נושא התרגול: פונקציות של מספר משתנים, תחומי הגדרה, קווי רמה, משטחי רמה בנושא זה מומלץ: ( חוברת תרגילים מס' )הספר(: חומר בעמודים 8-96; ( חוברת תרגילים מס', פרק, שאלות -3. שאלה. f ( x, y) x y y x תהי נתונה פונקציה א( מצאו את תחום ההגדרה D עבור הפונקציה. סרטטו את סקיצת הקבוצה; ב( קבעו האם קבוצה D פתוחה, סגורה, חסומה, קשירה. פתרון א( הפונקציה היא אלמנטארית, לכן תחום הגדרתה D הוא תחום ההצבה של הנוסחה: ( x, y) D y x 0 y x : y x x y 0 x y. x ההיפרבולה היא בעלת אסימפטוטה y נתבונן בהיפרבולה y 5 4 3-5 -4-3 - - 3 4 5 - x - -3-4 -5. x נתבונן בחלק השני: y ) ; x y x y x y y x y ההיפרבולה מחלקת את המישור לשני החלקים: ( קו x הוא הענף הימני של ההיפרבולה; קו y אוסף הנקודות x הוא הענף השמאלי של ההיפרבולה. מכאן y הוא חלק המישור הנמצא בין שני הענפים של ההיפרבולה )כולל אותה(. ( x, y) x y התנאי y x מכתיב לנו להוציא מהקבוצה את האסימפטוטה של ההיפרבולה. ראו את האיור:
ב( הקבוצה לא פתוחה כי הנקודות הנמצאות על ההיפרבולה אינן פנימיות לקבוצה D )לא קיימות סביבות של הנקודות אשר כולן נמצאות בקבוצה(. y הן גבוליות לקבוצה, אך לא נמצאו בקבוצה. הקבוצה איננה סגורה כי נקודות על הישר x הקבוצה איננה קשירה כי אי-אפשר להעביר קו רציף שכולו נמצא ב- D אשר מחבר שתי נקודות הנמצאות משני הצדדים לגבי האסימפטוטה., y 0 אשר יכולות להיות במרחק כלשהו מהראשית. הקבוצה איננה חסומה: בקבוצה נמצאות נקודות (y,0), f ( x, y, z) ln 4 x y z x y D שאלה מצאו את תחום הגדרה סקיצת התחום. פתרון הפונקציה היא אלמנטארית, לכן של הפונקציה וסרטטו את ( x, y, z) D x y 4 x y z 0 x y z 4 x y 0 x y מכאן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא אוסף הנקודות הנמצאות בתוך גליל ומרוחקות מהראשית במרחק שקטן מאשר ומרכז (0,0,0). סקיצת הקבוצה: חלק מהגליל )כולל את הגליל( x הנמצא בכדור פתוח בעל רדיוס y. ז"א D
הקבוצה לא פתוחה ולא סגורה, אך קשירה וחסומה )תסבירו את הטענה(. שימו לב: שני החלקים של ספרה.Tirgul Pr_.dpg לא נמצאים בקבוצה. ראו את ההדגמה בקובץ x y z 4 שאלה 3 סרטטו בקירוב את הגרפים של הפונקציות הבאות: ; f ( x, y) 4 x y ; f x y x y (, ) ( ) x y ; f ( x, y) e f ( x, y) x y א( ב( ג( ד( f ( x, y) 4 x y פתרון בשרטוט סקיצות הגרפים ניתן להיעזר בכל מיני דברים. א( שימוש במשטחים הריבועיים הקנוניים. גרף הפונקציה הוא משטח: S ( x, y, z) z 4 x y מובן כי הגרף נמצא מעל ועל מישור z 0 )מישור הקואורדינאטות (. xy נציין כי מתקיים z x y x y z 4 4 מכאן גרף הפונקציה הוא החלק העליון של ספרה )ראו את הקובץ :)Tirgul Pr_3_.dpg 3
