מבוא לחוגים ומודולים מערכי תרגול קורס

מבוא לחוגים ומודולים מערכי תרגול קורס 88-212 יוני 2017, גרסה 1.1 אוניברסיטת בר אילן סמסטר ב תשע ז

תוכן העניינים 3 מבוא.............................. 4 תרגול ראשון........................ 1 8 תרגול שני......................... 2 14 תרגול שלישי........................ 3 19 תרגול רביעי........................ 4 24 תרגול חמישי........................ 5 27 תרגול שישי......................... 6 32 תרגול שביעי........................ 7 36 תרגול שמיני........................ 8 39 תרגול תשיעי........................ 9 43 10 תרגול עשירי........................ 49 11 תרגול אחת עשר...................... 2

מבוא כמה הערות טכניות לתחילת הקורס: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר של הקורס. הקפידו למלא את דו ח תרגיל הבית. החומר בקובץ זה נאסף מכמה מקורות, ומבוסס בעיקרו על מערכי תרגול קודמים כשהקורס נקרא אלגברה מופשטת 2. נשתדל לכתוב בגופן הזה כשהגדרות ומושגים חשובים מופיעים בפעם הראשונה. This font נוסיף בצד גם את השם באנגלית, שעשוי לעזור כשמחפשים חומר נוסף שאינו בעברית. נשמח לכל הערה על מסמך זה. מחבר בשנת הלימודים תשע ז: תומר באואר 3

1 תרגול ראשון Rng, or non-unital ring Additive group 1.1 הגדרות בסיסיות הגדרה 1.1. חוג בלי יחידה (0,,+,R) הוא מבנה אלגברי המקיים: 1. (0,+,R) הוא חבורה אבלית. נקראת החבורה החיבורית של החוג. 2. (,R) הוא חבורה למחצה. 3. מתקיים חוג הפילוג (משמאל ומימין). כלומר לכל,a,b c R מתקיים (a + b)c = ac + bc, a(b + c) = ab + ac Commutative Ring Unital ring Division ring Field כאשר ההקשר ברור, נכתוב רק R במקום (0,,+,R). הגדרה 1.2. יהי R חוג בלי יחידה. לכמה סוגים מיוחדים של חוגים יש שם משלהם: 1. R הוא חילופי אם (,R) היא חבורה למחצה חילופית. 2. R הוא חוג (או חוג עם יחידה כשהבדל חשוב), אם (,R) מונואיד. איבר היחידה של המונואיד נקרא גם היחידה של החוג..3 R הוא חוג חילוק אם ), {0} \ (R חבורה..4 R הוא שדה אם ), {0} \ (R הוא חבורה אבלית. דוגמה 1.3. הרבה מבנים אלגבריים שפגשתם הם חוגים. למשל 1. (,+,Z) הוא חוג חילופי עם יחידה. למה הוא לא שדה? 2. (,+,2Z) הוא חוג חילופי בלי יחידה. 3. (,+, n Z) הוא חוג חילופי עם יחידה. עבור n ראשוני, אפילו מדובר בשדה. 4. Q ו- R הם שדות עם הפעולות הרגילות של חיבור וכפל. 5. הקווטרניונים הרציונליים והקווטרניונים הממשיים הם חוגי חילוק לא חילופיים. עוד בדוגמה 1.21. Left invertible Unit 6. תהי X קבוצה. אז (,,(X) P) הוא חוג חילופי עם יחידה, כאשר (X) P זו קבוצת החזקה של X, זו פעולת ההפרש הסימטרי, הקבוצה הריקה היא איבר האפס ו- X הוא איבר היחידה. האם זה שדה? הגדרה 1.4. יהי R חוג. איבר a R נקרא הפיך משמאל (מימין) אם קיים b R כך ש- 1 = ba.(ab = 1) כמו בקורס מבוא לתורת החבורות, איבר הוא הפיך אם הוא הפיך משמאל ומימין, ובמקרה כזה ההופכי הוא יחיד. את אוסף האיברים ההפיכים נסמן R (זה לא חוג! רק תת חבורה כפלית). 4

תרגיל 1.5. יהי R חוג חילופי. הוכיחו כי (R) M n הוא חוג לגבי הפעולות של חיבור וכפל מטריצות. הראו כי (R) A M n הפיכה אם ורק אם det A R הפיכה. פתרון. קל לראות כי (+,(R) M) n זו חבורה אבלית שאיבר היחידה בה הוא מטריצת האפס, ש-(,(R) M) n הוא מונואיד שאיבר היחידה בו הוא מטריצת היחידה I, n ושמתקיים חוק הפילוג. לכן (R) M n חוג עם יחידה. צריך להראות שהדטרמיננטה היא כפלית גם כאשר עובדים מעל חוגים חילופיים, ולא רק מעל שדות. לא נעשה זאת כאן. נניח שקיימת מטריצה (R) B M n כך ש-.AB = BA = I n אז det(ab) = det(a) det(b) = det(i n ) = 1 = det(b) det(a) = det(ba) כלומר גם det(a) הפיכה (ההופכי הוא.(det(B) לכיוון השני נניח כי det(a) הפיכה עם הופכי c. R נעזר בתכונה A adj(a) = adj(a) A = det(a) I n וכשנכפיל ב- c נקבל.A (c adj(a)) = (c adj(a)) A = I n דוגמה.1.6 נסמן.Q[ 2] = { a + b 2 } a, b Q לגבי הפעולות הרגילות של חיבור וכפל זה שדה. בהמשך נוכל להבין את הסימון בתור פולינומים ב- 2 עם מקדמים רציונליים. קל לראות שכל הדרישות של שדה מתקיימות, ואנחנו נראה רק סגירות להופכי. יהי 0 2 b.a + אז 1 a + b 2 = 1 a + b 2 a b 2 a b 2 = a b 2 a 2 2b = 2 a a 2 2b b 2 Q[ 2] 2 a 2 2b 2 תרגיל 1.7. הראו כי החוג [2 ]Z אינו שדה, אבל שעדין יש בו אינסוף איברים הפיכים. פתרון. לאיבר [2 ]Z 2 אין הפיך כי [2 ]Z / 1. לכן זה לא שדה. נשים לב כי 2 ( 3 + 2 ) ( 2 3 2 ) 2 = 1 ולכן 2 2 2,3 + 2 3 הם הפיכים בחוג 2].Z[ כיוון ש- 1 > 2 2,3 + אז קבוצת החזקות הטבעיות שלו היא אינסופית. בנוסף כל חזקה כזו היא הפיכה כי ) n ( ) n 2 2 ( 3 +, ואלו הם אינסוף איברים הפיכים שונים. 3 2 2 = 1 דוגמה 1.8. יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F. נסמן ב-( End(V את מרחב ההעתקות הלינאריות :φ. V V זהו חוג ביחס לפעולות החיבור וההרכבה, כאשר איבר האפס הוא העתקת האפס, ואיבר היחידה הוא העתקת הזהות.id אם נבחר } F,V = F N = {(x 1, x 2,... ) x i ונתבונן בשני העתקות D ((x 1, x 2,... )) = (x 2, x 3,... ) U ((x 1, x 2,... )) = (0, x 1, x 2,... ) קל לראות כי,D U = id אבל U D id ולכן D הפיכה מימין, אך לא משמאל. 5

Left zero divisor Domain Integral domain הגדרה 1.9. יהי R חוג. איבר a R 0 נקרא מחלק אפס שמאלי (ימני) אם קיים.(ba = 0) ab = כך ש- 0 b 0 הגדרה 1.10. חוג ללא מחלקי אפס נקרא תחום. תחום חילופי נקרא תחום שלמות. דוגמה 1.11. מצאו חוגים שאינם תחומים, תחומים שאינם תחומי שלמות ותחומי שלמות. 1. Z הוא תחום שלמות..2 3 0 (mod 6) אינו תחום כי Z 6.2 3. לכל חוג חילופי R ו- 1 > n, החוג (R) M n אינו תחום. 4. חוג עם חילוק הוא תחום. הגדרה 1.12. יהי R חוג חילופי. חוג הפולינומים במשתנה x עם מקדמים ב- R מסומן Polynomial ring.r[x] זהו גם חוג חילופי (למה?) אם R תחום שלמות, אז גם R[x] תחום שלמות. אבל אם R שדה, אז R[x] לא נשאר שדה. הרי x 1 אינו הפיך. אפשר לראות זאת לפי פיתוח לטור טיילור: אבל הטור מימין אינו פולינום. 1 1 x = 1 + x + x2 +... דוגמה.1.13 האיבר [x] 1 + 2x Z 4 הפיך כי = 1 2.(1 + 2x) (1 2x) = 1 4x Subring Subrng 1.2 תת חוגים הגדרה 1.14. יהי R חוג. תת קבוצה S R נקראת תת חוג אם היא חוג לגבי הפעולות המושרות מ- R וכוללת את איבר היחידה של R. אם R חוג בלי יחידה, אז תת קבוצה S R נקראת תת חוג בלי יחידה של R אם היא חוג בלי יחידה לגבי הפעולות המושרות מ- R. שימו לב שאין מניעה כי S היא בעצמה חוג עם יחידה (אבל לאו דווקא היחידה של R). טענה 1.15. תת קבוצה S R היא תת חוג בלי יחידה של R אם ורק אם לכל.ab, a b S מתקיים a, b S דוגמה.1.1.16 nz הוא תת חוג של Z לכל.n Z 2. יהי R חוג. אם S הוא תת חוג של R, אז (S) M n הוא תת חוג של (R) M. n 3. אם איבר היחידה של R שייך לתת חוג S, אז הוא איבר היחידה של S. האם ההפך נכון? בדקו מה קורה בשרשרת החוגים בלי יחידה הבאה: {( )} {( )} {( )} 0 M 0 0 0 0 0 2 (C) 6

תרגיל 1.17. יהי R חוג בלי יחידה, ויהי a R 0. הוכיחו כי ara הוא תת חוג בלי יחידה של R. פתרון. ברור כי ara לא ריקה ומוכלת ב- R. יהיו.aba, aca ara לפי טענה 1.15 מספיק לבדוק כי aba aca = a(ba ca) = a(b c)a ara aba aca = a(baac)a ara Idempotent Center תרגיל 1.18. נניח e 2 = e R (איבר כזה נקרא אידמפוטנט). הוכיחו כי e הוא איבר היחידה של.eRe פתרון. יהי.eae ere אז.e eae = e 2 ae = eae = eae 2 = eae e הגדרה 1.19. יהי R חוג. המ ר כּ ז של R הוא Z(R) = {r R a R, ar = ra} Centralizer המ ר כּ ז של תת קבוצה S R הוא C R (S) = {r R a S, ar = ra} דוגמה 1.20. יהי R חוג. הנה כמה תכונות ברורות, וכמה פחות לגבי מרכזים: R. הוא תת חוג חילופי של Z(R) 1..C R (S) = R מתקיים S R אם ם לכל R = Z(R) חילופי אם ם R.2.Z(M n (R)) = Z(R) I n.3.r הוא תת חוג של C R (S).4.S C R (C R (S)).5.(C R (S ) C R (S) אז,S S בכך שאם (העזרו C R (S) = C R (C R (C R (S))).6 דוגמה 1.21. הקווטרניונים הממשיים הם דוגמה לחוג חילוק לא חילופי, שאפשר לחשוב עליהם כתת החוג {( ) a b H = a, b C} M b ā 2 (C) 1 = ( ) 1 0, i = 0 1 נסו לבנות אותם גם כתת חוג של (R) M. 4 אם נסמן ) ( ) ( ) 0 1 0 i, j =, k = 1 0 i 0 ( i 0 0 i.z(h) = Span R {1} = R ומתקיים H = Span R אז k} {1, i, j, 7

