אוניברסיטת בן-גוריון בנגב מדור בחינות 9//8 תאריך הבחינה : ד"ר ס. סמית, דר' דבורה שמות המורים : פרץ, פרופ' גריגורי דרפל מבחן ב: חדו"א ג' --9 מס' הקורס: מיועד לתלמידי: ביולוגיה, כימיה וגאולוגיה ב מועד: א סמ' תשע"ח שנה: שעות 3 : משך הבחינה חומר עזר: מחשבון פשוט ללא צג גרפי וללא יכולת לחשב נגזרות ואינטגרלים מס' נבחן : יש לענות על 5 מתוך 6 השאלות הבאות ולפתור את השאלות בדפים המיועדים לכך בלבד. לטיוטה השתמשו בדפי טיוטה )מיועדים לגריסה(. כל שאלה שווה ל- נקודות. הציון יחושב על סמך 5 השאלות הטובות ביותר ואין צורך לציין איזה שאלות לבדוק. נמקו את טענותיכם ושיקוליכם ונסחו במדויק תוצאות קודמות שעליהן הנכם מסתמכים. בהצלחה!
שאלה מס'. חשבו את הגבולות הבאים: א( [ נק'[ גבול הסדרה 7). ( (n + )(n ) n ( (n + )(n ) n 7) = ( n n 8 n 7) ( n n 8 n 7)( n n 8 + n 7) = ( n n 8 + n 7) n n 8 (n 7) ( n n 8 + n 7) = n ( n n 8 + n 7) = n ( n ) ( n n 8 + n 7) = n נכפיל את מונה ואת המכנה בצמוד של הביטוי הזה ונקבל: n ( n n 8 n + n 7 n ) = n ( n 8 n + 7 = + = n ). x arcsin x 3 ב( ] נק'[ גבול הפונקציה x זה ביטוי מהצורה " " ולכן אפשר להשתמש בכלל לופיטל: x arcsin x 3 = x x ( x ) 3 ( x ) 3( x) = x 3( x ) = x( x ) 3 3( x ) x x + 3 3( x ) 6 = x x = 3 6 =
3 ] נק'[ שאלה מס'. מצאו את נקודות אי-הרציפות של הפונקציה f(x) = x וקבעו את סוגיהן. הפונקציה f מוגדרת ורציפה לכל x כך ש-,x x =,x x = ו- =.x נמיין את הנקודות האלה: ו- x, לכן נקודות אי-הרציפות של f הן x + ( ) = x x + ( ) x x + () = ( ) x + () ln x. x + x זה ביטוי מהצורה ( )"," אז נרשום אותו כ- x + ln x /x x ( : x = לכן עלינו לחשב את ln x "( ונסיק מכלל לופיטל ש- )ביטוי מהצורה " x + = /x x + = x ) x +( x) =. לכן x + ( ) = ( ) x x + () = ( ) =. " ln x מהצורה " חישוב כמעט זהה מראה ש - ; ההבדל היחיד הוא ש- x x ( ) = /x x אז ב- = x יש נקודות אי-רציפות סליקה. ", אז מכלל לופיטל נובע ש- ". x ( מהצורה x ( ) הגבול :x = x ) = x x ( +ln x x ) = + = אז ב- = x יש נקודות אי-רציפות סליקה. - = :x הגבול ) ( x מהצורה "," אז מכלל לופיטל נובע ש x. x ( ) = x x ( +ln x ) = + x = אז ב- = x יש נקודות אי-רציפות סליקה. 3
