תוכן העניינים: פרק 2...9 גיאומטריה אוקלידית משולשים... 2 משולש כללי, משולש שווה שוקיים ומשולש שווה צלעות:... 2 סוגי משולשים:...2 קטעים מיוחדים במשולשים:...3 משפטים כלליים במשולשים:...3 שאלות זוויות במשולשים:...4 משפטים במשולש שווה שוקיים:...6 משפטים במשולש שווה צלעות:...6 שאלות משולש שווה שוקיים:... 7 חפיפת משולשים:...8 הגדרה:...8 משפטי החפיפה:...8 שאלות חפיפת משולשים:...9 זווית חיצונית במשולש:... 14 זווית חיצונית למשולש:...14 משפט:... 14 שאלות זווית חיצונית במשולש:...14 משולש ישר זווית:... 15 משפטים במשולש ישר זווית:...15 איורים:...15 שאלות משולש ישר זווית:...15 קטעים מיוחדים במשולש:... 17 קטע אמצעים במשולש:...17 שאלות קטע אמצעים במשולש:...17 מפגש התיכונים במשולש:... 18 שאלות מפגש תיכונים במשולש:... 19 תשובות סופיות:... 20 1
משולשים 9 פרק גיאומטריה אוקלידית משולש כללי, משולש שווה שוקיים צלעות: ומשולש שווה סוגי משולשים:.1.2.3 ניתן למיין את המשולשים לפי זוויות או לפי צלעות. לפי זוויות: לפי צלעות:.4.5.6 משולש חד זווית משולש שכל זוויותיו חדות. משולש ישר זווית משולש בעל זווית ישרה. משולש קהה זווית משולש בעל זווית קהה. משולש שונה צלעות משולש שבו כל הצלעות שונות באורכן. משולש שווה שוקיים משולש שבו שתי צלעות שוות. משולש שווה צלעות משולש שבו כל הצלעות שוות באורכן. איורים לכל מקרה לפי המספרים: משולש חד זווית: משולש ישר זווית: 3. משולש קהה זווית:.2.1 משולש שונה צלעות: משולש שווה שוקיים: 6. משולש שווה צלעות:.5.4 2
קטעים מיוחדים במשולשים: תיכון קטע היוצא מקדקוד לצלע שממולו וחוצה אותה. גובה קטע היוצא מקדקוד לצלע שממולו ומאונך לה. חוצה זווית קטע היוצא מקדקוד וחוצה את הזווית שממנה הוא יוצא. אנך אמצעי קטע היוצא מאמצע צלע ומאונך לה..1.2.3.4 איורים לכל מקרה לפי המספרים:.4.3.2.1 משפטים כלליים במשולשים: סכום הזוויות במשולש הוא 180. סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית. במשולש מול הזווית הגדולה נמצאת הצלע הגדולה ולהפך. במשולש מול הזווית הקטנה נמצאת הצלע הקטנה ולהפך. במשולש מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות ולהפך. 3
שאלות זוויות במשולשים: ) 1 חשב את הזוויות בכל אחד מהמשולשים שלפניך: ב. א. ג. ד. ה. ו. ) 2 במשולש שלפניך נתון חוצה זווית. נתון:. 40, 56 חשב את הזוויות., 1 1 ) 3 נתון משולש ובו גובה לצלע.. חוצה זווית הקטע 90 כמו כן:. 75, 63 חשב את זוויות המשולש. ) 4 בסרטוט שלפניך נתון:. מצא את הזוויות ו-. 4
) 5 שלוש זוויות המשולש מתייחסות זו לזו כמו:. 1:2:6 חשב את זוויות המשולש. ) 6 בסרטוטים שלפניך נתונים משולשים שווי שוקיים שאחת מזוויותיהם נתונה. מצא את הגודל x בכל סרטוט. א. ב. ) 7 הגובה לשוק המשולש שווה השוקיים, יוצר זווית בת 24 עם הבסיס. מצא את זוויות המשולש. ) 8 חשב את זוויות המשולשים בכל אחד מהמקרים הבאים: א. במשולש שווה שוקיים, זווית הבסיס גדולה פי ארבעה מזווית הראש. מצא את זוויות המשולש. ב. במשולש שווה שוקיים, זווית הבסיס גדולה ב- 12 מזווית הראש. מצא את זוויות המשולש.. ) 9 באיור שלפניך נתון:,. 40, א. חשב את הזוויות:,,, ב. הוכח:. M N ) 10 באיור שלפניך נתון:. מעבירים את הקטעים N ו- MN כך שמתקיים:. M N נתון בנוסף:. 32 חשב את זוויות:., NM 1 5
