי השעון"). מיקום מאפשר מיקום חד-ערכי של (עקב שני האילוצים:, נקודה נמצאת על צלע, ובהמשך גם מיקום חד-ערכי של נקודות ), כך שאי-אפשר לדרוש מ-. I ו- I לקיים אילוץ שלישי, כלומר, לטעון מראש שהנקודה I מתלכדת עם הנקודה (סרטוט 8). סרטוט 8 על-ידי שימוש בטענה, האומרת שהזוויות בין אלכסוני הריבוע המקורי ואלכסוניו המתאימים של המרובע החסום שוות גם הן ל-. נתון הריבוע שאורך צלעו ונתונה זווית חדה, a, מפגש אלכסוני הריבוע (שונה מ- ). 45 נעביר דרך שני ישרים היוצרים עם ו- חותכים את צלעות בנקודות זוויות שוות ל-. ישרים אלה,,,, בסרטוט 9. סרטוט 9 כמתואר כלומר, הישר 90 מאונך לישר (1).,,, המשולשים בכולם ישנה זווית, בכולם ישנה זווית של, 45,,, שוות באורכן. מהחפיפה נובע ש: מ-( 1 ) ומ- (2) נובע כי המרובע חופפים, כי והצלעות.(2) הוא ריבוע, כי הרי אלכסוניו שווים באורכם, חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה. נתבונן בזווית. x במשולש, 45 ( x 45 ) (90 ומכאן ) 180 דומה אפשר לטעון לגבי, ו-. לכן המבוקש. שיטה נוספת לפתור את בעיית המיקום של נקודה מתקיים:. x באופן הוא הריבוע, היא שיטה ש"הצילה" אותי בעבר בהתמודדות עם בעיות מתמטיות. הרבה פעמים קורה שדרושה פריצה מתוך תחום מסוים, כדי לגבש פתרון לבעיה. הפתרון נמצא בתחום המקורי של נתוני הבעיה, אך תהליך יצירת הפתרון הוא זה המחייב מעבר לתחום רחב יותר. קראתי לשיטה זו בשם xogenesis (מחוץ= exo, יצירה= genesis ). מכאן בחזרה לבניית המרובע לריבוע המקורי,. החלטתי לעבוד מחוץ והפכתי אותו מריבוע חוסם לריבוע הרבה פעמים קורה שדרושה פריצה מתוך תחום מסוים, כדי לגבש פתרון לבעיה. הפתרון נמצא בתחום המקורי של נתוני הבעיה, אך תהליך יצירת הפתרון הוא זה המחייב מעבר לתחום רחב יותר. x 45 ' ' I ' ' על "ה 39 אוגוסט 69 2008
, ו- חסום. נעביר דרך הקדקודים את הישרים,, ' ' ' ' ' ' ' ',,, (סרטוט 10), היוצרים בהתאמה עם,,,, זוויות בגודל (באותה המגמה, למשל, עם תנועת מחוגי השעון). הפעם המרובע החוסם ' ' ' ' ' (חפיפת המשולשים, אלכסוני "מסכים" מיידית להיות ריבוע ' ' ' ' ' הריבוע הריבוע שוות ל-. כעת, נתבונן בארבעת המשולשים: גם וכו'). הזוויות בין לבין האלכסונים המתאימים של סרטוט 11 ולבסוף, תודתי נתונה לנכדי שהציג לי את הבעיה. כנראה שהוא כבר בין ה"מבחינים" ואני מאוד שמח על כך. ' ' הריבוע המקורי שלנו ביחד עם הזווית חולל שתי סדרות אינסופיות של ריבועים, שהם חוסמים וחסומים לסירוגין. אברהם בלוך ' מורה, פנסיונר, לימד בבית ספר "בסמת", בקיבוצים יגור, גשר הזיו ומעגן מיכאל, ובמכללת אורנים. ' סרטוט 10 היא.,,, בכולם הזווית ב-,, והצלעות 45 הן של ו-,,, הזוויות ב-,, ו-.( מכאן ש- שוות נוכל לטעון שהמרובע (חצאי האלכסונים של הריבוע, ויחד עם הוא ריבוע, אלכסוניו שווים באורכם, חוצים זה את זה, ומאונכים זה לזה. לסיכום, הריבוע וזווית כי מחוללים שתי סדרות אינסופיות של הריבועים, שהם חוסמים וחסומים לסירוגין (סרטוט בחינוך למורים ללמתמטיקה כנס ארצי יסודי העל.(11 28 בדצמבר 2008 לפרטים: http://highmath.haifa.ac.il על"ה 39 אוגוסט 2008 70