אלגברה מ' -0406- בוחן אמצע סמסטר חורף תשס"ד פתרונות מלאים שם משפחה: שם פרטי: מס. סטודנט: פקולטה: קרא בעיון את כל ההוראות: משך הבוחן שעתיים. אין להשתמש בחומר עזר. בבוחן 4 שאלות. יש לפתור את כל 4 השאלות. יש לענות על השאלות בצורה מסודרת ויש לנמק כל תשובה. יורדו נקודות על כתיבה מרושלת. תשובה בלתי מנומקת לא תחשב. יש לרשום את תוצאות החישובים במשבצות המיועדות לכך, אחרי השאלות. תוצאה שתרשם במקום אחר לא תחשב! המופיעות מיד יש לבצע את כל החישובים בתוך המחברת (ולמחוק בבירור טיוטות). ב ה צ ל ח ה! שאלה מס' שאלות ציון שאלה מס' שאלה מס' 3 שאלה מס' 4 סה"כ
. β α שאלה מס. : (30 נקודות) נתונה המערכת הבאה של משוואות ליניאריות עם פרמטרים ממשיים ו- x + y z 4 x y + z 3 + β x + y + ( α 3) z αβ 9 x + ( α 3) z αβ + β 0 β ו- α א. ב. מצא את כל הערכים של מצא את כל הערכים של עבורם למערכת פתרון יחיד. β עבורם למערכת אין פתרון. β α ו- α ו- ג. מצא את כל הערכים של עבורם למערכת אינסוף פתרונות. ד. מצא את הפתרון הכללי של המערכת במקרה של אינסוף פתרונות. פתרון שאלה מספר נדרג את מטריצת המקדמים המורחבת: 4 4 3+ β 0 0 β α 3 αβ 9 0 α αβ 0 α 3 αβ + β 0 0 α αβ + β 4 4 0 0 β 0 0 β 0 0 α αβ β 0 0 α αβ β 0 0 α αβ 0 0 0 β β 0 לפי שורה 4, אם אז למערכת אין פתרון כי דרגת המטריצה המורחבת שונה מדרגת המטריצה המצומצמת. נציב 0 β : 4 4 0 0 β 0 0 0 0 α αβ β β 0 0 0 α 0 0 0 0 β 0 0 0 0 אם מספר המשוואות אחרי הדרוג שווה למספר הנעלמים כלומר ל- 3, אז למערכת פתרון יחיד, וזה יקרה אם"ם אף איבר מוביל לא יתאפס. לכן פתרון יחיד יהיה אם"ם.α
3 עבור,α נציב ונקבל: 4 4 0 0 0 0 α 0 0 α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3 - קיבלנו כי למערכת אינסוף פתרונות, ומספר דרגות החופש שווה ל- ;(α (וכל β 0 ;α ו- β 0 ;α ו- β 0 תשובה לסעיפים א' ג': למערכת אין פתרון כאשר למערכת פתרון יחיד כאשר למערכת אינסוף פתרונות כאשר תשובה לסעיף ד': יש לפתור את המערכת בכל המקרים בהם למערכת יש אינסוף פתרונות, כלומר כאשר: 0 β וגם α. ניקח את המטריצה המורחבת המדורגת שקיבלנו קודם עבור 0 β ו- נדרג לצורה קנונית ונפתור:,α 4 0 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x z 5 x z 5 y y ( x, y, z) ( z 5,, z)
4 (30 נקודות) שאלה מס. : { ax + bx + c a, b, c R} יהי W נגדיר תת מרחבים U ו- ב- ע"י U p( x) p() 0 p'(0) p'() ו { } W { cx + cx + b b, c R} p(x) p(x) p() U ו- (0) p'.( x (בהגדרת במקום היא המספר הממשי שמתקבל מהפולינום היא המספר הממשי המתקבל מהנגזרת של כאשר מציבים כאשר מציבים x 0 במקום. Z. W Z U W א. ב. ג. ד. ה. מצא בסיס ל-. U מצא בסיס ל-. W מצא את המימד של? Z האם U + W מצא תת-מרחב של כך ש- רשום בסיס ל- פתרון שאלה מספר U p( x) p() ו 0 p '(0) p '() { } p x ax + bx + c ( ) p() 0 a + b + c 0 p '( x) ax + b p '(0) p '() b a + b a 0 U ax bx c a b c a ax bx c c b a סעיף א': נמצא בסיס ל- U: + + + + 0, 0 + +, 0 bx b b R b( x ) b R קיבלנו כי U נפרש ע"י פולינום אחד שונה מ- 0, לכן U, הוא בסיס ל- {-x} בפרט.dimU
