הפקולטה למתמטיקה - הטכניון חיפה מד''ח - 48 חורף תשע''א - בחינה סופית מועד ב' שאלה : תהי נתונה המד"ח הבאה: u + uu = y א. מצא את העקומים האופייניים של משוואה זו בצורה פרמטרית. ב. פתור את המד"ח הנתונה לעיל ביחד עם תנאי הנלווה: > u = > ( וקבע האם הפתרון שמצאת הוא יחיד. פתרון: א. מערכת משוואת האופיינים: d dy du = = u = y d d d פתרון המשוואה הראשונה: ( = Ce ומשתי המשוואות האחרות אנו מקבלים ש- d d ( y+ u = u+ y= y+ u ( y u = u y= ( y u d d ולפיכך y+ u= Ce y -u= Ce 3 מכאן ש- C C3 C C3 ( Ce y ( e e = = + u ( = e e ב. ניתן לרשום את התנאי הנלווה > uבצורה = > פרמטרית באופן הבא: ( ( s = y ( s = s u ( s = s s> = במשוואות העקומים האופייניים שמצאנו בחלק א' מקבלים: C C 3 C C 3 ( = C = s y( = + = s u( = = s y וכשמציבים ולפיכך: C = s C = s C3 = 3s כלומר תיאור הפרמטרי של משטח הפתרון נתון על ידי: se 3se se 3se ( s = se y ( s = + u ( s = משתי המשוואות השמאליות קל לחלץ את se se ולקבל ש- 3 y + se = se = + y u= = y אפשרי גם לראות מן העקומים האופייניים שהתקבלו בחלק א' שלאורך כל עקום אופייני מתקיים: ( + y ( + u ( = ( C + C e כשמתנאי ההתחלה נובע מיידית ש- = C ( + (y + (u = C + ולפיכך על כל עקום האופייני החותך. u= y ולפיכך ( + y ( + u ( = ( C + C e את העקום ההתחלתי הנתון מתקיים
בדיקת תנאי החיתוך לאורך קו ההתחלה נותנת ( y ( s u( s s s = de = de 3s ( s '( s y '( s = > = מה שמוכיח שהפתרון שמצאנו הוא יחיד. בהינתן הבעיה: שאלה : v ( + λv( = < < v( + v ( = v( + v ( = מצא את כל הערכים העצמיים ואת כל הפונקציות העצמיות של הבעיה. א פתח את הפונקציה = fלטור ( בפונקציות העצמיות שמצאת בסעיף א'. עבור אילו[ ] ב מובטחת התכנסות הטור ל- (? f (. λ< λ= λ> פתרון: א. נטפל בבעיית הע"ע בשלושת המקרים: = vהוא ( + λv( λ= kוהפתרון הכללי של המד"ר > k כך ש- כאשר > λקיים v( = C cosh( k + C sih( k v '( = kc sih( k + kc cosh( k וכשמציבים זאת בתנאי השפה המצורפים מתקבלת המערכת הבאה: v( + v '( = C + kc = ( ( v( + v '( = cosh( k + k sih( k C + sih( k + k cosh( k C = מאלגברה ליניארית ידוע שלמערכת ליניארית הומוגנית זאת יש פתרון לא טריוויאלי אך ורק אם sih( k + k cosh( k k cosh( k + k sih( k = ( k sih( k = ( ( ומכאן מסתבר שלבעיית שטורם-ליוביל זאת קיים ע"ע שלילי אחד והוא λ = k = ופונקציה עצמית מתאימה היא ( cosh( sih( v = = e הוא הפתרון הכללי של המד"ר = vבמקרה ( + λv( ש- = λ הוא: v( = C+ C v '( = C וכשמציבים זאת בתנאי השפה המצורפים מתקבלת המערכת הבאה: v( + v '( = C + C = v( + v '( = C+ ( + C = ומיידית נוכחים שלמערכת זאת יש רק פתרון טריוויאלי מה שמוכיח ש- = λ איננו ע"ע. לבסוף כאשר > λ קיים > k כך ש- λ=kוהפתרון הכללי של המד"ר = v ( + λv( v( = C cos( k + C si( k v '( = kc si( k + kc cos( k וכשמציבים זאת בתנאי השפה המצורפים מתקבלת המערכת הבאה: v( + v '( = C + kc = ( ( v( + v '( = cos( k k si( k C + si( k + k cos( k C = הפעם למערכת ליניארית הומוגנית זאת יש פתרון לא טריוויאלי אך ורק אם: si( k + k cos( k k cos( k k si( k = ( + k si( k = ( (
