בין לשון למתמטיקה - חינוך לחשיבה אוריינית בפתרון בעיות מילוליות במתמטיקה ברוריה מרגולין, בת שבע אילני תקציר בבואנו לפתור בעיות מילוליות במתמטיקה, בעיו

בין לשון למתמטיקה - חינוך לחשיבה אוריינית בפתרון בעיות מילוליות במתמטיקה ברוריה מרגולין, בת שבע אילני תקציר בבואנו לפתור בעיות מילוליות במתמטיקה, בעיות המלוות בטקסט, עלינו לגשר בין השפה המתמטית, המחייבת את ראיית הרכיבים המתמטיים, לבין השפה הטבעית, המחייבת התייחסות אוריינית לטקסט השלם. במאמר זה נציג דוגמאות לבעיות מילוליות במתמטיקה, שבהן הפתרון תלוי במעבר מהסיטואציה הלשונית לסיטואציה המתמטית, ונציע מודל הוראה-למידה בן תשעה שלבים, המקשר בין הסיטואציה הלשונית מצד אחד לבין המבנים המתמטיים המופשטים מהצד האחר. מודל ההוראה-למידה מציע תהליך אינטראקטיבי ורב-שלבי, המאפשר פענוח של הטקסט המתמטי והפקת משמעות ממנו באמצעות פענוח סמלים גרפיים, הבנת התוכן הגלוי, הבנת הסיטואציה הלשונית, מעבר למודל מתמטי והתאמה בין הסיטואציה הלשונית למודל המתמטי המתאים. אנו ממליצות להשתמש במודל הוראה זה הן לתלמידים בכיתות הגבוהות של בית הספר היסודי הן לתלמידים בחטיבת הביניים ובחטיבה העליונה. כמו כן השימוש במודל ההוראה- למידה מומלץ למורים ולסטודנטים בהכשרתם להוראה כדגם להוראה של פתרון בעיות מילוליות. עבודה הדרגתית על דרכי הפתרון של בעיות מילוליות בעזרת סכמות מובנות כבר מהלימוד של הבעיות המילוליות הפשוטות, תסייע לתלמיד להתמודד עם בעיות מורכבות יותר בעתיד. תארנים: אוריינות, בעיות מילוליות, הוראת מתמטיקה, שפה מתמטית. השפה הטבעית והשפה המתמטית אחת ממגבלות השפה הטבעית היא העובדה שהיא פועלת באופן דיאכרוני, דהיינו המשמעויות שהיא מציגה נפרשות על פני רצף הזמן. אלא שתפיסת העולם, ולמעשה משמעות העולם, תלויה בסינכרוניות של השדה, כלומר בהקשר וביחסי הגומלין עם הסביבה. כמו כן, השדה כשלם מעניק משמעות לרכיביו, ורכיבי השדה תורמים מצדם למשמעות השלם, דהיינו כדי לקרוא בעיה מילולית במתמטיקה ולהעניק לה משמעות יש לתפוס אותה כיחידת טקסט אחת, ולא רק כאוסף של נתונים. יחידת טקסט היא יחידה לשונית הגדולה מן המשפט. זו יחידה הדוקה מבחינה עניינית ולשונית 1979( Widdowson,,)Halliday & Hassan, 1976; Van Dijk, 1980; בעלת 114 דפים 45/ בין לשון למתמטיקה 114-139.indd 114 1/1/08 9:11:48 AM

גבולות ברורים )לנדאו, תשמ"ג; רבין, תשמ"ב(, המשמשת לצורכי תקשורת )שראל, 1991; Yule, 1983.)Brown & זיהוי הרכיבים בטקסט תלוי במודעות המטא-לשונית לתפקידה של הצורה, לתפקידה של המילה או לתפקידו של המשפט בטקסט, ובמיוחד במודעות לסמלים 1991) Herriman, בתוך: Price, 1999.)MacGregor & תפיסת מבנה הטקסט היא תהליך שבאמצעותו מזהים רכיבים טקסטואליים ומבצעים פעילויות לוגיות שונות )מרגולין, 2002(. השפה המתמטית היא שפה מיוחדת, השונה מן השפה הטבעית. זוהי שפה כה מושלמת ומיוחדת וכה מופשטת, עד שניתן לקוות כי כל היצורים האינטליגנטיים ביקום יכולים להבין אותה ]ואת[... הדקדוק של שפה זו - כלומר הדרכים הנכונות לשימוש בה - על ידי כללי ההיגיון. אוצר המילים שלה מורכב מסמלים, כמו: ספרות שבאמצעותן יוצרים מספרים, אותיות המבטאות מספרים לא ידועים )למשל בביטויים מתמטיים(, משוואות המתארות יחסי גומלין בין ביטויים, מספרים ועוד. כל הסמלים הללו מסייעים למדען לבטא בצורה קצרה את תהליכי החשיבה שלו. אשר להדיוטות, מכל מקום הם הופכים את המתמטיקה משפה אוניברסלית למחסום בלשני מוצק החוצץ בין "שתי תרבויות" של החברה המודרנית - בין המדעים לבין המקצועות ההומניסטיים. )ברגמיני והעורכים של לייף, 1970( מדובר בשפה של סמלים, של מושגים, של הגדרות ושל משפטים. זו שפה שצריכה להילמד, אשר אינה מתפתחת בטבעיות כמו שפת האם של הילד. בשפה המתמטית הילד לומד להכיר, למשל, את המספרים כאובייקטים אחד לאחד, על תכונותיהם הדומות והשונות. הילד תופס את המספרים כסמלים שבאמצעותם אפשר לחשב חישובים ולעשות מניפולציות שונות. התחביר )סינטקס( עוסק באופן כללי בכללי התצורה שלפיהם מורכבים משפטים ומילים. הסינטקס של השפה המתמטית כולל רשימת סימנים, כללי תצורה ליצירת תבניות השפה, אקסיומות, מערכת היסק ומשפטים. המונחים המתמטיים והסימונים המתמטיים חייבים להיות מוגדרים חד-משמעית. גם כל טענה בשפה המתמטית היא חד-משמעית - לכל תבנית מתמטית יש מבנה עומק אחד שנקבע על פי כללי הפעולות. לא נרחיב את הדיבור על הגדרות ועל משפטים במתמטיקה, אבל כל הגדרה של מושג מתמטי היא תוצאה של תהליך מורכב. בכל הגדרה נכללים מושגים נוספים שצריכים להיות מוגדרים. כל אחד מהמשפטים המתמטיים בכל אחד מענפי המתמטיקה מאופיין בכך שהוא נובע בצורה לוגית, דדוקטיבית ועקבית ממערכת של משפטים ראשוניים - אקסיומות )ראו סקירה של הנושא אצל תירוש, ברש, צמיר וקליין, 2000(. טענתנו המרכזית היא כי יש לגשר בין השפה המתמטית, המחייבת את ראיית הרכיבים המתמטיים, לבין השפה הטבעית המחייבת התייחסות אוריינית לטקסט השלם, שכן כאשר ברוריה מרגולין, בת שבע אילני 115 114-139.indd 115 1/1/08 9:11:48 AM

פערי המידע בשפה המתמטית גדולים, על השפה הטבעית למלא את החסר ולהיות ברורה ומפורשת, ואילו כאשר פערי המידע בשפה המתמטית קטנים, השפה הטבעית אינה חייבת למלא את החסר. ההבדלים בין השפה הטבעית לשפה המתמטית בפתרון בעיות מילוליות, כלומר בעיות מתמטיות שיש בהן המללה, התלמיד נתקל בשתי שפות שונות זו מזו המופיעות יחד בערבוביה )נשר, 1983; 1976, 1970 :)Kane, השפה הטבעית והשפה המתמטית. ההבדלים המהותיים בין שתי השפות נובעים בראש ובראשונה מן העובדה, שהשפה המתמטית מדויקת יותר וגמישה פחות מהשפה הטבעית. בשפה הטבעית יש הבדלים בין מבנה השטח לבין מבנה העומק של המבע, יש טענות דו-משמעיות הנובעות ממילים דו-משמעיות, ויש עושר לשוני רב. העושר הלשוני הרב נובע מריבוי סוגים שונים של חלקי דיבור, כגון: שמות עצם, פעלים, שמות תואר וכו'. לעומת זאת בשפה המתמטית לכל מבנה שטח יש מבנה עומק אחד, כל הטענות הן חד-משמעיות, ויש דלות לשונית בשל העובדה שיש שמות עצם מסוג אחד: מספרים, פונקציות וכו', ויש שני סימני יחס של שוויון ושל אי-שוויון )בלודי-וינר, 1998(. מושגים שונים מתפרשים בכל אחת מהשפות בדרך שונה. ניקח לדוגמה את המושג "קבוצה". המושג מתפרש בשפה הטבעית כמהות בת יותר משני איברים. במבדק שערכנו במשך שלוש שנים בקרב 258 סטודנטים מחוגים שונים במכללה להכשרת מורים במרכז הארץ באשר להגדרת המושג "קבוצה" מצאנו ש- 238 סוברים שקבוצה מכילה לפחות שני איברים, 18 סטודנטים חושבים שקבוצה מכילה שלושה איברים לפחות, ושני סטודנטים חושבים שקבוצה מכילה לפחות איבר אחד. לעומת זאת בשפה המתמטית הקבוצה יכולה להיות בת 0 איברים )קבוצה ריקה(, בעלת איבר אחד או בעלת n איברים )n טבעי(. מבנה השפה המתמטית מדויק יותר וגמיש פחות מאשר מבנה השפה הטבעית, ולכן נוצר מתח רב בשימוש בשפה הטבעית בבעיות מתמטיות. נבחן למשל את מושג ה"אלכסון". בשפה המתמטית האלכסון הוא קטע המחבר בין שני קודקודים שאינם סמוכים בתוך מצולע. האלכסון יכול לחבר נקודות גם מחוץ למצולע, ויכול להיות בזוויות שונות. לעומת זאת בשפה הטבעית אין חלים חוקי המתמטיקה על האלכסון, ולראיה מוצגת האמרה: "אלכסון הוא אסון". לפי האמרה, אסור לחצות את הכביש ב"אלכסון", כלומר בזווית שאינה בת 90 מעלות בין מעבר החצייה למדרכה. ה"אלכסון" באזהרה זו אינו אלכסון מתמטי, שכן אין הוא מחבר בין שני קודקודים בתוך מצולע. כמו האלכסון, גם הקו הישר בשפה המתמטית שונה מהישר בשפה הטבעית. בעוד בשפה הטבעית קו ישר הוא קטע בעל התחלה וסוף, בשפה המתמטית הוא מושג יסוד ללא הגדרה, שאין לו התחלה ואין לו סוף. 116 דפים 45/ בין לשון למתמטיקה 114-139.indd 116 1/1/08 9:11:49 AM