K. ) 11 משולש הוא שווה שוקיים בנקודה K כלשהי על מעלים אנך ל-. K 90 אנך זה חותך את בנקודה ואת המשך בנקודה. N מתקיים:. N חשב את זוויות המשולש. N משפטים במשולש שווה שוקיים: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו. )משפט הפוך( משולש שבו שתי זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים. במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש, הגובה לבסיס והתיכון לבסיס מתלכדים. )משפט הפוך( משולש שבו חוצה זווית הוא גם גובה או חוצה זווית הוא גם תיכון או גובה הוא גם תיכון הוא משולש שווה שוקיים. משפטים במשולש שווה צלעות: במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות. 60 )משפט הפוך( משולש שבו כל הזוויות שוות הוא משולש שווה צלעות. איורים: משפט במשולש שווה שוקיים משפט במשולש שווה צלעות 6
שאלות משולש שווה שוקיים: ) 12 המשולש שבציור הוא שווה שוקיים (=)..G היא נקודה כלשהי על M. חוצה את זווית G הוכח כי: M. M = M G P M 1 2 3 G Q ) 13 המשולש שבציור הוא שווה שוקיים (=). G ו- P חוצים את הזוויות ו- בהתאמה. הנקודה Q נמצאת על המשך. G נתון:.GM = GQ הוכח: 1 3 7
חפיפת משולשים: הגדרה: משולשים חופפים הם משולשים ששווים זה לזה בכל צלעותיהם ובכל זוויותיהם בהתאמה., F, F. F,, F סימון מתמטי: F משפטי החפיפה: משפט חפיפה צלע-זווית-צלע )צ.ז.צ(: אם בין שני משולשים שוות שתי צלעות והזווית שביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים. משפט חפיפה זווית-צלע-זווית )ז.צ.ז(: אם בין שני משולשים שוות שתי זוויות והצלע שביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים. משפט חפיפה צלע-צלע-צלע )צ.צ.צ(: אם בין שני משולשים שוות שלוש צלעות בהתאמה אז המשולשים חופפים. משפט חפיפה צלע-צלע-והזווית הגדולה )צ.צ.ז(: אם בין שני משולשים שוות שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים. 8
שאלות חפיפת משולשים: שאלות העוסקות במשפט חפיפה צלע-זווית-צלע: O ) 14 באיור שלפניך הקטעים ו- חוצים זה את זה בנקודה O.. O הוכח: O 1 2 ) 15 באיור שלפניך נתון:. כמו כן:. 1 2. הוכח:. ) 16 בסרטוט שלפניך נתון:,,. הוכח: שאלות העוסקות במשפט חפיפה זווית-צלע-זווית: ) 17 במרובע נתון כי חוצה את זוויות ו-.. הוכח: 9
. ) 18 בסרטוט שלפניך נתון: חוצה את הזוויות. הוכח: ו- K.. ) 19 בציור שלפניך נתון:,, K K הוכח: K L שאלות העוסקות במשפט חפיפה צלע-צלע-צלע: ) 20 באיור שלפניך נתון:. KL MN, KN LM. KLN הוכח: MLN N M שאלות העוסקות במשפט חפיפה: צלע-צלע-זווית שמול הצלע הגדולה: ) 21 בציור שלפניך נתון:, הוכח כי הנקודה היא אמצע. 10
שאלות העוסקות בשלושת משפטי החפיפה יחדיו:. ) 22 במרובע נתון:, הוכח:. F ) 23 הקטע הוא קו ישר. נתון:. F,. כמו כן מתקיים: הוכח כי הקטעים ו- F שווים. F הF ה באיור שלפניך נתון: ) 24 הנקודה F היא אמצע הקטע.. מתקיים: הקטעים ו- שווים. הוכח את הטענות הבאות: יא אמצע הקטע. א. יא אמצע הקטע. ב. K ) 25 המשולש הוא שווה צלעות. נתון:. K N הוכח כי KN הוא גם משולש שווה צלעות. N 11