k = = 3... כלומר מתקבלת סדרה אין-סופית של פתרונות המשוואה האחרונה: λ וסדרת פונקציות עצמיות מתאימות: = = סדרת הע"ע הבאה...3 v ( = cos( si( = 3... ובהתאמה מתקבלת ב. ננרמל את המערכת האורתוגונאלית של הפונקציות העצמיות שמצאנו בחלק א': e e v ˆ = e d= v = e ( cos( si( ( ˆ = = + = + v d v f ( = cos( si( מקדמי פורייה המוכללים של ביחס למערכת האורתונורמלית הנ"ל הם: ˆ e e ( c = f v = e d= e = k cos( si( ( c = ˆ f v = d + = + = k ( = + ובהתאם לכך הפיתוח של הפונקציה = fלטור ( בפונקציות העצמיות שנמצאו בחלק א' הוא: e 4 (k cos(k si(k f ( + e (k (k + k= ( מכיוון שהפונקציה = f ( רציפה וגזירה ברציפות בפנים הקטע הטור הנ"ל מתכנס אליה נקודתית שם. שאלה 3: א בהינתן הבעיה: u cu = F( < < > ( I u( = f ( < < u ( = g( < < fעבור ( = f ( g( = g( F( = F( כל כאשר <c נתון הוכח כי אם. < < כל uעבור = u( < < אזי הפתרון uמקיים ( II u cu = < < > u( = cos < < u ( = < < u ( =. ב מצא פתרון לבעיה:
פתרון: א הפתרון של (I נתון ע"י הנוסחא של דלאמבר + c + c( τ f ( + c + f ( c u( = + g( τ dτ F( s τ dsdτ c + c c + c c( τ עבור כל <. < ולכן עבור כל < : < + c( τ f ( + c + f ( c u( = + g( τ dτ F( s τ dsdτ c + c c c( τ ( נשים לב כי מכיוון ש- f ( = f ( עבור כל < < f ( + c + f ( c f ( c + f ( + c f ( + c + f ( c = = < < כמו כן מכיוון ש- g( = g( עבור כל + c c c + c ( g( d g( s ds g( s ds g( d c τ τ = c = = τ τ c c c + c c c < < F( = F( מכיוון ש- עבור כל + c( τ c( τ (3 F( s dsd F( q dqd c τ τ = τ τ = c c( τ + c( τ + c( τ + c( τ = F( q dqd F( s dsd c τ τ = τ τ c c( τ c( τ u( = u( מתקיים מתוך ( ( (3 אנו רואים כי עבור כל < < ב נרחיב את הפונקציות: g( = f ( = cos F( = < < >. gɶ ( = fɶ ( = cos Fɶ ( = < < > באופן זוגי ונקבל את ההרחבות: נתבונן בבעיה: u cu = < < > ( II u( = cos < < u ( = < <
> < < עבור כל gɶ ( = gɶ ( fɶ ( = fɶ ( Fɶ ( = Fɶ ( מכיוון ש- נקבל על סמך סעיף א' כי עבור (4 u( = u( < < מתקיים Fɶ ( = C( R gɶ ( = C ( R fɶ כמו כן מכיוון ש- R ( = cos C ( Fɶ נוכל להסיק כי הפתרון של (II הוא אמיתי ולכן בפרט גזיר ברציפות לפי. ולכן ( ( ו- = C R מכיוון שעל סמך (4 uזוגי נוכל להסיק כי (5 u ( =.(II יהווה פתרון ל- ומכאן נובע כי הצמצום של הפתרון של (II לתחום כעת נחשב את הפתרון של (II על סמך הנוסחא של דלאמבר: cos( + c + cos( c u( = + dsdτ c = c( τ ( cos( cos( c si( si( c + ( cos( cos( c + si( si( c + c ( τ dτ cos( cos( c c = + + c( τ. u( = cos( cos( c + ומכאן שהפתרון של (II נתון ע"י שאלה 4: נתבונן בבעיה: u u = < < > u( = cos u( = u( =. א מצא פתרון לבעיה.. ב הוכח כי = uעבור + u( כל v( היא = v( = פתרון: פונקצית תיקון v שמקיימת את תנאי השפה: v( = wאמורה ( = u( v( = u( להיות פתרון של ומייד מוצאים שהפונקציה הבאה: w w = < < > w( = cos + w( = w( =. הפתרונות הפרדת משתנים של המד"ח הנתונה בתנאי הקצה הנתונים (קצוות מוחזקים הם: הבעיה
