פונקציות ממשיות c ארזים 20 בנובמבר 2016 1 המשך מידה ראינו כמה תכונות של מידות, נראה כעת עוד כמה..1 אם... 2 A 1 A מדידות, וקיים n 0 כך שמתקיים < n0,µ (A אזי ( lim µ (A n = µ A n הוכחה: אפשר להניח < 1 µ. A לכל n קיים איחוד זר: ( ( A n = (A i \A i+1 A i i=n לכן מתקיים ( > µ (A 1 µ (A n = µ (A i \A i+1 + µ A i i=n µ (A i \A i+1 < lim i=n µ (A i \A i+1 = 0 בפרט, עבור = 1 n, נקבל לכן lim µ (A n = lim ( ( (A i \A i+1 + µ A i = µ A i i=n וכעת 1
1.1 מידות שלמות והשלמה הגדרה 1.1 מרחב מידה (µ,,σ נקרא שלם (µ נקראת מידה שלמה אם מתקיים A B, µ (B = 0, B Σ A Σ במצב זה נובע כי = 0 (B µ (A µ,0 כלומר = 0 (A.µ הגדרה 1.2 יהי (µ,,σ מרחב מידה. נסמן בתור Σ את האוסף של תת הקבוצות E כך שקיימות A, B Σ כך שמתקיים,A E B וכן = 0 (B\A.µ במצב זה נגדיר.µ (E = µ (A = µ (B טענה 1.3 בתנאי ההגדרה, [,0] Σ µ : מוגדרת היטב, וכן Σ היא סיגמא אלגברה על המכילה את.Σ כמו כן µ (, Σ, מרחב מידה שלם עם.µ Σ = µ מרחב זה נקרא ההשלמה של µ.(, Σ, הוכחה: ראשית נבדוק כי µ מוגדרת היטב. נניח כי,A, A 1 E B, B 1 וכן = (B\A µ = 0 1.0, µ (B 1 \A אזי מתוך,µ (B 1 \A 1 = 0,A\A 1 E\A 1 B 1 \A 1 נובע כי = 0 1.µ (A\A כעת יש איחוד זר: A = (A A 1 (A\A 1 µ (A = µ (A A 1 + µ (A\A 1 = µ (A A 1 ולכן באופן דומה 1,µ (A 1 = µ (A A ולכן µ מוגדרת היטב. אם E Σ נקח,B = A = E ונקבל.µ (E = µ (E,E Σ כעת נבדוק כי Σ סיגמא אלגברה, וכן כי µ מידה שלמה. Σ Σ, וכן = ( µ = 0 (.µ נניח כי.E Σ אזי בסימונים שלעיל, B c E c A c וכן מתקיים (B\A,µ (A c \B c = µ ולכן.E c Σ כעת תהי..., 2 E 1, E סדרה של קבוצות מתוך.Σ תהיינה A n, B n בהתאם לכל,E n כך שמתקיים, A n E n B n וכן n.µ (B n \A אזי נובע כי A n E n B n n n n האיחודים A n, B n הם איברי,Σ וכן ( µ Bn \ ( A n µ (Bn \A n µ (B n \A n = 0 n 2
ולכן מתקיים, E n Σ כלומר Σ סיגמא אלגברה. אם בנוסף נתון כי {E n } זרות A }זרות n } בזוגות ולכן בזוגות, אזי ( ( µ E n = µ A n = µ (A n = µ (E n n n n n נותר לבדוק כי µ שלמה. נניח כי = 0 (E.E 1 E, E Σ, µ נרצה להראות כי 0 = µ (E = ואז,µ (B\A וכן = 0,A E B עם A, B Σ קיימות.E 1 Σ.E 1 Σ כלומר,µ (B\ = 0,, B Σ, E 1 B לכן.µ (A = µ (B הגדרה 1.4 יהי µ (, Σ, מרחב מידה. קבוצה N נקראת זניחה אם קיימת B Σ כך שמתקיים N B וכן = 0 (B.µ במקרה זה, מתוך,µ (B\ = 0, N B נקבל כי.µ (N = µ ( = 0,N Σ הערה 1.5 כל תת קבוצה של קבוצה זניחה היא זניחה. טענה 1.6 תיאור Σ התנאים הבאים שקולים:.E Σ.1.2 קיימת N 1 זניחה, A Σ עם.E = A N 1.3 קיימת N 2 זניחה, B Σ עם.E = B\N 2 הוכחה: 2 :1 יש A E B עם A, B Σ וכן = 0 (B\A.