ב( טרנספורמציות של המשטחים הריבועיים הקנונים. לקבלת סקיצה של גרף הפונקציה :)Tirgul Pr_3.dpg קובץ ( z x y נתבונן בפרבולואיד f ( x, y) ( x y ) :)Tirgul Pr_3.dpg z x y משטח גם פרבולואיד רק שהוא נמוך פי מהפרבולואיד הראשון)קובץ 0( ) z )קובץ xy משטח z x y מתקבל מהפרבולואיד הקודם ע"י שיקוף ביחס למישור : )Tirgul Pr_3 3.dpg 4
z z x y משטח מתקבל מהפרבולאיד הקודם ע"י הזזה ב- לאורך ציר ה- )קובץ :)Tirgul Pr_3 4.dpg. x y R ג( סיבובים של קווים. ניתן להיעזר בשיטה זאת כאשר קווי הרמה של הפונקציה הם מעגלים x y ( x y ) : f ( x, y) e הדבר הוא נכון עבור פונקציה e x y R f x y e R (, ) const מכאן מספיק במישור yz )או במישור ) xz לסרטט את הקו y).) z f ( x,0) ( z f (0, הקוו מהווה קו החיתוך של גרף הפונקציה עם מישור הקואורדינאטות. אחר כך יש לסובב את הקו סביב ציר ה-. z עבור הפונקציה x 0 x z e הנתונה במישור xz נסרטט קוו e z.0.5.0 0.5 -.0 -.5 -.0-0.5 0.0 0.5.0.5.0 x 5 לאחר הסיבוב מקבלים את המשטח:
ד( עבור הפונקציה האחרונה ניתן ליישם אחת מהגישות )ב' או ג'(. ניעזר בחרוט ונעשה עליו את השינויים: x y z z x y z x y z x y 3 :)Tirgul Pr_3_4_.dpg )קובץ x y z ( חרוט :) Tirgul Pr_3_4_.dpg )קובץ z x y ( החלק התחתון של חרוט 3( הזזת החלק התחתון של החרוט ב- למעלה )קובץ :)Tirgul Pr_3_4_3.dpg 6
z y y 0 אותה התוצאה מתקבלת כאשר במישור yz סביב ציר ה-. z מסרטטים את הקו ואז מסובבים אותו שאלה 4 y y f ( x, y) תהי נתונה הפונקציה: x ; C, C, C 0 א( סרטטו סקיצה של קווי הרמה: ב( מצאו את כל קווי הרמה של הפונקציה; ג( האם תוכלו לדמיין את גרף הפונקציה? פתרון C0 {( x, y) f ( x, y) 0} א( y y x ( x, y) C0 f ( x, y) 0 y y 0 y( y ) 0 y 0 or y הוא שני הישרים. C {( x, y) f ( x, y) } y y x ( x, y) C f ( x, y) y y x x ( y ) C 0 C קו קו. y ע"י הזזה ב- לאורך ציר ה- x הוא היפרבולה מוזזת: התקבלה מהיפרבולה y C {( x, y) f ( x, y) } y y ( y ) ( x, y) C f ( x, y) ( y y) x x ( y ) x x x y קו C הוא אליפסה מוזזת: התקבלה מהאליפסה ע"י הזזה ב- לאורך ציר ה-. y 7
הסרטוטים של הקווים: y 3-3 - - 3 - x - -3 C {( x, y) f ( x, y) } ב( y y x ( x, y) C y y ( x ) ( y ) x x ( y ) ). ( קבוצה ריקה. ז"א פונקציה לא מקבלת ערכים שקטנים מ- C, אז ) אם {(0,)} Cנקודה אחת. ומכאן ) אם, אז x ( y) 0 C ומכאן 0 אליפסה מוזזת., אז 0, )3 אם 0. y ומתקבלים שני ישרים, y 0 )4 אם, 0 אז ( y ) C ומכאן 0 היפרבולה מוזזת., )5 אם, 0 אז 0 סקיצות של קווי הרמה )קובץ,Tirgul Pr_4.dpg מומלץ להיעזר ב- (: Scrollbar סקיצה של גרף הפונקציה )קובץ :)Tirgul Pr_4_.dpg 8
