הנדסת תוכנה וניהול תעשייתי

Ifietesiml Clculus for CS - 8933 Solutios of eercise 5 שאלה נתון טור חזקות : 3 מצאו את תחום ההתכנסות של הטור ( כולל בדיקת הקצוות( 3 ברור ש- ו- לכן רדיוס ההתכנסות שווה ל- 3 R lim lim 3 3 ( 3, לכן הטור מתכנס עבור כל ששייך לקטע ) 3) ( 4, עבור נקבל: 3 3 לכן הטור מתבדר )לפי מבחן ההשוואה עם הטור ההאמוני המוכלל : ( p / עבור 4 נקבל: 4 לכן הטור מתכנס לפי מבחן Leibitz נמק! 4, מסקנה: תחום ההתכנסות שווה לקטע שאלה נתון הטור l מצאו את רדיוס ההתכנסות של הטור מצאו את התחום המקסימלי שבו הטור מתכנס בההחלט האם הטור מתבדר/ מתכנס בתנאי / מתכנס בהחלט בקצוות קטע ההיתכנסות?, l ברור ש- ולכן

l ( ) l l l l( ) l( ) l l l l l רדיוס ההתכנסות שווה ל- R lim לפי משפט Cuchy-Hdmrd נקבל ש: I בקטע,) (, ) ( הטור מתכנס בהחלט, מחוץ לקטע II הטור מתבדר בנוסף, עבור נקבל טור מספרי חיובי מתבדר לפי מבחן ההשוואה הסבר: l l )( בנוסף, עבור נקבל טור מספרי מתכנס לפי מבחן Leibiz הסבר: l l )באי-שוויון האחרון השתמשתי במשפט Leibiz עבור טור מתחלף b סדרה יורדת ומתכנסת לאפס( כמובן צריכים לבדוק ש- l בנוסף, הטור לא מתכנס בהחלט לפי שוויון )( l,, מסקנה: תחום ההתכנסות שווה לקטע תחום ההתכנסות בהחלט המקסימלי שווה לקטע בקצה הטור מתכנס בתנאי ובקצה הטור מתבדר ( ) שאלה 3 נתון הטור מצאו את תחום ההתכנסות של הטור )כולל בדיקת הקצוות( האם הטור מתבדר/ מתכנס בתנאי / מתכנס בהחלט בקצוות קטע ההיתכנסות?

ולכן פתרון : ולכן, ברור ש- רדיוס ההתכנסות שווה ל- R lim לפי משפט Cuchy-Hdmrd נקבל ש: I בקטע ) (, ) ( 3, הטור מתכנס בהחלט 3, מחוץ לקטע II הטור מתבדר בנוסף, עבור נקבל טור מספרי חיובי מתבדר הסבר: ( ) ( ) )( ), )השוויון )( נכון לפי בנוסף, עבור 3 נקבל טור מספרי מתכנס הסבר: ( ) 3 ( ) ( ) )בשוויון האחרון השתמשתי במשפט Leibiz עבור טור מתחלף b סדרה יורדת ומתכנסת לאפס( כמובן צריכים לבדוק ש- ( ) בנוסף, הטור לא מתכנס בהחלט לפי שוויון )( 3, מסקנה: תחום ההתכנסות שווה לקטע בקצה 3 הטור מתכנס בתנאי ובקצה הטור מתבדר 3

( ) 3, שאלה 4 מצאו את רדיוס ההתכנסות / תחום ההתכנסות של טור החזקות הבא: 3 ( ) ( ) 3 3 ברור ש- ולכן lim lim נשתמש במבחן : Cuchy 3 3 3 R, R לכן רדיוס ההתכנסות R הטור מתכנס בהחלט בקטע (, ( נבדוק את הקצוות: עבור מקבלים את הטור -מתכנס )החזקה p גדולה מ- ( ( ) עבור מקבלים את הטור - מתכנס בהחלט )לפי אותה הבדיקה ( לכן הטור מתכוס בהחלט ב- [,] 4, שאלה 5 ידוע שטור החזקות מתכנס לכל וסכומו שווה ל- l מצאו קירוב של, l כך שהשגיאה לא תעלה על פתרו את השאלה בשתי דרכים: א בעזרת הערכה של השארית בצורת Lgrge ב בעזרת טור Leibitz מתאים מתכנס לכל l הטור מתכנס :,, בפרט עבור מקבלים טור מספרי l נסמן את הסכום החלקי מסדר של הטור ב- 3 4 S מהווה קירוב של ( ) הסכום החלקי S( ) 3 4 השאלה דורשת למצוא את כך שהשגיאה לא תעלה על 4 נעריך את השגיאה בשתי דרכים l מסדר )פיתוח l ב- ) R l S ( לפי הנוסחה של ( ) א הפולינום סביב הנקודה S שווה לפולינום Tylor-Mcluri של הפונקציה ( נסמן את השארית מסדר Lgrge )חדו"א ) נובע שקיים c בין ל- כך ש- 4