תרגום מהשפה הטבעית לשפה המתמטית בבעיות מילוליות במתמטיקה "בעיה מתמטית היא מצב שבו אדם או קבוצה של אנשים נקראים לבצע משימה שעבורה אין אלגוריתם מוכן ומידי המגדיר באופן שלם את שיטת הפתרון. פתרון בעיות מתמטיות מצריך ביצוע סדרה של פעולות שבאמצעותן מגיעים למטרה מסוימת" )1978.)Lester, בעיה מילולית במתמטיקה היא יחידת טקסט עצמאית, הכוללת משפט שאלה ומתארת אירוע לשוני )1977 Katriel,.)Nesher, ;1988 Nesher & לעתים יחידת הטקסט מתארת אירוע מחיי היום-יום. מטרת התיאור היא מתן ביטוי למבנה לוגי המכתיב פעולה חשבונית מסוימת )נשר, 1983(. הקושי בפתרון בעיות מילוליות במתמטיקה הוא הצורך לתרגם את האירוע המתואר בשפה הטבעית לפעילות החשבונית המנוסחת בשפה המתמטית. המעבר מהשפה הטבעית מחייב הבנה תחבירית, סמנטית ופרגמטית של השיח. הבעיות במתמטיקה נחלקות לשני סוגים מבחינת תוכן התייחסותן: האחד בעיות העוסקות ביחסים מתמטיים שבין גדלים אובייקטיביים, כגון: "מהו המספר הגדול פי 2 מהסכום של 25 ומספר הגדול ממנו ב- 17 "; האחר - בעיות מתמטיות מילוליות יישומיות בעלות ייחוס למציאות מסוימת, כגון: "3 פועלים חורשים שדה ב- 5 שעות. בכמה שעות יסיימו את החריש של אותו שדה 2 פועלים?" )שרף, 1982(. במאמר זה נתייחס אל כל בעיה מתמטית המלווה בטקסט כאל בעיה מילולית במתמטיקה. יש לציין, שבספרות המקצועית בעיה מתמטית נחשבת לבעיה מילולית רק אם זו יחידת טקסט המתארת אירוע מחיי היום-יום, ורוב המאמרים והמחקרים מתייחסים לבעיות שאינן מלוות בסיפור רקע אותנטי כאל בעיות מתמטיות, ולא כאל בעיות מילוליות. כך, בעיה כמו: "מצאו את משוואת הישר המקביל לישר 3x-7y=4 ועובר בנקודה )0,10(", אינה נחשבת בעיה מילוליות אלא בעיה מתמטית, כיוון שאינה מלווה בסיפור רקע אותנטי. דוגמה לכך יכולה לשמש התייחסותו של פויה בספרו כיצד פותרין? )1961( לבעיות מתמטיות המלוות בטקסט כאל בעיות, אולם בעת ובעונה אחת הוא טוען, שכדי שהבעיה תהיה מובנת, "צריך בראש ובראשונה שיהא הניסוח המילולי מובן" )שם, עמ' 13(. לדעתנו, יש להגדיר בעיות כגון אלה "בעיות מילוליות", משום שהן מכילות מלל שהפותר צריך להבין. ניסינו להחיל את מודל ההוראה-למידה המוצע במאמר הן על בעיה מתמטית המלווה בסיפור רקע אותנטי, הנחשבת בספרות המקצועית "בעיה מילולית", והן על בעיה מתמטית שאינה מלווה בסיפור רקע, ועל כן אינה מוגדרת בספרות המקצועית "בעיה מילולית". לטענתנו, בעיה מתמטית המהווה יחידת טקסט הדוקה מבחינה עניינית ולשונית, בעלת גבולות ברורים המשמשת לצורכי תקשורת, שמופיעות בה בערבוביה שתי השפות - הטבעית והמתמטית - היא בעיה מילולית, גם כאשר אינה מלווה בסיפור רקע )וראו להלן: המקרה של שירי(. ברוריה מרגולין, בת שבע אילני 117 114-139.indd 117 1/1/08 9:11:49 AM

הדוגמאות המוצגות להלן הן בעיות מילוליות במתמטיקה, שהפתרון להן תלוי בהמרת הסיטואציה הלשונית למודל המתמטי. דוגמאות אלה נבדלות זו מזו באספקטים רבים ושונים. במאמר נעסוק באספקטים קונטקסטואליים משלושה סוגים: אספקטים חוץ-לשוניים הקשורים להכרת העולם ולהכרת הנסיבות במציאות )למשל העובדה שיורד גשם(; אספקטים מטא-לשוניים, כלומר ידע על הלשון, כגון הכרת מבנים לשוניים וקונבנציות לשוניות )לבנת, 1999(; ואספקטים מתמטיים, כלומר הכרת מבנים מתמטיים. בעיית ההמבורגרים תרגום השפה הטבעית לשפה המתמטית בבעיות מילוליות במתמטיקה בעייתי בין היתר בשל ההבדל בין פתרון בעיות אותנטיות במציאות לבין פתרון בעיות מילוליות במתמטיקה. דוגמה לכך היא "בעיית ההמבורגרים" )1997 :)Gravermeijer, מרקו ביקש מאמו שחברו יצטרף אליהם לארוחת הערב. אמו הסכימה, אבל אמרה שיש לה רק 5 המבורגרים, וכרגע יש 6 אנשים לארוחה. איך הייתם מחלקים את 5 ההמבורגרים בין 6 אנשים? פתרונות אפשריים במקרה שהסיטואציה היא במציאות: מרקו יתחלק עם חברו בהמבורגר שלו. אביו ואמו של מרקו יתחלקו בהמבורגר אחד. מישהו ילך לקנות המבורגר נוסף. ההמבורגרים לא יתחלקו שווה בשווה בין כולם. חלק מהפתרונות האלה אינם פתרונות מתמטיים, אבל סביר שחלקם יינקטו כשניתקל בבעיה במציאות. תלמידים מצפים שהפתרון של הבעיה יהיה אריתמטי - 5 חלקי 6, כלומר שכל אחד מהאורחים יאכל אותו גודל של המבוגר, כלומר חמש שישיות המבורגר, מצב שלא יתרחש במציאות. בעיית החיילים והאוטובוסים דוגמה נוספת לכך שפתרון בעיות מילוליות במתמטיקה הוא תלוי סיטואציה היא זו: אוטובוס צבאי מכיל 36 חיילים. 1,128 חיילים היו צריכים אוטובוסים כדי להגיע לאימון. לכמה אוטובוסים הם נזקקו? התרגיל המתאים לבעיה: (12)31=1,128:36. התשובה לבעיה היא 32 אוטובוסים. 12 חיילים ייסעו באוטובוס ה- 32 )או שבכל אוטובוס ייסעו פחות מ- 36 חיילים(. במחקר שנעשה בקרב תלמידים בגיל 13, מתוך 71% של תלמידים שפתרו נכון את התרגיל )קיבלו 31 ושארית 12(, רק 23% ענו את התשובה הנכונה לבעיה - 32 אוטובוסים. 19% 118 דפים 45/ בין לשון למתמטיקה 114-139.indd 118 1/6/08 11:39:06 AM

ענו 31 אוטובוסים, ו- 29% השיבו 31 ושארית Deutsch,( 12 Silver, Shapiro, & 1993(. בניגוד לבעיה הקודמת, שבה היה ניסיון לחבר את התשובה אל הסיטואציה הממשית, בבעיה זו אין צורך כזה, כנראה בשל העובדה שהפתרון האריתמטי נמצא 1 בהישג יד. בעיית הכבשים והכלבים המעבר מהשפה הטבעית לשפה המתמטית נעשה אוטומטית אצל תלמידים גם בבעיה שאין לה פתרון מתמטי, מאחר שהנורמה הבית ספרית היא שאם ניתנת בעיה חייב להיות לה פתרון. לדוגמה: 5 כלבים שומרים על 125 כבשים. בן כמה השומר? )1989.)Baruk, התלמידים מנסים למצוא תרגיל מתאים, ולכן הם עושים ניסיונות לפתור את הבעיה בדרך של ניסוי וטעייה ולבדוק אפשרויות שונות לפתרון תוך שימוש במספרים הנתונים והתעלמות מהסיטואציה. הם מנסים פתרונות לפי פעולות החשבון מן הקל אל הכבד, כדלקמן: א. על ידי פעולת חיבור: 130=125+5 ב. כשנראה להם שהמספר גדול מדי מכדי לציין גיל של אדם, הם מנסים לפתור את הבעיה על ידי פעולת חיסור: 120=125-5 ג. כשנראה להם שגם המספר הזה גדול מדי, הם מנסים לפתור את הבעיה על ידי פעולת חילוק: 25=125:5, תוצאה זו נראית להם הגיונית. בעיית הסטודנטים והפרופסור דוגמה לבעיה מתמטית ולקושי בתרגומה מהשפה הטבעית היא "בעיית הסטודנטים והפרופסור" )1979 Clement,.)Kaput & בעיה זו, שחשפה את שגיאת ההיפוך בתרגום, נחקרה במחקרים שונים )למשל: Rosnick, 1981,)Clement, ;1982 והוסברה בדרכים שונות )בלודי-וינר, 1998(. כתבו משוואה בעזרת המשתנים s ו- p, שתייצג את הטענה הזאת: באוניברסיטה זו גדול מספר הסטודנטים פי 6 ממספר הפרופסורים. השתמשו ב- s לסימון מספר הסטודנטים וב- p לסימון מספר הפרופסורים. כשהוצגה הבעיה ל- 150 סטודנטים להנדסה משנה א' ול- 47 סטודנטים למדעי החברה, התברר ש- 37% מתלמידי ההנדסה ו- 57% מהתלמידים בחוג למדעי החברה שגו. שני שלישים מהשוגים כתבו משוואה הפוכה: 6s=p במקום.6p=S הבעיה הוצגה גם לפני 8 סטודנטיות משנה ד' המתמחות במתמטיקה לבית הספר היסודי במכללה להכשרת מורים 1. בעיה זו ניתנה בארצות שונות, למשל: נורווגיה, יפן, אירלנד, ובאוכלוסיות שונות, והתוצאות היו דומות.)Greer, 1997( ברוריה מרגולין, בת שבע אילני 119 114-139.indd 119 1/1/08 9:11:50 AM