שאלה מס' 3. 3 א( [ נק'[ תהי x).f(x) = x ln( + חשבו את () ().f רמז: אפשר להשתמש בנוסחאות מקלורין.. לכן x ln( + x) = x (x x + x3 3 x + x5 5 x6 6 + x7 7 x8 8 + x9 9 + o(x9 )) f () ()! = x 3 x + x5 3 x6 + x7 5 x8 6 + x9 7 x 8 + x 9 + o(x ) זה פולינום המקלורין ממעלה של x),f(x) = x ln( + אז המקדם של x בו הוא f () () =! 9, ואז f () () =! 9 3 ב( ] נק'[ הוכיחו כי יש לפולינום + 3 7x x 3 x + שורש ממשי אחד ויחיד. נסמן + 3 7x. p(x) = x 3 x + הפונקציה p אלמנטרית ולכן היא רציפה בכל תחומה, כלומר לכל המספרים הממשיים. נשים לב ש- 5 = 3 + 7( ) ( ) ( ) 3 = p( ) ו- = 3 ()p, אז ממשפט ערך הביניים נובע שיש ל- p(x) שורש בקטע (, ). נשאר להוכיח שהשורש הזה יחיד. נניח בשלילה כי יש ל- p(x) שני שורשים )לפחות( a ו- b, כאשר.a < b אז = p(b),p(a) = וממשפט רול נובע שקיים b) c (a, כך ש- = (c).p אבל > 7 + 8x p (x) = 3x לכל x משום שהדיסקרימיננטה שלו שלילית: = 7 3.( 8) הסתירה הזאת נובעת מההנחה שהשורש של p(x) אינו יחיד, לכן הוכחנו את הטענה.
5 ] נק'[ שאלה מס'. חקרו את הפונקציה f(x) = x e x ושרטטו סקיצה של הגרף שלה. תחום ההגדרה: הוא קבוצת כל המספרים הממשיים x. נקודות חיתוך עם הצירים: נקודת החיתוך עם ציר ה- y היא (,) = (()f,). נקודות החיתוך עם ציר ה- x הן הפתרונות למשוואה = x,f(x) = x e והפתרון היחיד הוא = x מכיוון ש-.x לכל מספר ממשי e x > זוגיות ואי-זוגיות: f(x) f( x) = לכל מספר ממשי x, לכן הפונקציה f זוגית. מחזוריות: הפונקציה f אינה מחזורית. סימנים של הפונקציה: > f(x) לכל.x...3..5 רציפות:. הפונקציה f אלמנטרית ולכן רציפה לכל x בתחום ההגדרה שלה, כלומר לכל x. R 3. התנהגות הפונקציה בקצוות של תחום ההגדרה: בסעיף הבא.. אסימפטוטות: אנכית: הפונקציה f(x) = x e x רציפה לכל,x R אז אין אסימפטוטה אנכית. משופעת: קודם כל נחפש אסימפטוטה מהצורה y = ax + b כאשר.x f(x) a = x x = x e x x = x x x e x הגבול הזה מהצורה " ", ומכלל לופיטל נסיק ש- x a = = = x e x x xe x b = (f(x) ax) = ( x x x) = x x e x x e x ", ומכלל לופיטל נסיק ש- גם הגבול הזה מהצורה " x x b = = = = x e x x xe x x e x לכן הישר = y אסימפטוטה משופעת )בעצם אסימפטוטה אופקית( לפונקציה f כאשר x. לבסוף, בדיוק אותם החישובים מראים ש- = y אסימפטוטה משופעת לפונקציה f גם כאשר x. אפשר גם להסיק את זה מהעובדה שהפונקציה זוגית. 5. תחומי עליה וירידה, נקודות קיצון: f (x) = (x e x ) = x e x + x e x ( x) = e x (x x 3 ) כלומר x).f (x) = e x (x)( + x)( נשים לב ש- > x e לכל,x לכן הסימן של f זהה לסימן של x).x( + x)( אז תחומי העליה של f הם ) (, ) (, כי שם > (x),f ותחומי הירידה של f הם ) (, ), )כי שם < (x).f (, נקודות מקסימום מקומיים ב- ), ) ו- ) e e מכאן נובע שיש ל- f ויש ל- f נקודת מינימום מקומי - ).(, ב 5