k שלם מתקיים S R l ( ) c 9 אפשר לבדוק שלכל ולכן 4 5 f c R! k k! f k f c!!! c c k המספר הטבעי הקטן ביותר,שעבורו מתקיים אי-השוויון הנ"ל הוא, 4 כי 4 5 4 5 6 565 3 4 l S4( ) 3 4 Leibitz מקיים את התנאים של משפט l לכן הקירוב המבוקש יהיה: ב הטור המתכנס נסמן ב- את האיבר הכללי של הטור מתקיים : S R l ( ) המשך הפתרון זהה לסעיף הקודם 3 שאלה 6 נתון הטור מצאו את תחום ההתכנסות של הטור )כולל בדיקת הקצוות( האם הטור מתבדר/ מתכנס בתנאי / מתכנס בהחלט עבור או? 5 מצאו את סכום הטור עבור 5 נובע ש- 3 ברור ש- ( )3 3 3 3 ( )3 R lim 3 לפי משפט Cuchy-Hdmrd נקבל ו- ולכן רדיוס ההתכנסות שווה ל- 5

,5 הטור מתכנס בהחלט מחוץ לקטע ( 3, 3) (,5) בקטע בנוסף, עבור 5 נקבל טור מספרי הטור מתבדר 5 3 l 3 3 3 3 )בשוויון האחרון השתמשתי במשפט Leibiz עבור הטור ההרמוני המתחלף( בנוסף, עבור נקבל טור מספרי 3 3 3 3 3 )השוויון האחרון נכון לפי מבחן האינטגרל של Cuchy עבור הטור ההרמוני הרגיל( מסקנה: בקצה 5 הטור מתכנס בתנאי ובקצה הטור מתבדר תחום ההתכנסות שווה לקטע,5 ( ) ( ) S שאלה 7 נתון הטור א מצאו את רדיוס ההתכנסות / תחום ההתכנסות של הטור האם הטור מתבדר / מתכנס בתנאי / מתכנס בהחלט בקצוות קטע ההתכנסות? ב מצאו את סכום הטור עבור כל ששיך לתחום ההתכנסות / S( ) ג מצאו טור Leibitz שמתכנס לאינטגרל d ( ) ( ), ולכן רדיוס ההתכנסות שווה ל- א לפי הנתונים ( ) / lim lim R lim lim ( ) ( ) / לפי משפט Cuchy-Hdmrd מסיקים שבתחום R, R, הטור מתכנס בהחלט ועבור הטור מתבדר נבדוק את הקצוות מציבים ומקבלים טור מספרי: זה טור מתבדר כי האיבר הכללי לא שואף לאפס 3 4 בנוסף, לכל l( ) ( ) 3 4 ( ) ב ידוע ש- 3 4 3 ( ) ( ), לכן אם נחבר הטורים נקבל שלכל מתקיים: 6

