שיטות מתמטיות 1 פרק 2 סדרות חישוב גבול לפי כללי חשבון גבולות 1 חישוב גבול לפי אוילר 3 חישוב גבול לפי כלל הסנדוויץ 4 חישוב גבול לפי מבחן המנה ומבחן השו

תמליל

1 שיטות מתמטיות חישוב גבול לפי כללי חשבון גבולות חישוב גבול לפי אוילר חישוב גבול לפי כלל הסנדוויץ 4 חישוב גבול לפי מבחן המנה ומבחן השורש 6 חישוב גבול של סדרה רקורסיבית 7 חישוב גבול לפי ההגדרה 9 שלילת הגדרת הגבול של סדרה הגדרת הגבול לפי היינה 4 תת-סדרה, גבול חלקי, משפט בולצאנו ויירשטראס 5 משפט שטולץ 0 מבחן קושי להתכנסות שאלות הוכח או הפרך 4

2 חישוב גבול לפי כללי חשבון גבולות שאלות חשב את הגבולות הבאים: l e l b + ( + k 4 ( si ( e ( + 5 ( + + ( + + b si = ( * רמז לשאלה 4: הערה חשובה מאוד! בפתרון המלא, יופיע במקום המשתנה המשתנה x יש להתייחס אל x כאל מספר טבעי! בנוסף, יש לזכור שסדרה היא פונקציה מהטבעיים לממשיים( ולכן לעיתים אומר פונקציה במקום סדרה לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

3 תשובות סופיות l e ( 5 / ( 0 = b b,( = ( 0, b = 0, ( = ( 0, b = 0 k b לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

4 חישוב גבול לפי אוילר שאלות חשב את הגבולות הבאים: t תשובות סופיות 05 e e e 6 e 5 e 0 e 8 e 7 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

5 חישוב גבול לפי כלל הסנדוויץ' שאלות חשב את הגבולות הבאים: si si 4 + cos 4 cos( + + rct( 4 + rct( l si + cos ! ( רמז לשאלה : 9 הוכח כי + הוכח שכל אחת מה הבאות מתכנסת ל- 0 = 5 + (0,, = ( + א ב יהי x מספר ממשי וחיובי 6 = + + x נתבונן בסדרה: הוכח כי ( חשב את הגבול: k = + k 4( חשב את הגבול 4 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

6 + q תהי הוכח כי סדרה חיובית, המקיימת לכל טבעי = 0 האם ניתן לפתור ישירות בעזרת מבחן המנה? 5 תשובות סופיות שאלת הוכחה שאלת הוכחה 9 שאלת הוכחה לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

7 חישוב גבול לפי מבחן המנה ומבחן השורש שאלות חשב את הגבולות הבאים:!!! 4 4! (!! 5 תשובות סופיות 0 0 4e לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

8 חישוב שאלות גבול של סדרה רקורסיבית בשאלות - נתונה סדרה בעזרת נוסחת נסיגה רקורסיה( הוכח שהסדרה מתכנסת וחשב את גבולה = + +, = = +, = + = +, =, לכל x = x + + x יהיו 0 x 0 נגדיר סדרה ברקורסיה על ידי הוכח שהסרה מתכנסת ל- 4, לכל x = ( x 6 x x = 5 יהי 0 נגדיר סדרה ברקורסיה על ידי א מצא את כל הערכים של הקבוע, עבורם הסדרה עולה/יורדת ב קבע האם הסדרה מתכנסת עבור 5 x = b 0 b + b =, b = b + + יהיו נגדיר: הוכח שה לכל b מתכנסות ומתקיים 6 7 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

9 נתונה הסדרה = = +, =, א נגדיר סדרה חדשה הנח שהגבול + b על ידי b = + b קיים וחשב אותו הערה: בשלב זה אין לנו את הכלים להוכיח שהגבול בהמשך הפרק נלמד מספר שיטות להוכיח זאת b קיים 7 א בעזרת התוצאה של הסעיף הקודם הוכח שהסדרה ב מצא ביטוי סגור עבור הסדרה ב הוכח שהגבול = + שואפת לאינסוף כלומר נוסחה לא רקורסיבית( קיים, וחשב אותו ב הוכח באינדוקציה שהביטוי הסגור שמצאת בסעיף ב הוא אכן נכון תשובות סופיות הגבול הוא הגבול הוא הגבול הוא הגבול הוא הסדרה יורדת, אחרת היא עולה א אם שאלת הוכחה ב ב לא מתכנסת = ( לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