שאלה 5 תארו את משטחי הרמה של הפונקציות: f ( x, y, z) x y z א( f ( x, y, z) x z f ( x, y, z) x y ב( ג( S ( x, y, z) f ( x, y, z) (,, ) (,, ) x y z S f x y z x y z S f ( x, y, z) x y z ד( פתרון א( לפי הגדרת משטח רמה: עבור הפונקציה הנתונה אם אם, 0 אז למשוואה האחרונה אין אף פתרון, לכן במקרה זה, 0 אז למשוואה קיים פתרון יחיד קבוצה ריקה. (0,0,0) )רק בראשית הפונקציה מקבלת ערך אפסי(, לכן. S0 (0,0,0). אם 0, אז אוסף הנקודות הפותרות את המשוואה הוא ספרה עם רדיוס. 0 S f ( x, y, z) x z ב( גם פונקציה לא מקבלת ערכים שליליים, לכן כאשר S0 {(0, y,0) y } אם, 0 אז למשוואה f ( x, y, z) x z 0 ציר ה-. y יש אינסוף פתרונות, לכן הוא x z אם, 0 אז משוואה 0 מגדירה גליל עם קו היוצר שהוא מעגל } C {( x,0, z) x z S. עם רדיוס הגליל )רדיוס הקו היוצר( עולה, אז ערכי הפונקציה עולים. f ( x, y, z) x y ג( פונקציה מקבלת כל הערכים ולכן לכל משטח רמה אינו ריק: S x y z x y {(,, ) } 9
S מכיוון שבמשוואת המשטח חסר משתנה, z משטח המשטח תלוי בקו היוצר במישור : xy אם גלילי ומורכב מהישרים המקבילים לציר ה-. z מבנה, 0 אז קו היוצר הוא היפרבולה אשר לא חותכת את ציר ה-, x וחותכת את ציר ה- y בשתי הנקודות:. y y x אשר מהווים אסימפטוטות להיפרבולה במקרה הקודם. אם 0 אם, אז קו היוצר הוא שני הישרים, 0 אז קו היוצר הוא היפרבולה אשר לא חותכת את ציר ה-, y וחותכת את ציר ה- x בשתי הנקודות:. x להיפרבולה ישנן אותן האסימפטוטות. y 3-3 - - 3 - x - -3 אוסף משטחי רמה )קובץ,Tirgul Pr_5_.dpg מומלץ להיעזר ב- :)Scrollbar f ( x, y, z) x y z ד( פונקציה גם מקבלת את כל הערכים, אבל בניגוד למקרה הקודם משטחי רמה S x y z x y z {(,, ) } : x y z אינם משטחים גליליים. עבור 0 מתקבל חרוט: 0
x y z x y z עבור 0 מתקבל היפרבולואיד חד-יריעתי: x y z x y z עבור 0 מתקבל היפרבולואיד דו-יריעתי: מעבר שינוי במשטחי הרמה ניתן לראות בקובץ,Tirgul Pr_5_.dpg אופציה.Scrollbar
, A (,(3,0 B ונגדיר בעזרתן כמה פונקציות על המישור. (3,0). AB, שאלה 6 נבחר שתי נקודות במישור: f ( x, y) g( x, y) ( x, y) א( ב( ג( פתרון א( נמצא ביטוי אנליטי לפונקציה הוא סכום המרחקים של הנקודה ), xy ( מ- A ומ- ; B הוא סכום ריבועי המרחקים של הנקודה ), xy ( מ- A ומ- ; B הוא המרחק מ- ), xy ( לנקודה הקרובה יותר מבין שתי הנקודות : f ( x, y) f ( x, y) d(( x, y), A) d(( x, y), B) ( x 3) y ( x 3) y f ( x, y) d(( x, y), A) d(( x, y), B) d( A, B) 6 לפי אי-שוויון המשולש:. מכאן הפונקציה לא מקבלת ערכים קטנים מ- 6 אם ורק אם נקודה ), xy ( נמצאת בקטע המחבר את הנקודות, לכן f ( x, y) 6, a, c 3 C6 {( x,0) 3 x 3} C {( x, y) f ( x, y) d(( x, y), A) d(( x, y), B 6} C, אז אם 6 ומכאן לפי הגדרה גיאומטרית של אליפסה קו רמה הוא אליפסה עם הפרמטרים: C 4x 4y ( x, y) 36 36, b a c 9 לכן 4 4 ראו את האיור )קובץ :)Scrollbar,Tirgul Pr_6.dpg נדמיין את גרף הפונקציה )קובץ :)Tirgul Pr_6_.dpg