2 תרגול שני תרגיל 2.1 (לדלג). יהי F שדה עם מאפיין שונה מ- 2, ויהי a F כך ש- ) 2 F) a. / נסמן K = F [ a] = { α + β a α, β F } ואפשר לבדוק כי K שדה. נניח וקיים F b כך שלכל u, v F מתקיים b u 2 av 2 (לא לדאוג, קיימים שדות כאלו, כמו.(b = 5,a = 2,F = Q יהי,x = α + β a ונסמן. x = α β a הוכיחו כי הקבוצה הבאה היא חוג חילוק לא חילופי: {( ) x y D = x, y K} bȳ x פתרון. נוכיח כי D הוא תת חוג של (K) M. 2 הסגירות להפרש היא ברורה. עבור הסגירות לכפל נשים לב ( ) ( ) ( ) x y z w xz + yb w xw + y z = D bȳ x b w z bȳz + xb w bȳw + x z כדי להראות ש- D לא חילופי מספיק לבדוק ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 a 0 b 0 0 a 0 a 0 0 1 a b 0 כעת נראה כי לכל איבר יש הופכי ב- D. מספיק להראות שלכל M D 0 מתקיים 0.det(M) אכן ( ) x y det = x x byȳ bȳ x וזה יהיה שווה 0 אם ורק אם.x x = byȳ אם = 0,y אז = 0,x x לכן = 0 2 α 2 aβ ולכן = 0 β α, = כי a אינו ריבוע ב- F. כלומר קיבלנו את מטריצת האפס. אם 0 y, אז b = x x yȳ נניח, x y = u + v a אז,b = u 2 av 2 וזו סתירה להנחה. בסך הכל קיבלנו כי M הפיך ב-( K ) M. 2 כעת רק נותר להראות כי M, 1 D וזה חישוב שנשאיר לבית. Ring homomorphism הגדרה 2.2. יהיו,R S חוגים. נאמר כי :φ R S הוא הומומורפיזם של חוגים אם:.1 לכל x, y R מתקיים φ(x)φ(y).φ(xy) =.2 לכל x, y R מתקיים φ(y).φ(x + y) = φ(x) + 8

3. S 1)φ. R ) = 1 אם מוותרים על הדרישה הזו נאמר כי φ הוא הומומורפיזם של חוגים בלי יחידה. דוגמה 2.3. הומומורפיזם האפס φ(r) = 0 S לכל r R הוא הומומורפיזם של חוגים בלי יחידה. Epimorphism Projection דוגמה 2.4. הומומורפיזם על נקרא אפימורפיזם או הטלה. למשל :φ Z Z n המוגדר לפי (n φ(x) = x (mod הוא אפימורפיזם של חוגים. טענה 2.5. יהיו,R S חוגים עם יחידה, ויהי :φ R S אפימורפיזם של חוגים בלי יחידה. הוכיחו כי φ אפימורפיזם של חוגים. הוכחה. מפני ש- φ על, אז קיים a R כך ש-.φ(a) = 1 S לכן φ(1 R ) = 1 S φ(1 R ) = φ(a)φ(1 R ) = φ(a 1 R ) = φ(a) = 1 S ולכן 1)φ. R ) = 1 S כלומר זה אפימורפיזם של חוגים. מה היה קורה אילו רק דרשנו ש- S הוא חוג בלי יחידה? הוכיחו שאז S הוא עדין חוג עם יחידה. דוגמה 2.6. הומומורפיזם חח ע נקרא מונומורפיזם או שיכון. למשל :φ Z Q המוגדר Monomorphism לפי φ(x) = x הוא מונומורפיזם של חוגים. מה לגבי :ϕ 2Z Q המוגדר לפי Embedding?ϕ(x) = x זה מונומורפיזם של חוגים בלי יחידה. דוגמה 2.7. יהי R חוג חילופי, ויהי A חוג המטריצות האלכסוניות ב-( A ) M. 2 נגדיר (( )) ( ) φ: A A לפי a 0 a 0 φ = 0 b 0 0 אז φ הומומורפיזם של חוגים בלי יחידה כי (( ) ( )) (( )) ( ) a 0 c 0 ac 0 ac 0 φ = φ = 0 b 0 d 0 bd 0 0 ( ) ( ) (( )) (( )) a 0 c 0 a 0 c 0 = = φ φ 0 0 0 0 0 b 0 d (( ) ( )) (( )) ( ) a 0 c 0 a + c 0 a + c 0 φ + = φ = 0 b 0 d 0 b + d 0 0 ( ) ( ) (( )) (( )) a 0 c 0 a 0 c 0 = + = φ + φ 0 0 0 0 0 b 0 d φ (1 A ) = φ (( )) 1 0 = 0 1 ( ) 1 0 1 0 0 A אבל 9

Isomorphism Isomorphic הגדרה 2.8. הומומורפיזם חח ע ועל נקרא איזומורפיזם. נאמר שחוגים,R S שיש בינהם איזומורפיזם φ: R S הם איזומורפיים ונסמן.R = S דוגמה 2.9. העתקת הזהות היא תמיד איזומורפיזם. אבל יש עוד, למשל :φ C C המוגדרת לפי φ(z) = z היא איזומורפיזם של חוגים. תרגיל.2.10 יהי φ: Q Q הומומורפיזם של חוגים. הוכיחו כי.φ = id φ(n) = φ(1 } + {{ + 1 } ) = φ(1) + + φ(1) }{{} n times n times פתרון. יהי n. N אז = } 1 + {{ + 1 } = n n times כי = 1.φ(1) לכל הומומורפיזם מתקיים = 0,φ(0) ולכן φ(1) + φ( 1) = φ(1 1) = φ(0) = 0 נקבל כי 1 = (1)φ (1 )φ. = באופן דומה למספרים טבעיים נקבל שגם = φ( n) ( n. כמו כן 1 = φ(1) = φ n 1 ) ( ) 1 = nφ n n : m הזהות עבור הוא נקבל ש- φ,m Z לכל.φ ( 1 n n ) ( m ) φ = φ n ( m 1 n = φ(m)φ ( ) 1 = m n n ) = 1 ולכן n כמו שראינו, עבור שדות אחרים התרגיל הזה לא בהכרח נכון. למשל [2 ]Q :ϕ.ϕ id הוא איזומורפיזם, אבל ϕ(a + b 2) = a b המוגדר לפי 2 Q[ 2] תרגיל.2.11 יהי R חוג. הוכיחו (R)[x].M n (R[x]) = M n הגדרה 2.12. יהי :φ R S הומומורפיזם של חוגים. כמו בקורסים אלגברה לינארית ותורת החבורות אי אפשר להתחמק מההגדרות הבאות: Image Kernel Endomorphism Automorphism.1 התמונה של φ היא R},Im φ = {φ(x) x והיא תת חוג של.S.2 הגרעין של φ הוא 0} = φ(x),ker φ = {x R והוא תת חוג בלי יחידה של.1 R / Ker φ אז,φ שימו לב שאם 0.R 3. אם R, = S נקרא ל- φ אנדומורפיזם. אם בנוסף φ הוא איזומורפיזם, אז הוא נקרא אוטומורפיזם. הגדרה 2.13. יהי R חוג, I R תת חבורה חיבורית. Left ideal.1 נאמר כי I הוא אידאל שמאלי של R אם I לכל r R ו- I i מתקיים.r i I נסמן זאת I l R ולפעמים.I R 10

Right ideal (Two-sided) Ideal.2 נאמר כי I הוא אידאל ימני של R אם I לכל r R ו- I i מתקיים.i r I נסמן זאת.I r R 3. נאמר כי I הוא אידאל (דו צדדי) של R אם I לכל r R ו- I i מתקיים.I R נסמן זאת.r i, i r I דוגמה 2.14. בחוג חילופי ההגדרות השונות של אידאל מתלכדות. Proper ideal דוגמה 2.15. הקבוצה {0} היא אידאל של R הנקרא האידאל הטריוויאלי. לפי הגדרה גם R הוא אידאל, אבל בדרך כלל דורשים הכלה ממש I, R ואז קוראים ל- I אידאל נאות (או אמיתי). ברוב הקורס נתייחס רק לאידאלים נאותים. טענה 2.16. יהי :φ R S הומומורפיזם. אז.Ker φ R למעשה גם כל אידאל הוא גרעין של הומומורפיזם כלשהו. דוגמה 2.17. האידאלים היחידים של Z הם.nZ Left principal ideal דוגמה.2.18 נרחיב את הדוגמה הקודמת. יהי.a R אז הקבוצה R} Ra = {ra r היא אידאל שמאלי. הרי אם x, Ra אז קיים r R כך ש- ra x, = ואז לכל s R מתקיים sx = s(ra) = (sr)a Ra תת קבוצה מהצורה Ra נקראת אידאל ראשי שמאלי. דוגמה 2.19. נמצא אידאל שמאלי שאינו אידאל ימני. נבחר (Q) R = M 2 ואת יחידת המטריצה e. 12 אז {( ) ( ) ( ) } {( ) a b 0 1 a b 0 a Re 12 = R = a, c Q} c d 0 0 c d 0 c הוא בודאי אידאל שמאלי. זהו לא אידאל ימני של R כי למשל ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 1 0 = / Re 0 0 1 0 0 0 12.I R הוכיחו.I = { a + b 5 a 5Z, b Z } Z[,R = ונבחר תרגיל 2.20. יהי [5 פתרון. קל לראות כי I חבורה חיבורית (שאיזומורפית ל- Z.(5Z יהיו,a + b 5 R.5n + m 5 I אז ( a + b ) ( 5 5n + m ) 5 = 5 (an + bm) + (am + 5bn) 5 I מהחילופיות נובע ש- I הוא אידאל דו צדדי. תרגיל 2.21. יהי R חוג חילופי, ויהי (R) A M n חוג המטריצות המשולשיות העליונות. הוכיחו כי אוסף המטריצות המשולשיות העליונות עם אפסים באלכסון הוא אידאל של.A 11