בישראל. פרט לסטודנטית אחת שפתרה נכון, כל הסטודנטיות שגו וכתבו:.6s=p השגיאה נבעה מהעובדה שבשפה הטבעית סדר המילים הוא הקובע, כלומר הכמת 6 מופיע צמוד לשם העצם )הסטודנטים(, ולא נשקל השוויון שבמשוואה המתמטית. לפי השפה הטבעית: הסטודנטים היו מיוצגים על ידי s, הפעולה החשבונית הייתה מיוצגת על ידי פעולת הכפל, ולבסוף הפרופסורים היו מיוצגים על ידי p, ומכאן.6s=p בעיית המספר שהוקטן דוגמה נוספת לבעיה מתמטית הנובעת מהצורך לעבור מן השפה הטבעית לשפה המתמטית היא בעיית "המספר שהוקטן". כתבו משוואה בעזרת המשתנה X שתייצג את הטענה: במכללה זו רבע ממספר הסטודנטים שהוקטן ב- 5 הם הסטודנטים למתמטיקה. כשבעיה זו ניתנה לסטודנטים להוראת המתמטיקה במכללה להכשרת מורים, התקבלו שני ביטויים: )X-5)/4.1 X/4-5.2 שני הביטויים האלה הם ביטויים נכונים. ההבדל ביניהם נובע מן העובדה, שלמבנה השטח המיוצג בטענה יש שני מבני עומק, ולכל מבנה עומק יש ביטוי מתמטי שונה. בביטוי הראשון הרבע היה ממספר כל הסטודנטים במכללה שהוקטן ב- 5, ואילו בביטוי השני הרבע היה ממספר כל הסטודנטים במכללה, ורק לאחר מכן הייתה הקטנה ב- 5, כלומר שתי התשובות נכונות. בעיית הכתבנית דוגמה לאי הבנת המשמעות המילולית שגרמה לאי הבנת המשמעות המתמטית היא "בעיית הכתבנית" )פויה, 1961(: כדי למספר את כל העמודים בספר עב כרס הזדקקה הכתבנית ל- 2,989 הקשות במכונת הכתיבה. כמה עמודים בספר? במחקר שערך בן חיים )1976( הוא הציג בפני תלמידי כיתות ח'-י"ב מבית ספר מקיף טעון טיפוח את בעיית הכתבנית ומצא, כי אי הבנת מילה כלשהי בבעיה או הימצאותו של נתון סמוי גורמים לקושי בפתרונה. משום כך השתמש בן חיים במחקרו ברמזים כדי להסביר את המילים הבעייתיות ואת הנתונים הסמויים. לדוגמה, הוא מצא קושי בהבנת המילה "הקשות" )במכונת הכתיבה(, ולכן הסביר לילדים כי "הקשה במכונת כתיבה היא הדפסת ספרה" )שם, עמ' 1(. הרמזים שניתנו לתלמידים סייעו להם בהבנת הבעיה. 120 דפים 45/ בין לשון למתמטיקה 114-139.indd 120 1/6/08 11:39:35 AM

בעיית הצירופים "בעיית הצירופים" )וולף, 2005, עמ' 236-235(, שהוצגה לפני תלמידים בכיתה ד', היא דוגמה נוספת לאי הבנת המשמעות המילולית שגרמה לאי הבנת הבעיה המתמטית. במגרש חנייה יש 66 גלגלים, השייכים בחלקם למכוניות ובחלקם - לתלת-אופניים. אילו צירופים של מכוניות ושל תלת-אופניים אתם יכולים למצוא כך שיתקבלו 66 גלגלים? כיצד אתם יודעים שמצאתם את כל הצירופים האפשריים? בעיית הצירופים המתועדת במאמרה של וולף מתארת את חוסר היכולת של תלמידים להתמודד עם הבעיה בשל העובדה שלא הבינו את פירוש המילה "צירופים". תיאור המקרה של פתרון בעיה מתמטית זו התמקד בהבנת המילה "צירופים" ובהבנת המבנה הלוגי של הטקסט כולו. כדי להבין את הבעיה נזקק התלמיד ליותר מאשר שליטה בלשון. היה עליו ללמוד לבנות מהמידע בשאלה גוף ידע בעל משמעות, הכולל נתונים וסכמה לפתרון, דהיינו היה עליו לגשר בין השפה הטבעית לשפה המתמטית. לקראת גישור בין השפה הטבעית לשפה המתמטית כפי שראינו, פערי המידע בין השפה המתמטית לבין השפה הטבעית באים לידי ביטוי מובהק בפתרון בעיות מילוליות. פתרון הבעיות הוא מושג מקיף, הכולל תהליכים קוגניטיביים רבים, בין היתר עיבוד מילולי ותחבירי, שינויי ייצוג ועיבוד אלגוריתמי. ייצוג הוא תחום חשוב בפתרון בעיות וידוע מעט על הקשר בין תובנות פנימיות ובין הייצוגים שלהן. כדי לגשר בין השפה הטבעית לשפה המתמטית יש לחנך לאוריינות 2 לשונית-מתמטית הן ברמה של המוען והן ברמה של הנמען. מבחינת המוען עליו לדאוג לכך שכל האזכורים בטקסט ייוחסו לרפרנטים מתאימים, שהמבעים לא יהיו דו-משמעיים, ושכל המונחים הבעייתיים יובהרו מבחינה תוכנית. במילים אחרות, על המוען לגלות התחשבות בנמען באמצעות הפקת מידע זמין ומקובל. המוען צריך לזכור שמשמעו של הטקסט הוא תוצר של יחסי גומלין בין סכמת המוען וכוונותיו לבין סכמת הנמען והיסקיו. לכן עליו לקבוע קדם-הנחות מדויקות באשר לידע הנמען וליכולת הסקתו, להפיק טקסט מפורש ככל האפשר באמצעות מימוש לשוני לרעיונותיו ולנבא מסיחים ומכשולים העלולים לפגום בהבנה ולנקוט פעולות למניעתם )פולמן, 2000(. 2. למושג אוריינות הגדרות רבות. ריבוי ההגדרות נובע מהתרחבות המושג מעבר להקשר של שפה כתובה ושל שפה בכלל. אוריינות מציינת כיום גם התמצאות או שליטה בתחום כלשהו, ולכן יש המעדיפים להתייחס אליה בלשון רבים ולהבחין בין אוריינויות שונות: אוריינות לשונית, אוריינות מחשבים, אוריינות מתמטית וכו' )ווהל ושלו, 1998(. ברוריה מרגולין, בת שבע אילני 121 114-139.indd 121 1/6/08 11:40:07 AM