ב( נמצא ביטוי אנליטי לפונקציה (y : )g,x g( x, y) ( d(( x, y), A)) ( d(( x, y), B)) ( x 3) y ( x 3) y g x y x y - C x y x y מעגל (, ) 8 8 8 (, ) 8 - נקודה, C8 {(0,0)} נפשט את הביטוי: את גרף הפונקציה מאד קל לקבל מפרבולוריד לסרטט את המשטח. ג( הביטוי האנליטי עבור פונקציה z x y ע"י מתיחה פ- ואז הזזה למעלה ב- 8. נא הוא מאד פשוט: ( x, y) ( x, y) min{ d(( x, y), A), d(( x, y), B)} min ( x 3) y, ( x 3) y אך הוא לא אלמנטארי. הפונקציה מוגדרת לפי המקרים. כדי להבין מהם המקרים נציין כי הנקודות הנמצאות באותו המרחק משתי הנקודות הן נקודות על ציר ה- (. x 0 ( y כאשר, x 0 הנקודה הקרובה לנקודה ), xy ( היא נקודה B וכאשר, x 0 הנקודה הקרובה לנקודה ), xy ( היא נקודה. A מכאן ( x, y) min{ d(( x, y), A), d(( x, y), B)} ( x 3) y, x 0 ( x 3) y, x 0 B(3,0)}. C0 { A( 3,0), אם, כמובן, ( x, y) 0, 0 אז קווי רמה מורכבים משני חלקים של המעגלים: (, ) 0, ( 3) (, ) 0, ( 3) C x y x x y x y x x y ראו את האיור שנעשה באמצעות תוכנה המפורסמת באתר הקורס: 3
הגרף מורכב שני חלקים של חרוטים מוזזים )ראו גם קובץ :)Tirgul Pr_6_.dpg. f ( x, y) cos( x) y שאלה 7 נתונה הפונקציה: א. ב. ג. פתרון קו רמה ;C, C, סרטטו סקיצה של קווי הרמה: C סרטטו קווי רמה נוספים כדי לקבל את תמונת קווי הרמה של הפונקציה; האם תוכלו לדמיין את גרף הפונקציה?. y cos( x) נסתכל על הפונקציה. y cos( x) מורכב מגרפים של הפונקציות C כאשר הפונקציה מוגדרת עבור כל x והיא מחזורית במחזור ויש לה נקודות מקסימום כאשר cos( (x ומינימום כאשר. cos( (x החלק השני של קו הרמה מתקבל על-ידי שיקוף. 4
ומתאפסת בקצות הקטעים,) x k, k ( cos( x) cos( x) שבהם x הפונקציה מוגדרת רק עבור ערכי כאשר הללו. אם, אז הביטוי x) cos( ואז נקודות הן קו רמה מוגדר רק בנקודות כאשר.C ( k,0). ( ) אם, אז לביטוי x) cos( אין משמעות, ז"א הפונקציה לא מקבלת ערכים שקטנים מ- קווי הרמה של הפונקציה נראים כך: גרף הפונקציה ( קובץ,Tirgul Pr_7.dpg קווי הרמה ניתן לראות ב- :)Tirgul Pr_7_.dpg f ( x, y) שאלה 8 א( בנו פונקציה אשר מרכזיהם בנקודות שעבורה קו הרמה ו- C0 ( x, y) f ( x, y) 0 יהיה מורכב משני מעגלים ברדיוס. (,0) (,0) ב( בנו פונקציה (y )g,x כך שקו הרמה C ( x, y) g( x, y) יהיה מורכב מאותם שני מעגלים. פתרון אפשרי: נכפיל פונקציה שמתאפסת על מעגל אחד בפונקציה שמתאפסת על המעגל השני. 5
f x y x y x y (, ) (( ) ) (( ) ) g x y x y x y (, ) (( ) ) (( ) ) מעניין לצייר את קווי הרמה והגרף בעזרת תכנה, תנסו... 6