משוואות דפרנציאליות רגילות /ח

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty Version 10 uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq משוואות דפרנציאליות רגילות /ח wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui 104131 opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg חורף 2007/2008 OrTzafrir@Gmailcom hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas

משוואות ליניאריות מסדר 1 משוואות ליניאריות מסדר מערכת משוואות תוכן עניינים עמוד נושא 2 הגדרות בסיסיות 3 שיטת ווריאציית פרמטר 4 שיטת גורם האינטגרציה 5 משפט קיום ויחידות עבור מד "ר לא לינאריות 6 משוואת ברנולי 7-8 משוואות פרידות 9-11 משוואות מדויקות 12-13 משפחות אורתוגונליות 14 צורה כללית 15-17 שיטת הורדת הסדר / שיטת דלאמבר 18 משפט קיום ויחידות למד "ר מסדר 19 וורונסקיאן 20-21 הומוגניות משוואות ליניאריות עם 22-23 אי הומוגניות מקדמים קבועים 24 משוואות אוילר 25 משוואות ליניאריות אי הומוגניות בשיטת ווריאציית הפרמטר 26 כללי 27 שיטת האלמיניציה 28-30 מערכת משוואות הומוגניות עם מקדמים קבועים השוואת מקדמים 31 מערכת משוואות אי הומוגניות עם מקדמים קבועים ווריאציית הפרמטרים 32 33-34 פיתרון משוואות ליניאריות בעזרת טורי חזקות 35-36 התמרות להפלס 1

הגדרה משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר הגדרות בסיסיות הגדרה משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר )1( הגדרה אם אם אזיי המשוואה נקראת לא הומוגנית אזיי המשוואה נקראת הומוגנית המשוואה ההומוגנית שמתאימה למשוואה היא: )2(, אזיי טענה אם פיתרונות של הוא פיתרון של, אזיי טענה אם פיתרון של ו- פיתרון של הוא פיתרון כללי של סיכום טענות קודמות פיתרון כללי של שווה ל: פיתרון כללי של פיתרון פרטי של פיתרון סינגולרי פיתרון של מישדי"פ שאיננו חלק מהפיתרון הכללי כלומר לא קיים קבוע כך שע"י הצבתו בפיתרון הכללי נקבל את הפיתרון הסינגולרי 2

שיטת ווריאציית פרמטר למציאת פיתרון פרטי של )1( נסתכל על: )2( כדי שנקבל גם שלילי: עכשיו משתמשים בשיטת ווריאציית פרמטר למציאת פיתרון פרטי של : גוזרים ומציבים המשוואה הראשונית: )תמיד החלקים הנ"ל יצטמצמו( )אם לא כותבים אזיי מקבלים פיתרון פרטי, אחרת מקבלים פיתרון כללי( 3

שיטת גורם האינטגרציה מקבלים ש: 4

נתונה המשוואה הדיפרציאלית הבאה: משפט קיום ויחידות עבור מד"ר לא ליניאריות עם תנאי התחלה כאשר ו- רציפות התחום מלבני מסויים: תהי שם נתונים תנאי ההתחלה טענה קיים למשוואה הדיפרציאלית הנ"ל ולתנאי ההתחלה פיתרון אחד ויחיד המוגדר ושייך ל-, כלמור בעל נגזרת ראשונה רציפה באיטרול מסויים סביב כלומר פיתרון לוקאלי 5

משוואת ברנולי הצבה: מציבים חזרה במשוואה המקורית)לאחר החילוק( ומקבלים: ( פיתרון( נפתור קודם משוואה הומוגנית: 6

משוואות פרידות הגדרה המשוואה הדיפרנציאלית הבאה: תקרא משוואה פרידה אם ניתן לכתוב את אגף ימין של המשוואה הדיפרנציאלית בצורה הבאה: את נכתוב באופן הבא: נניח כי כל הפ' רציפות ומונה ומכנה לא מתאפסים יחד נסמן את התחום המשותף בו ו- רציפות ע"י: ואת התחום המשותף בו ו- רציפות ע"י: התחום המשותף בו כל הפ' רציפות נסמנו ע"י: ) פירושו כי הפיתרון מקביל לציר ה- כאשר המונה מתאפס ( או כאשר המכנה מתאפס ( או ) מתקבל ערך אינסופי לנגזרת, כלומר הקבלה לציר כאשר המכנה מתאפס: במקום להסתכל על נסתכל על קיבלנו את הפיתרון הכללי המהווה משפחה חד פרמטרית ו-, ולכן יש לבדוק חשש לפיתרון סינגולרית: כלומר, ולכן חשוד כפיתרון סינגולרי הוא חשוד כפיתרון סינגולרי אנו חילקנו את המשוואה ב- עבור נניח כי 1 אזיי נניח 2 7

