. [1,3] ו = 0 f(3) f(1) = עמוד 1 מתוך 6 דר' ז. אולחא מס' הקורס 9711 חדו''א הנ מכונות 1 f ( x) = ( x 1)( x 2)( x 3) c= f c = c (1,3), c תשובות I 1) פונ

תמליל

1 . [,] ו 0 f() f() עמוד מתוך 6 ז. אולחא מס' הקורס 97 חדו''א הנ מכונות f ( ) ( )( )( ) f (,), תשובות I ) פונ' לכן קיים פתרון רציפה וגזירה בקטע כך ש 0 ) (? f ( ) +, ± ± 0.58 (, ),.58,.4 יש n פעמים להשתמש במשפטי רול : בכל קטע i] i n), [ i, ( נגדיר ש- ( 0) ( ) ( n) 0, 0 < 0 <,, n < n < n ( ) ( ) ( ) 0, < <,, < < f t f t f t t t f z f z f z t z t t z t 0 n 0 0 n n n 4)0 [ a, ] a > 0 ( k f יש ) + k ( n אפסים עבור ) ( ) ( n ) ( n ( ) ) 0 ( ) 0, 0 < 0 < < n ולכן קיים ) y ξ ( y, כך ש- 0 ) ξ f ( f y f y y y n ( ), 0 5) f( ) f( a) ( a) f ( ),, f( ), > f( a) f(0).5 f ( )( 0) f ( ) 0.5 f( ) f() 0.5 0< < > 0.5, 0.5 f ( ) f ( ) 0.5, 0 ( sin sin y y a, (. לכן ) גזירה בקטע,[ a, ] f( ) f( a) ( a) f ( ), ( a, ) 6) הוכח את אי-השוויון f( ) sin פונ' ) f( רציפה בקטע sin sin a ( a) os sin sin a a os f 7) הוכח את אי-השוויון artan aartan a + f ( ) artan רציפה וגזירה a, [ ] artan artan a ( a) + artan artan a + a a ( ) בכל קטע לפי משפט לגרנז'

2 מתוך 6 97 ז. אולחא מס' הקורס חדו''א הנ מכונות עמוד p p p p 0 < y<, p>, py ( y) < y < p ( 8) הוכח את אי-השוויון (y p הפונקציה > p f( ) p, רציפה וגזירה,a ]. לפי משפט לגרנז' לכן היא רציפה וגזירה בכל קטע [ p p p ו- p > 0, f ( ) p פתרון בתחום p p p p p p ( a< < p, > 0, a> 0) a < < pa ( a) < p ( a) < p ( a) a <, p > p p ( a) (, + ) a p ( a) p p p p לכן a) pa ( a) < a < p ( אם. > 0, [ a, ] a a a 0 < < a, < ln < a הפונקציה > 0, f( ) ln רציפה וגזירה f ( ) / ln a ln ( a) < < a a a 0 < < < a a < < a a > 0 a a a a a 0 < < a, < ln < ו- < ln a ln < a a 9) הוכח את אי-השוויון פתרון לפי משפט לגרנז' ו- לכן בקטע ( a)/ < arsin <, 0 < <. 0 < <, [0, ] בקטע f ( ) f( ) arsin רציפה וגזירה [0, ], arsin arsin 0 ( 0) arsin, 0 < < < 0< < < 0< < < < < < < < arsin < < arsin <, 0 < < > 0, [0, ] > 0, < ln( + ) < + f ( ) f + רציפה וגזירה + 0) הוכח את אי-השוויון הפונקציה לכן ) הוכח את אי-השוויון פתרון הפונקציה ) ln( ) ( לכן בקטע [0, ], ln( + ) ln ln( + ), 0 < < < < < + < + < < < ln( + ) < 0 < + + +

