מבוא לאקונומטריקה ב פרק - 3 תוכן העניינים כללי
: רקע: הוא מצב שבו מופרת הנחת ההומוסקדסטיות, הגורסת כי שונות ) Vלכל u, כלומר ) הטעויות היא אותה שונות עבור כל תצפית ותצפית: V( u ) התצפיות מפוזרות באופן אחיד סביב קו הרגרסיה במצב של שונות הטעויות של כל תצפית היא שונה: ההשלכות של על אומדי : OLS בהינתן מופרת תכונת היעילות של אומדי הריבועים הפחותים שכן בכדי לחשב שונות יעילה של האומדים השתמשנו בהנחה של שונות קבועה מבחנים לזיהוי : החשד לקיומה של בעיית בנתונים צריך להתעורר כאשר אנו בוחנים את גרף השאריות באיזה אופן השונות של הטעויות משתנה בין תצפית לתצפית שיטות לזיהוי : מבחן )Goldfeld-Qauand( GQ ומבחן Whie מבחן GQ מניח כי במקום שונות אחת אחידה של הטעויות לכל התצפיות, קיימות שתי שונויות שונות בלבד ואילו מבחן Whie מניח כי לכל תצפית ותצפית שונות שונה של טעויות מבחן :GQ ההנחה העומדת בבסיס מבחן זה היא כי קיימות שתי שונויות שונות של טעויות ביצוע המבחן: מחלקים את המדגם לשני חלקים: החלק שבו אנו חושדים שיש שונות גבוהה יותר החלק שבו אנו חושדים שיש שונות נמוכה יותר מקובל להשמיט מס' תצפיות )בין /6 ל- /3 ( במרכז המדגם אומדים כל אחד מהחלקים בנפרד ומקבלים את ה- ESS של כל חלק F sa ESS ESS / T / T K K מחשבים את הסטטיסטי: חלקי הקטנה( )תמיד השונות הגבוהה
0 F ( ; T K, T K ) Fsa F C סטטיסטי זה מתפלג: כלל ההכרעה: אם אז דוחים את : 0 : ההשערות: מבחן :Whie ההנחה העומדת בבסיס מבחן זה כי לכל תצפית ותצפית שונות שונה של טעויות הביטוי המתמטי של הנחה זו היא היותה של השונות פונקציה ליניארית של כל המשתנים המסבירים, ריבועיהם והאיברים הצולבים: (,, ) f x x x x j j j j + x + + x + x + + x + x x + x x 0 k k k k k 3 3 û האומד ל - המבחן הוא מבחן : LM uˆ הוא אומדים את המודל המקורי ומקבלים את הסטיות מקו הרגרסיה )המכונה בתוכנה הסטטיסטית )RES-SAS אומדים את כפונקציה ליניארית של כל המשתנים המסבירים, j j j j uˆ ריבועיהם והאיברים הצולבים: נחשב את סטטיסטי :LM ע u ˆ / x, x, x x זוהי רגרסיית העזר LM sa T R ע LM sa m אם כאשר, m מס' המשתנים ברגרסיית העזר 0 : 0 j j jj : OTERWISE השערות: פיתרון בעיית ה ריבועים פחותים משוקללים WLS( (: Y וידוע כי לכל קריזה + X נניח שאנו רוצים לאמוד את המודל: + u שונות אחרת ההנחה שעומדת בבסיס שיטת ה- WLS היא כי השונות המשתנה את המרכיב המשתנה Z כוללת בתוכה מרכיב קבוע ומרכיב משתנה: W שיהווה השורש ההופכי בשונות ) ( Z יש לנטרל לשם כך ניצור משתנה חדש W W Z לאותו מרכיב משתנה: נכפיל כל תצפית במשתנה החדש וניצור משוואה שהיא קומבינציה ליניארית של
Y X u + + Z Z Z Z Y + X + u ( ) YW W + X W + u W המשוואה המקורית: בצורתה המפורשת המשוואה החדשה נראית כך: שאלות: מבחן : GQ Y + + X נאמד הקשר שבין הכנסה לתצרוכת: u גרף השאריות של הרגרסיה הנ"ל נתון להלן: ) Scaerplo Dependen Variable: Y 5 4 3 0 - - -3-4 -5 Rsq 00000 - - 0 Regression Sandardized Prediced Value מגרף זה אנו למדים כי השונות איננה אחידה סביב קו הרגרסיה אלא תלויה ברמת ההכנסה זהו מצב של בכדי לבצע מבחן :GQ התצפיות של משתנה ההכנסה סודרו מהגדול לקטן והמדגם חולק לשלוש קבוצות שוות רגרסיה נפרדת הורצה על השליש הראשון ועל השליש האחרון 3
התוצאות של אמידת הקשר בין הכנסה לתצרוכת מוצג בפלטים ו - בהתאמה: משוואה )( The REG Procedure Model: MODEL Dependen Variable: y Number of Observaions Read 6 Number of Observaions Used 6 Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model Error 4 66459 Correced Toal משוואה )( The REG Procedure Model: MODEL Dependen Variable: y Number of Observaions Read 6 Number of Observaions Used 6 Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model Error 4 934638 Correced Toal האם יש עדות לקיום בנתונים? )בצעו את המבחן המתאים: רשמו השערות, חשבו סטטיסטי מבחן, רשמו כלל הכרעה והגיעו למסקנה( על מנת לבחון את פונקציית הייצור בענף מסוים נאספו נתונים על 50 פירמות נסמן: - תפוקה שנתית באלפי שקלים - L מספר עובדים ln ( Q) + ln המודל הנאמד: (L ( החוקר חשש שההפרעה המקרית איננה הומוסקדסטית לשם כך הוא מיין את 3 התצפיות בסדר עולה של מספר העובדים, השמיט מהתצפיות האמצעיות והריץ שתי רגרסיות נפרדות עם מספר שווה של תצפיות: ברגרסיה הכוללת את הערכים הנמוכים יחסית של תשומת העבודה הוא Q ) 4