10 חישוב גבול לפי ההגדרה שאלות בשאלות 7- הוכח על סמך ההגדרה של גבול של סדרה כי: = + + = ( = si = + cos = = ( + 4 = 5 7 נתון כי הסדרה מתכנסת הוכח שגבולה הוא יחיד 8, b נתון כי b הוכח, לפי ההגדרה, כי: א ( + b + b b b ב בשאלות 4-0 הוכח על סמך ההגדרה של גבול של סדרה כי: + + = e + = + 4 = log( + 5 = 0 log = 4 5( הוכח שהסדרה,4,04,,0,,0,,0 שואפת לאינסוף הוכח שהסדרה,,,,,,,4,4,4,4 שואפת לאינסוף 6 9 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

11 ,,,4, 5,6,,, הוכח שהסדרה אינסוף לא שואפת לאינסוף או למינוס 7 הוכח או הפרך: א = = = = ב 8 לתשובות מלאות בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil 0 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

12 שלילת הגדרת הגבול של סדרה שאלות ב מצא את הגבולות החלקיים של ה הבאות, וכתוב את האיבר הכללי של הסדרה בהתאם לגבולות החלקיים שמצאת א,,4,,4,,4,,4, 4,0,, 4,0,, 4,0,, 4,0, ג 4,,0,4, 4,,0,4,,0,,0, א מצא את הגבולות החלקיים של ה הבאות, וכתוב את האיבר הכללי של הסדרה בהתאם לגבולות החלקיים שמצאת 4,,,,,,,, ,,,,,,,, = ב ג בשאלות 6- הוכח לפי ההגדרה כי: ( + 6 b + 4 = 5 בסעיפים א -ב הוכח לפי ההגדרה כי: ( = לא קיים גבול א לסדרה = ב הוא לא הגבול של הסדרה ג היעזר בתוצאת סעיף א' והוכח שלסדרה לא קיים גבול 7 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

13 הוכח, לפי ההגדרה, שהסדרה,0,,,0,,,0,, מתבדרת 8 הוכח, לפי ההגדרה, שהסדרה,,,,,,,,, מתבדרת 9 הוכח, לפי ההגדרה, שלסדרה,0,0,,0,0,,0,0, לא קיים גבול 0 = הוכח, לפי ההגדרה, שהסדרה מתבדרת = 0 0 הוכח, לפי ההגדרה, שהסדרה מתבדרת + + = ++ eve odd הוכח, לפי ההגדרה, שהסדרה מתבדרת 4 5,,,,,,,,, הוכח, לפי ההגדרה, שהסדרה מתבדרת 4 = + + הוכח, לפי ההגדרה, שלסדרה אין גבול 5 מתבדרת = הוכח, לפי ההגדרה, שהסדרה הדרכה: הוכח קודם את סדרת הטענות הבאה: לכל m m טבעי m = 0 6 לכל m טבעי m m לכל m טבעי m = m לכל m טבעי m m 4 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

14 = הוכח, לפי ההגדרה, שהסדרה לא שואפת ל - 7 הוכח, לפי ההגדרה, שהסדרה,6,,0,,,,4, לא שואפת ל - 8 נתונה הסדרה 5,5, 4, 4,,,,,,, הוכח, לפי ההגדרה, שהסדרה א לא שואפת ל- ב לא שואפת ל- 9 = הוכח, לפי ההגדרה, שהסדרה לא שואפת ל - 0 לתשובות מלאות בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

15 הגדרת הגבול לפי היינה שאלות הוכח כי הגבולות הבאים אינם קיימים לפי היינה: si x + 4 x cos x + 0 x 4 x 4 x 4 e x x x 4 si x 0 x לתשובות מלאות בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil 4 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