אשר לנמען, כדי להפיק את מלוא המשמעות של הטקסט עליו להשלים פערי מידע, שאינם נמצאים בטקסט. לשון אחר: הוא חייב לזהות את המידע שבטקסט בשלושה מעגלים של הקשר: הקשר סמוך ומילולי,)co-text( כלומר ההקשר הנוצר בתוך היחידות הלשוניות הסמוכות; הקשר נסיבתי-פרגמטי )context( הכולל מרכיבים שונים, כמו: זהות המוען והנמען, זמנה של הפעילות ומקומה, כוונת המוען והמדיום התקשורתי )ניר, 1989(; הקשר של עולם השיח discourse(,)universe of שהוא למעשה הק שר הנוצר בין הטקסט לבין העולם )שראל, 1991(, המסתמך על הידע הקודם שלנו בתחום המדובר. פערי המידע בפתרון בעיות קיימים בין יחידת הטקסט לבין המבנה המתמטי החבוי בה. היחידות הלשוניות בטקסט מתפקדות לא רק כסימנים שיש להם מסומנים בעולם החוץ- לשוני, אלא הן מתקשרות ליסודות אחרים בטקסט, כך שהמשמעויות שלהן עולות מאופן הארגון של האמצעים הלשוניים בטקסט. זאת ועוד, לא כל המידע ניתן במפורש בטקסט. יש מידע שאפשר לחשב/ להסיק/ למצוא בכלים מתמטיים על סמך המידע הנתון במפורש. כדי לגשר על הפערים בין השפה הטבעית לבין השפה המתמטית יש לפתח מודעות לפערים אלה באמצעות יחסי גומלין משמעותיים בין הלומד לבין הסביבה שלו בעזרת פעילויות אותנטיות. פעילויות אותנטיות הן פעילויות המציגות סיטואציות המתארות מציאות המתקשרת לעולמם של תלמידים ושל מורים בבית הספר ובקהילה )בן חיים, קרת ואילני, 2006(. שפה מתפתחת באמצעות יחסי גומלין בין הפרט לסביבתו בהקשר של פעילויות אותנטיות Gee,( 1996(, המאפשרות חינוך לאוריינות לשונית-מתמטית, שכן הפרשנות של השיח מבוססת על כמות גדולה של אנלוגיה למה שחווינו בעבר, דהיינו על הידע הסוציו-תרבותי שלנו Brown(.)& Yule, 1983 לפי גריר )1997,)Greer, המושגים: חיבור, חיסור, כפל וחילוק יוצרים מודלים עבור סיטואציות, ועל התלמיד להבחין בין המודל לבין הסיטואציה ולהעריך אם המודל מתאים לסיטואציה. יצירת המשמעות של הטקסט היא תהליך המתבצע בכל רובדי הטקסט: ברובד התחבירי, הסמנטי והפרגמטי, ברמות שונות של התמקדות. האינטראקציה בין סכמות הקורא לבין סכמות הטקסט מחייבת מאמץ קומוניקטיבי-קוגניטיבי. המאמץ הקומוניקטיבי מתבטא בזיהוי הסיטואציה המתוארת, והמאמץ הקוגניטיבי מתבטא בשחבור הבעיה תוך כדי שילוב המודל המתמטי. הגישור בין השפה הטבעית לשפה המתמטית מחייב לקשר בין "שתי הפנים" של הבעיה המילולית: הסיטואציה הלשונית מצד אחד והמבנים המופשטים מצד אחר )שם(. לפי הספרות המקצועית, הגישור יכול להתבצע בשתי דרכים שונות: בדרך של תרגום הסיטואציה הלשונית למושגים מתמטיים Polya( אצל Stebler, 1997 )Reusser & ובדרך של ארגון של יחידת התוכן המתמטי )1991.)Freudenthal, במאמר זה אנו מציעות לאחד בין שתי הדרכים בגישה תהליכית. 122 דפים 45/ בין לשון למתמטיקה 114-139.indd 122 1/1/08 9:11:51 AM

מודל ההוראה-למידה לפתרון בעיות מילוליות במתמטיקה מחקרים רבים העוסקים בנושאים מגוונים בלימוד המתמטיקה, כמו: מתמטיקה "מציאותית" mathematics(,real אצל: Lange, 1987,)De דילמות בהוראת מתמטיקה המבוססת על ייצוגים שונים של המושגים )1993,)Ball, פתרון שאלות מילוליות Kintsch,( Nathan, Young, 1992 &( ולימוד מושגים כגון "פונקציה" )1993,)Kaput, גורסים שאחת המטרות החשובות בתכנית הלימודים במתמטיקה היא פיתוח מיומנויות של יצירת מודלים של תופעה.)modeling( במאמר זה אנו מציעות מודל הוראה בן תשעה שלבים לפתרון בעיות מילוליות במתמטיקה )הסכמה תוצג בהמשך(. א. קריאת הבעיה השלב הראשון - איסוף הפרטים - יש לקרוא את הבעיה "מלמטה למעלה",)bottom-up( כשהמטרה היא חשיפת המשמעות בטקסט. תהליך הקריאה הוא תהליך מצטבר, מן היחידות הקטנות ביותר )המילים( ועד ליחידה הגדולה ביותר )הטקסט השלם(. ב. הבנת הסיטואציה הלשונית השלב השני - שלב ה"חימום" - קריאת הבעיה פעם נוספת תוך כדי גישוש רב-כיווני בדרך של "סיעור מוחות" storming(.)brain בשלב זה הקורא ישאל את עצמו שאלות אחדות: 1. האם כל המילים ברורות? 2. האם כל המשפטים ברורים? 3. מהן מילות המפתח? 4. האם מילות המפתח מובנות? 5. מהי השאלה? 6. האם השאלה מובנת? 7. כיצד אוכל לתאר במילים שלי את הבעיה? ג. הבנת הסיטואציה המתמטית אנו מגדירות "סיטואציה מתמטית" כהקשר המתמטי של הבעיה, המתייחס לשני סוגים של מידע: נתונים ושאלה. הנתונים הם כל הביטויים שאנו מניחים כי קיימים בבעיה. הם יכולים להופיע בצורה מפורשת או סמויה. הנתונים המפורשים הם אלה המוזכרים בטקסט, ואילו הנתונים הלא מפורשים הם האקסיומות, המשפטים ועובדות סמויות שאפשר להשתמש בהם לשם פתרון הבעיה. השאלה מכוונת לביטוי שרוצים למצוא. כדי להבין את הסיטואציה המתמטית קיים צורך לבחון את הנתונים ואת השאלה ולהבין היטב במה מדובר. אפשר להיעזר במקרה הצורך בפירוק, בהדגמה, בתרגול ובהמחשה. בשלב ברוריה מרגולין, בת שבע אילני 123 114-139.indd 123 1/1/08 9:11:51 AM

הראשון אפשר לפרק את הבעיה הנתונה לנתונים גלויים ולנתונים סמויים ולשאלה, ובשלב השני ניתן להדגים את הבעיה במקרים פרטיים ולפרש אותה באמצעות ציור, טבלה, תרשים או גרף, היכולים לעזור לפשט אותה. פותר הבעיה צריך לזהות את העובדות הידועות ואת התנאים הלוגיים-מתמטיים של הבעיה, כלומר את הקשרים ואת היחסים בין הנתונים המתמטיים של הבעיה ובין הניתוח הלוגי שלה, למשל: הקשרים בין האלמנטים הלקסיקליים שהם שמות העצם הקשורים לכמתים מספריים בפסוקים השונים של הטקסט, יחסי הזמן והמרחב שבין העצמים או האירועים המופיעים בטקסט והיחס הסמנטי בין האלמנטים הלקסיקליים שהם הפעלים המופיעים בפסוקים השונים של הטקסט )נשר, 1976; 1996 Nesher, Hershkovitz &.)Nesher & Katriel, 1977 בשלב זה הקורא ישאל את עצמו את השאלות: 1. מהו היחס שלי לנושא המתמטי של הבעיה? 2. האם יש קושי בבעיה? 3. האם כל הנתונים ברורים? 4. האם יש נתונים סמויים בבעיה? )למשל: בבעיה המתארת "שבוע עבודה", האם הכוונה ל- 7 ימי עבודה, ל- 6 ימים או ל- 5 ימים, כפי שמקובל כיום?( 5. האם יש נתונים מיותרים? )למשל: בבעיה המלווה בסיפור רקע, האם יש נתונים מיותרים על הגיבורים?( 6. האם אני מבין את הקשר בין הנתונים לשאלה? 7. האם אפשר להדגים את הבעיה במקרים פרטיים? ד. התאמת הסיטואציה המתמטית לסיטואציה הלשונית בשלב הזה יש לקרוא את הבעיה פעם נוספת "מלמעלה למטה".)top-down( הפעם פעולת הקריאה היא החלת סכמות מתמטיות על הטקסט, כשמיקום המשמעות הוא סכמות הידע של הקורא. תהליך הקריאה בשלב זה הוא תהליך המצטבר מן החיבור של סכמות הידע במתמטיקה לסכמות של הטקסט. סכמה היא סוג של ייצוג מנטלי, המאופיין ברשת יחסים פנימית יציבה, הנוצרת ברמה גבוהה של הפשטה או הכללה ומשמשת כתבנית )template( שמשתמשים בה כדי לפרש מאורעות ספציפיים 1992( Carpenter,.)Brown & Yule, 1983; Hiebert & הסכמה היא תבנית של פעולה )1980 )Piaget, המאפשרת לבעליה לפעול באותם מצבים באופן עקבי כמתוך הרגל, ועם זאת יש לה אופי דינמי המאפשר לה להתרחב למצבים חדשים )הגדרות שונות לסכמות של חוקרים שונים מופיעות אצל Neseher, Hershkovitz &.)1996, 2003 124 דפים 45/ בין לשון למתמטיקה 114-139.indd 124 1/1/08 9:11:52 AM