קיבל: 793 ESS R 0403, ברגרסיה הכוללת את הערכים הגבוהים יחסית של תשומת העבודה הוא קיבל: 4938 ESS R 038, האם יש עדות לקיום בנתונים? )בצעו את המבחן המתאים: רשמו השערות, חשבו סטטיסטי מבחן, רשמו כלל הכרעה והגיעו למסקנה( מבחן :WITE Y + X על אותו הקשר שבין הכנסה לתצרוכת: + u שאנו חושדים על פי גרף השאריות כי קיים בו מצב של בכדי לבצע את מבחן :WITE נחשב את השאריות של הרגרסיה: uˆ uˆ Y Yˆ uˆ + X + X + 0 נעלה את השאריות בריבוע: נאמוד את המשוואה: )3 תוצאות האמידה מוצגות להלן: The REG Procedure Model: MODEL RES Dependen Variable: Number of Observaions Read 48 Number of Observaions Used 48 Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model Error Correced Toal Roo MSE R-Square 0390763 Dependen Mean Adj R-Sq בצעו מבחן Whie )השערות, סטטיסטי המבחן, כלל הכרעה ומסקנה( 5
חוקר מניח כי מכירות של חנות הן פונקציה של שיטחה, דמי שכירות והאפשרות של מכירת עיתונים נסמן: - Y _ SALES מכירות חודשיות ) ( _X - שטח החנות )מ"ר( SQUARES - X _ RENT דמי שכירות )$( - משתנה איכותי המקבל אם החנות מוכרת גם עיתונים ו- 0 אם לא החוקר חשד כי קיימת בעיה של בנתונים החוקר ביצע מבחן לזיהוי שתוצאותיו נתונות להלן: PAPERS )4 הרגרסיה המופיעה בפלט לעיל נועדה לבדיקת : על ידי מבחן : המשתנה התלוי הינו: המשתנים הב"ת: ההשערות הינן: גודל הסטטיסטי למבחן הינו )רשמו תוצאה מספרית(: המסקנה המתקבלת היא: 6
שיטת :WLS נתון המודל: Y + X + U )5 Z ( ( ) VAR U Z ונתון כי: משתנה ידוע( א מהי הבעיה שנוצרת באמידת משוואה )(? ב מהן תכונות אומדי הריבועים הפחותים של משוואה )(? כדי לפתור את הבעיה שנוצרה, נאמדה המשוואה הבאה: Y W W + ( X W ) + U W ג ד ה ו W שבעזרתו ניתן לאמוד את בצורה יעילה? מהו מהו האומד היעיל של? R אם לא, האם ניתן האם ניתן להשוות בין המודלים על בסיס להחליט בכל זאת איזה מודל טוב יותר? חוו דעתכם על הטענות הבאות, ונמקו:, Z התשובות לסעיפים א' ו-ב' נשארות a + b X אם נתון כי: i ללא שינוי ˆ ) היא U W )כאשר: 0 המשוואה הנורמאלית: ii אחת המשוואות הנורמאליות לאמידת משוואה )( - ו? VAR U ( ) X 6( ענ ו על השאלה הקודמת, כאשר נתון כי: וקיים מדגם של 00 תצפיות כאשר נתון Y + X + u X נתון המודל: 50 u) )V )שאר ההנחות הקלאסיות מתקיימות( כי: X 50 א במשוואה מס' יש בעיה של: ב אמידת משוואה )( תניב אומדים נכון/ לא נכון/ לא ניתן לדעת בלתי מוטים ועקיבים: ג פתרון הבעיה הקיימת במשוואה )( ייתכן על ידי אמידת המשוואה הבאה: Y W W + X W + ( ) W כאשר: 3 50 V( u) אם נתון כי: 50 האם ישתנו תשובותיכם לסעיפים א' ו-ב': ד כן/לא/לא ניתן לדעת )7 7
תשובות סופיות: 48 : 0 : יש עדות לכך, השערות: יש עדות לכך, השערות:, חישוב סטטיסטי: 76, כלל הכרעה:, חישוב סטטיסטי: 77, כלל הכרעה: 69 : 0 : 0 : 0 : OTERWISE יש עדות לכך, השערות:, חישוב סטטיסטי: 875, כלל הכרעה: 599 קיום בנתונים ( LM ) WITE RES X_ SQUARE, X_ SQUARE, X_ SQUARE * X _ RENT, W Z Z X _ RENT, X _ RENT, X _ RENT * PAPERS, PAPERS LM sa 73 אין עדות לכך א ד ב ראו סרטון ה לא, המודל השני ג ו i לא נכון ii לא נכון W X ESS T K א ב ראו סרטון ג ) ) )3 )4 )5 )6 ו ראו סרטון ד לא ESS ה ראו סרטון ד S T k א ב נכון W ג 50, W 50 X X )7 8