3 מתוך 6 97 ז. אולחא מס' הקורס חדו''א הנ מכונות עמוד II עליה וירידה של פונקציה. אי-שוויונים. תחומי הירידה של הפונקציה תחומי העלייה של הפונקציה ) (,) (,) (0, 00) + ) (, 0) (, + ) (0.5, + ) ) (, + ) ) (, + ) (00, + ) ) (0,) (,0) 0 (0, + ) 7) f( ) f ( ) f ( ) + f( ) 0 f( ) > 0 ( 0) > 0 f( ) ln( + ) f (0) 0 8) f ( ) < 0 > 0 + (0, + ) f( ) (0, + ) ln( + ) < 0 ln( + ) < f( ) < 0 g ( ) ln( + ) + / g ( ) > 0 { g(0) 0, g ( ) } > 0 + (0, + ) g ( ) > 0 ln( + ) > / > 0 (0, + ) אם פיתרון קיים אז רק יחיד. (,0) למשוואה קיים לפחות f( ) 5 +, f ( ) 6 + > 0 (. a f( ) f( ), f( ) + < <+ + רציפה, מונוטונית עולה לכן רציפה ו 5 () f, 5 0) ( למשוואה f לכן בקטע 5 הפונקציה () f הפונקציה () f פיתרון אחד. כלומר למשוואה יש שורש ממשי רק אחד. III a/ / / a / a (lna) / / (ln a)/6 0 / 0 a

4 עמוד 4 מתוך 6 ז. אולחא מס' הקורס 97 חדו''א הנ מכונות sin sin a 0 a os 9) ln a sin os 0 sin a ln a ln a sin a a 0 sin a ln a a ln / 4) ( ln ) ( ) ln ) (4) ( ln ) 0, ln (ln ) / ( ln ) ( ln ) 0 ln (ln ) / ( 0+ ( ln ) ( ln ) 0 0+ ( ) 0 (ln + ) ) ln 0 (ln ) /( ln ) [ ( ln + ln )] (0 + 0) 0 ( ) ln 0 ( ) [ ] / tan tan sin 6), os tan tan + + α( ), α( ) 0 0 / α ( ) ( ) / tan / α tan tan ( α( + ) ), α( ), α ( ) tan 0 os os os 0 sin, os / α( ) / tan ( + α ( ) ) α( ) 0 0 /

5 5 מתוך 6 ז. אולחא מס' הקורס 97 תשובות, פתרונות חדו''א הנ מכונות עמוד IV ( ). f( ) ln f ( ) ( > f ( ) > 0) + ( + ) f() 0, ( > f( ) ) ( > f( ) > 0) ln > + VI (4) tgsin sin os sin sin tgsin a) 4 0 log sin( ) ln0 sin( ).) log sin( ) + + os( )( / ) ln0 + / os( ).) tg sin 0 os os + os + os 0 0 os 0 os os 0 sin sin os tg sin (),. a R a 0 a + + יש בדיוק פתרון ממשי אחד עבור כל גזירה ומונוטונית עולה ב R f( ) + + a f ( ) + > 0 5. הוכח שלמשוואה ) f( רציפה, < < +, f( ), f( ), f( ) + + פונ' ( ) π+ 4 + sin קיים פתרון יחיד. תחום את הפתרון בקטע שארכו הוכח כי למשוואה 0.5π f( ) 4 sin( π( + 0.5)), f ( ) 4 πos( π( + 0.5)) > 0 פונ' ( )f רציפה, גזירה ומונוטונית עולה ב. R לכן אם פיתרון קיים אז רק אחד.

6 עמוד 6 מתוך 6 ז. אולחא מס' הקורס 97 חדו''א הנ מכונות 4 sin( π ( + 0.5)) +, sin( π ( + 0.5)) sin f(.5), f(), f(.75) sin.5π sin( 0.75 π) sin(0.75 π) > 0 f(.75) f() < 0 (.75,) : f( ) 0? π או. 7 מה יותר גדול : ( ) f() f( ) f ( ) f ( ) > 0 for > ( f( ) > for π π > ) f( π) > > > π π 9 8) 9) a,