דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך( כלל השרשרת S ( z) z + על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק מקביל : f ( ) + הפונקציה מוגדרת וגזירה ברציפות בכל M( ) שאלה נתון פרבולואיד אליפטי P ( z) + 6 + z + 8 למישור הפרבולואיד הוא גרף של פונקציה של המישור ואז ) ( f ( ) 6 f מכאן הפונקציה דיפרנציאבילית בכל נקודה בכל נקודה על הגרף )הפרבולואיד( קיים מישור משיק ומשוואתו: z f ( ) + f ( )( ) + f ( )( ) ( ) ) n f ( ) f ( ) ( 6 נמצא וקטור הנורמל P n ( 6) וקטור נורמל למישור המשיק הוא של המישור הנתון מתוך משוואתו: הנורמל מקבילים אחד לשני: מישור משיק מקביל למישור אם ורק אם וקטורי n n 6 6 ( 6 ) ( 6) ( f ( )) ( 4) מכאן מקבלים: נקודה השקה: שאלה נתונה פונקציה + a sin ( ) () f ( ) + b ( ) () מצאו עבור אילו ערכים של פרמטרים הפונקציה דיפרנציאבילית בראשית b מצאו קודם עבור אילו ערכים של הפרמטרים הפונקציה רציפה בראשית ז"א מתקיים lim f ( ) f () ( ) () a ()f נחשב את הגבול ערך הפונקציה: b lim f ( ) lim lim + a + + + + a sin sin ( ) () ( ) () ( ) () lim lim + + ( ) () ( ) () הגבול הראשון:
( ) () ( ) () lim ( ) () sin lim a a lim sin + + כי + הגבול השני: מכאן ( ) () lim sin + 5 + ( ) () lim f ( ) + כי f() f() b אם ורק אם f() הגבול שווה לערך הפונקציה b נמצא עבור אילו ערכים של פרמטר a קיימות הנגזרות החלקיות נמצא אותן לפי הגדרה: ( ) a sin( ) b + f ( ) f () ( ) + () ( ) f ( ) lim lim lim ( ) b () + a( ) sin() f ( ) f () () + ( ) f ( ) lim lim lim הנגזרות קיימות לכל ערך של פרמטר נמצא עבור אילו ערכים של פרמטר מתקיים: a f ( + + ) f () f () f () lim ( ) + ( ) נפתח את הגבול: f ( ) f () f () f () lim ( ) () ( ) + ( ) ( ) () ( ) + a( ) sin( ) ( ) + ( ) lim ( ) () ( ) + ( ) lim ( ) () ( ) ( ) + a( ) sin( ) (( ) + ( ) ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) a( ) sin( ) ( ) lim? ( ) () (( ) ( ) ) ( ) ( ) + + a : נחשב את הגבול לאורך המסלולים ישרים: k
a( k) sin( ) ( k) lim ( ) lim ( ) (( ) + ( k) ) ( ) + ( k) ( ) () + k lim + lim ( ) ( ) () sin( ) ( ) ak k sin( ) k ( a ) ( ) ( k ) k + + ( + k ) + k k לכן אם a אם אז הגבולות לאורך המסלולים תלויים בפרמטר כל הגבולות לאורך המסלולים הישרים שווים ל- והגבול לכן הגבול לא קיים יכול להיות שווה ( ) () lim ( ) ( ) () a : ל- נתבונן בגבול כאשר a ו- ( ) sin( ) ( ) lim ( ) lim (( ) ( ) ) ( ) ( ) + + ( ) () ( ) () ( ) sin( ) lim ( ) () (( ) + ( ) ) ( ) + ( ) sin( ) lim ; ( ) ; ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) (( ) + ( ) ) אם a ו- אזי ( ) sin() ( ) lim ( ) lim lim ( + ( ) ) + ( ) ( ) ( ) ( ) () a b כי התשובה הסופית: הפונקציה היא דיפרנציאבילית בראשית אם ורק אם שאלה נתונה פונקציה ) f ( ) arctan( ) + ln( + פונקציה מוגדרת באופן הבא: () () גזירות בכל הישר ומתקיים ( t) ( t) כאשר פונקציות u( t) f ( ( t) ( t)) u() מצאו () () 6 ut () Df ובכל הנקודות תחום ההגדרה הפונקציה הפונקציה מוגדרת בחצי המישור הפתוח: } {( ) גזירה ברציפות: f ( ) + + ( ) + דיפרנציאבילית בכל נקודה של תחום ההגדרה f ( ) f ( ) + ln( + ) + ( ) f ( ) נמצאת בתחום ההגדרה לכן דיפרנציאבילית בנקודה זאת D f לכן פונקציה פונקציות של הנ"ח רציפות ב- נקודה () M M ( () ()) בנוסף פונקציות t) ( t) ( גזירות בנקודה t לכן לפי כלל השרשרת מקבלים: u() f ( () ()) () + f ( () ()) () ( f ( () ()) f ( () ())) ( () ()) f () ( 6) f ( () ()) f ( r ())) r()