5 סעיף ב': נמצא בסיס ל- W: + +, W cx cx b b c R { } + + ( + ) + () cx cx b c x x b קיבלנו כי W נפרש ע"י שני פולינומים בת"ל (כי הם אינם פרופורציונליים), לכן הם מהווים בסיס ל-,W כלומר בסיס ל- W הוא: }, x.{ x + בפרט,.dimW, U W ונחשב את המימד של,U + W :dim(u+w)dimu+dimw-dim(u W) סעיף ג': נמצא תחילה את המימד של באמצעות משפט המימדים: לפי משפט איחוד הבסיסים של U ו- W נותן קבוצה פורשת למרחב הסכום, לכן ניקח את הבסיס ל- U שמצאנו בסעיף א' ואת הבסיס ל- W שמצאנו בסעיף ב', ונמצא בסיס למרחב,U+W ע"י בדיקת תלותליניארית בין וקטורי הקוארדינטות לפי בסיס הסטנדרטי: +, ; W Sp x x U Sp x 0 0 0 0 0 dim( U + W ) 3 0 0 0 לכן, לפי משפט המימדים והתוצאות של סעיפים א' ו- ב' נקבל כי: dim(u W) dimu + dimw - dim(u+w) + 3 0 סעיף ד': לפי החישובים בסעיף ג', קיבלנו כי:,dim(U+W) 3 dim מתקיים כי ולכן. U + W, U + W לפי סעיף ד',,U W {0}.Z U לכן ניתן לקחת U W אפשרות אחרת (כלומר נמצא בסיס למרחב Z ששונה מהמרחב U) הבסיס של W לבסיס של כל עם פולינום שלא נמצא ב- U: סעיף ה': לפי סעיף ג' לכן: ע"י השלמת +, W Sp x x { } 0 0 0 Z Sp x + U Sp x 0
6 r(b) שאלה מס. : 3 (0 נקודות) א. תהיינה הוכח שאם ושל B ו- B 0 מטריצות מרוכבות ריבועיות r(. כאן ) + r( B) אז n. n n ו- r() הן הדרגות של B בהתאמה. Bx 0 ב. תהיינה ו- B הוכח שאם למערכת אינסופי של פתרונות. מטריצות ממשיות ריבועיות כך ש-. B 0 x 0 מספר סופי של פתרונות אז למערכת מספר ו- B 0 ג. תהיינה מטריצות ממשיות ריבועיות כך ש-. B 0 Bx 0 הוכח שאם (לכל אחד). ו- x אז למערכת 0 B 0 ו- יש אינסוף פתרונות פתרון שאלה מספר 3 סעיף א': נסמן ב- B j את העמודה ה- j -ית של B. לפי הנתון, B0 לכן לכל,B j 0 j,,n כלומר כל העמודות של המטריצה B שייכות למרחב מתקיים: הפתרונות של המערכת ההומוגנית.x0 במילים אחרות, מרחב העמודות של B מוכל במרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית x0 של B, שהוא,r(B),n r() שהוא,x0 ולכן מימד מרחב העמודה קטן או שווה למימד מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית כלומר.r(B) < n r() r() + r(b) < n מ.ש.ל נעביר אגפים ונקבל: סעיף ב': לפי הנתון, למערכת x0 יש מספר סופי של פתרונות. נניח כי למערכת קיים פתרון שונה מ- 0. מאחר ואוסף הפתרונות של מערכת הומוגנית הוא מרחב וקטורי הרי שגם α הוא פתרון לכל α מרוכב, כלומר אם למערכת x0 יש פתרון לא טריוויאלי אז למערכת יש אינסוף פתרונות, בסתירה לנתון. לכן, מהנתון נובע כי למערכת x0 יש פתרון יחיד והוא הפתרון הטריוויאלי. לפי משפט, אם ריבועית אז הפיכה אם"ם למערכת ההומוגנית x0 פתרון הטריוויאלי בלבד. לכן מהנתון נובע כי הפיכה, וקיימת מטריצה -. נכפול את שני אגפי המשוואה הנתונה B0 ב- - משמאל ונקבל 0B. לכן לכל ב- R n מתקיים B0 כלומר למערכת Bx0 יש אינסוף פתרונות. אפשרות אחרת באמצעות סעיף א': כאמור הפיכה, לכן לפי משפט לפי הנתון B0 לכן לפי סעיף א' מתקיים: אבל.r() n r() + r(b) < n n + r(b) < n r(b) < 0,r(B) > 0 לכן r(b) 0 קיבלנו כי B היא מטריצה מדרגה 0 כלומר 0B. כלומר למערכת Bx0 יש אינסוף פתרונות. לכן לכל ב- R n מתקיים B0 סעיף ג': לפי סעיף א', אם אחת המטריצות היא הפיכה אז בהכרח המטריצה השנייה היא מטריצת האפס, בניגוד לנתון. לכן ו- B הן מטריצות ריבועיות ולא הפיכות כלומר r() < n וגם.r(B) < n לכן למערכת x0 יש אינסוף פתרונות וגם למערכת Bx0 יש אינסוף פתרונות.