Sum of ideals Ideal generated by x תרגיל.2.22 יהי R חוג, ויהי I R אידאל. הוכיחו שאם I,1 אז.I = R פתרון. לפי הגדרה, לכל i I,r R מתקיים.r i I בפרט.r 1 = r I לכן.I = R מסקנה 2.23. אידאל נאות אף פעם לא מכיל את איבר היחידה של החוג. אף יותר, אידאל נאות לא מכיל איברים הפיכים כלל. מסקנה 2.24. בחוג חילוק כל האידאלים הם טריוויאלים. תרגיל.2.25 יהיו.a, b N הוכיחו כי b a אם ורק אם.aZ bz פתרון. מצד אחד, אם,aZ bz אזי בפרט a. bz לכן קיים n Z כך שמתקיים,a = bn כלומר.b a מצד שני, אם,b a אז קיים n Z כך שמתקיים.a = bn לכן אם.x bz כלומר,x = bnm ולכן x = כך ש- am m Z קיים,x az תרגיל 2.26. הוכיחו שחיתוך אידאלים הוא אידאל. פתרון. יהיו I, J R אידאלים. לכל i I J,r R מתקיים r i I וגם r i J כי,I J הם אידאלים. לכן r. i I J כידוע לנו חיתוך תת חבורות הוא חבורה, ולכן I J אידאל. ודאו שאתם יכולים להראות שחיתוך כל קבוצה של אידאלים היא אידאל. הגדרה 2.27. יהיו,I J אידאלים. נגדיר את סכום האידאלים האלו לפי I + J = {i + j i I, j J} ודאו שאתם יודעים להוכיח שזהו אידאל. כתבו את ההגדרה לסכום אידאלים סופי. az bz = lcm(a, b)z, דוגמה.2.28 יהיו.a, b Z אז az + bz = gcd(a, b)z משפט 2.29. אוסף האידאלים של חוג עם יחס ההכלה הוא סריג מודולרי מלא, שבו.I J = I J,I J = I + J L Λ להיות אוסף הסכומים הגדרה 2.30. למשפחה Λ של אידאלים נגדיר את הסכום L הסופיים x 1 + + x n עבור.x i L i Λ ודאו שאתם יודעים להוכיח שהסכום של משפחת אידאלים (שמאליים, ימניים, דו צדדיים) הוא אידאל (שמאלי, ימני, דו צדדי), ושהוא איחוד של כל הסכומים הסופיים של אידאלים במשפחה Λ. הגדרה 2.31. יהי R חוג, ויהי x R איבר. האידאל שנוצר על ידי x הוא { n } x = α i xβ i α i, β i R, n N i=1 סימון מקובל אחר הוא.RxR באופן דומה לאיברים x 1,..., x k R מגדירים x 1,..., x k = x 1 + + x k 12

קל לראות שזו תת חבורה חיבורית, ושלכל ( n ) n r α i xβ i = (rα i )xβ i x, i=1 i=1 הערה 2.32. למה x הוא אכן אידאל? r R מתקיים ( n n α i xβ i ) r = α i x(β i r) x i=1 i=1 זהו האידאל המינימלי המכיל את x והוא שווה לחיתוך כל האידאלים המכילים את x. בנוסף, אם Z(R),x אז. x = Rx = xr דוגמה 2.33. בחוג Z[x] מתקיים 2, x = {2f(x) + xg(x) f(x), g(x) Z[x]} Z[x] תרגיל.2.34 מצאו חוג R ואיבר x R כך ש- Rx. x = פתרון. חייבים לבחור חוג לא חילופי. נשתמש בדוגמה 2.19 ונבחר (Q) R, = M 2.x = e 12 אז {( ) ( ) ( ) } {( ) a b 0 1 a b 0 a Re 12 = R = a, c Q} c d 0 0 c d 0 c ואם נבחר 0 c נקבל איבר ששייך ל- x אבל לא ל- Rx : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 a b c d 0 1 = 0 1 0 0 c d 0 0 0 0 Product of ideals הגדרה 2.35. יהיו,I J אידאלים. נגדיר את מכפלת האידאלים האלו לפי { n } IJ = i k j k i k I, j k J, k N k=1 כאשר הסכומים בקבוצה הם סופיים, אבל n לא מוגבל. ודאו שאתם יודעים להוכיח שזהו אידאל. כתבו את ההגדרה למכפלת אידאלים סופית. הערה.2.36 לכל זוג אידאלים I, J מתקיים.IJ I J דוגמה 2.37. המכפלה הנקודתית של אידאלים אינה בהכרח אידאל. נבחר בחוג Z[x] את x I = 2, ואת x.j = 3, אז הקבוצה S = {f g f I, g J} אינה אידאל. האיברים באידאלים האלו הם מהצורה g =,f = 2f 1 + xf 2 I.3g 1 + xg 2 J אם נבחר = 2,f,g = 3 אז S.6 אם נבחר,f = g = x אז.x 2 S נוכיח כי + x 2 / S,6 ולכן S אינה תת חבורה חיבורית של החוג, ובפרט 13

לא אידאל. נניח בשלילה כי קיימים Z[x] f 1, f 2, g 1, g 2 ממעלה לכל היותר,2 ובלי הגבלת הכלליות f 1, g 1 הם קבועים, כך ש- (2f 1 + xf 2 ) (3g 1 + xg 2 ) = 6 + x 2 6f 1 g 1 + (2f 1 g 2 + 3f 2 g 1 ) x + f 2 g 2 x 2 = 6 + x 2 אז = 1 2.f 1 g 1 = f 2 g לכן = ±1 1.f 2 = g 2 = ±1,f 1 = g אבל אז לא יתכן כי 2f 1 g 2 + 3f 2 g 1 = 0 Comaximal ideals הגדרה 2.38. יהי R חוג, ויהיו,I. J R נאמר כי,I J הם קו מקסימליים אם.I + J = R תרגיל.2.39 יהי R חוג חילופי. הוכיחו שאם I, J קו מקסימליים, אז.IJ = I J פתרון. ראינו בהערה 2.36 כי.IJ I J נתון כי.I + J = R לכן קיימים,i I j J כך ש- 1 = j.i + יהי.a I J אז a = a 1 = a(i + j) = a i + a j = i a + a j IJ ראינו דוגמה לכך בקורס בתורת החבורות. אם I = 2Z R, = Z ו- 3Z J, = אז 1 = 3 1 + 2 ( 1) I + J ולכן.I + J = Z לפי מה שהוכחנו.2Z 3Z = 2Z 3Z = 6Z תרגיל.2.40 הוכיחו כי האידאלים 1, x 2x 1 הם קו מקסימליים בחוג.Z[x] פתרון. פשוט נראה כי 1 שייך לסכום האידאלים. אכן 1 = ( 2) (x 1) + (2x 1) x 1 + 2x 1 3 תרגול שלישי Principal ideal Principal ideal domain (PID) הגדרה 3.1. אידאל מהצורה x נקרא אידאל ראשי. חוג שבו כל אידאל הוא ראשי נקרא חוג ראשי, אבל לא נשתמש בהם יותר מדי. תחום שלמות ראשי נקרא בקיצור תחום ראשי, ובהם נתמקד. דוגמה 3.2. Z הוא תחום ראשי. האידאלים שלו הם מן הצורה.mZ תרגיל 3.3. הוכיחו כי Z[x] אינו ראשי. פתרון. נביט באידאל Z[x]. 2, x יהי x.h(x) = 2f(x) + xg(x) 2, אז, q = 2, x /.1 לכן זה אידאל נאות. נניח בשלילה כי 2, x ונסיק כי,h(0) 2Z[x] אז q 2 וגם q x. כלומר q הוא מחלק משותף של 2 ושל x בחוג.Z[x] לכן = ±1,q ונגיע לסתירה כי Z[x] q = אינו נאות. 14

הערה 3.4. בחוג Q[x] האידאל x,2 הוא ראשי כי 2, x = 2 + x = Q[x] + x = Q[x] = 1 תרגיל 3.5 (לבית). הוכיחו שבחוג [y Q[x, האידאל y,x אינו ראשי. טענה 3.6. מנה של חוג ראשי היא ראשית (למה?). הסיקו כי החוג Z/nZ הוא ראשי. ודאו שאתם יודעים מתי Z/nZ הוא תחום ראשי. Simple דוגמה 3.7. חוג R יקרא פשוט אם אין לו אידאלים פרט ל- R ול-{ 0 }. דוגמה 3.8. חוג חילוק הוא פשוט. האם ההפך נכון? תרגיל 3.9. הוכיחו שאם חוג (עם יחידה) R הוא חילופי ופשוט, אז הוא שדה. פתרון. יהי x R.0 אז,Rx = R כי R פשוט. בנוסף x הפיך כי קיים y R כך ש- 1 =.yx עקב החילופיות, גם = 1.yx לכן R שדה. תרגיל 3.10. הוכיחו שאם R חוג פשוט, אז Z(R) שדה. פתרון. ראינו כבר כי Z(R) הוא תת חוג חילופי. יהי Z(R) x 0. מפני ש- R פשוט נקבל.Rx = xr = R כמו בתרגיל הקודם קיבלנו כי x הפיך. נשאר להוכיח כי Z(R).x 1 עבור כל r R מתקיים,xr = rx לכן,r = x 1 xr = x 1 rx לכן.x 1 Z(R) ולכן,rx 1 = x 1 r משפט.3.11 יהי.I R אז (R) M n (I) M n וכל אידאל של (R) M n הוא מן הצורה הזו. דוגמה.3.12 (Z).M n (2Z) M n הערה 3.13. אם D הוא חוג חילוק, אז (D) M n הוא חוג פשוט כי ל- D אין אידאלים לא טריוויאלים. לכן ((D) Z(M n הוא שדה, והוא איזומורפי ל-( Z(D. הראו כי.Z(M n (D)) = {d I n d Z(D)} תרגיל.3.14 יהי (R) A M n תת חוג, ויהי.I A האם קיים J R כך ש-?I = A M n (J) פתרון. לא. ניקח בתור A את המטריצות המשולשיות העליונות ב-( Z ) M, 2 ובתור I את המטריצות ב- A עם אפסים באלכסון. כל האידאלים של (Z) M 2 הם מן הצורה מכיל מטריצות שאינן ב- I. A והחיתוך שלהם עם M 2 (mz) תרגיל 3.15. יהי D חוג חילוק שאינו שדה. נסמן Z(D) F. = הוכיחו שלכל d D\F מתקיים D[x]. x d = 15

פתרון. נוכיח שהאידאל d x מכיל איבר הפיך. יהי e D כך ש- de.ed אז f(x) = e(x d) + (x d)e x d Quotient ring לכן מפני ש- D חוג חילוק, אז ל-( f(x יש הופכי. ובנוסף.f(x) = ed de D. x d = D[x] שימו לב שאם,a F אז [x] x a = F (לאיברים באידאל דרגה לפחות.(1 תרגיל.3.16 תנו דוגמה לחוגים,R, S הומומורפיזם φ: R S ואידאל I R כך ש-( φ(i אינו אידאל של S. פתרון. הזכרו שאם φ על, אז φ(i) אידאל. אז ניקח R = Z ואת S = Q עם השיכון הטבעי φ. = id התמונה של Z תחת φ היא Z, וזה לא אידאל של Q, כי האידאלים היחידים שלו הם טריוויאלים. הגדרה 3.17. יהי R חוג, ויהי I R אידאל. חוג המנה הוא הקבוצה R/I = {a + I a R} עם פעולות החיבור (a + I)+(b + I) = (a + b)+i והכפל.(a + I) (b + I) = ab+i איבר האפס הוא I ואיבר היחידה הוא 1. R + I הערה.3.18 המחלקות a + I ו- I a + הן אותו איבר בחוג המנה. R /I דוגמה.3.19 3Z.I = 18Z,R = אז R/I = {18Z, 3 + 18Z, 6 + 18Z, 9 + 18Z, 12 + 18Z, 15 + 18Z} Z 6 (בקורס בתורת החבורות החבורה החיבורית של חוג המנה איזומורפית לחבורה היינו מסמנים.( R /I = Z /6Z לפי טבלת הכפל נראה שכחוגים R /I לא איזומורפי ל- 6Z / : Z 0 3 6 9 12 15 0 0 0 0 0 0 0 3 0 9 0 9 0 9 6 0 0 0 0 0 0 9 0 9 0 9 0 9 12 0 0 0 0 0 0 15 0 9 0 9 0 9 Z/pZ = {pz, 1 + pz,..., (p 1) + pz} = F p דוגמה 3.20. יהי p ראשוני, אז דוגמה.3.21 נסמן R[x].I = x 2 + 1 = {f(x)(x 2 + 1) f(x) R},R = לכל איבר a R נסמן.a = a + I R /I מתקיים.x 2 + I = x 2 (x 2 + 1) + I = 1 + I לכן 1 = 2.x באופן דומה אפשר להראות כי x 4 = 1,x 3 = x וכו. נקבל כי R/I = {α + βx α, β R} כי כל איבר x n הוא ±x או,±1 כשמתקיים 1 = x.x לבית: הוכיחו. R /I = C 16