הכללה הכלל למשפחה שלמה של משוואות: כאשר הצבה: הם מספרים קבועים הפ' נקראת הפ' של הישר אולם: נותר לחפש פיתרונות סינגולרית 8

משוואות מדויקות הגדרה משוואה מהצורה: נקראת מדוייקת אם קיימת פ' כך ש- כמו כן, ניתן להוכיח ש- קיבלנו משפחה חד פרמטרית של פיתרונות הפיתרון הכללי של מד"ר מדויקת הוא משפט נתונה המשוואה: כאשר נקרא פונקצית פוטנציאל כאשר ו- רציפות ובעלות נגזרות ראשונות חלקיות רציפות טענה תנאי הכרחי ומספיק לכך שהמשוואה הנ"ל )בתחילת המשפט( תהיה מדוייקת הוא: תנאי זה נקרא תנאי האינטגרביליות נתונה המשוואה המדוייקת: כאשר: מצא: ופתור פיתרון: 9

נציב מבצעים אינטגרציה לפי : ל- : גוזרים לפי ואז משווים לגזירה הקודמת לפי גורם האיטגרציה נתונה המשוואה: ונניח כי מתקיים: כלומר המשוואה הדיפרנציאלית הנ"ל איננה מדוייקת הפ' נקראת גורם אינטגרציה )ג"א( של המשוואה הדיפרנציאלית, אם: היא מדוייקת שיטה למציאת ג"א: מקרים פרטיים: 1 10

11 אם אגף ימין תלוי ב- בלבלד: 21 אם הביטוי באגף ימין תלוי ב- בלבד: ייתכן מאוד והמקרים הראשון והשני לא מתקיימים, ולכן נחפש ג"א מסוג אחר : מצא את פיתרון המשוואה 2 ) העובר דרך ע"י מציאת ג"א מהצורה )חייבים לתת את הצורה של נסמן: נכפיל את המשוואה ב- ונדרוש שתהיה מדוייקת: ונדרוש: 11

משפחות אורתוגונליות איך מוצאים משפחה אורתוגונלית למשפחת עקומות נתונה? חילוף הקבוע של המשפחה הנתונה א גזירת המשפחה הנתונה ב הצבת הקבוע מ- א' ב- ב', ומציאת ג )מקבלים מד"ר( ע"י הנוסחה מציאת ד ה מציאת המשפחה האורתוגונלית ע"י פיתרון המד"ר מ- ד' מצא את העקומה האורתוגונלית למשפחה הנתונה ע"י המשוואה: העוברת דרך א נגזור: ב נציב: ג ד ה בחלקים: המשפחה האורתוגונלית: : ת"ה למציאת 12

ולפי תנאי התחלה מקבלים: 13

משוואות ליניאריות מסדר, צורה כללית אם, אזיי המשוואה אי הומוגנית אם, אזיי המשוואה הומוגנית ופיתרונה הפיתרון הכללי של * : - פיתרון כללי של המשוואה פיתרון פרטי של האי הומוגנית פיתרונות בת"ר, הפותרים את ההומוגנית ונקראת מערכת יסודית של פיתרונות כדי למצוא פיתרון פרטי יש צורך ב- תנאי התחלה פיתרון של משוואה הומוגנית הוא הפרש של 2 פיתרונות פרטיים של האי הומוגנית למד"ר הומוגנית תמיד הפיתרון הטריוויאלי 14