שאלות העוסקות במשולשים המכסים חלקית זה את זה: ) 26 בציור שלפניך נתון:., הוכח:. א. ב... ) 27 באיור שלפניך נתון:, הוכח:. N ) 28 בציור שלפניך נתון:, N, N N הוכח:. שאלות העוסקות בשתי חפיפות: ) 29 בסרטוט שלפניך נתון כי הוא קו ישר. מתקיים:., הנקודה נמצאת על. הוכח כי:. 12
בציור שלפניך נתון כי הוא קו ישר. ) 30 F, מתקיים: וכן. F הוכח:. F א.. F ב. F שאלות העוסקות בחפיפות עם משולש שווה שוקיים:. ) 31 נתון משולש שווה שוקיים, מתקיים:. הוכח:. 1 2 O ) 32 בסרטוט שלפניך נתון משולש שווה שוקיים. היא אמצע O הנקודה., מתקיים:. O1 O2 הוכח:. S R ) 33 במשולש שווה שוקיים, הנקודות S ו- R הן אמצעי השוקיים. ידוע כי. הוכח כי:. S R ) 34 נתון משולש. הקטעים ו- ישרים ונתון בנוסף כי:., הוכח:. 13
זווית חיצונית במשולש: זווית חיצונית למשולש: הגדרה: זווית חיצונית למשולש היא זווית הכלואה בין צלע במשולש להמשך צלע הסמוכה לה. משפט: זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. שאלות זווית חיצונית במשולש: ) 35 הוכח את המשפט: "זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. N ) 36 המשולש שבציור הוא משולש שווה צלעות. נתון:. N M הוכח:. NQ 60 M Q 14
משולש ישר זווית: משפטים במשולש ישר זווית: סכום הזוויות החדות במשולש ישר זווית הוא. 90 במשולש שזוויותיו, 30, 60, 90 הניצב שמול הזווית של ה- 30 שווה למחצית היתר. )משפט הפוך ל- 2 ( אם במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה למחצית היתר, אז הזווית שמול ניצב זה היא בת 30. במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר. )משפט הפוך ל- 4 ( אם במשולש תיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, אז המשולש ישר זווית )כאשר הזווית ממנה יוצא התיכון היא הזווית הישרה(. משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. 2 2 2 כלומר: )יתר( = )ניצב( + )ניצב(. )משפט הפוך למשפט פיתגורס( אם במשולש סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית, אז המשולש ישר זווית. איורים: משולש תיכון ליתר משפט פיתגורס 90,60,30 K שאלות משולש ישר זווית: ) 37 באיור שלפניך נתון משולש שווה שוקיים 75 זווית הבסיס:. וכן: 16 ס"מ.= מעבירים גובה K לשוק. מצא את אורך הגובה.K 15
) 38 המשולש שבציור הוא משולש שווה. שוקיים נתון:, 30, 90 18 ס"מ =. חשב את אורכו של הקטע. 2 1. המשולש הוא ישר זווית 90 ) 39 מעבירים תיכון ליתר במשולש. הנקודה נמצאת על כך ש-.. ידוע כי: 80, מצא את הזוויות: 1 2 P Q ) 40 המשולש שבציור הוא משולש ישר זווית Q. 90 הוא הגובה ליתר ו- P הוא התיכון ליתר.. 1 Q P 2 נתון: חשב את גודלה של הזווית. ) 41 המשולש שבציור הוא משולש שווה שוקיים. חוצה את הזווית. נתון:. חשב את גודלה של הזווית.. הוא גובה במשולש ) 42 נתון: 15 ס"מ =, 20 ס"מ =, 25 ס"מ =. א. מצא את אורכו של ואת שטח המשולש. ב. האם המשולש ישר זווית? נמק. 16