תרגיל.3.22 יהי /3Z[x].I = x 2 + 1,R = Z מה העוצמה של? R /I פתרון. באופן דומה לתרגיל הקודם נקבל /3Z}. R /I = {α + βx α, β Z לכן = /I R.9 Nilpotent הגדרה.3.23 איבר x R הוא נילפוטנטי אם קיים n N כך ש- 0 = n.x תרגיל 3.24. יהי R חוג חילופי ויהי N אוסף האיברים הנילפוטנטיים ב- R..1 הוכיחו כי.N R 2. הוכיחו כי ב- N / R אין איברים נילפוטנטיים לא טריוויאליים (כלומר שונים מ- 0 ). 3. תנו דוגמה לחוג לא חילופי שבו N אינו אידאל. פתרון..1 N אינו ריק כי N.0 יהיו.a, b N אז קיימים n, m N כך ש- 0 = m a. n = b נוסחת הבינום של ניוטון נכונה גם בחוגים חילופיים. לכן (a b) n+m = n+m k=0 ( ) n + m ( 1) k a k b n+m k k אם,k n אז = 0 k.a אחרת, k < n ולכן,m < n+m k כלומר = 0 n+m k.b לכן.a b N ברור שאם,r R אז ra N כי = 0 n.(ra) n = r n a.2 נניח בשלילה כי x = x + N R /N 0 הוא נילפוטנטי. אז קיים n N כך ש- 0 = n.x כלומר N = 0 = x n = (x + N) n = x n + N ולכן.x n N כלומר x n הוא נילפוטנטי, ולכן קיים k N כך ש- 0 = k.(x n ) לכן = 0 nk,x ונקבל.x N אך זו סתירה כי הנחנו.x 0 = N ( 0 0 1 = 12.e אז = 0 21,e 2 12 = e 2 ולכן הם 0 ),e 21 = ( 0 1 0.3 נבחר (Q),R = M 2 ) 0 נילפוטנטיים. אבל לכל n N (e 12 + e 21 ) n = ( ) n 0 1 1 0 ( 0 0 0 0 ולכן e. 12 + e 21 / N כלומר N אינו סגור לחיבור, ובפרט אינו אידאל. ) First isomorphism theorem משפט 3.25 (משפט האיזומורפיזם הראשון). יהי f : R S הומומורפיזם, אז R/Ker f = Im f בפרט אם φ: R S אפימורפיזם, אז. R /Ker f = S 17

Subring אז f : Z Z n הומומורפיזם המוגדר לפי n).f(a) = a (mod דוגמה.3.26 יהי. Z /nz = Z n מעתה נשתמש בסימון Z /nz (או (Z/nZ ונפסיק להשתמש בסימון Z n עבור החוג הזה, כדי לא להתבלבל עם הסימון לחוג המספרים ה- p -אדיים שנפגוש בעתיד. הגדרה 3.27. יהי R חוג, R 0 R תת חוג ו- R X תת קבוצה. תת החוג הנוצר (מעל generated by X נסמן.X ואת המכילים את R 0 S R הוא חיתוך כל תת החוגים X על ידי (R 0 תת חוג זה בסימון [X] R. 0 אם R, 0 [X] = R אז נאמר כי R נוצר על ידי X. אם } n X = {a 1,..., a סופית, אז נסמן ] n.r 0 [X] = R 0 [a 1,..., a אם קיימת Finitely קבוצה סופית X כך ש- R R 0 [X] = נאמר כי R נוצר סופית מעל R. 0 generated Evaluation map הערה 3.28. [X] R 0 הוא תת החוג הקטן ביותר (ביחס להכלה) של R המכיל את R 0 ואת X. הערה 3.29. אם Z(R) a, אז [a] R 0 הוא אוסף הפולינומים ב- a עם מקדמים מ- R. 0 דוגמה.3.30 Z R = נוצר סופית מעל כל תת חוג R 0 = nz עבור 0,n כי.R 0 [1] = Z דוגמה.3.31 יהי ] n S = R[x 1,..., x חוג פולינומים ב- n משתנים מעל.R אז S נוצר סופית מעל R עבור } n.x = {x 1,..., x תרגיל 3.32. כל חוג חילופי שנוצר סופית מעל R 0 הוא מנה (ליתר דיוק, איזומורפי למנה, אבל אנחנו לא נדקדק) של חוג הפולינומים ] n R 0 [x 1,..., x עבור n כלשהו. פתרון. יהי S חוג שנוצר סופית מעל.R 0 אז קיימת } n X = {a 1,..., a כך ש-,π(x i ) = a i לפי π : R 0 [x 1,..., x n ] S נגדיר העתקה.S = R 0 [a 1,..., a n ] π(r) = r לכל r R 0 והרחבת ההגדרה באופן שמכבד חיבור וכפל. כלומר לכל איבר של ] n R 0 [x 1,..., x נגדיר ) n.π(f(x 1,..., x n )) = f(a 1,..., a הוכיחו כי זו הומומורפיזם של חוגים. אפשר לבדוק כי π הוא על: כל איבר של S ניתן להציג כפולינום ) n,f(a 1,..., a ומקור אפשרי שלו הוא ) n.f(x 1,..., x לפי משפט האיזומורפיזם הראשון.S = R /Ker π הערה 3.33. הכיוון השני של התרגיל הקודם אינו נכון. למשל נבחר Z[x] R 0 = Z R, = ואת האידאל.2Z[x] המנה לגבי האידאל הזה איזומורפית ל-[ 2Z[x / Z (הוכיחו שקיים אפימורפיזם /2Z[x] φ: Z[x] Z שהגרעין שלו הוא.(2Z[x] אבל /2Z[x] Z אינו נוצר סופית מעל Z, כיוון שאינו מכיל תת חוג האיזומורפי ל- Z, שהרי לכל /2Z[x] a Z מתקיים = 0.2a נביא כמה דוגמאות לשימושים במשפט האיזומורפיזם הראשון להבנת חוגי פולינומים. יהי R חוג חילופי. דוגמה 3.34. יהי a R (התוצאה תהיה נכונה כאשר R לא חילופי, אם Z(R) a), ונביט בהעתקת ההצבה φ a : R[x] R המוגדרת לפי f(a).φ a (f(x)) = הוכיחו שמדובר באפימורפיזם. הגרעין של φ a הוא כל הפולינומים ש- a הוא שורש שלהם. בפרט, עבור = 0 a נקבל x,ker φ 0 = שכן מדובר בכל הפולינומים שהמקדם החופשי שלהם הוא 0. לכן.R[x, y]/ y = R[x] הראו שבאופן דומה גם.R[x]/ x = R 18

תרגיל.3.35 הראו כי a.ker φ a = x פתרון. נסתכל על ההעתקה R[x] ψ : R[x] המוגדרת לפי = 1,ψ(1) ψ(x) = x a והרחבה להומומורפיזם. הוכיחו שקיבלנו למעשה איזומורפיזם. נשים לב ש- 0 הוא שורש של R[x] f(x) אם ורק אם a הוא שורש של,ψ(f(x)) וגם שמקבלים = ψ( x ). x a. x a והגרעין שלה הוא,a היא בעצם הצבת R[x] ψ 1 φ 0 השרשרת R[x] R Ring of polynomial functions דוגמה.3.36 כל פולינום R[x] f(x) אפשר לזהות כפונקציה.f(x): R R נסתכל על חוג הפונקציות מ- R ל- R, שנסמן R R עם חיבור וכפל נקודתי. כלומר = (fg)(x),f(x)g(x).(f + g)(x) = f(x) + g(x) מצאו את איבר היחידה ואיבר האפס בחוג הזה. מכאן קל להגדיר הומומורפיזם :φ. R[x] R R שימו לב שזה לא בהכרח שיכון. למשל אם,R = Z /2Z אז = 0 x).φ(x 2 בנוסף φ לא בהכרח על. למשל אם,R = R אז לפונקציה e x אין מקור. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון, נקבל,R[x]/ Ker φ = Im φ כאשר הגרעין הוא אוסף כל הפולינומים שהצבת כל ערך מ- R תתן 0. את התמונה נסמן (R),Im φ = P ונקרא לה חוג הפונקציות הפולינומיאליות מעל R. אפשר לקבל הגדרות דומות ליותר ממשתנה אחד. תרגיל 3.37. הוכיחו שהחוגים R = C[x,y] / xy 1, S = C[x,y] / y x 2 אינם איזומורפיים. פתרון. נראה כי ] 1 t S = C[t],R = C[t, לפי בניית איזומורפיזמים: R C[t, t 1 ], S x t,y t 1 C[t] x t,y t 2 ועכשיו נותר להראות C[t].C[t, t 1 ] נזכר בתרגיל לפיו אם T תחום, אז = [x]) (T T. נקבל כי S {0} = (C[t]) {0} = C {0} היא קבוצה הסגורה לחיבור, אבל {0} R לא סגורה לחיבור כי ] 1 t 1, t C[t, ואילו + t 1 לא הפיך. 4 תרגול רביעי Second isomorphism theorem משפט 4.1 (משפט האיזומורפיזם השני). יהי I R אידאל, ויהי S R תת חוג. אז S/S I = S+I /I 19

