אינטגרל משטחי מהסוג השני משפט הדיברגנץ של גאוס ומשפט הרוטור של סטוקס שאלה חשבו את שטף השדה הוקטורי x) F( x,, ) = (, x, דרך משטח = = בכיוון וקטור נורמל היוצר זווית כהה עם הכיוון החיובי של ציר {( x,, ) x,0 } ה- המשטח הוא גרף של פונקציה סקלרית = ( x, ) = x המוגדרת בקבוצה = x x + המשטח הוא חלק מהפרבולואיד )ראו את האיור(: {(, ) } וקרטור הנורמל מכוון למטה, לכן F nds = P( x,, ( x, )( ) + Q( x,, ( x, )( ) + R( x,, ( x, ) dxd = ( x ) ( ( ) ( ) ) ( 9 ) = x x + x x + x dxd = x x x dxd (; ופונקציה תחום האינטגרציה היא טבעת, ז"א הקבוצה היא סימטרית לפי משתנה שעוברת אינטגרציה היא אי-זוגית לפי משתנה, לכן האינטגרל שווה ל- 0 : )ביחס לציר ה- x F nds = 0 = [,] [0, ] המוגדרת במלבן r ( u, v) = ( u cos v, u sin v, v) ) n = (cos,cos,cos הוא וקטור הנורמל שאלה יהי גרף של פונקציה וקטורית ( cos cos + cos ) חשבו x ds כאשר למשטח והכיוון שלו נבחר כך שבנקודה M 0,0, הוקטור יוצר זווית חדה עם הכיוון החיובי של ציר : r( u, v) r( u, v) נמצא וקטור, r u v u v u v v u v ה- x (, ) = ( cos, sin, ) ( )
r u ( u, v) = (cos v,sin v,0) r u( u, v) r v( u, v) = (sin v, cos v, u) 0 r v( u, v) = ( u sin v, u cos v,) ( cos cos + cos ) = ( ( (, )) ( u(, ) v(, ))) x ds F r u v r u v r u v dudv F x x F r u v u v u v v (,, ) = (,, ) ( (, )) = ( cos, sin, ) F( r ( u, v)) ( r u( u, v) r v( u, v)) = ( u cos v, u sin v, v ) (sin v, cos v, u) = u cos vsin v + uv = u(sin v + v ) בנוסחה סמן "+" נבחר אם ורק אם וקטור (v r(,u (v r(,u הוא באותו הכיוון כפי שווקטור נמצא n ( u0, v0) =, הפרמטרים המתאימים לנקודה הם M 0 0,, r( u, v) r( u, v) = (,0,) n u u v v, מכאן וקטור v) r( u, v) r( u, בנקודה, r u( u, v) r הקואורדינאטה הראשונה של הווקטור היא חיובית, לכן וקטורים (v )v,u מכאן בעלי אותו הכיוון ( cos cos cos ) + ( (sin )) ( sin ) u x + ds = u v + v dudv = udu v + v dv =,V = [0,] [0,] [0,], כאשר F nds 0 v שאלה ללא שימוש במשפט גאוס חשבו הצד החיצוני של התיבה (,, ) ( ) (cos ) F x = x x i + j + arctan k 9 = משטח הוא חלק למקוטעין:, כאשר k פאות התיבה: נתאר את הפאות:
n = (,0,0), = {(,, ) 0,0 } F n = ( x x) F n = 0 F nds = 0 n = (,0,0), = {(0,, ) 0,0 } F n = ( x x) F n = 0 F nds = 0 n = (0,,0), = {( x,, ) 0 x,0 } F n = cos F n = F nds = ds = S( ) = = n = (0,,0), = {( x,0, ) 0 x,0 } F n = cos F n = F nds = ds = S( ) = n = (0,0,), = {( x,,) 0 x,0 } F n = arctan F n = F nds ds S( ) 9 = = = n = (0,0, ), = {( x,,0) 0 x,0 } F n = arctan F n = 0 F nds 0 9 = F nds = F nds = 0 0 + + 0 = k = k מכאן הערה ניתן להשתמש במשפט הדיברגנץ של גאוס אך ה לא יותר קל תנסו, ( ) = x x חשבו את האינטגרל {(,, ) 0,0 } ( cos cos cos cos cos ) I = + + ds שאלה משטח הוא שפה של הגוף כאשר ) n = (cos,cos,cos הוא הנורמל החיצוני עבור הגוף והשדה מתקיימים תנאים של משפט גאוס: שדה ( F = (cos,cos, שייך למחלקה שפת הגוף היא משטח חלק למקוטעין, נורמל למשטח הוא חיצוני לכן I div Fdxdd = div F = 0 sin + = sin
הגוף הוא גלילי: } x, = {( x,, ) x,0,0 לכן x ( ) ( ) I = dx d sin d = dx sin ( x ) d = 0 0 0 x ( ) ( ) 0 0 0 = ( x ) dx sin d = x + cos = cos איור הגוף:, כאשר + I = x dd + dxd + dxd + שאלה חשבו את האינטגרל: הצד החיצוני של חצי ספרה, = + + = ז"א וקטור נורמל מכוון שמאלה בכל הנקודות על המשטח n = (0,,0) {( x,, ) x a, 0} האינטגרל הוא אינטגרל משטחי מהסוג השני נסמן ב- את המשטח } a {( x,, ) = 0, x + המכוון ע"י נורמל I = I + F nds F nds = F nds F nds = I I את הגוף החסום ע"י = {( x,, ) x + + a, 0} : לפי משפט גאוס ; = rcos I = Fdxdd = x + + dxdd div ( ) נסמן ב-, = rsinsin, x= לחישוב האינטגרל נעבור לקואורדינאטות כדוריות: rcossin 0 r a, 0, a a a F nds = d d r sindr = = 0 0 נחשב I לפי הגדרה של אינטגרל משטחי מהסוג השני:
F n = x x = F n = I = (,, ) (0,,0), 0 0 a I = I ובכן: = איור של שני המשטחים: x x F( x,, ) = ( x, e +, ) + שאלה חשבו את שטף של השדה דרך משטח = = + {( x,, ) x, x 0, 0} בכיוון וקטור הנורמל היוצר זווית חדה עם הכיוון החיובי של ציר ה- המשטח הוא חלק מהחרוט המכוון כלפי מטה והמוזז )ראו את האיור(: המשטח איננו שפה לאף גוף, לכן נוסיף עוד שני משטחים על מנת לקבל שפה של הגוף הבא: = x x + x {(,, ), 0, 0}
n = (0,0, ) n = (,0,0), = x = x + x ועל השפה הנורמל הוא חיצוני המשטחים הם {(,, ) 0,, 0}, = x x = {(,, ) 0,, 0} n I = F ניתן לקבל באופן הבא: שטף השדה ds I = I + F n ds + F n ds F n ds F n ds = F n ds F n ds F n ds את האינטגרל הראשון במשטח סגור נחשב באמצעות משפט הדיברגנץ: F n ds = div F dxdd = ( x x = x ) e ( ) + dxdd 0dxdd 0 x + + = = + x ( )0 0 ( )( ) ( ) x +, x0 0 נחשב את האינטגרלים המשטחיים במשטחי העזר: x = 0 F n ds = x + e + + ds = + ds = =, 0 + x x + cos = ( ) 0 + 0 + dxd = d r sin dr d = = = 8 8 x F n ds = x + e + + ds = x ds = + x ( )( ) 0 ( )0 ( ) x = 0 = = 0 0 dd תחום האינטגרציה עבור האינטגרל הכפול סימטרי לפי משתנה המשתנה, לכן האינטגרל שווה ל- 0 : = 0 dd F n ds = )ראו את האיור( והפונקציה אי-זוגית לפי 0
0 08 0 0 0-0 -08-0 -0-0 00 0 0 0 08 0 F n ds = F n ds F n ds F n ds = 0 0= 8 8 הכיוון = {( x,, ) x = } I = ( ) dx + ( x) d + ( x ) d = x x = x + שהוא גרף של פונקציה התשובה הסופית: שאלה 7 חשבו את האינטגרל, כאשר קו החיתוך של שני משטחים: } = {( x,, ) x + = על הקו הוא נגד כיוון השעון במבט מלמעלה האם השדה ) F = (, x, x הוא משמר ב-? {(,, ), } : נתבונן במשטח הנמצא על משטח סקלרית x = המוגדרת בקבוצה } = {( x, ) x + קו הצד של המשטח המתאים לכיוון בקו הוא הצד העליון שדה וקטורי מהווה את השפה של משטח ) F = (, x, x שייך I = rot F nds i j k rot F = = (,, ) x x x למחלקה ) (, לכן לפי משפט סטוקס מתקיים: וקטור הנורמל למישור = x הוא (,0,) = n, אך הווקטור מגדיר את הצד התחתון של המישור והכיוון על הקוו מתאים לצד העליון, לכן נבחר,0,) ( = ) (,0, = n rot F n = (,, ) (, 0,) = 0 I = rot F nds = 0 7
ו rot F 0 - למרות שהצירקולציה שווה ל- 0, השדה איננו משמר כי השדה שייך למחלקה ) ( שאלה 8 חשבו את האינטגרל sin ( cos ) ( I = + x dx + x + e ) d + ( x arctan ) d, כאשר קו החיתוך של שני משטחים: } = {( x,, ) x + + = הכיוון על הקו הוא נגד כיוון השעון במבט מלמטה = {( x,, ) = x } + + = + = x x = = x המעגל חוסם את העיגול: x קוו החיתוך הוא מעגל הוא מעגל המונח במישור המקביל למישור = ( x,, ) =, x + הקוו הנתון הוא השפה של העיגול הצד המתאים לכיוון במעגל הוא הצד התחתון המוגדר ע"י נורמל: n = (0, 0, ) ) (, לכן לפי משפט sin ( cos,, arctan ) שדה וקטורי סטוקס: F = + x x + e x שייך למחלקה i j k x I = rot F nds rot F = = (x x, x, x ) + cos x x + e x arctan sin rot F n = (x x, x,x ) (0,0, ) = ( x) rot F n = ( x) = = ( x, ) = I = ( x) ds = ( x) 0 0dxd 0 = + + = x + x + האינטגרל האחרון בעיגול שווא ל- 0 לפי אי-זוגיות של פונקציה ( f (,x ( = ) x ניתן גם לחשב אותו בקלות באמצעות קואורדינאטות קוטביות 8