שיטת הורדת הסדר / שיטת דלאמבר כאשר בת"ל ופותרים את את המשוואה ההומוגנית שיטת דלאמבר אם )לא טריוויאלי( פיתרון של מד"ר הומוגנית מסדר 2, נוכל למצוא את ע"י הצבה, וע"י החלפת משתנים ונקבל מד"ר מסדר 1 נוסחא להורדת הסדר למציאת : הערה: מתאים גם לאי הומוגנית נתונה המשוואה: ונתונים שניים מפיתרונותיה: א ב מצא את הפיתרון הכללי מצאו פיתרון המקיים: חיסור של שני הפיתרונות: נציב פיתרון להומוגנית: נציב בהומוגנית: 15

בחלקים: נציב ת"ה: שיטת דאלמבר טובה גם לאי הומוגנית )במקרים נדירים, בלית ברירה( היא מורידה סדר לאגף שמאל, ללא תלות באגף ימין נתון: פיתרון של ההומוגנית המתאימה, מצא פיתרון כללי נציע פיתרון כללי מהצורה: נציב את הפיתרון באי הומוגנית: נכפול בג"א: 16

17

משפט קיום ויחידות למד"ר מסדר ו- אם רציפות ב- המכיל את אז קיים פיתרון יחיד, המקיים את ת"ה: במקרה הזה לעומת עבור, יכול לקרות מצב שבו הפיתרונות יחתכו זה לא יסתור את המשפט כי יכול להיות שאחד מת"ה לא יהיה שווה בין הפיתרונות )למשל (, ואז המשפט עדיין מתקיים 18

וורונסקיאן הגדרה יהי פ' גזירות נגדיר את הוורונסקיאן שלהם: פעמים משפט אם פיתרונות של מד"ר ליניארית הומוגנית המקיימות את משפט קיום ויחידות בתחום אזיי: ת"ל אמ"מ בנק' אם בת"ל מהוות מערכת יסודית של פיתרונות נוסחא נוספת לחישוב הוורונסקיאן דגשים אם הוורונסקיאן מתפאס בנק' אחת, אזיי הוא מתאפס בתחום כולו הוורונסקיאן מהווה פ' רציפה בתחום קיום ויחידות, ולכן שומר על סימנו 19

משוואות ליניאריות עם מקדמים קבועים הומגניות והפיתרון ההומוגני הוא מהצורה: והפ"א הוא מהצורה: - מער' יסודית של פיתרונות, מהסוגים הבאים: ) שורשים וכך ניתן למצוא שורשים ממשים שונים 1 שורשים מרוכבים 2 שורשים מרובים )ריבוי 3 שורשים ממשים שונים שורשים, כאשר כל שורש יתרנות לפיתרון מכיוון שזוהי מער' יסודות של פיתרונות, נקבל שהוורונסקיאן שלה שונה מאפס: שורשים מרוכבים השורשים המרוכבים תמיד יופיעו בזוגות, כל זוג גזה יתרום 2 פיתרונות: 20

שורשים מריבוי אם הוא שורש מריבוי, הוא יתרום פיתרונות: מריבוי 21

אי הומוגניות הפיתרון הכללי הוא מהצורה: - נבנה פ"א ונמצא פיתרון ע"פ המקרים - פיתרון פרטי לאי הומוגונית )בעזרת טבלת הניחושים( טבלה ניחושים: ניחוש עבור - ריבוי של בפ"א ריבוי של בפ"א או ריבוי של או קומבינציה בינהם בפ"א א נפתור את המשוואה ההומוגנית: הפיתרון של המשוואה ההומוגנית: ב "ננחש" פיתרון פרטי ע"י הטבלה: הריבוי של בפ"א הוא : ג נציב את ההצעה במד"ר האי הומוגנית, ונשווה מקדמים על מנת למצוא את 22

נציב ונקבל: נחבר: ד 23

משוואות אוילר ע"י טרנספורמציה מקבלים משוואה עם מקדמים קבועים ונצפה לפיתרון: הומוגניות עבור ביטוי מהצורה נציע פ"א: מקרה 1: שורשים ממשיים שונים כל שורש ממשי תורם פיתרון מקרה 2: שורשים שחלקם מרוכבים יופיעו תמיד בזוגות הפיתרונות שיתרום כל זוג: מקרה 3: שורשים שחלקם מרובים כל שורש מריבוי יתרום פיתרונות: שלבי פיתרון: 1 פותרים את ההומוגנית )ע"י פ"א( 2 מנחשים פיתרון פרטי: 12 מבצעים טרנפורמציה מ- אי הומוגניות ל-, כאשר ו- 22 ננחשב פיתרון ל- הטבלה( 32 חוזרים למשתנה המקורי כמו שמנחשים פיתרון למשוואה עם מקדמים קבועים )ע"פ )נקבל ) ופותרים ע"י השוואת מקדמים 3 24

