א"ודח ב גרבימ הרש רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע ttt t r רשאכ ttt :עטקב תופיצר תורזגנ תולעב [ab]. יהי F תופיצר תורזגנ לעב ירוטקו הדש ל ךיישה רמולכ C :ידי לע רדגומ ינש גוסמ יוקה לרגטניאה םיווק םילרגטניא לע האצרהב וניארש יפכ b a r'tdt Fttt Fdr :תורדגה בחרמב רשק טושפ םוחת בחרמב םוחת טושפו רוגס םוקע לכל םא רשק טושפ ארקנV ותפש רשא חטשמ אוצמל ןתינ.V-ב אצמנ ולוכ חטשמהו יהי :בחרמב רמשמ הדש F ףיצר ירוטקו הדש תירלקס היצקנופ תמייק םא רמשמ F-ש רמאנ U :ש ךכ תופיצר תורזגנ תלעבו הפיצר F U.הדשה לש רוטור רוטקוה :ירוטקוה הדשה לש רוטורה ארקנ F ידי לע ןמוסמ רוטורה rotf וא רוטרפואה תועצמאב וגיצהל ןתינו curlf F rotf המגוד :תירוטקוה היצקנופה לש רוטורה תא בשח : F rotf
ב F כאשר dvrotf דוגמה : חשב את dv rotf dv dv rotf F מסקנה: מכפלה מעורבת סקלרית בין וקטורים המאונכים זה לזה. במשפט הבא נראה את הקשר בין שדה משמר לבין רוטור של פוקציה וקטורית. משפט: יהי V תחום פשוט קשר במרחב ו- F שדה וקטורי השייך ל C השדה F הינו משמר אם ורק אם rotf מסקנה: השדה משמר אזי אין תלות במסלול ואז ניתן לחשב את האינטגרל הקוי על ידי פונקצית הפוטנציאל בנקודות הקצה. F דוגמה : יהי א. הראה שהשדה משמר 6 6 לכן rotf והשדה משמר. 5 ב. חשב את האינטגרל הקוי Fdr כאשר הוא המסלול t t t t t t t B A לנקודה מהנקודה כיוון שהשדה משמר קיימת פונקציה סקלרית U אשר F U ומתקיים: נחשב את הפונקציה U. Fdr U U ידוע ש: F U ולכן: U U U לפי : g 4 U d לפי נקבל מ- 4 5 U g g מ- 5 נקבל: 6 g h מ- 4 ו- 6 h 7 U
ב לפי ו- 7 : U h' 8 4 h' h c 4 4 קבלנו: U c 4 Fdr U U 8 5 4 6 הסבר: קשר ביו הרוטור ומושג הסירקולציה לדוגמה נתבונן בכדור קטן הצף בנוזל. הכדור מתקדם לפי הזרימה וגם מסתובב סביב עצמו בגין מערבולות. הרוטור קשור לתנועה בסיבוביות של הכדור סביב עצמו. לשדה זרימה F יש רכיבים : בכיוון הנורמל החיצוני n ובכיוון המשיק t אנו נקשר בין כמות הנוזל הזורמת דרך המשטח ביחידת זמן לבין הזרימה לאורך שפת המשטח משפט סטוקס מהווה הכללה של משפט גרין לאינטגרלים במרחב והוא מקשר בין אינטגרלים קווים במרחב לבין אינטגרלים משטחיים. משפט הרוטור משפט סטוקס יהי משטח חלק למקוטעין ודו צדדי יהי עקום חלק למקוטעין המהווה שפה של. תהי F שדה וקטורי בעל נגזרות רציפות בתחום פתוח במרחב המכיל את ויהי n וקטור נורמל למשטח. התנועה על הקו היא בכיוון החיובי. התחום משמאל Fdr rotf nds F nds הערה :כאשר המשטח הוא משור אז מקבלים את משפט גרין: Fdr rotf ds ˆ rotf F
ב d דוגמה :4 חשבו את d d { כאשר הוא שפת התחום: } a F rotf F G Fdr G G G 4 4 rotf nds ds ds πa השיוויון האחרון נובע מחישוב שטח של מעגל ברדיוס a. דוגמה 5: חשבו באמצעות משפט סטוקס את האינטגרל כאשר הוא העקום המקבל מחיתוך של הגליל F Fdr הינו השדה הוקטורי F. והמישור: נחשב את הרוטור: rotf F יהי החלק של החלק של המישור: החסום על ידי העקום. נבחר את הנורמל: n כך שהנורמל יוצר זוית חדה עם הכיוון החיובי של ציר ה- G G Fdr rotf nds da da dd π השיויון האחרון נובע מכך שהאינטגרל הוא שטח מעגל ברדיוס. 4
ב דוגמה 6: חשב את האינטגרל הקוי על ידי שימוש במשפט סטוקס כאשר העקום מתקבל מחיתוך המשטח F עם השמינית הראשונה. והשדה הוקטורי הוא: נחשב את הרוטור: rotf F המשטח הוא: G ולכן:וקטור נורמל למשטח הוא: n Fdr rotf nds da da dd השטח הוא משולש ישר זוית אשר צלעותיו המאונכות הינן באורך לכן שטחו הוא.5 דוגמה 7 יעקובוב F אמתו את משפט סטוקס כאשר הפונקציה הנתונה היא : והמשטח הוא המשולש שקודקודיו : עם כיוון שלילי. מהדוגמה הקודמת. העקום C מורכב מאחוד של עקומים: C C C C { } { } { } C : : C : : C : : נבצע חישוב ישיר של האינטגרל הקוי: ' ' d ' ' ' d ' ' ' d d d d לפי משפט סטוקס נחשב את הרוטור: rotf 5
ב g g g n Fdr rotf nds da da da 4 da d 4 d [4 ] 4 4 5 4 d 6 6 6 והעקום C הוא החיתוך בין המישור F דוגמה 8 יעקובוב אמתו את משפט סטוקס כאשר לבין הגליל הכיוון הוא בכיוון השעון. הצגה פרמטרית של העקום C cos θ sn θ snθ כאשר θ נע מ- π ל-. נחשב באופן ישיר: Fdr sn cos sn sn cos cos d θ π cosθ θ π θ π θ π θ θ θ θ θ θ θ sn θ cos θ cos θ sn θ dθ sn θ sn θ sn θ dsn θ dθ cosθ θ θ θ d θ dθ cos sn sn sn cos θ sn θ sn θ cosθ θ 4 π π 6
ב נשתמש במשפט סטוקס: נחשב את הרוטור rotf g g g n Fdr rotf nds da da π π π sn sn r θ rdθdr rdθdr r θdθdr r θ r θ r θ π r π r [ cosθ ] dr π r θ 7
ב סיכום אינטגרלים אשר הכרנו בקורס: b a f ' d f b f a f dr f B f A C C C Fdr da Fdr Fds V curlf ds dvfdv תם ולא נישלם... 8