דוגמה 4.2. הזכרו כי לכל,n m Z מתקיים gcd(n, m) lcm(n, m) = nm נראה דרך להוכיח זאת עם אידאלים של Z. למשל לפי משפט האיזומורפיזם השני gcd(n,m)z/nz = nz+mz /nz = mz /nz mz = mz /lcm(n,m)z תרגיל.4.3 יהיו I J אידאלים של.R הוכיחו שקיים אפימורפיזם.R/I R/J פתרון. מה כבר אפשר לעשות אחרי שיודעים איך נראים האיברים בחוגי המנה? נגדיר φ: R/I R/J לפי.φ(r + I) = r + J נבדוק שההעתקה הזו מוגדרת היטב. נניח.r + J = s + J לכן.r s J ולכן גם,r s I אז.r + I = s + I נבדוק שההעתקה הזו מכבדת את החיבור: φ((r+i)+(s+i)) = φ((r+s)+i) = (r+s)+j = (r+j)+(s+j) = φ(r+i)+φ(s+i) את הכפל הוכיחו בבית, ונשאר להוכיח שההעתקה על. לכל r + J יש מקור, למשל.r + I לכן φ אפימורפיזם. Third isomorphism theorem Maximal ideal משפט 4.4 (משפט האיזומורפיזם השלישי). יהיו I J אידאלים של חוג R. אז R/I/J/I = R /J הגדרה 4.5. אידאל נאות I R נקרא אידאל מקסימלי אם לא קיים אידאל נאות שמכיל אותו ממש. דוגמה 4.6. בחוג Z 32Z/ יש רק אידאל מקסימלי אחד והוא Z/32Z 2 (זה קיצור לכתיב.5 ו- Z/45Z 3 Z/45Z יש שני אידאלים מקסימליים והם Z /45Z.((2 + בחוג 32Z) Z/32Z דוגמה 4.7. בחוג חילוק אין אידאלים לא טריוויאלים, ולכן אידאל האפס הוא אידאל מקסימלי. דוגמה 4.8. לכל מספר ראשוני p, האידאל pz Z הוא מקסימלי. האם יש עוד? דוגמה 4.9. עבור חוג חילופי R, האידאל [y x R[x, אינו מקסימלי. למשל כי האידאל הנאות 0} = 0) f(0, J = {f(x, y) מכיל אותו ממש. תרגיל.4.10 יהי f : R S אפימורפיזם, ויהי I R אידאל נאות המכיל את.Ker f הוכיחו שגם f(i) S אידאל נאות. פתרון. נשאיר כתרגיל לבית ש-( f(i הוא אידאל. נניח בשלילה ש- R I אידאל נאות, אבל.f(I) = S נבחר איבר,x R \ I וקיים איבר y I כך ש-( f(x.f(y) = נשים לב כי y),x = y + (x וגם ש- I.x y Ker f לכן,x I וזו סתירה. שימו לב שאם I אינו מכיל את הגרעין, אז הטענה לא נכונה. למשל f : Z Z 2Z/ עם גרעין.Ker f = 2Z נבחר I = 3Z שהוא אידאל נאות, וגם.f(3Z) = Z /2Z 20

מסקנה.4.11 יהי f : R S אפימורפיזם. אם J S אידאל מקסימלי, אז גם (J) f 1 מקסימלי. הוכחה. נניח בשלילה שקיים אידאל.f 1 (J) I R אז (0) 1 f Ker f = (J),f 1 ולכן.Ker f I אז גם f(i) S הוא אידאל נאות לפי התרגיל הקודם. אבל הוא מכיל ממש את J, כי פרט ל-( J ) f 1 הוא מכיל איברים נוספים שלפי הגדרה לא נשלחים ל- J. לכן קיבלנו סתירה למקסימליות של J. שימו לב שהטענה לא נכונה ללא הדרישה לאפימורפיזם. למשל ההכלה :φ Z Q מקיימת {0} = ({0}) 1 φ. האידאל {0} הוא מקסימלי ב- Q כי מדובר בשדה, אבל לא ב- Z. משפט 4.12. יהי R חוג. אידאל נאות I R הוא מקסימלי אם ורק אם R/I הוא פשוט. אם בנוסף R חילופי, אז I מקסימלי אם ורק אם R/I שדה. דוגמה 4.13. האידאל Z[x],x p הוא מקסימלי לכל מספר ראשוני p מפני שחוג המנה Z[x]/ x, p = F p הוא שדה. אבל x לא מקסימלי, כי Z[x]/ x = Z אינו שדה (או כי x מוכל ממש ב- p,x ). Correspondence theorem Prime משפט 4.14 (משפט ההתאמה). יהי I R אידאל. אז ההתאמה A A/I היא איזומורפיזם של סריגים בין האידאלים של R המכילים את I לבין האידאלים של.R/I ההתאמה שומרת הכלה, חיבור, כפל, חיתוך ומנות. 4.1 אידאלים ראשוניים הגדרה.4.15 אידאל נאות I R יקרא ראשוני אם לכל A, B R המקיימים,AB I אז A I או.B I הערה 4.16. עבור חוגים חילופיים ההגדרה לראשוניות גוררת את התנאי היותר חזק שלכל a, b R המקיימים,ab I אז a I או.b I בחוגים לא חילופיים, זה תנאי שעשוי להיות יותר חזק ממש. למשל, יהי חוג חילוק D ונתבונן בחוג הפשוט (D).M 2 אידאל האפס (D) M 2 {0} הוא ראשוני, אבל מתקיים ( ) ( ) 1 0 0 0 0 0 0 1 = ( ) 0 0 0 0 מבלי שאף אחד מן האיברים באגף שמאל שייך לאידאל האפס. דוגמה 4.17. בחוג פשוט אידאל האפס הוא תמיד ראשוני. תרגיל 4.18. יהי C(R) חוג הפונקציות הממשיות הרציפות (עם חיבור וכפל נקודתיים). הוכיחו כי I = {f C(R) f(0) = 0} הוא אידאל ראשוני. 21

פתרון. אנחנו כבר יודעים מתרגיל הבית ש-( C(R I. נניח,f(x)g(x) I אז = 0.f(0)g(0) אך מפני ש- R הוא תחום שלמות, אז = 0 (0)f או = 0 (0)g. כלומר.g(x) I או f(x) I משפט 4.19. יהי R חוג חילופי. אז R הוא תחום שלמות אם ורק אם {0} הוא אידאל ראשוני. מסקנה 4.20. יהי R חוג. אז I R ראשוני אם ורק אם {0} הוא ראשוני בחוג המנה. R /I מסקנה 4.21. יהי R חוג חילופי. אז אידאל נאות I R הוא ראשוני אם ורק אם R/I תחום שלמות. דוגמה 4.22. האידאל Z[x] x הוא ראשוני כי חוג המנה Z[x] x / = Z הוא תחום שלמות. דוגמה.4.23 האידאל (Z/4Z)[x] x אינו ראשוני, כי (Z/4Z)[x] / x = Z/4Z אינו תחום שלמות. השוו לדוגמה 1.13. תרגיל 4.24. יהי R חוג חילופי, ו- R I אידאל נאות. הוכיחו כי I ראשוני אם ורק אם R \ I סגורה לכפל. פתרון. בכיוון הראשון I ראשוני, ונניח בשלילה כי,a, b R \ I אבל.ab / R \ I אזי,b / R \ I או a / R \ I כלומר.b I או a I נקבל I ומהראשוניות של,ab I שזו סתירה. בכיוון השני נניח סגירות לכפל של.R\I אם ab I וגם,a, b / I אזי.a, b R\I לכן גם ab R \ I וזו סתירה. תרגיל 4.25. יהי R חוג חילופי שבו כל האידאלים הם ראשוניים. הוכיחו כי R שדה. פתרון. מן הנתון נקבל בפרט ש-{ 0 } אידאל ראשוני, ולכן R תחום שלמות. יהי 0.x x 2 שהוא ראשוני מהנתון, ולכן, x 2 ונראה שהוא הפיך. נתבונן באידאל x R כלומר קיים a R כך ש-,x = ax 2 ונקבל = 0 1).x(ax מפני ש- R תחום שלמות וגם 0,x אז = 1.ax כלומר x הפיך, כדרוש. הערה 4.26. אם,I J R ראשוניים, אז I J לא בהכרח ראשוני. למשל בחוג Z האידאלים 3Z 2Z, הם ראשוניים, אבל חיתוכם 2Z 3Z = 6Z אינו ראשוני. טענה 4.27. יהי R חוג חילופי. כל אידאל מקסימלי של R הוא ראשוני. הוכחה. יהי I R מקסימלי. אז R/I הוא שדה כי R חילופי. בפרט, R/I הוא תחום שלמות, ולכן I ראשוני. טענה 4.28 (לדלג). יהי R חוג. כל אידאל מקסימלי של R הוא ראשוני. 22

הוכחה. נניח בשלילה כי I R מקסימלי ואינו ראשוני. כלומר קיימים,A B R כך ש- I,AB אבל.A, B I קל לראות כי (A + I) (B + I) = AB + AI + IB + I 2 I מפני ש- I מקסימלי, נקבל,A + I = B + I = R ולכן.RR I כלומר,I = R וזה בסתירה למקסימליות. מסקנה 4.29. בחוג בלי יחידה, אידאל מקסימלי M R הוא לא ראשוני אם ורק אם.R 2 M דוגמה 4.30. בחוג בלי יחידה R = 2Z האידאל I = 4Z הוא מקסימלי, אבל הוא לא ראשוני, כי.R 2 I תרגיל.4.31 יהי R חוג חילופי. הוכיחו שאם לכל x R קיים > 1 n כך ש- x,x n = אז כל אידאל ראשוני הוא מקסימלי. פתרון. יהי P R אידאל ראשוני, ויהי M R אידאל מקסימלי המכיל את P (למה בהכרח קיים כזה?). נניח בשלילה שקיים.x M \ P מתקיים x n = x עבור > 1.n לכן x(x n 1 1) = x n x = 0 P לכן בהכרח.x n 1 1 P אבל אז גם,x n 1, x n 1 1 M ולכן M,1 שזו סתירה למקסימליות של M. לכן P. = M Prime avoidance lemma למה 4.32 (למת ההתחמקות מראשוניים). יהי R חוג חילופי, ויהיו P 1,... P n R אידאלים ראשוניים. אם אידאל I R מוכל באיחוד i P i, אז I P j עבור j n 1 כלשהו. הוכחה. נוכיח את הגרסה השקולה, שאם I אינו מוכל באף אחד מ- P, i אז הוא לא מוכל באיחוד i P i. נעשה זאת על ידי מציאת איבר a I שאינו שייך לאף P. i נתחיל במקרה = 2.n לפי ההנחה ישנם איברים.a 2 I \ P 1,a 1 I \ P 2 אם a 1 / P 1 או,a 2 / P 2 אז מצאנו איבר שאינו שייך ל- P 1 P 2 וסיימנו. לכן נניח כי.a i P i לכן,a 1 + a 2 I אבל לא באף.P i הרי אם a 1 + a 2 P 1 נקבל ש- a 2 = (a 1 + a 2 ) a 1 P 1 שזו סתירה. נמשיך באינדוקציה על n. לפי הנחת האינדוקציה, I אינו מוכל באף איחוד של 1 n אידאלים מ-.P 1,..., P n נבחר a i I \ j i P j כמו מקודם, ונוכל להניח כי.a i P i ניקח את האיבר a = a 1 a 2... a n 1 + a n ששייך ל- I, אך לא לאיחוד i P i. הרי אם,a P n אז,a 1 a 2... a n 1 P n ומפני ש- P n ראשוני נקבל a i P n עבור n 1 i כלשהו, וזו סתירה. אילו a P i עבור n 1,i אז נקבל a, n P i שזו שוב סתירה. 23