במצב של רכישת סכמה הלומד פוגש מקרים חדשים ומתמודד אתם לפי הסכמות הקודמות שלו, הקשורות לאותו העניין. הלומד מצפה להתרחשות או לתוצאה מסוימת. אם ההתרחשות תואמת את ציפיותיו, חלה הרחבה של הסכמה הקיימת אצלו, ואם לאו, חלה הפרה היכולה לגרום לשינוי הסכמה ולרכישת סכמה חדשה. בשלב זה נזקק הפותר לעיבוד האינפורמציה המילולית לצורך הפיכתה לתרגיל מתמטי או למשוואה אלגברית תוך התמקדות במבנה התחבירי ובמבנה הסמנטי של הבעיה. בעיית עיבוד האינפורמציה הדרושה לשם פתרון בעיה מילולית היא אחד הקשיים העיקריים בפתרון בעיות מילוליות במתמטיקה. עיבוד האינפורמציה המילולית לצורך הפיכתה לתרגיל מתמטי או למשוואה אלגברית נעשה באמצעות הבנת "הרמזים המילוליים", כלומר המילים המסייעות )רמזים עוזרים( או המטעות )רמזים מטעים( כרמזים לבחירת הפעולה החשבונית הדרושה לפתרון הבעיה, למשל: השימוש במילים "יותר", "פחות" )1982 Riley,.)Nesher, Greeno, & בשלב זה הפותר ישאל את עצמו ארבע שאלות: 1. האם שמות העצם בשאלה מופיעים בה שוב בתוך מחלקה מכלילה יותר? )למשל: נתונים "תפוחים" ואחר כך שואלים על "פירות", וחשוב שפותר הבעיה יבין שתפוח הוא פרי.( 2. האם האוגדים המופיעים בשאלה מתייחסים לגדלים מתמטיים שונים זה מזה? )למשל: אם מספר מסוים הוא 7 והמכפלה היא x, מהו המספר הכופל?( 3. האם יש "רמזים מילוליים" בבעיה, כלומר מילים מסוימות המסייעות כרמז לבחירת הפעולה החשבונית הדרושה לפתרון הבעיה? 4. האם אפשר להדגים את הבעיה באמצעות ציור, טבלה, תרשים או גרף? ה. העלאת רעיונות לפתרון לפתור בעיה פירושו למצוא סדר של צעדים, החל במצב הנתון )בבעיה( ועד למטרה המיוחלת, כך שכל צעד מתקבל מקודמו על ידי פעולה לוגית המותרת ב"עולם הבעיה הנתונה". התהליך המוביל לפתרון בעיות קשור בבחירה הולמת, כלומר בחיפוש אחר שיטה, רעיון, צעדים, דרך )ארבל, 1990(. לפני שניגשים לפתרון בעיה יש צורך לחקור אותה בדרכים שונות )1980.)Schoennfeld, כדי להפוך את החיפוש לשיטתי חייבים להכיר אסטרטגיות לפתרון בעיות, הן אסטרטגיות כלליות והן אסטרטגיות המיוחדות לסוגים שונים של בעיות. בדרך כלל תלמידים בכיתות הגבוהות של בית הספר היסודי, בחטיבת הביניים ובחטיבה העליונה מתמודדים עם בעיות הדומות לבעיות שפתרו בעבר. משום כך, לפי פויה )1961(, באה השאלה: האם אתה מכיר בעיה הדומה לזו שלפניך? לפי פויה )שם(, אין על פי רוב קושי להעלות בעיות שנפתרו כבר והן קרובות במידת מה לבעיה שהתלמיד מתמודד עמה. אשר לשימוש בתאוריה של פויה, אמנם לא הרחבנו בתיאור כמו שהוא הרחיב, ומשמעות תורתו ברוריה מרגולין, בת שבע אילני 125 114-139.indd 125 1/1/08 9:11:52 AM

רחבה הרבה יותר ממה שמוצע בשלב זה, אולם מניסיוננו ומחקר המקרה המובא במאמר ניתן לראות, שלצורך מעשי השאלות המופיעות לאורך שלביו השונים של המודל עשויות לעזור בפתרון הבעיה. בשלב הזה יתלבט הלומד בשאלות: 1. האם הבעיה ייחודית? 2. האם נתקלתי בבעיות דומות? 3. האם אפשר לבנות סכמה לפתרון הבעיה על סמך ניסיון העבר? ו. ניפוי הרעיונות לאחר העלאת הרעיונות השונים לפתרון הבעיה יש לבדוק כל אחד מהם, אם הוא אכן מסייע לפתור את הבעיה. יש לנפות רעיונות שאינם מסייעים ולהשאיר רעיונות רלוונטיים בלבד. פעמים רבות תלמידים מציעים רעיונות אחדים, והשימוש בשאלות בשלב זה ממקד אותם, כפי שעולה מחקר המקרה בסעיף היישום. בשלב הזה ישאל הלומד שתי שאלות: 1. האם הרעיון עוזר לי לפתור את השאלה? 2. כיצד הרעיון עוזר לי לפתור את השאלה? ז. בניית מודל מתמטי החוקרים העוסקים בתהליך של בניית מודל מתמטי לתופעה מסכימים שפירושו של התהליך הוא מתמטיזציה של תופעה )1997 )Yerushalmy, או, לגרסתו של אורמל )1991,)Ormell, תיאור מתמטי של התופעה כולה במקום בדיקת פרמטרים בודדים מתוך התופעה הזאת. בעקבות זאת אנו מגדירות בנייה של מודל מתמטי כבנייה של ייצוגים בשפה המתמטית, כמו תרגיל או משוואה. בשלב הזה יעלה הלומד את השאלות: 1. מה אעשה בשלב הראשון כדי לפתור את הבעיה? 2. האם אני יודע כיצד לפתור את הבעיה ולבנות מודל מתמטי מתאים? 3. באיזה מודל מתמטי אשתמש לפתרון הבעיה? באמצעות פעולה אינטראקטיבית של הפעילויות האלה: הגדרת הבעיה והבנת הסיטואציה שהיא מתארת, בניית מודל מתמטי של היסודות המתמטיים הרלוונטיים בבעיה, הבנת היחסים והתנאים הכרוכים בבעיה ושימוש במודל המתמטי, יבנה הלומד סכמה המציגה את מערכת הקשרים שבין הידע הקודם לבין הסכמות של הטקסט המתמטי. 126 דפים 45/ בין לשון למתמטיקה 114-139.indd 126 1/1/08 9:11:52 AM

ח. מציאת הפתרון לאחר שמצאנו את המודל המתמטי, יש להחיל אותו ולהגיע אל הפתרון המיוחל. חשוב לבדוק אם זהו הפתרון היחיד, שכן ייתכן שיש יותר מפתרון אחד, ויש למצוא את כל הפתרונות האפשריים לבעיה. בשלב הזה הלומד ישאל את עצמו שתי שאלות: 1. האם זהו הפתרון היחיד? 2. מהם כל הפתרונות האפשריים לבעיה? ט. בקרה יש לבדוק אם פתרון הבעיה אכן מתאים לבעיה עצמה, כלומר יש לחזור אל הבעיה המקורית, לקרוא אותה שוב ולבדוק: 1. האם הפתרון הגיוני? 2. האם הפתרון מתאים לסיטואציה הלשונית? 3. האם הפתרון מתאים לסיטואציה המתמטית? 4. האם המודל המתמטי שהשתמשתי בו מתאים לבעיה? שלב זה הוא חשוב ביותר, כי פעמים רבות נראה לנו שמצאנו את הפתרון, אך הפתרון אינו הגיוני )לדוגמה: קיבלנו 2.2 אנשים(, ואז צריך לחזור על כל התהליך. כדאי לבחון את הפתרון ולבדוק את כל המהלכים שהובילו אליו. חשוב לציין שבכל בעיה מילולית יש צורך לעבור על כל השלבים, אבל לומדים שונים צריכים להתמקד בשלבים שונים )מאחר שחלק מהשלבים נעשים כבר "אוטומטית"(. בזמן ההוראה יש לטפל כל פעם בשלב אחר, לאתר שלבים שבהם יש קושי ספציפי ללומדים שונים ולהתמקד בהם )דוגמאות יובאו בהמשך(. מתמטיקאים מתמקדים גם בשלב נוסף: שלב היעילות - הם בודקים אם הפתרון יעיל, ואם אפשר לפתור זאת בדרך אחרת, אולי קצרה יותר. להלן מוצג תרשים של מודל ההוראה-למידה המוצע לפתרון בעיות מילוליות במתמטיקה. ברוריה מרגולין, בת שבע אילני 127 114-139.indd 127 1/1/08 9:11:53 AM

תרשים: מודל ההוראה-למידה לפתרון בעיות מילוליות במתמטיקה קריאת הבעיה הבנת הסיטואציה הלשונית הבנת הסיטואציה המתמטית התאמת הסיטואציה המתמטית לסיטואציה הלשונית העלאת רעיונות לפתרון ניפוי הרעיונות בניית מודל מתמטי מציאת הפתרון בקרה בדיקה אם התשובה הגיונית ומתאימה לסיטואציה הלשונית והמתמטית 128 דפים 45/ בין לשון למתמטיקה 114-139.indd 128 1/1/08 9:11:53 AM

בחינת יישום מודל ההוראה-למידה - שני חקרי מקרה studies( )case בחינת המודל שהוצע לעיל נעשתה בשני מקרים: במקרה של סטודנטית להוראת מתמטיקה ממכללה להוראה במרכז הארץ, ובמקרה של תלמידה מכיתה ט' הלומדת מתמטיקה. ניסינו ליישם את המודל המוצע במאמר הן בבעיות מילוליות המלוות בסיפור רקע אותנטי והן בבעיות מתמטיות מילוליות שאינן מלוות בסיפור רקע. בחרנו גם בבעיות המילוליות מן הסוג השני בשל הצורך של התלמידה מכיתה ט' להתמודד דווקא עם בעיות מהסוג הזה. המקרה של יעל הסטודנטית יעל, הנמצאת בשנה הרביעית ללימודיה לקראת תואר B.Ed. בהתמחות במתמטיקה, התמודדה עם "בעיית הסטודנטים והפרופסור". היא שגתה בשגיאה האופיינית לפי הספרות, וענתה:.6s=p לאחר לימוד המודל פתרה הסטודנטית את הבעיה והגיעה לפתרון הנכון:.6p=s הסטודנטית תיעדה בכתב את עבודתה לפי מודל ההוראה-למידה בלשון זו: א. קריאת הבעיה - בשלב הראשון קראתי את הבעיה. ב. הבנת הסיטואציה הלשונית - קראתי את הבעיה שנית. שאלתי את עצמי אם הכול ברור לי )מילים ומשפטים(, אם השאלה מובנת לי, וכיצד אוכל לתאר את הבעיה במילים שלי. לאחר שהתברר לי שהבנתי את כל המילים בבעיה, סימנתי את מילות המפתח: "גדול פי" "הסטודנטים" ו"הפרופסורים". שאלתי את עצמי: מה רוצים ממני? מה זה ה- p ומה זה ה- s? והנה התיאור שלי לבעיה: מספר הסטודנטים גדול פי 6 ממספר הפרופסורים. ג. הבנת הסיטואציה המתמטית - בדקתי אם עליי לתאר את הבעיה במשוואה עם אותיות. לדעתי, זוהי אינה בעיה שעליי לקבל בה תוצאה ממשית, אלא עליי להציג במשוואה. בשלב הזה הבנתי שיש לי בעיה בסוג של בעיות. הנתונים לכאורה נראים ברורים, אך בעצם יש צורך לשים לב למושג "פי 6". חשוב לנתח ולהבין איזה נתון הוא פי 6 מהשני. ההבנה של היחס בין שני הנתונים חשובה לפתרון. ד. התאמת הסיטואציה המתמטית לסיטואציה הלשונית - חיפשתי רמזים מילוליים היכולים לעזור לי בפתרון הבעיה. במקרה שלנו המושג "גדול פי" מורה לנו על הכפלה בכמות וכן על הפעולה החשבונית אותה נצטרך לעשות. כאן התחלתי לצייר לי תבנית על מנת למקד את הנתונים: סטודנטים פרופסורים p s מספרם גדול פי 6 ה. העלאת רעיונות לפתרון - כדי לפתור את הבעיה עליי לבנות בשלב הזה סכמה. נתקלתי בעבר בבעיות דומות ועל פיהן אבנה את הסכמה. נתקלתי בבעיות שבהן היו מושגים של ברוריה מרגולין, בת שבע אילני 129 114-139.indd 129 1/1/08 9:11:53 AM