16 תת -סדרה, גבול חלקי, משפט בולצאנו ויירשטראס שאלות ב ג חשבו את הגבולות שלהלן אם הם קיימים בכל מקרה שהגבול לא קיים, גם לא במובן הרחב נמקו מדוע, וחשבו את כל הגבולות החלקיים גם גבולות חלקיים במובן הרחב( 5 ( ( + א ( + ( חשבו את הגבולות שלהלן אם הם קיימים בכל מקרה שהגבול לא קיים, גם לא במובן הרחב נמקו מדוע, וחשבו את כל הגבולות החלקיים גם גבולות חלקיים במובן הרחב( ( א ב ג נתון ש- סדרה עולה ממש של מספרים שלמים א הוכח שקיים איבר אי-שלילי בסדרה ב הוכח כי + = e = si 4( הוכח כי לסדרה הבאה אין גבול: + ( 5( חשב את הגבול הבא 5 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

17 = + ; = 6( הוכח כי לסדרה הבאה אין גבול: = ; + = נתונה הסדרה הוכח שהסדרה מתכנסת, המוגדרת על ידי: 7 = ; = נתונה הסדרה הוכח שהסדרה מתכנסת, המוגדרת על ידי: 8 א הוכח שכל מספר המופיע אינסוף פעמים בסדרה הינו גבול חלקי של הסדרה ב מצא סדרה שיש לה אינסוף גבולות חלקיים 9 = si 4 0( נתונה סדרה מצא את כל הגבולות החלקיים של הסדרה ובמיוחד את = si 4 ( נתונה סדרה מצא את כל הגבולות החלקיים של הסדרה ובמיוחד את =,,,,,,,,, 4,,,, 4,5, נתונה סדרה מצא את כל הגבולות החלקיים של הסדרה ובמיוחד את + נתונה סדרה = מצא את כל הגבולות החלקיים של הסדרה ובמיוחד את! 40 si = + 4 נתונה סדרה מצא את 4 b = על ידי b נגדיר סדרה חדשה נתונה סדרה הוכח כי לשתי ה אותם גבולות חלקיים 5 6 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

18 0 תהי הוכח שלכל סדרה נניח כי קיימים הם שני גבולות חלקיים של הסדרה הנתונה m, כך ש- m, N נתונה סדרה m k שתי תת - של המקיימות: L, L k m k כל איברי הסדרה מופיעים בלפחות אחת מתת ה הנתונות L k הוכח: הערה: טענה זו הוסברה והודגמה בסרטון "שיטה להוכחת קיום גבול לסדרה לא מונוטונית", ובעזרתה פתרנו את שאלות = נתונה סדרה חיובית הוכח כי הסדרה מתכנסת המקיימת 8 if sup, הוא החסם העליון של הקבוצה,,, if sup פתור את שני הסעיפים הבאים: א הוכח שלכל סדרה חסומה sup ב הערה: מצא סדרה שעבורה 9 = הוכח שהסדרה מתכנסת במובן הרחב אם ורק אם 0 הוכח את המשפט המפורסם הבא: לכל שתי חסומות, b מתקיים: + b + b + b + b א ב b נתונות שתי חסומות קבע האם הטענה בכל סעיף נכונה, והוכח את קביעתך א ייתכן שמתקיים ( + b + b ייתכן שמתקיים התנאי בסעיף א' ושתי ה לעיל מתכנסות ב ייתכן שמתקיים התנאי בסעיף א' ורק אחת מה לעיל מתכנסת ג 7 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

19 ( = +, b b יהיו הוכיחו כי חסומות + b + b תהי א סדרה חסומה של מספרים חיוביים, כך ש-, הוכיחו שאם מתכנסת, אז = L 0 ב הוכיחו שאם אז גם הוא גבול חלקי של הוא גבול חלקי שלה L ג ד הוכיחו שלא ייתכן ש- = 0 L הוא גבול חלקי של הראו, באמצעות דוגמה, שללא דרישת החסימות, הוא גבול חלקי של ייתכן ש- = 0 L ענו על הסעיפים הבאים: א הדגימו שתי חסומות ומתבדרות, המקיימות = b b ( יהיו ב שתי, המקיימות = b הוכיחו שאם לכל מתקיים, 0, b אז = b = 4 5 חסומה = = תהי א הוכיחו כי הסדרה if ב מצאו את יש מינימום וקבעו האם ל-, ( ג ד הוכיחו כי לכל מתקיים + = ( הוכיחו כי = ה ו היעזרו בסעיפים ג' ו-ד', כדי להוכיח ש- = L מצאו את ואת הוא גבול חלקי של וקבעו האם ל-, sup יש מקסימום 6 8 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