מ, S( ) ( ) ( ) ( ) l( ) ג נבצע אינטגרציה של סכום של טור חזקות: / / / / S( ) d d ( d) ( ) / S( ) d ( ) נציב את ומקבלים שהטור המתחלף מתכנס לאינטגרל של 3 S( ) 6 6 7 648 שאלה 8 נתון הטור א מצאו את רדיוס ההתכנסות / תחום ההתכנסות של הטור האם הטור מתבדר / מתכנס בתנאי / מתכנס בהחלט בקצוות קטע ההתכנסות? ב מצאו את סכום הטור עבור כל ששיך לתחום ההתכנסות 7 ונמקו למה המספר I S( ) ג מצאו טור Leibitz שמתכנס ל- d 6 366 6 מהווה קרוב של האינטגרל I, א לפי הנתונים 6 ולכן רדיוס ההתכנסות שווה ל- 6 lim lim R lim 6 lim 6 6 6 R, R 6,6 לפי משפט Cuchy-Hdmrd מסיקים שבתחום הטור מתכנס בהחלט ועבור 6 הטור מתבדר נבדוק את הקצוות 6 אם 6 מציבים ומקבלים טור הרמוני 6 אם 6 מציבים ומקבלים מתחלף שמתכנס בתנאי: l 6 ( 6) טור הרמוני שמתבדר: 6 3 4 t t t t ב ידוע ש- l( t) ( ) t 3 4 מקבלים שאם לכל t 7

t ולכן 6 ( ) l ( ) S 6 אז 6 /6 6 6 ג נבצע אינטגרציה של סכום של טור חזקות: ( ) ( ) S d d d ( ) 6 ( ) ( I )S בנוסף, אם בוחרים רק איברים הראשונים של d ) 3 6 3 (3) מצאנו טור Leibitz שמתכנס ל- 7 הטור מקבלים קירוב ריבועי של : I )השגיאה קטנה מ- 6 366 6 S( )! שאלה 9 נתון הטור א מצאו את רדיוס ההתכנסות ותחום ההתכנסות של הטור האם הטור מתבדר / מתכנס בתנאי / מתכנס בהחלט בקצוות קטע ההתכנסות? ב מצאו את סכום הטור עבור כל S ( ) d )*( לכן רדיוס ההתכנסות שווה ל- ג מצאו טור מספרי שמתכנס לאינטגרל, לפי הנתונים!! Cuchy-Hdmrd לפי משפט R lim lim lim! ( )! ( )! מסיקים שבתחום R, R, הטור מתכנס בהחלט ועבור הטור מתבדר בקצוות מציבים ומקבלים טור מספרי:!! זה טור מתבדר כי האיבר הכללי לא שואף לאפס t t t t 3 ב ידוע ש- t t t t לכל t ו- e!!! t לכן לכל מתקיים: 8

( / ) / S( ) e!!! / ג לפי אינטגרציה של טור חזקות נקבל טור מספרי שמתכנס לאינטגרל: S( ) d d ( d) (*)! ( ) (!) ( ) ( )! () שאלה מצאו את הסכום של הטורים: א ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 7 3 4 Abel rct l ( ) l l 4 ב ( ) (!) ( )!! ( ) ( ) ( ) ( )! ( )! ( )! ( )! ( ) ( )! e l!! 3! 3 4 שוויון אחרון נכון כי: 3 3 4 e, R; l( ),!! 3! 3 4 שאלה 9

3 ( ) נתון הטור 3 4 א מצאו את רדיוס ההתכנסות / תחום ההתכנסות של הטור האם הטור מתבדר / מתכנס בתנאי / מתכנס בהחלט בקצוות קטע ההתכנסות? l( ) ב הוכיחו שסכום הטור שווה ל-, לכל l( ) d 3 36 ש- ג בדקו 65 ( ( ולכן רדיוס ההתכנסות שווה ל-, א ( ) / lim lim Cuchy-Hdmrd לפי משפט R lim lim ( ) / מסיקים שבתחום R, R, הטור מתכנס בהחלט ועבור הטור מתבדר נבדוק את הקצוות עבור מקבלים טור מספרי ( ) 3 4 זה הטור ההרמוני מתחלף ולפי משפט Leibitz הטור מתכנס בתנאי עבור מקבלים טור מספרי ( ) 3 4 זה הטור ההרמוני ולפי מבחן האינטגרל של Cuchy הטור מתבדר 3 4 ב ידוע ש- l( ) ( ), 3 4 l( ) ( ) ( ) לכן לכל מקבלים ש- של מ, l( ) ג בסעיף הקודם הוכחנו ש- ) (, לפי אינטגרציה איבר איבר מקבלים: l( ) d ( ) d ( ) d ( ) ( ) 3 4