7 שאלה מס. : 4 (0 נקודות) הפרך ע"י דוגמא או הוכח את הטענות הבאות: Z W Z + W 003 003. Z W א. יהי W מספר מרוכב עם חלק ממשי שונה מ- 0 הוא מספר מדומה טהור. ויהי אז. a b t a b ב. המטריצה הממשית שקולה שורות ל- אם ורק אם, תת-מרחבים של כך ש- ג. אם הוא מרחב וקטורי ו-, 3,i, אז כל וקטור ב- j 3, i j לכל i j + ו- 0} { + 3,, 3 כאשר 3, + ניתן לכתיבה יחידה ע"י + 3,u ו- w אם Span { u, w} Span, w ד. הם וקטורים במרחב וקטורי אז המקיימים {, { u היא קבוצה תלויה לינארית. ( ) ({ }), 3,, ה. אם 4 הם וקטורים במרחב וקטורי כך ש- Span ({, }) ({, }) { 0} Span 3 4, 3,, { } אז 4 היא בלתי תלויה לינארית. פתרון שאלה מספר 4 סעיף א': הטענה נכונה. 003 Z W Z + W 003 003 נתון. Z W נציב ב- ונקבל: 003 003 003 003 003 W W W W i Im( W ) Im( W ) i W + W W + W Re( W ) Re( W ) מאחר והחלק הממשי והחלק המדומה של מספר מרוכב הם מספרים ממשיים, הביטוי כולו הוא מדומה טהור. סעיף ב': הטענה לא נכונה. ברור שאם b a אז ו- t שקולות שורה כי סימטרית לכן מרחב השורות ( t של ומרחב העמודות של (שהוא מרחב השורות של שווים. מאחר והמטריצות ו- t הן ריבועיות, הרי שאם למטריצות אותו מרחב שורה אז הן שקולות שורה.
8 הכיוון השני של הטענה איננו נכון. לכל b, a מרחב השורות של ומרחב העמודות של שווים ל- R, שנבחר כך ש- הפיכה, נקבל כי ולכן שווים בניהם כלומר a 0, b 0 0 0 ו- t שקולות שורה. לדוגמא: t 0 0 0 סעיף ג': הטענה לא נכונה. 3 R ( a,0) Sp{(,0)} (0, b) Sp{(0,)} ( c, c) Sp{(,)} ניבחר: 3 3 {0} (, ) (,0) (0,) 0 (,) + + 3 (,0) (0,) 4 (,) + 0 (,0) (0,) (,) + + סעיף ד': הטענה לא נכונה. R u (,0) (0,) w (,) Sp{ u, w} Sp{, w} R ניבחר: אבל,} { u היא קבוצה בלתי תלויה ליניארית
9 סעיף ה': הטענה לא נכונה. דוגמא טריוויאלית היא כמובן כאשר כל ארבע הוקטורים שווים ל- 0. 3 4 R (,0) (,0) (0,) (0, ) Sp, Sp, {0} 3 4 דוגמא פחות טריוויאלית:, 3,, } { תלויה לינארית. אבל הקבוצה 4