6 6. תחומים שבהם הפונקציה קמורה או קעורה, נקודות פיתול: f (x) = (f (x)) = (e x (x x 3 )) = e x ( 3x ) + e x ( x)(x x 3 ) = e x ( 3x x + x ) = e x (x 5x + ) הסימן של (x) f זהה לסימן של x. 5x + כדי לקבוע את הסימנים האלה, עלינו קודם כל לחשב את השורשים של הפולינום x. 5x + נשים לב שזה בעצם פולינום ריבועי במשתנה t: = x x 5x + = (x ) 5(x ) + = t 5t + 5 8 5± =,. t שני השורשים האלה חיוביים, לכן יש = 5± 7 השורשים של הפולינום הזה הם שורשים לפולינום :x 5x + x = 5 + 7 =.5, x = 5 7 =.68, x 3 = 5 7 =.68, x = 5 + 7 =.5, לכן הפונקציה f קעורה )כלומר "קמורה כלפי מעלה"( בתחומים 7 +5, ) ו- f קמורה )"קמורה כלפי מטה"( ) ( 5 7, 5 7 ) ( 5+ 7, ) ( 5+ 7, 5 7 ) ( 5 7, 5+ 7 ) בתחום מהערכים x, x, x 3, x למעלה.. מכאן נסיק שיש ל- f נקודות פיתול בכל אחד 7. תיאור גרפי: 6
7 ].x = sin θ ]רמז: אפשר להציב. ( x ) 3/ dx שאלה מס' 5. 5 א( ) נק'( חשבו את האינטגרל נציב,x = sin θ כלומר,θ = arcsin x ובפרט. θ אז :dx = cos θ dθ ( x ) 3/ dx = ( sin θ) 3/ cos θ dθ = 3/ ( sin θ) 3/ cos θ dθ = 3 (cos θ) 3/ cos θ dθ = cos θ 8 cos 3 θ dθ = dθ cos θ = tan θ + C = sin θ cos θ + C = sin θ sin θ + C = ( = x x + C x ) ( x ) + C = ( x ) + C x הערה:, θ לכן θ.cos זה מצדיק את השוויון cos θ = sin θ למעלה. 5 ב( ) נק'( מצאו את השטח הכלוא בתוך הלולאה הנוצרת על-ידי הגרף של הפונקציה r = tan θ בקואורדינטות קטביות. θ =, כלומר,θ = הערכים הרלוונטיים של θ הם ערכים עבורם = θ tan θ =. tan כאשר ו- = θ tan כאשר θ. = אז השטח הכלוא בתוך הלולאה שווה ל- A = tan ( θ ) dθ = ( cos ( θ ) dθ = ) dθ cos ( θ ) dθ = (tan θ )] θ ] = tan tan( ) ( ( )) = ( ) = 7
8 שאלה מס' 6. מתכנס? אם כן, יש לחשב את ערכו של האינטגרל. ex 6 א( ] נק'[ האם האינטגרל הלא-אמיתי e ex dx אם לא, יש לנמק מדוע. ex dx = e ex b ex dx e ex = x= x=b du e u נציב,u = e x ואז.du = e x dx נציב ונקבל = x= x=b e u du = ( e u )] x=b x= = ( e ex )] b = ( e eb + e e ) = + e e = e e 6 ב( ] נק'[ חשבו את נפח גוף הסיבוב המתקבל ע"י סיבוב התחום D סביב ציר ה- x, כאשר D התחום בין arctan x גרף הפונקציה = f(x) וציר ה-,x כאשר x. V = (f(x)) dx arctan x = ( + x ) dx = = du. נשים לב ש- = u כאשר =,x ו- u = כאשר =.x לכן +x (arctan x) + x dx dx +x נפח הגוף שווה נציב u = arctan x ו- V = (arctan / x) + x dx = u du = u3 3 ] / = 3 (3 6 ) = 9 8