20 תהי א ב ג ד ( = ( הוכיחו כי הסדרה הוכיחו ש- 0 הוא גבול חלקי של מצאו את חסומה מלרע if N יש מינימום יהי מספר טבעי הוכיחו שכמעט לכל ה יהי מספר טבעי ו ז ח ט הוכיחו כי ואת, וקבעו האם ל- N + מתקיים +, + = הוכיחו, בעזרת סעיף ה', שכל מספר טבעי הוא גבול חלקי של האם חשבו את מצאו את חסומה מלעיל? sup, וקבעו האם לקבוצה יש מקסימום 7 תשובות סופיות א הסדרה שואפת לאינסוף ב לסדרה אין גבול הגבולות החלקיים של הסדרה הם אינסוף ומינוס אינסוף ג לסדרה אין גבול הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה הם א לסדרה אין גבול הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה הם ב הגבול של הסדרה הוא 0 ג לסדרה אין גבול הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה הם e, 0 0,05,05,075 לתשובות מלאות בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil 9 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

21 משפט שטולץ שאלות ( חשב: חשב:, כאשר p p p p p p חשב: + קבע שלם וחיובי c = k c + c + c + + c חשב:, אם ידוע כי , כאשר חשב: קבוע ממשי 5 = L נתון כי הוכח כי: א = L ב סדרת הממוצעים החשבונית מתכנסת ל- L סדרת הממוצעים ההרמונית מתכנסת ל- L = L = L ג * הערה: בסעיף ב' הנח כי סדרת הממוצעים ההנדסית מתכנסת ל - L לכל בסעיף ג' הנח כי 0 L לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

22 תשובות סופיות p + k שאלת הוכחה לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

23 מבחן קושי להתכנסות שאלות, לכל הסדרה מקיימת הוכח שהסדרה מתכנסת = הוכח שהסדרה שואפת לאינסוף = הוכח כי הסדרה מתכנסת 0, כאשר, לכל מקיימת הסדרה הוכח שהסדרה מתכנסת 4 cos cos cos = ( הוכח כי הסדרה מתכנסת 5 0k, כאשר לכל x+ x+ k x+ סדרה מקיימת: x הוכח שהסדרה היא סדרת קושי ולכן מתכנסת x 6 x =, x = + + x x נתונה סדרה המוגדרת על ידי הוכח שהסדרה מתכנסת וחשב את גבולה 7 x מתכנסת 8( בכל אחד מהסעיפים הבאים הוכח שהסדרה x =, x+ = + x x =, x = + + x x x x 6 =, + = ( + 8 א ב ג לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

24 x x x x x 4 4 =, =, + = + על ידי: + x נגדיר סדרה הוכח שהסדרה מתכנסת וחשב את גבולה 9 לכל, x+ = x+ x סדרה מקיימת: הוכח שהסדרה מתכנסת טבעי, x x x x + הדרכה: הוכח ראשית שלכל טבעי מתקיים x 0 x הוכח או הפרך כל אחת מהטענות הבאות: א נתונה סדרה x x = 0 x, x אז + אם ב אם לכל מתקיים מתכנסת, אז הסדרה מתכנסת 0 x x x x x ג אם סדרה מקיימת את תנאי קושי, אז קיים כך שלכל טבעי: x x x x הערה בשאלות 0-7 מומלץ להשתמש בטענה אותה הוכחת בשאלה 6 לתשובות מלאות בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

25 X מתקיימת הטענה N שאלות הוכח או הפרך הערת ניסוח הניסוחים הבאים שקולים: א קיים N ב כמעט לכל טבעי כך שלכל X מתקיימת הטענה ג לכל, פרט למספר סופי של X מתקיימת הטענה -ים, שאלות בשאלות - הוכח או הפרך את הטענה הנתונה: סדרה חסומה, אז יש לה גבול ( אם b = b = b אם סדרה לא חסומה, אז או c = k c = k אז, c = k אם או d אם 4( סדרה עולה, אז היא לא חסומה b אם ל- אין גבול, אז גם ל- b ( + ( b וגם ל- אין גבול 5 b אם ל- אין גבול, אז גם ל- b ( / אין גבול 6 ( b b אם מתכנסת מתבדרת, אז מתבדרת 7 ( b b אם מתכנסת מתבדרת, אז מתכנסת 8 = L, אז = L 9( אם b, אז b אם לכל 0 4 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