w ( = e si( = 3... ולפיכך נחפש פתרון מן הצורה: w ( = cw ( = ce si( = = על סמך תנאי ההתחלה: w ( = c si( = cos + = לפי נוסחאות מקדמי פורייה מוצאים כעת ש- = : c = cos( si d + = si( = d + si( d = = = cos( + cos( d = = : c = cos( sid ( + = si ( + + si ( = d sid ( + = = = cos( + cos( cos( cos( = d + + = + = = ( + + ( ( ( + ( = + = = + = k - = = k k(4k 4k e si( k w( = u( = w( + k= k(4k z( = u( ניווכח ש- z( אמורה לפתור את הבעיה הבאה: בהתאם לכך ב אם נסמן
z z = u + u = < < > z( = u( = cos( = cos z( = u( = z( = u( =. כלומר z פותרת בעיה זהה לזאת ש- uפותרת אותה. אזי לפי משפט היחידות לפתרון משוואת החום יוצא. כל uעבור + u( u( = z( = u( כלומר ש- אפשר להגיע לאותה תוצאה אם נציב במקום בפתרון שמצאנו לחלק א' ונקבל ש- 4k 4k e si( k( e si( k w( = = = w ( k(4k k(4k k= k= u( = w( + ( = w ( + = u( וזה מש"ל. שאלה 5: א מצא פתרון לבעיה: u+ uyy = < y< u( y = si y u( y = si 3 y y u( = si u( =..u( / / ואת mi y ב מצא את (y u פתרון: א נשים לב כי על סמך תנאי ההתחלה מתקיים: = u( = u( = u( = u( ולכן אין צורך לאפס פינות. y u ( ו- y u ( מהווים הפתרונות של נחפש פתרון בצורה: y u( y = u( y + u( כאשר הבעיות: u + u = < y< yy ( I u( y = si y u( y = si 3 y y u( = u( =. u + u = < y< yy ( II u( y = u( y = y u( = si u( =. נתייחס תחילה לבעיה (I. שוב נשים לב כי אין צורך באיפוס פינות. על ידי הפרדת משתנים נקבל כי X '' Y ''. Y( = Y( = = = λ X Y
. Y '' + λy = < y< Y ( = Y ( = Y ( y = si y λ = =... X על ידי התבוננות בבעיה נקבל את הע"ע ואת הפ"ע: שפתרונה נתון ע"י { } u ( y = ae + be siy = '' λx λ נקבל את הבעיה = = ועבור כל.... a b R X ( = ae + be = ומכאן שעלינו לחפש פתרון ל- (I מן הצורה: { } { } = על סמך תנאי השפה: u ( y = siy= a + b si y y u ( y = si 3y= ae + be si y y. מתוך משוואות אלו נקבל כי a + b = a + b = ae + be = 3 ae + be = 3 3 3 3 e e a3 = b 3 3 3 = a 3 3 = b = ולכן: e e e e e e e e. a = b = 3 בסיכום: 3 3 e e e e sih( sih(3 u ( y = siy si 3y siy si 3y + 3 3 = + e e e e sih( sih(3 עבור הבעיה (II על ידי הפרדת משתנים נקבל כי עלינו לחפש פתרון מן הצורה = y y { } u ( y = ce + d e si { } = { } = על סמך תנאי השפה: u ( = si= c + d si u ( = = ce + d e si y. c = d = מתוך משוואות אלו נקבל כי c + d = c + d = ce + de = =.. c e e = d = e e e e ומכאן ש-
y y e e sih( y u( y = si si = ולכן: e e sih( בסיכום: sih( sih(3 sih( y u( y = u( y + u( y = siy+ si 3y+ si sih( sih(3 sih( ב על סמך עקרון המקסימום עבור (y u המינימום של (y uמתקבל על שפת התחום. ולכן על סמך תנאי השפה נוכל להסיק כי = (y. mi u y על סמך הפתרון שהתבל בסעיף א' נוכל לחשב: 3 sih sih sih u = + sih( sih(3 sih( 3 sih sih u = ולכן: sih( sih(3