µ נגדיר,N 1 = E\A ואז,N 1 B\A כלומר זניחה, וכן.E = A N 1 3 :2 מאחר ונתון כי N 1 זניחה, קיימת C Σ עם.µ (C = 0,N 1 C נקח N 2 C ואז,N 2 = B\E כעת ניקח.E = A N 1 A C = B ואז,B = A C Σ שכן,A E ומאחר שמתקיים = 0 (C µ נקבל כי N 2 זניחה, וכמובן.E = B\N 2 1 :3 קיימת.N 2 D Σ עם (D,µ ואז B\D E B וכן (B\D µ (B\.E Σ ולכן,µ (D = 0 מסקנה Σ 1.7 היא הסיגמא אלגברה הנוצרת על ידי Σ והקבוצות הזניחות. 1.2 תכונות כמעט בכל מקום הגדרה 1.8 יהי µ (, Σ, מרחב מידה. תהי E ונאמר כי x מקיימת תכונה P אם x. E נאמר שהתכונה P מתקיימת כמעט בכל מקום אם \E זניחה, כלומר אם יש B Σ עם = 0 (B µ, והתכונה P מתקיימת בכל נקודה מחוץ לקבוצה B (כלומר.(\E B דוגמאות יהי µ (, Σ, מרחב מידה. יהיו ] [, C, f, f 1, f 2, : פונקציות. אומרים כי f n f נקודתית אם לכל x מתקיים (x.lim f n (x = f אומרים כי f n f כמעט בכל מקום אם קיימת קבוצה זניחה N כך שלכל x \N מתקיים (x.lim f n (x = f כעת נניח כי f, f n מדידות. אזי הקבוצה (x} B = {x lim f n (x = f מדידה, וניתן לקחת N = \B מדידה. 3
1.3 תמונה של מידה ביחס לפונקציה הגדרה 1.9 יהי µ (, Σ, מרחב מידה, ותהי f : Y פונקציה. אזי Σ Y := { A Y f 1 (A Σ } היא סיגמא אלגברה של Y (ראינו זאת כבר. הפונקציה f µ : Σ y [0, ] f µ (A = µ ( f 1 (A מידה זו נקראת המידה המושרית מהמידה µ על ידי f. 2 אינטגרציה של פונקציות אל [,0] יהי (µ,,σ מרחב מידה. 2.1 פונקציות פשוטות הגדרה 2.1 פונקציה מדידה [0, s : שמקיימת < Ims נקראת פונקציה פשוטה. s = α i χ Ai במצב זה, לפונקציה s יש פירוק χ Ai = { 1 x A i 0 x / A i עם A i מדידה לכל i, עבור אם ניקח α 1,..., α n שונים זה מזה ומאפס ואת A 1,..., A n זרות בזוגות, תאור זה יחיד עד כדי סדר (אם = 0,s.(n = 0 קרוב קנוני לפונקציה מדידה ] [0, f : לכל n N נגדיר פונקציה פשוטה s n על ידי { i ( s n (x 2 0 i 4 n 1 i n 2 f (x < i+1 n 2 n 2 n 2 n f (x התכונות של הקרוב הזה הן:.1 לכל s n,n פונקציה פשוטה..0 s 1 s 2 f.2.3 f s n נקודתית..4 אם f חסומה אזי s n f במידה שווה. 4
2.2 אינטגרציה הגדרה 2.2 תהי s = α i χ Ai פונקציה פשוטה עם α 1,..., α n שונים זה מזה ומאפס, A 1..., A n זרות בזוגות ומדידות. נגדיר s = s dµ = s dµ = α i µ (A i כמובן, = 0 0. הערה 2.3 אם < a,0 אזי as = a s מיידי. הערה 2.4 אם s = α i χ Ai כאשר A 1,..., A n מדידות וזרות בזוגות (אבל α i לאו דווקא שונים זה מזה אזי s = α i µ (A i הוכחה: באינדוקציה על n. אם למשל α, 1 n = α n אזי s = α 1 χ A1 + + α n 2 χ An 2 + α n 1 χ An 1 A n ואז לפי אינדוקציה s = α 1 µ (A 1 + + α n 2 µ (A n 2 + α n 1 µ (A n 1 A n = α i µ (A i מסקנה 2.5 אם [0, : s t, פשוטות אזי. t + s = t + s m s = α i χ Ai, t = β j χ βj i=0 j=0 הוכחה: נניח כי,A 0 ועם = \ n עם A 1,..., A n מדידות וזרות בזוגות, ועם = 0 0 A n,α.b 0 = \ n B n ועם,β 0 מדידות וזרות בזוגות, ועם = 0 B 1,..., B n אזי t + s = (α i + β j χ Ai β j 1 i n 1 j m 5