"קטן פי", "גדול פי", כדי להראות קשרים בין מספר מסוים למספר אחר. הרעיונות שלי לפתרון הם:.6p>s 6s>p 6s=p 6p=s ו. ניפוי הרעיונות - לפתרון הבעיה אני בודקת אם הרעיונות שהעליתי אמנם רלוונטיים לפתרון הבעיה, ואם הם עוזרים לי לפותרה. לדעתי, אי השוויון 6p>s אינו הגיוני, כי מספר הסטודנטים גדול פי 6 ממספר הפרופסורים. אי השוויון השני 6s>p הגיוני, אך אינו פותר את הבעיה, כי הכפלתי את מספר הסטודנטים פי 6, ואז הגדלתי אותו אפילו יותר, כי מנתוני השאלה אני יודעת כי,s>p כלומר לא הוספתי שום דבר שעוזר לי לפתור את הבעיה. מסיבה זו גם הורדתי את הפתרון.6s=p ז. בניית מודל מתמטי - כפי שציינתי בשלב הקודם באמצעות ניפוי הרעיונות, צריך להבין את הסיטואציה של מי כפול מי על מנת להציב נכונה את התרגיל ולראות אם הבנתי טוב את היחסים בין הנתונים. כאן השלב שבו אני מוצאת את המודל המתמטי בו אני משתמשת לצורך פתרון הבעיה:.6p=s ח. מציאת הפתרון - במקרה זה אין תוצאה מספרית, לכן הפתרון הוא 6p=s או בצורה אחרת אפשר לכתוב:.s:6=p ט. בקרה - בחרתי לקרוא שוב את הבעיה, ושוב שמתי לב לעובדה שמספר הסטודנטים גדול פי 6 ממספר הפרופסורים. נראה לי שהפתרון שלי הגיוני. יותר מזה, הצבתי מספרים ובדקתי את עצמי, מפני שאני יודעת שיש לי בעיה בבעיות כאלה ולפעמים אני עושה הפוך. המקרה של שירי המקרה השני שבאמצעותו בחנו את המודל היה המקרה של שירי, תלמידת כיתה ט' בחטיבת ביניים במרכז הארץ. שירי תלמידה טובה בדרך כלל, המתקשה במקצת במתמטיקה. באחת הבחינות במתמטיקה הופיעו הבעיות האלה: 1. מצאו את משוואת הישר המקביל לישר 3x-7y=4 ועובר בנקודה )0,10(. 2. מצאו את משוואת הישר ששיפועו 5- והוא חותך את ציר y בחלקו השלילי במרחק של שלוש יחידות מהראשית. 3. מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה )5,3-( ודרך נקודת ה- 0 של הישר.8x-2y=-16 שירי לא ידעה לפתור את הבעיות וטענה: אני לא מבינה את מה שכתוב, אז... או שאני עושה משהו או לא עושה בכלל. בבעיה א' הצבתי בישר שהיה לי וקיבלתי y=3x+10 וזו לא הייתה התשובה הנכונה ]הסבר: שירי לקחה את 3x מהמשוואה המקורית והוסיפה 10 כי הישר עובר דרך הנקודה )0,10([. את שאר הבעיות לא הבנתי בכלל, ולכן לא פתרתי אותן. 130 דפים 45/ בין לשון למתמטיקה 114-139.indd 130 1/1/08 9:11:54 AM

כדי ששירי תוכל לענות על הבעיות, הצענו לה להשתמש במודל ההוראה-למידה על כל שלביו. העבודה נעשתה על כל בעיה בנפרד. בעיה 1 מצאו את משוואת הישר המקביל לישר 3x-7y=4 ועובר בנקודה )0,10(. כדי ששירי תוכל לענות על הבעיה, הדרכנו אותה בשימוש במודל ההוראה-למידה על כל שלביו: א. קריאת הבעיה - בשלב הראשון התבקשה שירי לקרוא את הבעיה בקול רם. ב. הבנת הסיטואציה הלשונית - לאחר שהתברר ששירי מבינה את כל המילים בבעיה, ביקשנו ממנה לסמן את מילות המפתח, והיא סימנה אותן כדלקמן: "משוואת הישר", "המקביל" ו"העובר בנקודה". ג. הבנת הסיטואציה המתמטית - אף על פי ששירי הבינה את המילים כלשונן וסימנה את מילות המפתח, היא עדיין לא הבינה את ההקשר המתמטי. שירי נתבקשה לנסח מהי הבעיה לדעתה, ואמרה: "למצוא ישר חדש". שירי נשאלה אם הנתונים המופיעים בבעיה ברורים, ואם היא מבינה את הקשר בין הנתונים לבעיה. שירי לא הבינה את הקשר אף שהמסגרת המושגית הכללית לפתרון הבעיה הייתה ברורה לה: היא ידעה מהו קו ישר ומהו קו מקביל. ד. התאמת הסיטואציה המתמטית לסיטואציה הלשונית - בשלב הזה שירי הייתה צריכה לעבד את האינפורמציה המילולית לצורך הפיכתה לתרגיל מתמטי )משוואה(. שירי נשאלה שאלה מכלילה בנוגע לישרים: "מהי משוואת ישר?" היא אמרה וכתבה:,y=mx+n אבל טענה שבשאלה לא מופיעה משוואת ישר. שירי נשאלה מהו לדעתה "מקביל", והיא ענתה "ישר שיש לו אותו m )שיפוע(". בשלב זה נעשתה אינטגרציה בין הסכמות של שירי למשוואת ישר ובין הסכמות של הטקסט. שירי נתבקשה להביט במשוואה הכתובה בבעיה ולחשוב כיצד אפשר להפוך את המשוואה המופיעה בבעיה למשוואת הישר שכבר כתבה. תגובתה הייתה: צריך להפוך את המשוואה למשוואת הישר הנ"ל; אוי, במבחן טעיתי! במבחן לקחתי את המקדם של x, את 3, והתייחסתי אליו בתור השיפוע וזה לא היה נכון. אסור להתייחס למקדם של x בתור השיפוע כמו שעשיתי במבחן. ה. העלאת רעיונות לפתרון - שירי הציעה להעביר את 3x לאגף הימני וכתבה:.-7y=4-3x שירי לא ידעה מה לעשות ואמרה: "זו עדיין אינה משוואת הישר המוכרת, אני לא יודעת מה לעשות עם המינוס". אז נשאלה אם נתקלה בעבר בבעיות דומות. היא ענתה שאכן נתקלה בבעיות דומות. כשנשאלה: "האם על סמך ניסיון העבר את יכולה להפוך את המשוואה למשוואת ישר"? ענתה: "בעצם אני יכולה להעביר את 7y- לאגף השני, ואז לא תהיה לי הבעיה של המינוס". ברוריה מרגולין, בת שבע אילני 131 114-139.indd 131 1/1/08 9:11:54 AM

ו. ניפוי הרעיונות - שירי נשאלה: "איזה רעיון היית בוחרת לפתרון הבעיה?" היא הצביעה על המשוואה: 7y=3x-4 וטענה שזו מזכירה לה את המשוואה:,y=mx+n שכן אין מינוס לפני ה- y. ז. בניית מודל מתמטי - שירי נשאלה: "מה תעשי עכשיו כדי להביא את המשוואה לצורה של המשוואה "?y=mx+n שירי התבוננה שוב במשוואה ואמרה שלדעתה צריך "להיפטר" מה- 7. ח. מציאת הפתרון - בעקבות הבנתה של שירי בנוגע למשוואת הישר ולמשמעות ישר המקביל לישר נתון, פתרה שירי את הבעיה נכון. כשנשאלה אם הפתרון הזה הוא הפתרון היחיד, ענתה: "בגלל שזה ישר המקביל לישר נתון ועובר בנקודה מסוימת יש רק פתרון אחד בלבד". ט. בקרה - שירי נשאלה אם הפתרון הוא הגיוני ומתאים לתנאי הבעיה. היא ענתה: "נראה לי שכן". כשנשאלה איך תבדוק זאת, היא הציבה את הנקודה )0,10( במשוואת הישר, בדקה ואמרה: "התקבל פסוק אמתי והישר מקביל לישר המקורי, ולכן הפתרון שלי נכון". בעיה 2 מצאו את משוואת הישר ששיפועו 5- והוא חותך את ציר y בחלקו השלילי במרחק של שלוש יחידות מהראשית. שירי רשמה במבחן:.-3=-5x+n היא רשמה 3- "כי נמצא 3 יחידות מהציר וחותך בחלקו השלילי". גם הפעם כדי להקל על שירי לענות על הבעיה השתמשנו במודל ההוראה-למידה על כל שלביו: א. קריאת הבעיה - שירי התבקשה לקרוא את הבעיה בקול. ב. הבנת הסיטואציה הלשונית - לאחר שהתברר ששירי מבינה את כל המילים המופיעות בבעיה, ביקשנו ממנה לסמן את מילות המפתח, והיא סימנה: "ששיפועו", "חותך את ציר" ו"בחלקו השלילי". ג. הבנת הסיטואציה המתמטית - אף שהבינה את המילים המופיעות בבעיה וסימנה את מילות המפתח, שירי לא הבינה מהי הסיטואציה המתמטית. היא נתבקשה לנסח מהי לדעתה הבעיה, והסתבר שהיא לא הבינה מה המשמעות של "חותך את הציר". שירי התבקשה לסרטט ישר כלשהו על מערכת צירים. באמצעות הסרטוט נעשה ניסיון להבהיר את המשמעות של "חותך את הציר". לאחר שהבינה את המשמעות, התבקשה שירי לצייר ישר לפי נתוני הבעיה, והיא הצליחה במשימה. ד. התאמת הסיטואציה המתמטית לסיטואציה הלשונית - בשלב הזה שירי הייתה צריכה לעבד את האינפורמציה המילולית והגרפית לצורך הפיכתן לתרגיל מתמטי )משוואה(. שירי כתבה:,y=mx+n קראה שנית את הבעיה וכתבה:.y=-5x+n 132 דפים 45/ בין לשון למתמטיקה 114-139.indd 132 1/1/08 9:11:55 AM