הערה 4.33. ישנן גרסאות רבות של למת ההתחמקות מראשוניים. בגרסה מעט יותר חזקה נניח שנתונה תת קבוצה E R הסגורה לחיבור וכפל, ואידאלים n I, J, P 1,..., P R כאשר P i ראשוניים. אם E אינה מוכלת באף אחד מן האידאלים האלו, אז היא לא מוכלת באיחודם. 5 תרגול חמישי Prime ring 5.1 חוגים ראשוניים הגדרה 5.1. חוג R נקרא ראשוני אם לכל שני אידאלים,A B R המקיימים = 0,AB אז = 0 A או = 0.B באופן שקול, חוג הוא ראשוני אם המכפלה של כל שני אידאלים השונים מאפס, שונה מאפס. משפט.5.2 R ראשוני אם ורק אם לכל a, b R 0 קיים x R כך ש- 0.axb משפט 5.3. כל תחום הוא ראשוני. משפט 5.4. חוג חילופי הוא ראשוני אם ורק אם הוא תחום שלמות. תרגיל 5.5. יהי R חוג ראשוני. הראו שהמרכז Z(R) הוא תחום שלמות. פתרון. נעזר במשפט 5.4 מפני ש-( Z(R חילופי. יהיו Z(R),A B כך ש- 0 =.AB לכן AR נקבל = 0 R מהראשוניות של.ARBR = ABR ומתקיים = 0 AR, BR R או = 0,BR ומכאן מסיקים כי = 0 A או = 0 B. כלומר Z(R) ראשוני, ולכן הוא גם תחום שלמות. תרגיל 5.6. ראינו כבר שתת חוג של שדה הוא תחום שלמות. הפריכו את המקרה הלא חילופי: מצאו תת חוג של חוג פשוט שאינו ראשוני. פתרון. יהי F שדה. אז ) F) R = M 2 הוא חוג פשוט, ונסמן ב- T את תת החוג של מטריצות משולשיות עליונות ב- R. אז T הוא לא ראשוני כי מכפלת האידאלים ( ) ( ) 0 I =, J = 0 0 0 היא אפס, אך הם כמובן שונים מאפס. תרגיל 5.7 (ממבחן). חוג R נקרא ראשוני למחצה אם לא קיים אידאל I R 0 כך Semiprime ש- 0 = 2 I. אידאל P בחוג כלשהו R נקרא ראשוני למחצה אם R/P הוא חוג ראשוני למחצה. 1. הוכח כי כל אידאל ראשוני הוא אידאל ראשוני למחצה. 2. הוכח כי P ראשוני למחצה אם ורק אם לכל אידאל I, R אם I, 2 P אז.I P 24

פתרון. קל לראות שהסעיף השני גורר את הראשון. לכן נוכיח רק את הסעיף השני. תהי :φ R R/P ההטלה הטבעית. נניח כי P ראשוני למחצה, ולכן R/P ראשוני למחצה. יהי אידאל I R המקיים I. 2 P נפעיל את φ, שהיא אפימורפיזם, ולכן φ(i) R/P ובנוסף = 0 2.(φ(I)) מהראשוניות למחצה של,R/P נסיק כי.I P ולכן,φ(I) = 0 בכיוון ההפוך, נניח כי P לא ראשוני למחצה, ולכן R/P לא ראשוני למחצה. לכן קיים אידאל I R/P 0 כך ש- 0 = 2.I האידאל φ 1 (I) R מקיים 2 (I)) (φ 1,P אבל,φ 1 (I) P וזו סתירה. 5.2 מיקום מרכזי הגדרה 5.8. יהי R חוג ותהי S R תת קבוצה המקיימת: 1. כל איברי S הם רגולריים (כלומר לא מחלקי אפס). 2. S סגורה לכפל. S Z(R).3 1 S.4 במילים: S היא תת מונואיד כפלי מרכזי של איברים רגולריים. נסמן ב- R S 1 את קבוצת מחלקות השקילות של S R תחת היחס (s, r) (s, r ) rs = sr Localization ונסמן את המחלקה של (r, s )ב-. r הקבוצה S, 1 R יחד עם פעולות הכפל והחיבור s שמגיעות כשברים מ- R, הוא חוג הנקרא המיקום של R ב- S. הערה.5.9 יש מונומורפיזם טבעי ι: R 1 S 1 R לפי.ι(r) = r הוא שולח את איברי S לאיברים הפיכים. התכונה האוניברסלית של מיקום היא שאם f : R T הוא הומומורפיזם של חוגים כך ש- T,f(S) אז קיים הומומורפיזם יחיד g : S 1 R T כך ש- ι.f = g הערה 5.10. בדרישות מתת הקבוצה S, ניתן לוותר על הדרישות ש- S סגורה לכפל, ועל S 1, ואת המיקום היינו מגדירים ביחס לסגור הכפלי של S. מפני שלרוב נדבר על מיקום בחוגים חילופיים, אז גם הדרישה Z(R) S מתייתרת. { [ Z.S 1 R = שימו לב 1 3] } = 3.S אז דוגמה.5.11 נבחר k k N,R = Z [ 1 Z φ: Z[x] שבו 1 x אינו חח ע, מפני שהגרעין לא 3 3] שהומומורפיזם ההצבה טריוויאלי. למשל 0 1.3x הגדרה 5.12. יהי R חוג חילופי. נאמר שהוא חוג מקומי אם יש לו אידאל מקסימלי Local ring יחיד. 25

דוגמה.5.13 יהי p Z ראשוני. אז S = Z \ pz סגורה לכפל והחוג Z p = S 1 Z הוא חוג מקומי. האידאל המקסימלי היחיד שלו הוא p m. = pz כדי לראות ש- m מקסימלי, אפשר להוכיח Z p m/ = Z/pZ וזה שדה (האיזומורפיזם לא לגמרי טריוויאלי). כאשר R הוא תחום שלמות, אז אפשר לחשוב על מיקום שלו S 1 R כמשוכן בשדה השברים של R (ראו הגדרה 5.16). לכן יותר קל לחשוב על החוג בתור הקבוצה { a } Z p = b Q p b { a } m = b Q p a, p b קל לראות ש- m הוא האידאל המקסימלי היחיד, שכן כל האיברים ב- m Z p \ הם הפיכים. דוגמה 5.14. החוג Z/p k Z עבור p ראשוני ו- k טבעי הוא חוג מקומי. טענה 5.15 (מההרצאה). חוג הוא מקומי אם ורק אם קבוצת האיברים הלא הפיכים שלו היא אידאל. הוכחה. נניח כי R הוא חוג מקומי עם אידאל מקסימלי m. יהי x. R \ m אז בהכרח שמוכל באידאל מקסימלי ששונה מ- m. x יוצר אידאל x הפיך, שכן אחרת x בכיוון השני, נניח שקבוצת האיברים הלא הפיכים I היא אידאל. אז כל אידאל אחר של R חייב להיות מוכל ב- I, כי אידאלים לא מכילים איברים הפיכים. לכן I אידאל מקסימלי יחיד. Fraction field, or field of quotients הגדרה 5.16. יהי R תחום שלמות. הנקרא שדה השברים של R. דוגמה 5.17. Q הוא שדה השברים של Z. עבור {0} \ R S = המיקום S 1 R הינו שדה, דוגמה 5.18. יהי F שדה. שדה השברים של [x] F הוא שדה הפונקציות הרציונליות { } f(x) F (x) = g(x) f, g F [x], g 0 משפט 5.19. נסתכל על התאמות בין שתי קבוצות של אידאלים { J S 1 R } {I R I S = } S 1 I I J J R 26.1 ההתאמה S 1 I I היא על..2 ההתאמה J J R היא חח ע.

3. הטענות האלו נכונות גם כאשר נגביל את הקבוצות רק לאידאלים ראשוניים. הערה.5.20 יתכן מצב שבו } = S I 0 {I R I אינו ראשוני, אבל S 1 I 0 כן,S = { 2 k k N } ראשוני ב- R S. 1 למשל, 6Z Z אינו ראשוני, וכאשר נבחר את אז (3Z) S 1 (6Z) = S 1 הוא ראשוני ב- Z.S 1 הגדרה.5.21 יהי R תחום שלמות, ויהי P R אידאל ראשוני. אז S = R \ P סגורה לכפל. החוג R P = S 1 R נקרא המיקום של R ב- P. זהו חוג מקומי שהאידאל המקסימלי שלו הוא.P R P = S 1 P דוגמה.5.22 Z P = pz,r = עבור p מספר ראשוני. מתקבל החוג המקומי p.z דוגמה.5.23 יהי R 0 תחום שלמות. נסמן [x],p = x a,a R 0,R = R 0.S = R \ P אז יתקבל החוג המקומי { } f S 1 R = R 0 [x] x a = g g / x a תרגיל.5.24 יהי R חוג חילופי, ויהיו I, J R אידאלים. נסמן I P, J P עבור האידאלים המתאימים במיקום R, P כאשר P R אידאל ראשוני. הוכיחו שאם לכל אידאל ראשוני.I = J אז,I P = J P מתקיים P פתרון. נראה זאת בעזרת הכלה דו כיוונית. בה כ נניח בשלילה כי I, J כלומר שקיים.x I \ J נתבונן באידאל (J : x) = {r R rx J} ודאו שאתם מבינים למה זה אידאל, ולמה הוא נאות אם J נאות. שימו לב כי J,I M = J M לפי ההנחה.(J : x) האידאל המקסימלי שמכיל את M יהי.(J : x) ולכן. x 1 J M כלומר x 1 = j r עבור.r R \ M, j J לכן,rx = j ונקבל.I J ולכן,r R \ זו סתירה לכך ש- M.r (J : x) M שימו לב שאפשר להסתפק בכך שהתנאי I P = J P נכון רק לאידאלים מקסימליים. 6 תרגול שישי משפט 6.1 (מההרצאה). יהי R חוג חילופי. התנאים הבאים שקולים: 1. R הוא חוג מקומי. 2. אוסף האיברים הלא הפיכים הוא אידאל..3 לכל,a, b R אם = 1 b,a + אז a הפיך או b הפיך. מסקנה 6.2. בחוג מקומי R לכל x R מתקיים ש- x הפיך או x 1 הפיך. 27