(A i B j i,j מדידות וזרות בזוגות, ולכן וכן α i µ µ (A i B j + j β j ( i µ (A i B j = t + s = i,j = i (α i + β j µ (A i B j = i α i µ (A i + j β j µ (B j = j s + t מסקנה 2.6 כאשר A 1,..., A n מדידות, ולכל i מתקיים < i α,0 אזי α i χ Ai = α i µ (A i הערה 2.7 אם s t 0 פונקציות פשוטות אזי s t f = הערה 2.8 אם s פשוטה אזי ] [0, s. הגדרה 2.9 תהי ] [0, f : מדידה, אזי f (x dµ (x = sup s dµ [0, ] 0 s f כאשר s תמיד פשוטה. תכונות 1. אם f פשטה ההגדרה שקולה להגדרה הקודמת. f g.2 אם g f 0 מדידות, אזי אם ורק אם = 0 f כמעט בכל.3 תהי ] [0, f : מדידה. אזי = 0 dµ f מקום. n}.e n = { x f (x 1 אזי הוכחה: נניח כי האינטגרל הוא 0. לכל n נסמן 0 = s = 1 n µ (E n ולכן,s := 1 n χ E n f 6
מכן מתקיים כי µ ({x f (x 0} = lim µ (E n = 0 כלומר = 0 f כמעט בכל מקום. כעת נניח כי f מתאפסת כמעט בכל מקום, ותהי,s = α i χ Ai f כאשר µ (A i מתקיים = 0 i מדידות וזרות בזוגות. לכל A 1,..., A n וכן,α 1,..., α n > 0 כי = 0 s כמעט בכל מקום (כי = 0 f כמעט בכל מקום. לכן = 0 s, ומכאן נובע כי = 0 f..4 אם ] [0, f : מדידה וכן < f אזי < f כמעט בכל מקום. הוכחה: נסמן } = (x.e = {x f נרצה להראות כי = 0 (E.µ לכל n נסמן E s n f.s n = nχ ולכן nµ (E = s n f < µ (E 1 n f מכאן נקבל כי וזאת לכל,n ולכן = 0 (E.µ.5 אם ] [0, f, g : מדידות, וכן f g כמעט בכל מקום, אזי. f g הוכחה: נסמן (x}.e = {x f (x > g זו קבוצה מדידה וזניחה. נאפס עליה את שתי הפונקציות, וזה לא ישנה אינטגרל, אבל נקבל f g בכל נקודה. מסקנה 2.10 אם f = g כמעט בכל מקום אזי. f = g.6 תהי 0 f מדידה ויהי ] [0,.c אזי. cf = c f הוכחה: אם < c 0 השוויון מידי. נניח כי =.c אם = 0 f כמעט בכל מקום אזי = 0 cf כמעט בכל מקום ושני הצדדים 0. נניח כי f אינה אפס כמעט בכל מקום, אזי > 0 f, ולכן = f. כמו כן, f nf = n f ולכן = f. χ E = χ E = µ (E = { µ (E > 0 0 µ (E = 0 בפרט: 7
2.3 משפט ההתכנסות המונוטונית משפט 2.11 יהי µ (, Σ, מרחב מידה. תהיינה ] [0, f n : סדרת פונקציות מדידות כך שמתקיים... 2 f 1 f.0 נסמן ] [0,.f = lim f n : אזי f מדידה וכן f (x dµ (x = lim f n (x dµ (x הוכחה: ראינו כבר כי f מדידה. האי שוויון בכיוון מיידי (כי f f m לכל m. נוכיח את אי השוויון השני.