26 b = b אם = וגם חסומה, אז k אז, אם = k וגם לכל ( =, אז אם = הוכח או הפרך: א אם כל האיברים של סדרה מתכנסת הם מספרים רציונליים, אז גם גבולה הוא מספר רציונלי c = b חסומות, אז גם הסדרה חסומה b = ( ( b 0 b אם ב אם ג ד אם סדרה עולה, אז גם הסדרה, אז הסדרה חסומה עולה c = b + b ( + = 0 חסומה ה אם חסומות, אז גם הסדרה ( b ( סדרה חסומה, אז לסדרה ( b ו אם סדרה מתכנסת b (0 יש תת-סדרה מתכנסת מתקיים ז אם סדרה מתכנסת, אז קיים טבעי, כך שלכל N N b ח אם לסדרה יש גבול חלקי, אז היא חסומה 4 בשאלות 8-5 הוכח או הפרך את הטענה הנתונה: 5 אם לכל מתקיים: (0,, אז הסדרה מתכנסת ( = הסדרה מתבדרת 6 x x (0,, 4 x ( x + אם לכל מתקיים: אז הסדרה מתכנסת ל - 7 8( לכל מספר רציונלי קיימת סדרת מספרים אי-רציונליים השואפת אליו 5 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

27 x ( x + x הוכח או הפרך: א אם הסדרה ב אם הסדרה מתכנסת, אז הסדרה מתכנסת, אז הסדרה מתכנסת x מתכנסת x + x 9 x + סדרה של מספרים שלמים המקיימת הוכח או הפרך: א הסדרה לא מקיימת את תנאי קושי x לכל x x ב לסדרה לא יכולה להיות תת-סדרה מתכנסת x 0 b b b הוכח או הפרך: א אם =, b = b, אז כמעט לכל מתקיים, אז b =, b = b ב אם וכמעט לכל מתקיים = תהי סדרה מתכנסת במובן הרחב הוכח או הפרך: א אם = 0, אז כמעט לכל מתקיים, 0 אז כמעט לכל ( ב ג אם אם, 0 אז כמעט לכל מתקיים מתקיים, 0 אז כמעט לכל אם ד מתקיים k k, אז, אז k הוכח או הפרך: ( סדרה מתכנסת ואם א אם אם ב סדרה מתכנסת ואם לכל לכל k (, לכל + תהי סדרה חיובית, המקיימת הוכח או הפרך: = 0 4 = 0 הוכח או הפרך: אם = 0, ( אז 5 6 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

28 ( b ( b + =, + = 4 ( b, שעבורן:, b 0 ( נתונות שתי הוכח או הפרך: א b 0, או b 0 ב 6 + נניח שסדרה מקיימת הוכח או הפרך כל אחת מהטענות הבאות: א עולה יורדת ב מתכנסת ג לא מתכנסת ד ה לסדרה לכל היותר שני גבולות חלקיים לכל טבעי 7 + כיצד תשתנה תשובתך, אם נתון כי לכל טבעי? מקיימת ( הסדרה מקיימת את התכונה הבאה:, m טבעיים m+ 0 לכל ( m + הוכח או הפרך: = 0 סדרה, כך ש - 0 = = 0 b ( א תהי הוכח או הפרך: ב תהיינה, כך ש- = 0 b = b הוכח או הפרך: 8 9 = נתונה הסדרה הוכח או הפרך: 0 הגבול של הסדרה קיים והוא קטן מ- l( + x x רמז: לכל x 0 מתקיים 7 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