שי), l( ) d 3 4 קיבלנו טור Leibitz ולכן מ, ז"א של l( ) d 3 36 65 88 שאלה 3 4 ( ) נתון הטור ( )! ( )! 4! 3 6! 4 א מצאו את רדיוס ההתכנסות / תחום ההתכנסות של הטור, f ( ) cos( t ) dt לכל cos( t ) dt, ב ג הוכיחו שסכום הטור שווה ל- 55 cos( t ) dt 7 6! 4 88 55 I 7 הוכיחו ש- ז"א המספר מהווה קירוב של האינטגרל והשגיאה לא עולה על cos נשתמש בטור Mc-Luri ידוע: 4 ( ) ()!! 4! המתכנס לכל ממשי ) t המתכנסות לכל cos t ( ) t ()! ( ) מכאן: t t t ()!! 4! נבצע אינטגרציה איבר-איבר: t t cos( t ) dt cos( t ) dt ( ) dt ( ) ()! ()! cos( t ) dt ( ) dt ( ) כלומר: לכל t ()! ( ) ( )! ( ) בפרט, רדיוס ההתכנסות שווה ל- R

ב- 55 ג נשתמוש בסעיפים א' ו- ב' ונוכיח ש- cos( t ) dt 7 6! 4 88 לפי הטור שמצאנו בסעיפים א' ' נובע ש- : ולכן: cos( 3 ( ) t ) dt ()! ( )! 4!3 ( ) 55 cos( t ) dt R3 () ( )! ( )! 4! 3 7 R3 () 6!4 88 הערכת השגיאה לפי משפט :Leibitz שאלה 3 3 נתון הטור ( ) 3 5 7 א מצאו את רדיוס ההתכנסות / תחום ההתכנסות של הטור האם הטור מתבדר / מתכנס בתנאי / מתכנס בהחלט בקצוות קטע ההתכנסות? rct, לכל rct 76 d 5 ב הוכיחו שסכום הטור שווה ל- ג בדקו האם ( ( ולכן רדיוס ההתכנסות שווה ל-, א ( ) 3/ 3 lim lim Cuchy- לפי משפט R lim lim ( ) / 3 Hdmrd מסיקים שבתחום R, R, הטור מתכנס בהחלט ועבור הטור מתבדר נבדוק את הקצוות עבור מקבלים טור מספרי מתבדר: )*( ( ) עבור מקבלים טור מספרי ( ) זה טור מתחלף ו- 3 5 7 u u לכן לפי משפט Leibitz ולפי )*( הטור מתכנס בתנאי, limu 3 ב

3 5 : ידוע ש- rct ( ), לכן, לכל 3 5 מ, של 5 rct ( ) ( ) ( ) )**( ג 76 rct 76 רוצים לבדוק האם: 834 )***( d 5 5 לפי אינטגרציה איבר איבר של )**( מקבלים: rct ( ) ( ) ( ) d d d ( ) ( ) () 3 35 47, ז"א rct קיבלנו טור Leibitz ולכן : d 3 35 47 rct 86 d 94 מסיקים ש- rct d 9 4 5 ולכן )***( לא נכון ( ) ( ) 3 שאלה 4 א מצאו את תחום ההתכנסות של טור החזקות הבא: חקרו את ההתנהגות של הטור בקצוות של תחום ההתכנסות מצאו סדרה של מספרים ממשים לכל, f( ) ( ) 3 ב נסמן f '( ) f() כך שהנגזרת של שווה ל- : Cuchy נשתמש בקריטריון, 5 3 לכן ( ) א ( 5) 3 3 ) 3 4 )בגלל ש- 4 3 3 3

) R - < הטור מתבדר )השוואה עם ( + - < הטור מתכנס כטור ( Leibitz 3 מכאן מקבלים שרדיוס ההתכנסות שווה ל- [,) 3 (-) בדיקת הקצוות : 3 סיכום : הטור מתכנס ב- f( ) () ( 5) 3 3 ב לכל נקבל: מתקיים ולכן לפי גזירה איבר איבר, d ( 5) d ( 5) d f '( ) 5 d 3 d 3 3 d m m 3 3m4 5 ( ) 5 m m m m ולכן m ( m) 3m 4 4