די להוכיח כי אם s f 0 פשוטה אזי s lim f n יהי < 1 c <.0 לכל x קיים n שעבורו (x :c s (x f n אכן, אם = 0 (x s זה מיידי. נניח כי > 0 (x s, אזי 0 < c s (x < s (x f (x = lim f n (x E n = {x c s (x f n (x} ולכן קיים n מתאים. נסמן lim אז E n מדידה לכל n וכן... 2. = E n,e 1 E כמו כן מתקיים f n f n χ En f n χ En c s = k c α i χ Ai E n כאשר,s = α i χ i עבור < i A i,0 < α מדידות וזרות בזוגות. נמשיך את השוויון: cαi χ Ai En = c α i µ (A i E n c α i µ (A i = c s לכן נקבל כי,lim f n c s וזה נכון לכל < 1 c <,0 ולכן lim f n s (אם = 0 s זה טריוויאלי, אם = s אזי.c s = s אם < s < 0 זה נובע מיידית. טענה 2.12 (חיבוריות אם 0 g,f מדידות אזי f + g = f + g 8
הוכחה: יש t n f, s n g כאשר t n, s n פשוטות, ואז s n + t n f + g ולכן f + g s n + t n = s n + t n f + g מסקנה 2.13 אם g f 0 מדידות וכן < g f = אזי f = s כמעט בכל מקום.. נובע כי = 0 h g = f + הוכחה: יש h 0 מדידה עם g = f + h ואז h ולכן = 0 h כמעט בכל מקום. טענה 2.14 (טורים אם ] [0, h n : מדידות, אזי hn = h n k h n h n הוכחה: מתקיים ולכן h n h n = k h n h n משפט 2.15 (הלמה של בורל וקנטלי יהיו E n מדידות לכל n, כך שמתקיים µ (E n < אזי הקבוצה Γ של כל הנקודות ששייכות לאינסוף מבין E i היא זניחה (ומדידה. =.f f מדידה, וכן ( 1 f,γ = לכן Γ מדידה. כמו כן =1 χ E n הוכחה: נסמן > µ (E n = χ En = χ En = f ראינו שנובע כי < f כלומר Γ זניחה. 9
משפט 2.16 (הלמה של פטו אם ] [0, f n : מדידות, אזי lim inf f n lim inf f n lim inf f n = ( lim inf f i i n הוכחה: n inf i n f i היא סדרה מונוטונית עולה, ולכ השוויון ממשיך: ( lim inf f n = lim inf f i = lim inf f i i n i n לכל j n מתקיים, inf i n f i f j ולכן. inf i n f i inf j n fj ממשיכים: ( lim inf f n = lim inf f i = lim inf f i lim inf f j = lim inf i n i n j n f n הגדרה 2.17 אם E מדידה, 0 f מדידה, מגדירים f dµ = χ E f dµ E תכונה אם = 0 (E µ אזי = 0 dµ f כי = 0 f χ E כמעט בכל מקום. E הערה 2.18 בסימונים אלה ראינו כי Σ E = {A A Σ, A E} Σ היא סיגמא אלגברה על E, וברור כי µ E := µ ΣE מידה על E,(E, Σ כלומר E (E, Σ E, µ מרחב מידה, ועבור 0 f על מתקיים f E dµ E = f dµ = χ E f dµ E E כפי שהוגדר לעיל (נובע בעזרת הקירוב הקנוני עם פונקציות פשוטות. 10
2.4 כפל מידה בפונקציה הגדרה 2.19 תהי ] [0, h : פונקציה מדידה. נגדיר פונקציה ] [0, Σ λ : על ידי λ (E = h dµ = χ E h dµ E טענה λ 2.20 מידה על Σ.(, הוכחה: ברור כי = 0 dµ.λ ( = 0h כעת נניח כי..., 2 E 1, E מדידות וזרות. אזי ( λ En = χ E n h dµ = ( χen h dµ = χ En h dµ = λ (E n טענה 2.21 תהי ] [0, f : מדידה. אזי f dλ = fh dµ הוכחה: תהיינה s n f פשוטות, ואז.s n h fh כעת f dλ s n dλ = s n h dµ fh dµ השוויון הזה עבור פונקציות פשוטות, שבאמצע, נובע מהנכונות לפונקציות אופיינות χ. E dλ = h dµ מסמנים 11