ה. העלאת רעיונות לפתרון - שירי התלבטה: "האם להציב את הנקודה )3,0-( או אולי הפוך - להציב את )3-,0( במשוואה?" ו. ניפוי הרעיונות - שירי חשבה וניתחה בקול את משמעות הנקודות. היא חזרה לגרף שלה והחליטה מה להציב. ז. בניית מודל מתמטי - שירי הציבה את הנקודה )3,0-( במשוואה.y=-5x+n ח. מציאת הפתרון - שירי המשיכה ופתרה נכון את הבעיה. היא נשאלה אם זהו הפתרון היחיד וענתה: "בגלל שזה ישר ששיפועו נתון לי והוא עובר דרך הנקודה )3,0-(, יש רק פתרון אחד". ט. בקרה - שירי נשאלה אם הפתרון הוא הגיוני ומתאים לתנאי הבעיה, וענתה: "נראה לי שכן". כשנשאלה: "איך תבדקי זאת", היא קראה שוב את הבעיה והציבה את הנקודה )3,0-( במשוואת הישר. היא בדקה ואמרה: "התקבל פסוק אמתי ולישר יש שיפוע 5-, ולכן הפתרון שלי נכון". בעיה 3 מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה )5,3-( ודרך נקודת ה- 0 של הישר.8x-2y=-16 במשימה זו שירי פעלה לבד לפי שלבי המודל: א. קריאת הבעיה - היא קראה את הבעיה בקול. ב. הבנת הסיטואציה הלשונית - שירי סימנה את מילות המפתח: "העובר דרך הנקודה", ו"דרך נקודת ה- 0 ". ג. הבנת הסיטואציה המתמטית - שירי ציינה שהיא לא יודעת מהי נקודת ה- 0. ד. התאמת הסיטואציה המתמטית לסיטואציה הלשונית - בשלב הזה הובהרה המשמעות של "נקודת האפס". שירי קראה שוב את הבעיה ואמרה: "עכשיו אני מבינה את הבעיה". היא מצאה את נקודת האפס הנכונה )2,0-(. ה. העלאת רעיונות לפתרון - שירי תיארה בקול את התהליך שהיא חושבת לעשות: סידור המשוואה בצורה הכללית,y=mx+n הצבת הנקודה )5,3-( והנקודה )2,0-( במשוואה ומציאת m ו- n. ו. ניפוי הרעיונות - לא היה צורך בשלב הזה. ז. בניית מודל מתמטי - שירי בנתה את המודל המתמטי המתאים. ח. מציאת הפתרון - שירי פתרה את הבעיה נכון. כשנשאלה אם הפתרון הזה הוא הפתרון היחיד, ענתה: "יש רק ישר אחד העובר דרך שתי נקודות נתונות, ולכן יש פתרון אחד בלבד". ט. בקרה - שירי בדקה אם הפתרון שלה נכון; היא הציבה את הנקודות )2,0-( ו-) 5,3 -( במשוואת הישר שקיבלה. היא בדקה ואמרה: "התקבלו שני פסוקים נכונים, ולכן הפתרון שלי נכון". ברוריה מרגולין, בת שבע אילני 133 114-139.indd 133 1/1/08 9:11:55 AM

סיכום כדי לחנך לאוריינות לשונית-מתמטית, כלומר כדי לאפשר לנמען להיות בעל יכולת לפענח טקסט שיש בו מרכיבים מתמטיים ולהסיק ממנו מסקנות הגיוניות, יש להעניק תשומת לב לא רק לתהליכים האינטואיטיביים אלא גם לתהליכים הקוגניטיביים והמטא-קוגניטיביים. אלה ניתנים לשיפור באמצעות תרגול וארגון מחדש )למשל: Hoffman, Feuerstein, Sternberg, 1985 )Rand, Jensen, Tzuriel, & Hoffman, 1986; ובאמצעות פיתוח אסטרטגיות של חשיבה כללית )למשל:,)Polya, 1954 ביניהן אסטרטגיות המארגנות תהליכים ומיומנויות המבטיחות את ביצוען השוטף. פיתוח אסטרטגיות חשיבה יאפשר "לרסן" את התהליך האינטואיטיבי 3 שבו מתמקד המאמץ במציאת פתרונות "אוטומטיים", וידריך לחשוב על פתרונות אפשריים של הבעיה. נטייה זו לחשוב על פתרונות "אוטומטיים" הופכת פעמים רבות למלכודת. הפתרונות העולים על הדעת מידית משקפים הנחות סמויות המביאות להבנה לא נכונה של הבעיה ועקב כך לטעויות, ומוציאים מכלל אפשרות פתרונות אחרים, טובים יותר )1986.)Perkins, במאמר זה ניסינו להראות כיצד ניתן לגשר על הפערים בין השפה הטבעית לבין השפה המתמטית בפתרון בעיות במתמטיקה באמצעות מודל הוראה, שבעזרתו הנמען מעבד את הטקסט עיבוד קוגניטיבי. תהליך עיבוד הטקסט המילולי של הבעיה המתמטית הוא רב- שלבי, ומחייב ביצוע פעולות קוגניטיביות: פענוח סמלים גרפיים, הבנת התוכן הגלוי, הבנת הסיטואציה הלשונית, מציאת מודל מתמטי והתאמה בין הסיטואציה הלשונית למודל המתמטי המתאים. מודל ההוראה-למידה המוצע במאמר הוא תהליך מטא-קוגניטיבי התורם להמשגה של הלמידה )1990 Clements,.)Nastasi & ידיעת התהליכים המטא-קוגניטיביים מסייעת לפותר הבעיה ומשפרת את יכולתו בהשגת המטרה )קאפח, 2002(. אנו ממליצות למורים "לרתום" את השפה המתמטית לשפה הטבעית: להימנע מבעיות שאינן מתאימות למציאות, להימנע ממבעים דו-משמעיים, להסביר לתלמיד את ההבדלים בין השפה הטבעית למתמטית ואת אפשרות השילוב ביניהן. כמו כן אנו ממליצות למורים להשתמש שימוש מושכל במודל המוצע לעיל, כלומר להתאים את המודל ואת שלביו השונים הן לאוכלוסיות השונות של הלומדים והן למהות הבעיות ולמורכבותן. 3. פישביין )1987 )Fischbein, המתאר בספרו שלושה סוגים של אינטואיציות, מתייחס אל אינטואיציות שניוניות כאל אינטואיציות המתהוות בעקבות תהליך הוראה שיטתי. אלו אמיתות הנלמדות ונרכשות על בסיס שיקולים מחשבתיים בהסתמך על נתונים מסוימים, ולאחר שמשתמשים בהן זמן רב הן נעשות מובנות מאליהן. כלומר האימון והתרגול יכולים לשפר את האינטואיציות המקדימות והאמונתיות ולהפוך אותן לאינטואיציות שניוניות. פיתוח יכולת של פתרון בעיות מילוליות במתמטיקה מחייב אפוא אימון ותרגול רב. 134 דפים 45/ בין לשון למתמטיקה 114-139.indd 134 1/1/08 9:11:55 AM

