פרק : אינטגרציה של פונקציות רציונאליות וטריגונומטריות הצבות מיוחדות חשב את האינטגרלים הבאים: 7 9 7 9 cg g e e e 7 9
*
אודח - םיליגרת תרבוח מ קרפ תודחוימ תובצה תוירטמונוגירטו תוילנויצר תויצקנופ לש היצרגטניא : 7 םיאלמ תונורתפ הלאש אלמ ןורתפ בשחנ םימונילופ תקולח י"ע םלשה קלחה תא דדובנ לבקנו ש ןוויכמ - הרוצב קוריפה תא לבקנ ינשה רבוחמל יזא :האבה * ףתושמ הנכמ :האבה האוושמה תא וביני םינומ תאוושהו :םילבקמ םימדקמה תאוושה רחאל :ןאכמו לבקנו (*) קוריפב ולא םיכרע ביצנ :טרפבו rcg rcg
אודח - םיליגרת תרבוח מ קרפ תודחוימ תובצה תוירטמונוגירטו תוילנויצר תויצקנופ לש היצרגטניא : הלאש אלמ ןורתפ בשחנ :םניה הנכמה לש םישרושה רמולכ קוריפהטפשמ יפל :לבקנ * :רמולכ -ב ףתושמ הנכמ :האבה האוושמה תא וביני םינומ תאוושהו (*) םוקמב ביצנ םיכרעה תא ו לבקנו תכרעמה תא 9 :ןאכמ 9 9 :ןכלו 9 9 9 הלאש אלמ ןורתפ בשחנ :לבקנ קוריפה טפשמ יפל F E
אודח - םיליגרת תרבוח מ קרפ תודחוימ תובצה תוירטמונוגירטו תוילנויצר תויצקנופ לש היצרגטניא : 9 םינומ תאוושהו ףתושמ הנכמ ירחא :לבקנ F E :ביצנ םא יכ לבקנ :לש םימדקמה תאוושה רחאל ו - :האבה תואוושמ תכרעמ לבקנ F E F E F 7 7 לבקנ הנושאר האוושממ F םא ביצנ F לבקנ היינשו הנושאר האוושמב E 9 E :יכ לבקנ תואוושמה תכרעמ ןורתפ רחאל 7 F E יכרע תבצה ירחא F E -ב ונאצמש תא לבקמ ירוקמה לרגטניאה (*) :האבה הרוצה 7 7 :ןאכמ 9 7 7
אודח - םיליגרת תרבוח מ קרפ תודחוימ תובצה תוירטמונוגירטו תוילנויצר תויצקנופ לש היצרגטניא : הלאש אלמ ןורתפ בשחנ :לבקנ קוריפה טפשמ יפל * :טרפבו ףתושמ הנכמ -ב םינומ תאוושהו :האוושמה תא וביני (*) תא בינת האוושמה יפגא ינשב םימדקמ תאוושה :האבה תואוושמה תכרעמ :ונה תכרעמה ןורתפ ןכלו -ב הבצהב) ( (*) : :םייקתמ rcg d :ןכלו rcg
אודח - םיליגרת תרבוח מ קרפ תודחוימ תובצה תוירטמונוגירטו תוילנויצר תויצקנופ לש היצרגטניא : הלאש אלמ ןורתפ בשחנ :יכ עודי רצוקמ לפכ תואחסונ יפל קוריפה םייק טפשמ יפל ןכלו * םייקתמ טרפבו : :האוושמה תא וביני םינומ תאוושהו ףתושמ הנכמ * האוושמה יפגא ינשב םימדקמ תאוושהמ :יכ לבקנ :ןאכמו רובע ךכ יפל :םילבקמ :לרגטניאה תא בשחנ rcg rcg
אודח - םיליגרת תרבוח מ קרפ תודחוימ תובצה תוירטמונוגירטו תוילנויצר תויצקנופ לש היצרגטניא : הלאש אלמ ןורתפ בשחנ :הרוצה תא בינת םייקלח םירבשל הדרפה ןכלו : * :םילבקמ םינומ תאוושהו ףתושמ הנכממ ןכלו :לבקנ םימדקמ תאוושהמ יכרע ביצנו לרגטניאה בושיחל רוזחנ -ב ונאצמש :לבקנו (*) rcg rcg
אודח - םיליגרת תרבוח מ קרפ תודחוימ תובצה תוירטמונוגירטו תוילנויצר תויצקנופ לש היצרגטניא : 7 הלאש אלמ ןורתפ בשחנ :ביצנ :יכ לבקנו d םיטושפ םירבשל היצקנופה קוריפ :ךכ הארי :ןאכמו ביצנ אצמנו :לבקנ ןכלו d d d d d d d הלאש אלמ ןורתפ בשחנ :ביצנ :תואבה תואצותה תא תררוג וז הבצה d ןכלו :לבקנ d d d d
אודח - םיליגרת תרבוח מ קרפ תודחוימ תובצה תוירטמונוגירטו תוילנויצר תויצקנופ לש היצרגטניא : קוריפב שמתשנ ןורחאה לרגטניאה בושיחל :םייקלח םירבשל rcg d d d 7 7 7 :הנה תיפוסה הבושתה ןכלו rcg 7 7 7 9 הלאש אלמ ןורתפ בשחנ :יכ ןייצנ I :ביצנ :יכ עבונ וז הבצהמ -ו
אודח - םיליגרת תרבוח מ קרפ תודחוימ תובצה תוירטמונוגירטו תוילנויצר תויצקנופ לש היצרגטניא : :תילאנויצר היצקנופ לש לרגטניאל רובעל תרשפאמ ליעלד הבצהה d I :םיקלחב היצרגטניא י"ע ונלביקש לרגטניאה תא בשחנ d d I :ןמסנ v u :םייקתמ יזא m m dm d dm m d v u d d I :לבקנ םיקלחב היצרגטניא רחאל d d d d I :לרגטניאה ךותב אצמנה יוטיבה טושיפ ידי לע בשחנ ןורחאה לרגטניאה תא rcg d d d d d d d d :היהת תיפוסה הבושתה ךכ יפל rcg I