מסקנה 6.3. בחוג מקומי אין אידמפוטנטים לא טריוויאלים. הוכחה. נניח בשלילה e R 0 אידמפוטנט. אז,e = e 2 לכן = 0 e),e(1 ונקבל שגם e וגם e 1 לא הפיכים (כי הם מחלקי אפס). זו סתירה למסקנה הקודמת. תרגיל 6.4. יהי m אידאל מקסימלי בחוג R. הוכיחו שעבור n N החוג R/m n הוא חוג מקומי עם אידאל מקסימלי.m/m n פתרון. לפי משפט ההתאמה, כל אידאל מקסימלי של R/m n הוא מן הצורה I/m n עבור אידאל מקסימלי I R המכיל את m. n יהי I כזה. מפני ש- I מקסימלי, אז הוא גם ראשוני. לכן מההנחה m n I נקבל ש- I.m אבל m מקסימלי, ולכן.I = m כלומר אין אידאלים מקסימליים ב- R/m n פרט ל-.m/m n דוגמה 6.5. יהי F שדה. אז [x] x F אידאל מקסימלי (למה? כי המנה איזומורפית לשדה). לכן החוג n F /[x] x הינו חוג מקומי לכל n, N והאידאל המקסימלי שלו הוא n.xf [x]/ x תארו את החוגים המקומיים המגיעים מהאידאל המקסימלי [y,x. y F,x] תרגיל.6.6 יהי F שדה ממאפיין שונה מ- 2. האם 2?F [x]/ x 2 1 = F [x]/ x פתרון. לא. נשים לב כי 1 x. x 2 1 = x + 1 מכיוון ש- 2 = 1) 1) (x (x + הינו הפיך, אז [x]. x + 1 + x 1 = F כלומר אלו הם אידאלים קו מקסימליים. לכן x + 1 x 1 = x + 1 x 1 ונקבל F [x]/ x 2 1 = F [x]/ ( x + 1 x 1 ) = F [x]/ x + 1 F [x]/ x 1 = F F שהוא בודאי לא חוג מקומי. ו- F.{0} הרי יש לו שני אידאלים מקסימליים שונים {0} F תרגיל 6.7 (לבית). מצאו את האיברים ההפיכים ב- F. /[x] x n 6.1 חוגי טורים פורמליים הגדרה 6.8. יהי R תחום. חוג טורי לורן הפורמליים R((x)) כולל את כל הסכומים Formal Laurent עבור n N כלשהו ו- R.a i הפעולות הן series האינסופיים הפורמליים i= n a ix i החיבור והכפל המוכללות מחוג הפולינומים. לחוג זה יש תת חוג של טורי חזקות פורמליים Formal power. כקבוצה, טורי חזקות פורמליים הם R, N אבל כחוג series i=0 a ix i הכולל סכומים R[[x]] פעולת הכפל היא לא רכיב רכיב! דוגמה 6.9. בחוג R[[x]] האיבר x 1 הוא הפיך (השוו למצב ב-[ R[x ), אבל x אינו הפיך. לכן R[[x]] אינו שדה. אם יש זמן, הנה עוד קצת על חוגי טורים פורמליים: 28

דוגמה 6.10. אם D הוא חוג חילוק, אז D[[x]] הוא חוג ראשי. כל אידאל שם הוא מן הצורה n x או {0} (בחרו לפי דרגה מינימלית של איברים באידאל). למשל H[[x]] הוא חוג ראשי שאינו חילופי. הגדרה 6.11. לאיברים של R((x)) אין דרגה מוגדרת, אך כן ניתן להגדיר הערכה, שהיא Valuation פונקציה { } Z v : R((x)) המוגדרת לפי v(0) =, ( ) v a i x i = min {i a i 0} i= n טענה.6.12 מתקיים v(g)} v(f + g) min {v(f), וגם v(g).v(f g) v(f) + אם.v(f g) = v(f) + v(g) הוא תחום, אז יש שיוויון R טענה 6.13. אם R תחום, אז R((x)) הוא תחום. אם F הוא שדה, אז ((x)) F הוא שדה. 0 f(x) = הוכחה. נראה רק הוכחה חלקית למקרה של שדה: a i x i = x n (a n + a n+1 x +... ) = x n g(x) i= n כאשר,v(f) = n והמקדם החופשי של g(x) הוא a n F.0 לכן g(x) הפיך. בנוסף x n הפיך, ולכן f(x) הפיך. הערה 6.14. ניתן לחזור על הבניה של חוגי טורים פורמליים כמה פעמים. שימו לב שבעוד שבחוגי פולינומים מתקיים [y][x] F [x][y] = F (למעשה החוגים איזומורפיים, אבל נתעלם מכך), בחוגי טורים דברים מסתבכים. למשל F [x, y] F [[x]][y] F [y][[x]] F [[x]][[y]] F [[y]]((x)) F ((x))[[y]] F ((x))((y)) בנוסף החוג y)) F ((x, הוא שדה השברים של y]],f [[x, אבל ((x))((y)).f ((x, y)) F הסבר לכך אפשר למצוא בקישור הזה. תרגיל 6.15. יהי R חוג חילופי. הוכיחו שכל אידאל ראשוני P R הוא מן הצורה.Q R[[x]] עבור אידאל ראשוני R Q פתרון. עבור P נבנה את x Q. =,P אפשר לראות ש- Q הוא ראשוני לפי המנה R[[x]]/Q = R/P 29

6.2 חוגי פולינומים מעל תחומי שלמות עבור הפרק הזה יהי R הוא תחום שלמות, ויהיו,a b R איברים. Divides הגדרה 6.16. נאמר ש- a מחלק את b, ונסמן,a b אם קיים k R כך ש- b.ak = דוגמה 6.17. ב- Z מתקיים 4 2, אבל 4 3. לעומת זאת 4 3 ב- Q. דוגמה 6.18. יהי F שדה. נתבונן בתת החוג [x] S F של הפולינומים שהמקדם של x הוא 0 (כלומר האיברים בו הם פולינומים מן הצורה.a n x n + + a 2 x 2 + a 0 הוכיחו שזה חוג). שם,x 2 x 3 אבל x 2 x 3 ב-[ x ].F הערה 6.19. יש קשר הדוק בין יחס החלוקה לאידאלים: a b אם ורק אם,Rb Ra שכן.ak = b Equivalent up to multiplication by a unit הגדרה.6.20 יהיו.a, b R אם a b וגם,b a נאמר כי a ו- b חברים ונסמן זאת.a b ודאו שאתם יודעים להוכיח שיחס החברות הוא יחס שקילות. כמה תכונות של יחס זה:.1 מתקיים a b אם ורק אם.Ra = Rb.2 נניח {0} \ R.a, b אז a b אם ורק אם קיים R u כך ש- bu.a = למה? שהרי ak = b וגם,bm = a נציב ונקבל.bmk = b אז = 0 mk) b(1 וכיוון ש- R תחום שלמות ו- 0,b אז = 1.mk כעת אפשר לבחור R.u = m 3. בפרט, 1 a אם ורק אם a הפיך אם ורק אם.Ra = R תרגיל 6.21. מצאו את ההפיכים בחוגים F. [x],z[i] Z, פתרון. בחוג Z רק 1} { 1, הפיכים. בחוג [x] F לפי תרגיל שעשינו = F (F [x]) =.F \ {0} עבור Z[i] נתבונן בנורמה {0} N N : Z[i] של האיבר a + bi המוגדרת לפי N(a + bi) = (a + bi)(a bi) = a 2 + b 2 כלומר לכן זו פונקציה כפלית. זהו צמצום של הנורמה מ- C אל תת החוג.Z[i] N(αβ) = לכן.αβ = הפיכים כך ש- 1 α, β Z[i] יהיו.N(α)N(β) = N(αβ) = 1 (1)N. כיוון שהנורמה בחוג הזה מקבלת רק מספרים שלמים לא שליליים, נקבל N(α) = הפתרונות היחידים למשוואה.α = a + bi נניח.N(α) = N(β) = 1 = 1 2 a 2 + b הם (a = 0, b = ±1) (a = ±, b = 0) כלומר האיברים ההפיכים בחוג Z[i] הם רק i±,±1. 30

Ring of integers Norm Q[ { D] = a + b D } a, b Q O D = הגדרה 6.22. יהי D Z חופשי מריבועים. עבור השדה נגדיר את חוג השלמים שלו להיות { Z[ D], D 2, 3 (mod 4) Z[ 1+ D 2 ], D 1 (mod 4) הגדרה.6.23 יהי D Z חופשי מריבועים. נגדיר לכל איבר α = a +b D את הנורמה N : O D Z לפי ( N(α) = αα = a + b ) ( D a b ) D שימו לב שהאינוולוציה α היא לא בהכרח הצמוד המרוכב. כמה מן התכונות השימושיות של נורמה: N(x)N(y) N(x) = 0,N(xy) = אם ורק אם = 0.x Pell s equation הערה 6.24. משוואת פל היא כל משוואה דיופנטית מן הצורה x 2 Dy 2 = 1 כאשר D שלם לא ריבועי. לגראנז הוכיח שכאשר D טבעי ואינו ריבוע, למשוואה יש אינסוף פתרונות שלמים. מה הקשר לנורמה בחוגי שלמים ריבועיים? מה הקשר לפיתוח D כשבר משולב? בעיה 6.25 (משפט דיריכלה לשדות ריבועיים עם דיסקרימיננטה חיובית). יהי > 0 D α0± עבור חופשי מריבועים. אז קיים α 0 O D כך שכל איבר הפיך הוא מן הצורה n.n Z הדרכה להוכחה:.1 יהיו α = a + b D,α = a + b D פתרונות למשוואת פל. הוכיחו שגם αα = (aa + Dbb ) + (ab + a b) D הוא פתרון למשוואת פל. הסיקו שאוסף הפתרונות למשוואת פל הוא תת חבורה של.O D.2 נאמר כי > 0 α אם > 0 a וגם > 0.b הראו שאם > 0 α,α, אז גם > 0 α.αα, α +.3 הניחו כי > 0 α α, הפיכים. נאמר כי α α > אם > 0 α.α הוכיחו ש- a a > אם ורק אם b b > אם ורק אם α.α >.4 הניחו > 0 α α > פתרונות למשוואת פל. הוכיחו כי > 0 1 α.α > α 5. הוכיחו שקיים α 0 O D כך שכל פתרון למשוואת פל הוא מן הצורה α n 0 עבור β מינימלי, והניחו בדרך השלילה שקיים פתרון > 0 α 0 רמז: בחרו > 0.n Z שאינו חזקה של α. 0 31

6. סיימו את הוכחת משפט דיריכלה לשדות ריבועיים עם דיסקרימיננטה חיובית. תרגיל.6.26 מצאו את כל ההפיכים של 3] Z[.O 3 = פתרון. הפתרון המינימלי של המשוואה = ±1 2 a 2 3b הוא = 1 b.a = 2, נסמן 3 + 2 = 0.α לפי משפט דיריכלה לעיל האיברים ההפיכים של O 3 הם רק ±α0 n עבור n Z וזהו. תרגיל 6.27. עבור 3 = D מצאו את ההפיכים ב- 3 O. 3 1+ =.ω באופן דומה לתרגיל 6.21 O. נסמן 2 3 = Z[ 1+ 3 פתרון. לפי הגדרה ] 2 3 1+ Z[.α = a + bω נחשב ונראה שגם כאן עבור Z[i] נעזר בנורמה של איבר ] 2 הנורמה היא מספר שלם לא שלילי: N(α) = ( a + 1 ) ( 3 2 b + 2 bi a + 1 ) 3 2 b 2 bi = ( a + 1 2 b ) 2 + 3 4 b2 = a 2 +ab+b 2 (תרגיל: הראו שהנורמה תמיד מקבלת ערכים שלמים על [D ]Z, ואילו על O D היא תקבל ערכים שלמים אם ורק אם (4 D.) 1 (mod גם כאן אפשר לראות ש- α הפיך אם ורק אם = 1.N(α) אם > 2, b אז 3 b2, 3 4 ולכן > 1.N(α) כלומר אם נרצה איבר הפיך נדרוש 1. b מפני ש- a 2 + ab + b 2 סימטרי בהחלפת a ו- b, אז בהכרח גם 1. a הפתרונות היחידים למשוואה = 1 2 a 2 + ab + b הם (a = 0, b = ±1) (a = ±1, b = 0) (a = ±1, b = 1) כלומר האיברים ההפיכים בחוג 3 O הם רק ω) ±ω, ±(1.±1, טענה 6.28. מפני שאנו עוסקים בתחומי שלמות, אז עבור 0 a מתקיים a b אם ורק אם.ba 1 R המכפלה האחרונה מחושבת בשדה השברים של R (שקיים!) ולא מדקדקים בכך שאנו עובדים עם השיכון לשדה השברים. דוגמה 6.29. בחוג Z מתקיים 4 2. לכן Z 1 2 4, אף על פי ש- 2 לא הפיך ב- Z. באופן דומה בחוג 5] Z[ מתקיים 5 + 5 7 + 2 כי ( 7 + ) ( 5 2 + ) 1 ( 5 = 7 + ) ( 5 2 + ) 5 = 9 + 5 5 Z[ 5] 7 תרגול שביעי Irreducible הגדרה.7.1 תמיד אפשר לפרק איבר a R 0 בתחום שלמות כ- 1 au u a = כאשר R u איבר הפיך. לפירוק כזה נקרא פירוק טריוויאלי. נאמר שאיבר a R 0 לא הפיך הוא אי פריק אם אין לו פירוק לא טריוויאלי. טענה 7.2. התנאים הבאים שקולים: 32

