תרגול 1

תמליל

1 תרגול rcsin d rcsin t d שאלה חשב את האינטגרלים המסוימים הבאים: sin cos d rcsin d sin cos d א ב ג פתרון שאלה סעיף א נציב dt sin d t cos עבור נקבל t cos cos עבור נקבל sin cos d tdt סעיף ב נפתור תחילה בעזרת אינטגרציה בחלקים את u' v' v u rcsin rcsin d rcsin d נחשב את האינטגרל d בשיטת ההצבה dt d נציב t dt d t t rcsin rcsin 7 סעיף ג נבדוק את החיוביות והשליליות של הפונקציה sin cos נבדוק מתי הפונקציה מתאפסת, ובתחום sin cos sin cos tn k

2 sin cos d sin cos רציפה, נקודת חיתוך יחידה עם ציר sin cos, ושלילית בקטע, נקבל שהפונקציה חיובית בקטע מכיוון שהפונקציה נקבל ו cos sin d sin cos d sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin, שאלה הוכח כי d פתרון שאלה נמצא את המקסימום המוחלק והמינימום המוחלט של הפונקציה והנגזרת מתאפסת רק עבור ',, רציפה בקטע הסגור, היא מקבלת בקטע את ערכה המקסימאלי מכיוון שהפונקציה g היא פונקציה עולה נקבל ש מכיוון שהפונקציה והמינימאלי והמינימאלי הערך המקסימאלי הוא y d בקטע לכל d d סה"כ נקבל y מצא את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה וציר ה שאלה ישר y משיק לפונקציה פתרון שאלה נמצא תחילה את משוואת המשיק בנקודת ההשקה נקבל ש וששיפוע המשיק הוא משתי המשוואות הנ"ל נקבל ש השטח המבוקש הוא ז"א d שאלה חשב את השטח המוגבל בין הפונקציות הבאות:

3 g h g א ב פתרון שאלה סעיף א נמצא תחילה את נקודות החיתוך של הגרפים 7, הפונקציות נחתכות כאשר g מכיוון שהפונקציות רציפות נקבל שלכל מתקיים נשים לב ש g d g d d סעיף ב נשרטט את הפונקציות באותה מערכת צירים A, B, נמצא את שיעורי ה של הנקודות C y נחתכות על ציר, נקודה : A הפונקציות g שיעור ה של נקודה A הוא נקודה : B הפונקציות, h נחתכות בנקודה B נחתכות בנקודה C B ln g, h נקודה C: הפונקציות C ln נחלק את השטח המבוקש לשני חלקים ln d ln ln ln 6 נחשב את השטח השמאלי

4 ינמיה חטשה תא בשחנ ln ln ln ln d :אוה חטשה כ"הס 6 הלאש היצקנופה ףרג ןיב לבגומה חטשה תא קלחמ,תישארה ךרד רבועה רשי ה ריצו םיווש םיקלח ינשל,ןושארה עיברב היצקנופה ףרג םע ךותיחה תדוקנ תאו רשיה תאוושמ תא אצמ הלאש ןורתפ הרוצהמ אוה תישארה ךרד רבועה רשי y ה ריצ םע היצקנופה לש ךותיחה תודוקנ תא אצמנ,, ה ריצל היצקנופה ףרג ןיב לבגומה חטשה תא אצמנ ןושארה עיברב d אוה היצקנופל רשיה ןיב לבגומה חטשה ןכלו,םיווש םיקלח ינשל חטשה תא קלחמ רשיה ה רועיש תא אצמנ הדוקנה לש A תועצמאב d d :האוושמה תא רותפנ םוחתב אל היינשה הבושתה, רשיה תאוושמ y ךותיחה תדוקנ,, 6 הלאש :תואבה תויצקנופה לש םיפרגה ךרוא תא בשח א םוחתב

5 בתחום ln cos ב L ' פתרון שאלה 6 d ' ' ' ' ' אורך עקום: סעיף א סה"כ קיבלנו ש מכיוון ש חיובי לכל נקבל ש d 7 סעיף ב ' ' tn ' tn ' tn ln cos cos cos cos d cos נשים לב שבתחום sin cos cos d d cos sin d cos sin d cos ' cos cos d סה"כ קיבלנו ש נשאר לחשב נחשב תחילה את האינטגרל הלא מסוים cos d sin d sin cos sin נשאר לחשב את d cos sin cos sin d cos d cos sin נציב t sin ואז dt cos d t t dt dt dt dt t dt dt t t t t t t t ln ln t סה"כ קיבלנו ש d sin ln sin ln sin sin ln sin ln sin cos d ln sin ln sin cos שאלה 7

6 מסתובב סביב ציר והישר ציר, y ציר v d השטח שבין גרף הפונקציה sin מצא את נפח גוף הסיבוב שנוצר פתרון שאלה 7 : v נפח של גוף סיבוב: סביב ציר d sin d cos sin נשתמש בזהות cos sin sin d d שאלה השטח שבין גרף הפונקציה לציר, בתחום מסתובב סביב ציר y מצא את נפח גוף הסיבוב שנוצר פתרון שאלה v d נפח של גוף סיבוב סביב ציר : y הפונקציה היא פונקציה זוגית, ולכן נפח גוף הסיבוב שנוצר בתחום שווה לנפח גוף הסיבוב שנוצר בתחום y מצא את שטח הפנים של הגוף ברביע הראשון, מסתובב סביב ציר 9 S V d ' y d שאלה 9 רבע העיגול 9 פתרון שאלה 9 נשתמש בנוסחה רבע העיגול ברביע הראשון, ולכן ניתן לרשום ' ' ' 9 S S d 9 נפתור את האינטגרל הלא מסוים d 9 dt d נציב t 9 d dt t 9 t d 9 9 שאלה

7 sin d sin d sin d תהי פונקציה רציפה הוכח כי: פתרון שאלה dt d נציב t sin d t sin tdt t sin tdt sin tdt t sin t sin d sin d sin d sin d sin d sin d dt לחלק השני של השוויון מספיק להראות ש ז"א מספיק להראות ש sin d sin d dt d נציב t sin d sin tdt sin tdt