פתרון מלא שאלה d פתרון מלא שאלה נקבל rc עבור rc כאן השתמשנו באינטגרל המיידי עם פתרון מלא שאלה מתקיים: ( עם ) לפי הזהות ולכן באופן שקול את האינטגרל נציב אזי d ולכן d מכאן: d g g k k
פתרון מלא שאלה מכאן: d d נציב אזי ולכן d rcg rcg d rcg כאן השתמשנו באינטגרל המיידי עם פתרון מלא שאלה d ובפרט d נציב : אזי וגם אם כן באופן שקול את האינטגרל: d מכיוון ש d d d ( נקבל בתרגיל שלנו ) עבור d 7
פתרון מלא שאלה d נציב אזי מתקיים: d k k עבור ובלשון שקולה d פתרון מלא שאלה נציין כי d נציב: אזי מתקיים: וגם ולכן נקבל את האינטגרל השקול: d שממנה נובע כי udu d ( u u d את האינטגרל ע"י הצבה ) היעזרו בטבלת ההצבות לטיפול בשורשים עבור וגם g u gu
d du u u du u dm dm m m m m m u u m u ולכן: u du m u u dm u du m m ( ו- u rc : k ) כלומר k u נציב חזרה ונקבל עבור d du u u u rc rc פתרון מלא שאלה 7 g d g g d g לכן: d g g k k 9
פתרון מלא שאלה מהתרגיל הקודם נובע כי: d g k פתרון מלא שאלה 9 d rc פתרון מלא שאלה לאחר פישוט של הביטוי הנמצא בתוך האינטגרל נקבל: g g d נציב g אזי ולכן נקבל אינטגרל שקול: g d g du d נציב u אזי ולכן נקבל אינטגרל שקול נוסף: d du u rcgu u g rcgg u k לכל 7
פתרון מלא שאלה על מנת לפשט את הביטוי שבתוך האינטגרל נשתמש בזהויות: לאחר אינטגרציה של הביטוי שהתקבל נקבל כי : פתרון מלא שאלה cg cg מכיוון ש-: cg cg אז: k פתרון מלא שאלה g g g g g g g k d g 7
פתרון מלא שאלה * נציין כי du * (ראה תרגיל 7) u מתקיים נשתמש בשוויון הבא: g וכן בחישוב הבא: עבור ההצבה du ולכן u u g נחזור לחישוב האינטגרל ונקבל: k פתרון מלא שאלה מתקיים: d נציב אזי ונפתור באופן שקול את האינטגרל: d d d k 7
פתרון מלא שאלה ונקבל cg cg ניעזר בזהות d נציב cg אזי ולכן: cg d cg cg cg פתרון מלא שאלה 7 e d נציב e אזי d e נקבל באופן שקול את האינטגרל: d d e e e e נציב חזרה e ונקבל: 7
פתרון מלא שאלה d אזי מתקיים נציב וגם 7 k k d 7 7 ולכן: d פתרון מלא שאלה 9 ולכן נקבל נציב ומכאן נובע כי: וגם d d פתרון מלא שאלה כמו כן נשתמש בזהות: נציב g אזי d ונקבל: g g g g k d 7
פתרון מלא שאלה e e d e e d e d אז e נציב כמו כן נובע מהצבה זו כי כלומר e ולכן נקבל: e d e e d ע"י הפרדה לשברים חלקיים: נקבל d ולכן: e נציב חזרה ונקבל: e e e e e פתרון מלא שאלה וכן d אם נציב אז ( ) ובפרט ולכן נקבל : d d g rc כזכור הצבנו ומהצבה זו נובע כי d ולכן עבור נקבל כי: g g rc 7
פתרון מלא שאלה נציב מהצבה זו נובע כי: ובפרט cg כמו כן נובע מההצבה כי: d d ולכן כלומר d d נאחד את תוצאות ההצבות () () ו- () ונקבל: אז עבור נקבל: d d d du d u נציב אזי מתקיים: ולכן: d du du u u u u u u u u u מהפרדה לשברים חלקיים: נקבל: ולכן: du u u u u u u u u u u du u u u u 7
אודח - םיליגרת תרבוח מ קרפ תודחוימ תובצה תוירטמונוגירטו תוילנויצר תויצקנופ לש היצרגטניא : 77 תישאר ביצהל שי ירוקמה לרגטניאל רוזחל תנמ לע u יזאו u u du d תינשו יכ עבונ וז הבצהמ ) ןכלו ( d הלאש אלמ ןורתפ בשחנ ביצנ :יכ עבונ וז הבצהמ d rc ןכלו לבקנ d d * rc (*) רבעמל רבסה הבצההמ יכ עבונ יכו ןכלו ןאכמ
פתרון מלא שאלה נציב g מהצבה דלעיל נובע כי: d rccg g ולכן נקבל עבור : d d rcg rcg g ובהצבה g g אם נשתמש בזהות הטריגונומטרית נוכל לבטא את בפתרון באופן הבא: והצגה שקולה של הפתרון הכללי תהיה : 7
פתרון מלא שאלה וגם d אז נציב cg cg ולכן: cg d d d d rc מההצבה שבצענו נובע כי וכן: rc ולכן נקבל את התוצאה: 79