29 בשאלות 4- הוכח או הפרך את הטענה הנתונה, כאשר ידוע כי, כך שמתקיים b = = b אם כמעט כל איברי חיוביים, אז או b אם כמעט כל איברי חיוביים, אז גם כמעט כל איברי חיוביים b, מתקיים 0 N = b 0 N 0 א ב קיים ג אם, כך שלכל, אז b = 5 = =, אז, אז b 0 b,, א אם, כמעט לכל ב אם, כמעט לכל 4 בשאלות 8-5 הוכח או הפרך את הטענה הנתונה, כאשר ידוע כי, כך שמתקיים b א ב אם כמעט כל איברי אם חיובית, אז קיים חיוביים, אז כמעט כל איברי חיוביים, לכל N b, N 0 כך ש- 5 b b ( אם חיוביות, אז מתכנסת או מתכנסת 6 b אז = 0, b א אם = = b = = 0, אז ב ג אם אם חיובית ואפסה, אז 7 = L אז, א אם = L * הערה: בסעיף זה ורק בו( מדובר בטענה כללית שלא קשורה לנתוני השאלה ב אם =, אז = b 8 8 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

30 בשאלות 4-9 הוכח או הפרך את הטענה הנתונה, כאשר ידוע כי, כך שמתקיים b = 0, אז b 0 b = 0, כך ש -, אז, מתקיים N b = 0, = 0 א ב ג ד או אם, כמעט לכל אם קיימים אינסוף ערכי קיים, N 0 כך שלכל 9 = 0, אז = 0 0 b b = 0, אז,, אז b = 5 א אם ב אם, כמעט לכל = ג אם 40 N N אז קיים, b אם = טבעי, כך שלכל מתקיים 4 = 0, אז b א אם כמעט כל איברי ב אם קיים קבוע חיוביים, אז b כמעט לכל כך ש- c, c 0 4 הוכח או הפרך את הטענות הבאות: א קיימת סדרה כך ש- = = 0 ( + ( ( ב קיימת סדרה כך ש- = = 4 ( + ( ג קיימת סדרה כך ש- = ( = + + ( ד קיימת סדרה כך ש- = ( לא קיים 4 9 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

31 + = 0 + = 4 + = + = הוכח או הפרך את הטענות הבאות: ( א ב קיימת סדרה קיימת סדרה כך ש- כך ש- = = ( ( ג ד קיימת סדרה קיימת סדרה כך ש- כך ש- לא קיים = ( 44 הוכח או הפרך את הטענות הבאות : א קיימת סדרה כך ש- 0 = + = ( + = ( ( ב קיימת סדרה כך ש- 0 = 45 + ( = L אז, נתונה סדרה חיובית הוכח או הפרך: אם א = L + ב אם = L, אז = L הערה: תרגיל זה מלמד שמבחן השורש "חזק" ממבחן המנה במובן הבא: כאשר מבחן המנה עובד, אז גם מבחן השורש עובד אך ההיפך לא נכון 46 +, וידוע כי ( נתונה סדרה חיובית הוכח או הפרך: ( אינה חסומה א הסדרה ב הסדרה ( חסומה קיים + הסדרה חסומה ג 47 ד ה מתכנסת הסדרה = 0 0 לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil

32 + סדרה תיקרא יורדת אם היא מקיימת הוכח או הפרך את הטענות הבאות: א אם סדרה מקיימת, לכל אז היא יורדת ב + + ( ( ( אם סדרה מקיימת, אז היא יורדת + ( ג אם סדרה מקיימת, אז היא יורדת 48, לכל + תהי סדרה, המקיימת הוכח או הפרך כל אחת מהטענות הבאות: א אם קיים טבעי, כך ש - חיובי, אז לכל טבעי N N N ב ג כמעט כל איברי אם לכל מתקיים בנוסף חיוביים או שכל איברי שליליים c, אז + ( = 0 + תהי סדרה, כך ש - הוכח או הפרך כל אחת מהטענות הבאות: א אם קיים קבוע, c 0 כך שלכל מתקיים כמעט כל איברי חיוביים או כמעט כל איברי, אז מתקיים: שליליים אם ב 0 לכל כמעט כל איברי, אז מתקיים: חיוביים או כמעט כל איברי שליליים, אז אם לכל ג מתקיים מתכנסת במובן הרחב לתשובות מלאות בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil לפתרון מלא בסרטוני וידאו היכנסו לאתר wwwgoolcoil