1. a אי פריק..2 אם,a = xy אז a x או.a y.3 אם,a = xy אז x הפיך או y הפיך..4 אם,a = xy אז a x או x הפיך..5 אם,x a אז a x או x הפיך. דוגמה 7.3. [x] x F הוא אי פריק. קל לבדוק לפי דרגה שלא קיימים g(x) f(x),.x = f(x) לא הפיכים כך ש-( g(x F [x] דוגמה 7.4. חשוב לדעת באיזה חוג נמצאים: האיבר x 2 + 1 הוא אי פריק ב-[ R[x, אבל פריק ב-[ C[x. דוגמה 7.5. כל מספר ראשוני הוא אי פריק ב- Z (נסו לנחש הכללה). לעומת זאת, האיבר אינם הפיכים ב-[ Z[i. 1 + i, 1 =,2 וראינו ש- i (1 + i)(1 i) פריק כי 2 Z[i] הערה 7.6. בשדה, או בחוג חילוק, העניין בפריקות נהפך טריוויאלי, כי כל איבר ששונה מאפס הוא הפיך. תרגיל 7.7. יהי p R אי פריק, ויהי q. p הוכיחו ש- q אי פריק. פתרון. מהתכונות של יחס החברות, קיים R u כך ש- up q. = נניח q, = bc ונרצה להראות ש- b או c הפיכים. נחשב p = u 1 q = (u 1 b) c ומפני ש- p אי פריק, נקבל ש- b u 1 או c הפיכים. אם c הפיך, סיימנו. אחרת, u 1 b הפיך ונקבל ש- b b = u u 1 הפיך כמכפלת איברים הפיכים. תרגיל 7.8. הוכיחו שאם x y ב- O, D אז N(x) N(y) ב- Z. הסיקו ש- x הפיך ב- O D אם ורק אם = ±1.N(x) פתרון. כמעט מייד מכפליות הנורמה. נתון,x y ולכן y = xc עבור c. O D לכן N(y) = N(xc) = N(x)N(c) ולכן.N(x) N(y) אם x הפיך, אז קיים 1 x כך ש- 1 = 1,xx לכן = 1 ) 1 N(x)N(x ולכן = ±1 N(x) כי.N(x) Z אם = ±1,N(x) אז = ±1.x x כלומר x 1 = ±x הוא ההופכי של x. תרגיל 7.9. יהי a. O D הוכיחו שאם N(a) אי פריק, אז a אי פריק. פתרון. נניח a. = xy אזי N(x)N(y).N(a) = מפני ש-( N(a אי פריק ב- Z, אז הוא מספר ראשוני (או הנגדי שלו). לכן N(x) או N(y) הם ±1, ולכן x או y הפיכים. כלומר a אי פריק. 33

תרגיל 7.10. תנו דוגמה לאיבר a O D אי פריק עבורו N(a) אינו ראשוני. פתרון. נבחר = 10.D נראה ש-[ 10 Z[ a = 4 ± 10 O 10 = אי פריקים. נניח.a = xy אזי N(x)N(y) = N(a) =.6 נניח בשלילה ש- y x, לא הפיכים. לכן ±1,N(x) או למעשה ±3} {±2,.N(x) יהי,c + d 10 O 10 אזי N(c + d 10) = c 2 10d 2 = k Z נחשב מודולו 10 ונקבל (mod10).c 2 k הריבועים מודולו 10 הם 9}.{0, 1, 4, 5, 6, נשים לב שמפני ש- 8,2,3,7 אינם ריבועים מודולו 10, אז,±2 ±3 k. כלומר ב- O 10 אין איברים מנורמה,±2. ±3 זו סתירה לכך ש- x לא הפיך. באופן דומה 6 = 10) ±,N(2 N(2) = 4 ו- 9 = N(3) הם אי פריקים כי אין איברים מנורמה,±2. ±3 שימו לב ש- 10 ± 3 הפיכים. תרגיל.7.11 הוכיחו ש- ] 5 [ Z a = 1 + 5 O 5 = אינו פריק. פתרון. נניח.a = xy אזי N(x)N(y) = N(a) =.6 נניח בשלילה ש- y x, לא הפיכים. כלומר N(x) = 2, N(y) = 3 N(x) = 3, N(y) = 2 מפני שהנורמה ב- 5 O אינה שלילית, הרי.N(c + d 5) = c 2 + 5d 2 אבל למשוואות =,2 3 2 c 2 + 5d אין פתרון בשלמים (ניתן לחשב מודולו 5 ולראות ששם הריבועים הם רק 1 ו- 4 ). סתירה. תרגיל 7.12. הוכיחו כי [5 ]Z אינו חוג ראשי. כלומר שקיים אידאל שלא נוצר על ידי איבר אחד. פתרון. נבחר את 5 + 1 2, =.I תחילה נראה כי I נאות. יהי 5)b 2a+(1+ I איבר כלשהו. הנורמה שלו היא N(2a + (1 + ( 5)b) = 4aa + 2 (1 + 5)ba + (1 + ) 5)ba + 6bb ולכן והיא תמיד מתחלקת ב- 2. לכן / I 1, כלומר I נאות. נניח m I. = אז קיימים 5] Z[ c, d כך ש- cm = 2, dm = 1 + 5 N(c)N(m) = 4, N(d)N(m) = 6 מכאן נקבל ש- 6.N(m) 4, כלומר {2,1}.N(m) בתרגיל הקודם ראינו שאין איברים מנורמה 2 ב-[ 5,Z[ ולכן = 1.N(m) כלומר m הפיך ונקבל m = Z[ 5] I שזו סתירה. הגדרה 7.13. איבר p R 0 יקרא ראשוני אם p לא הפיך ואם p ab גורר ש- p a או Prime.a, b R לכל p b 34

תרגיל 7.14. כל איבר ראשוני הוא אי פריק. פתרון. נניח בשלילה p R 0 ראשוני ופריק. אז p = ab עבור a, b לא הפיכים כלשהם. לכן p ab ונניח בה כ כי.p a כלומר קיים c R כך ש- pc a. = לכן,p = ab = pcb לכן = 0 cb) p(1 ומפני ש- 0 p נקבל ש- 1 = bc (כזכור R תחום שלמות). סתירה לכך ש- b לא הפיך. הערה 7.15. R p איבר ראשוני אם ורק אם Rp אידאל ראשוני אם ורק אם R/Rp תחום שלמות. תרגיל.7.16 הראו כי Z[i] + i 1 הוא ראשוני. פתרון. נוכיח כי i+1 / Z[i] הוא תחום שלמות, ולפי ההערה האחרונה זה מספיק. נסמן את תמונת איבר Z[i] x בהטלה הטבעית למנה ב- i.x = x + 1 + נבדוק a + bi (a b) = b + bi 1 + i ולכן a. + bi = a b כלומר לכל מחלקה בחוג המנה יש נציג שהוא מספר שלם. בנוסף N(1 + i) = (1 + i) (1 i) = 2 1 + i Z[i]/ 1+i = {a + bi + 1 + i a, b Z} = { a b } a, b Z { } = (a b) (mod2) a, b Z = { 0, 1 } = Z/2Z ולכן הערה 7.17. כמו בשאר ההגדרות, ראשוניות איבר תלויה בחוג. למשל Z 2 ראשוני, ואילו Z[i] 2 פריק, ולכן גם לא ראשוני. דוגמה 7.18. ישנם איברים אי פריקים שאינם ראשוניים. למשל ראינו כי [10 ]Z 3 אי פריק, ונראה שהוא לא ראשוני. נשים לב כי ( 3 6 = 4 + ) ( 10 4 ) 10 אבל 3 לא מחלק את 10 ± 4 משיקולי נורמה. כלומר אם = 3α ) 10 ± ( 4 עבור 10] Z[,α אז 6 = N(4 ± 10) = N(3)N(α) = 9N(α) ונקבל N(α) = 6 9 Z שזו סתירה. תרגיל.7.19 הוכיחו שכל אידאל D] I Z[ 0 מכיל מספר טבעי, והסיקו כי Z[ D]/I סופי. 35

פתרון. יהי.α = a + b D I מצד אחד, N(α) = a 2 Db 2 Z ומצד שני ( N(α) = a + b ) ( D a b ) D I Z[ D]/I = { a + b D + I } { a, b Z = a + b D + I נסמן N(α).k = אז } 0 a, b k מסקנה מן התרגיל: אם [D I ]Z 0 ראשוני, אז ]Z D]/I תחום שלמות סופי, ולכן מדובר בשדה. כלומר I הוא מקסימלי. שאלה למחשבה: מה ניתן לומר על אוסף הפתרונות של משוואת פל המוכללת?x 2 Dy 2 = k תרגיל.7.20 הוכיחו כי Z[x] x 2 + 2 הוא איבר ראשוני. פתרון. נוכיח כי 2] Z[ Z[x] / x 2 +2 = בעזרת הומומורפיזם ההצבה Z[x] φ : 2] Z[ השולח את f(x) ל-( 2.f( הגרעין הוא בדיוק 2 x 2 + ונקבל את האיזומורפיזם הדרוש לפי משפט האיזומורפיזם הראשון. מפני שהנורמה ב-[ 2 ]Z מתאפסת רק עבור 0, אז מדובר בתחום שלמות. לכן האידאל 2 x 2 + הוא ראשוני, ולכן x 2 + 2 ראשוני. 8 תרגול שמיני הגדרה 8.1. תחום שלמות R נקרא אטומי אם לכל a R 0 קיים פירוק לגורמים אי Atomic domain פריקים. דוגמה 8.2. הנה רשימה של כמה תחומים אטומיים: Z, כל שדה F (באופן ריק), כל חוג שלמים ריבועיים F [x] O, D ו-[ Z[x. דוגמה 8.3. הפירוק לגורמים אי פריקים בתחום אטומי הוא לא בהכרח יחיד, ואפילו האורך של הפירוק הוא לא בהכרח קבוע (או חסום). למשל בחוג [7 ]Z מתקיים 2 2 2 = ) 7 1 ( ) 7 + 1 (, שהם שני פירוקים שונים לגורמים אי פריקים. דוגמה 8.4 (מההרצאה). לא כל תחום שלמות הוא אטומי. למשל החוג { } R = a i x b i a i Z, 0 b i Q finite כאשר הסכומים לעיל הם סופיים. 36