קטעים מיוחדים במשולש: קטע אמצעים במשולש: הגדרה: קטע המחבר אמצעי שתי צלעות במשולש נקרא קטע אמצעים במשולש. קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. )משפט הפוך 1(: קטע היוצא מאמצע צלע במשולש ומקביל לצלע השלישית חוצה את הצלע השנייה )כלומר הוא קטע אמצעים במשולש(. )משפט הפוך 2(: קטע המחבר שתי צלעות במשולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים במשולש. איור קטע אמצעים במשולש: שאלות קטע אמצעים במשולש: ) 43 לפניך משולשים עם קטע אמצעים בתוכם. מצא את x בכל אחד מהמקרים: ב. א. ג. F ) 44 הנקודות, ו- F הם נקודות האמצע במשולש. נתון: 9 ס"מ,= 12 ס"מ=,F 10 ס"מ =.F חשב את היקף המשולש. 17
N F ) 45 הקטע הוא קטע אמצעים במשולש. הקטע FN הוא קטע אמצעים במשולש. נתון: 3 ס"מ =.NF מצא את אורך הצלע. M P 1 2 3 N ) 46 הקטע MN הוא קטע אמצעים במשולש. הוא גובה לצלע Q הוכח:. N N 1 2 Q G H F ) 47 F הוא גובה לצלע ו- G הוא תיכון לצלע. מאונך לצלע GH הקטע. במשולש א. הוכח:.HF =H ב. נתון בנוסף כי הגובה F חוצה את התיכון G ושגודלו של F הוא 12 ס"מ. חשב את אורך הקטע.F מפגש התיכונים במשולש: שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת המחלקת כל תיכון ביחס של 1:2 כך שהחלק הקצר קרוב לצלע. אם נקודה מחלקת תיכון )אחד( במשולש ביחס של 1:2 כך שהחלק הקצר קרוב לצלע, נקודה זו היא מפגש התיכונים במשולש. נקודת מפגש התיכונים במשולש נקראת גם מרכז הכובד של המשולש. איור מפגש תיכונים במשולש: 18
שאלות מפגש תיכונים במשולש: ) 48 הקטעים שבמשולשים הם תיכונים. מצא את x בכל אחד מהמקרים הבאים: ג. ב. א. M ) 49 הקטעים ו- הם תיכונים במשולש אשר נחתכים בנקודה M. נתון: M וכן: 30 ס"מ =. חשב את. Q M H ) 50 המשולש שבציור הוא מש"ש. הוא הגובה לבסיס H שבו ) (, התיכון לשוק, יוצר זווית של 30 עם הבסיס. נתון: 12 ס"מ 3 =,. Q חשב את אורך הקטע.MQ N ) 51 במשולש נחתכים התיכונים בנקודה. N נתון:. N 90 הוכח:. N 19
תשובות סופיות: ב. 20 ג. 35 ד. 20 ) 1 א. 60 1 1 ה. 10, 58 ו.. 75, 30 3 3. 78, 48, 54 ) 3 1 42, 1 98 ) 2. 20, 40, 120 ) 5. 64, 46 ) 4 ) 6 א. 50 x ב.. x 22 ב. שאלת הוכחה 52, 64, 64. 48, 66 ) 7 ) 8 א. ב. 20, 80, 80 ) 9 א.. 70 ) 10 א.. 42, NM 37 ב. שאלת הוכחה ב. שאלת הוכחה ) 13 שאלת הוכחה ) 15 שאלת הוכחה ) 17 שאלת הוכחה ) 19 שאלת הוכחה ) 21 שאלת הוכחה ) 23 שאלת הוכחה ) 25 שאלת הוכחה ) 27 שאלת הוכחה ) 29 שאלת הוכחה ) 31 שאלת הוכחה ) 33 שאלת הוכחה ) 35 שאלת הוכחה ) 37 8 ס"מ 1 60, 2 40 ) 39 90 ) 41 1. 60 ) 11 ) 12 שאלת הוכחה ) 14 שאלת הוכחה ) 16 שאלת הוכחה ) 18 שאלת הוכחה ) 20 שאלת הוכחה ) 22 שאלת הוכחה ) 24 שאלת הוכחה ) 26 שאלת הוכחה ) 28 שאלת הוכחה ) 30 שאלת הוכחה ) 32 שאלת הוכחה ) 34 שאלת הוכחה ) 36 שאלת הוכחה ) 38 6 ס"מ 75 ) 40 ) 42 א. 12 ס"מ =, 150 סמ"ר. S ב. כן. 20
) 45 12 ס"מ. ) 43 א. x 7 ב. x 8 ג.. x 13.5 ) 47 א. שאלת הוכחה ב. 3 ס"מ. ) 49 22.5 ס"מ. ) 51 שאלת הוכחה ) 44 62 ס"מ. ) 46 שאלת הוכחה ) 48 א. x 1 ב. x 3 ג. x 4 ) 50 3 ס"מ. 21