מודל ההוראה-למידה שאנו מציעות מתאים הן לתלמידים בכיתות הגבוהות של בית הספר היסודי, הן לתלמידים בחטיבת הביניים ובחטיבה העליונה והן לסטודנטים להוראה. בבית הספר היסודי רוב הבעיות המזומנות לתלמידים ניתנות לפתרון נומרי בעל משמעות במציאות, ולכן חשוב להבין את הסיטואציה המתוארת בהן. בהמשך לימודיהם בחטיבת הביניים ובחטיבה העליונה יתמודדו התלמידים עם בעיות שאינן ניתנות לפתרון נומרי דווקא, וחייבים להשתמש באלגברה כדי לפתור אותן. עבודה הדרגתית על דרכי פתרון של בעיות מילוליות בעזרת סכמות מובנות כבר מהלימוד של הבעיות המילוליות הפשוטות, תאפשר לתלמיד להתמודד גם עם בעיות מורכבות יותר. נוסף על כך, התאמת המודל לתלמידים השונים תאפשר למורים לעזור לכל תלמיד לפי צרכיו ולאתר את מוקדי הקושי של כל אחד ואחת. השימוש המושכל במודל ההוראה-למידה המוצע יעזור גם להכשרתם של סטודנטים להוראה הן בתהליך ההכשרה שלהם והן בהתנסותם בהוראה. הכרת המודל תאפשר למורה המתחיל להבין שהמודעות המטא-לשונית, המודעות התחבירית והסמנטית והמודעות לסכמות המתמטיות הכרחיות לפתרון בעיות במתמטיקה. נוסף על כך, דרך ניסוח הבעיות והתאמתן למציאות יכולות להשפיע במידה ניכרת על יכולת התלמידים לפתור אותן. ביבליוגרפיה ארבל, ב' )1990(. אסטרטגיות לפתרון בעיות. תל-אביב: אוניברסיטת תל-אביב והאוניברסיטה הפתוחה. בלודי-וינר, ח' )1998(. בעיות בהבנת השפה האלגברית אצל תלמידי מכינה אוניברסיטאית. חיבור לשם קבלת תואר "דוקטור לפילוסופיה", האוניברסיטה העברית בירושלים. בן חיים, ד' )1976(. רמזים בפתרון בעיה מילולית. שבבים - עלון למורי מתמטיקה, 13,.10-1 בן חיים, ד', קרת, י' ואילני, ב' )2006(. יחס ופרופורציה - מחקר והוראה בהכשרת מורים למתמטיקה. חיפה ותל-אביב: אח ומכון מופ"ת. ברגמיני והעורכים של לייף )1970(. מתמטיקה. הספרייה המדעית.life טיים לייף )אינטרנציונל הולנד(. ווהל, א' ושלו, ח' )1998(. קריאה - תיאוריה ומעשה. תל-אביב: האוניברסיטה הפתוחה. וולף, נ' )2005(. ללמוד ללמד מתמטיקה לשם הבנה בעזרת מנטורים. בתוך: ר' לידור, ב' פרסקו, מ' בן-פרץ ומ' זילברשטיין )עורכים(, צמתים במחקר חינוכי: שיקולי דעת של חוקרים )פרק 8, עמ' 248-223(. תל-אביב: מכון מופ"ת. ברוריה מרגולין, בת שבע אילני 135 114-139.indd 135 1/1/08 9:11:56 AM

לבנת, ז' )1999(. תפקידם של אמצעים לשוניים אחדים בעיצוב מבעים אירוניים בשיח העיתונאי. מהלכים, תשנ"ט, 182-173. לנדאו, ר' )תשמ"ג(. בין חקר השיח לחקר הסגנון. בלשנות עברית חפ"שית, 77-61. 20, מרגולין, ב' )2002(. על דפוסי לכידות בין-תרבותיים. סקריפט, 99-81. 6-5, ניר, ר' )1989(. סמנטיקה עברית - משמעות ותקשורת, יחידה 8. תל-אביב: האוניברסיטה הפתוחה. נשר, פ' )1976(. שלושה מרכיבי קושי של שאלות מילוליות במתמטיקה. עיונים בחינוך - כתב עת לעיון ולמחקר בחינוך, 143-131. 10, נשר, פ' )1983(. תהליכים קוגניטיביים הקשורים בפתרון בעיות מילוליות. בתוך: בין חינוך לפסיכולוגיה - קובץ מוקדש לזכרו של אברהם מינקוביץ ז"ל )עמ' 427-407(. ירושלים: מאגנס. פויה, ג' )1961(. כיצד פותרין? תל-אביב: אוצר המורה. פולמן, ש' )2000(. הפקת משמעות מטקסט: היבטים הכרתיים-תקשורתיים של ניתוח השיח. תל-אביב: אוניברסיטת תל-אביב. קאפח, א' )2002(. השפעת הנחיה ממוחשבת על תפקוד מטה-קוגניטיבי בתהליך פתרון בעיה מילולית במתמטיקה. מגמות, מב) 1 (, 121-103. רבין, ח' )תשמ"ב(. מבוא - חקר השיח. בתוך: ש' בלום-קולקה, י' טובין ור' ניר )עורכים(, עיונים בחקר השיח )עמ' 15-1(. ירושלים: אקדמון. שראל, צ' )1991(. מבוא לניתוח השיח. תל-אביב: אור-עם. שרף, ש' )1982(. פתרון בעיות מילוליות במתמטיקה על-ידי שיתוף הפותר ביצירתן. עיונים בחינוך - כתב עת לעיון ולמחקר בחינוך, 84-65. 33, תירוש, ד', ברש, א', צמיר, פ' וקליין, ר' )2000(. היבטים פסיכולוגיים בהוראת המתמטיקה. תל-אביב: מכון מופ"ת. Ball, D. L. (1993). With an eye on the mathematical horizon: Dilemmas of teaching elementary school mathematics. The Elementary School Journal, 93(4), 373-397. Baruk, S. (1989). Wie alt ist kapitan? (How old is the capitan - about the error in mathematics.) Basel: Birkhauser. Brown, G., & Yule, G. (1983). Discourse analysis. Cambridge University Press. Clement, J. (1982). Algebra word problem solution: Thought processes underlying a common misconception. Journal for Research in Mathematics Education, 13(1), 16-30. 136 דפים 45/ בין לשון למתמטיקה 114-139.indd 136 1/1/08 9:11:56 AM

De Lange, J. (1987). Mathematics insight and meaning. Utrect, Holland: Rijksuniversiteit. Feuerstein, R., Hoffman, M. B., Rand, Y., Jensen, M. R., Tzuriel, D., & Hoffman, D. B. (1986). Learning to learn: Mediated learning experiences and instructional enrichment. Special Services in the Schools, 3(1-2), 49-82. Fischbein, E. (1987). Intuition in science and mathematics: An educational approach. Dordrecht, Holland: Reidel Publication. Freudenthal, H. (1991). Revising mathematics education. Dordrecht: Kluwer. Gee, J. P. (1996). Social linguistics and literacy, ideology in discourse. Bristol, PA: Taylor & Francis. Gravermeijer, K. (1997). Commentary on solving word problems: A case study of modeling? Learning and Instruction, 7(4), 389-397. Greer, B. (1997). Modeling reality in the mathematics classroom: The case of word problems. Learning and Instruction, 7, 293-307. Halliday, M. A. K., & Hassan, R. (1976). Cohesion in English. London: Longman. Hershkovitz, S., & Nesher, P. (1996). The role of schemes in designing computerized environments. Educational Studies in Mathematics, 30, 339-366. Hershkovitz, S., & Nesher, P. (2003). The role of schemes in solving word problems. The Mathematics Educator, 7(2), 1-24. Hiebert, J., & Carpenter, T. P. (1992). Learning and teaching with understanding. In: D. A. Grouns (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (Chapter 4, pp. 65-92) New York: Macmillan. Kane, R. B. (1970). The readability of mathematics textbooks revisited. The Mathematics Teacher, 63, 579-581. Kaput, J. J. (1993). The urgent need for proleptic research in representation of quantitative relationships. In: T. A. Romberg, E. Fennema & T. R. Carpenter (Eds.), Integrating research on graphical representation of functions (pp. 279-311). London: Lawrence Earlbaum Associates Kaput, J. J., & Clement, J. (1979). Letter to the editor of JCMB. Journal of Children's Mathematical Behavior, 2, 208. ברוריה מרגולין, בת שבע אילני 137 114-139.indd 137 1/1/08 9:11:57 AM

Lester, F. K. (1978). Mathematical problem solving in the elementary school: Some educational and psychological considerations. In: L. L. Hatfield & D. A. Bradbard (Eds.), Mathematical problem solving: Papers from a research workshop (ERIC/SMET). Ohio: Columbus. MacGregor, M., & Price, E. (1999). An exploration of aspects of language proficiency and algebra learning. Journal for Research in Mathematics Education, 30(4), 449-467. Nastasi, B. K., & Clements, D. H. (1990). Metacomponential functioning in young children. Intelligence, 14, 109-125. Nathan, M. J., Kintsch, W., & Young, E. (1992). A theory of algebra-wordproblem comprehension and its implications for the design of computer learning environments. Cognition and Instruction, 9(4), 329-389. Nesher, P. (1988). Multiplicative school word problems: Theoretical approaches and empirical findings. In: J. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the middle grades (pp. 19-41). NJ: Lawrence Erlbaum Association. Nesher, P., Greeno, J. G., & Riley, M. S. (1982). The development of semantic categories for addition and subtraction. Educational Studies in Mathematics, 13, 373-394. Nesher, P., & Katriel, T. (1977). A semantic analysis of addition and subtraction word problem in arithmetic. Educational Studies in Mathematics, 8, 251-269. Ormell, C. (1991). How ordinary meaning underpins the meaning of mathematics. Learning of Mathematics, 11(3), 25-30. Perkins, D. (1986). Thinking Frames. Educational Leadership, 43(8), 4-10. Piaget, J. (1980). Experiments in contradiction. Chicago and London: University of Chicago Press. Polya, G. (1954). How to solve it? Princeton University Press. Reusser, K., & Stebler, R. (1997). Every word problem has a solution - The social rationallity of mathematical modeling in school. Learning and Instruction, 7, 309-327. Rosnick, P. (1981). Some misconceptions concerning the concept of variable. Are you careful about defining your variables? Mathematics Teacher, 74(6), 418-420, 450. 138 דפים 45/ בין לשון למתמטיקה 114-139.indd 138 1/1/08 9:11:57 AM

Schoennfeld, A. H. (1980). Teaching problem-solving skills. American Mathematical Monthly, 87, 794-805. Silver, E. A., Shapiro, L. J., & Deutsch, A. (1993). Sense making and the solution of division problems involving remainders: An examination of middle school student's solution processes and their interpretation of solution. Journal for Research in Mathematics Education, 24, 117-135. Sternberg, R. J. (1985). Beyond IQ. New York: Cambridge University Press. Van Dijk, T. A. (1980). Macrostructures: An interdisciplinary study of global structures in discourse. New-Jersy: Erlbaum. Widdowson, H. G. (1979). Explorations in applied linguistics. Oxford: Oxford University Press. Yerushalmy, M. (1997). Mathematizing qualitative verbal descriptions of situations: A language to support modeling. Cognition and Instruction, 15, 207-264. ברוריה מרגולין, בת שבע אילני 139 114-139.indd 139 1/1/08 9:11:57 AM