f () + 5 + ( ) + t מוגדרת באופן הבא f נחשב את וקטור הגרדיאנט: () + ln( + ) 5 + ( ) f () ( f () f ()) (5 5) u () (5 5) ( 6) + ut () פונקציה ( ) ( ) u t f t t נמצא את הנגזרת: f ( ) שאלה 4 פונקציה הוכיחו את הטענה: אם נקודה פונקציה ) z f ( בנקודה גזירה ברציפות בכל המישור היא נקודת מקסימום מקומי של פונקציה() ( f ( )) אזי מישור משיק לגרף r t t t גזירה ut ( ) ( ) מקביל לציר ה- t לפי התנאי המספיק פונקציה דיפרנציאבילית בכל המישור; פונקציה לכל t מכאן לכל t ניתן ליישם את כלל השרשרת f ( ) u t f t t t f t t t f t t ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) r() t ut () מפני שנקודה ואז מקבלים: t היא בנקודה מקסימום מקומי של הנגזרת של הפונקציה בנקודה שווה ל- u() f ( ) + f ( ) f ( ) משוואת מישור המשיק לגרף פונקציה ) z f ( בנקודה )) ( f ( היא z f ( ) + f ( ) + f ( )( + ) f ( ) + f ( ) n ( f ( ) f ( ) ) ( f ( ) ) וקטור הנורמל של המישור s () וקטור הכיוון של ציר ה- הוא הווקטורים ניצבים: s n לכן המישור מקביל לציר ה- f ( ) g( z) f ( u v) שאלה 5 תהי נתונה פונקציה גזירה ברציפות בכל המישור מוגדרת באופן הבא: ( ) ) ( ) ( f f ( ) f ( ) פונקציה u v z g( z) f z ; ( ) א( הוכיחו כי פונקציה (z )g דיפרנציאבילית בנקודה 4
: z ( ) ב( מצאו את הקרוב הליניארי של (z )g א( לפי הנתון פונקציה סביב לנקודה דיפרנציאבילית בכל המישור פונקציה וקטורית f ( u v) גזירה לפי כל המשתנים כאשר r ( z) ( u( z) v( z)) z r ( z) ( u ( z) v ( z)) r z ( z) ( uz ( z) vz ( z)) z r ( z) ( u ( z) v ( z)) z z לכן בכל נקודה z) ( כאשר ניתן להיעזר בכלל השרשרת: g ( z) f ( r ( z)) r ( z) f u + f v f u z z z g ( z) f ( r ( z)) r ( z) f u + f v z z z z לכן פונקציה gz( z) f ( r ( z)) r z( z) f u + f v z z z ) ( ) מכאן הפונקציה רציפות כאשר g ( z) g ( z) gz לפי הנתון פונקציות z) ( מורכבת (z )g גזירה ברציפות בכל הנקודות האלה )וגם בנקודה דיפרנציאבילית בנקודה ב( פונקציה (z )g דיפרנציאבילית בנקודה ( ) לכן יש לה קרוב ליניארי בסביבת הנקודה: g( z) l( z) g( ) + g( )( ) + g ( )( ) + g( )( z + ) z נמצא את ערכים של הפונקציה ושל הנגזרות החלקיות שלה: g( ) f f ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) u g ( ) f u ( ) g ( ) f u ( ) + f v ( ) 6 + 4 gz( ) f v( ) g( z) l( z) + ( ) 4( ) + ( z + ) v התשובה הסופית: 5
z g ( ) ( ) gt () שאלה 6 תהי נתונה פונקציה המשוואה: גזירה בכל הישר הוכיחו כי פונקציה פותרת את z z + z gt () שימו לב כי פונקציה היא של משתנה אחד והיא גזירה בכל הישר לכן היא דיפרנציאבילית בכל הישר ( )t גזירה לפי שני המשתנים בכל המישור ואז למציאת הנגזרות החלקיות של פונקציה פנימית פונקציה ) f ( ) g( ניתן להיעזר בכלל השרשרת: f g g ( ) ( ) ( ) ( ) z f g g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) לפי כלל גזירה של מכפלת הפונקציות: z g + g + g g ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) z z ( ) ( ) g( ) + ( g( )) + + g( ) g ( ) ( ) g ( ) g( ) z g נציב את הנגזרות החלקיות של פונקציה ) ( ) ( באגף השמאל של המשוואה ונפתח אותו: z z + ( g( )) + ( g( ) + g( )) g g g z ( ) ( ) + ( ) z( ) z g מכאן פונקציה ) ( ) ( פותרת את המשוואה שאלה 7 )שאלה נוספת ללא ( () g אזי t הוכיחו את הטענה: אם פונקציות () gt פונקציה מוגדרת בכל ישר המספרים וגזירה בנקודה f g ( ) ( + ) נא לפתור דיפרנציאבילית בראשית הצירים 6