פיתרון משוואות ליניאריות אי הומוגניות בשיטת ווריאציית הפרמטר - צריכה להיות של המשוואה המנורמלת נתונה המד"ר: הומוגנית: אי הומוגנית: נציע על מנת למצוא ו- נפתור את המערכת הבאה: מקבלים: 25

מערכת משוואות מער' משוואות: כתיבה מטריצית: 26

פיתרון מערכת משוואות בשיטת האלמינציה מקדמים קבועים גוזרים את, מציבים במשוואות הנוספות ומקבלים: ובכתיב המטריצי: 27

פיתרון מערכת משוואות הומוגנית עם מקדמים קבועים שלבי פיתרון 1 מוצאים שורשים )ע"ע( לפ"א, ע"י חישוב, ע"י פיתרון לכל ע"ע מוצעים ו"ע 2 נחלק למקרים: מקרה 1: ע"ע ממשיים שונים, והפיתרון מהצורה הבאה: לכל ע"ע נמצא ו"ע נמצא ע"ע: עבור נמצא ו"ע ע"י: 28

ו"ע שמתאים ל- הוא למשל באותו אופן עבור נקבל ו"ע עבור נקבל ו"ע מקרה 2: ע"ע מרוכבים פתור: נמצא ע"ע ע"י פיתרון: נבחר למשל ונמצא עבורו ו"ע ע"י פיתרון: קיבלנו שהפיתרון הכללי: מקרה 3: ע"ע מרובים פתור: 29

מציאת ע"י ע"י פיתרון עבור נמצא את הו"ע הבא: עבור, נמצא את הו"ע בדרך הבאה: מכיוון שהריבוי של הוא קיבלנו 2 ו"ע 30

מערכת משוואות אי הומוגניות עם מקדמים קבועים השוואת מקדמים נציע: נציב המערכת המקורית ונשווה מקדמים תר' א פיתרון הומוגנית ע"ע: עבור נקבל ו"ע עבור נקבל ו"ע ב נציע פיתרון פרטי לאי-הומוגנית אינו ע"ע, ולכן נציע: נציב את ההצעה ונשווה מקדמים: 31

ווריאציית פרמטרים א ב מוצאים פיתרון למערכת ההומוגנית: מחפשים פיתרון מהצורה: נמצא ע"י הדרישה: נתונה המערכת: חשב פיתרון הומוגני ע"ע, ריבוי מציאת ו"ע: ו"ע חסר ו"ע, אז נציע נגזור ונציב המשוואה המקורית: שורה ראשונה: שורה שנייה: פיתרון הומוגנית: נציע פיתרון פרטי: נמצא : נציב חזרה: 32

פיתרון משוואות ליניאריות בעזרת טורי חזקות מוצאים פיתרון בעזרת הנוסחא: ) מציבים במשוואה ומשווים מקדמים )הפ' הגדרה נק' רגולרית עם לפתח סביב אותה נק' נקראת נק' רגולרית אם למצוא פיתרון סביב נק':, לכן נק' רגולרית מחפשים פיתרון מהצורה * מכיוון שהאיבר הראשון מתאפס בכל מקרה, נתחיל את האינדקס מ- במקום מ- מציבים במשוואה המקורית: המטרה שלנו: א החזרה של תהיה זהה בכולם, למשל ב שהאינדקס ההתחלתי של כל הטורים יהיה זהה, למשל עבור הטור השמאלי מגדירים, ומקבלים: משנים את הסימון של האינדקס מ-, ועושים את אותו הדבר לשאר הטורים הבעייתים ל- 33

34

התמרות להפלס פיתרון משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר 2 במקדמים קבועים בעזרת התמרת Laplace טבלת התמרות: הערות התמרת לפלס פונקציה 1 2 3 4 5 6 7 8 9 01 11 21 31 41 הערות טענה 51 פיתוח ההתמרות : 35

הצבת ההתמרות: 36