אנליזה מתקדמת

תמליל

1 א) א) ג) -- אוניברסיטת בן- מדור בחינות מס' גוריון בנגב תאריך הבחינה: 7/0/00 שם המרצים: פונף, בסר, טקצ'נקו, ליידרמן חדו"א א בחינה ב: מס' הקורס: מתמטיקה,מדעי המחשב, הנדסת תכנה מיועד לתלמידי: א' מועד: א' א' סמ': שנה: שעות משך הבחינה: מחשבון עם צג קטן בלבד חומר עזר: הנבחן : יש לענות על 5 שאלות מתוך. כל התשובות תהיינה מלאות ומנומקות היטב. כל שאלות הבחינה הן שוות משקל. a 0 ו-. )0 נקודות( נגדיר את הסדרה באמצעות נוסחת הנסיגה הבאה: lima ומצא אותו.. a הוכח כי קיים הגבול a a a a0 )רמז: הוכח כי מונוטונית(.,T, פונקציה רציפה המוגדרת על והיא מחזורית עם מחזור., T. 0 0 T )0 נקודות( תהי כלומר הוכח כי קיים עבורו 0.. 0, פונקציה רציפה שהיא בנוסף גזירה בקטע ומתקיים הוכח כי בהכרח : 0, 0( נקודות( תהי 0, נניח כי מתקיים )רמז: השתמש בנוסחת לגראנג'( שווה זהותית לפונקצית ה- 0.. e si. lim 0 lim e l 0 חשב את הגבולות הבאים: ) 8( נקודות( ) ( נקודות(.4 ( ) ושרטט את הגרף שלה. )0 נקודות( חקור את הפונקציה.5 d חשבו את האינטגרלים הבאים: ) )8 נקודות( ta cos arcta 5d ) ( נקודות( ) ( נקודות( d 0 בהצלחה!.

2 פתרונות לבחינה בחדו"א א, lima C a,,,..., כלומר הסדרה. נציין את התכונות הבאות: חסומה מלמטה. a a,,,..., כלומר הסדרה a )( מההגדרה נובע ש 0 יורדת, שכן: נקבל כי.,,,... a a a a, a a a ומפני ש 0 a a 0 a a 0 האי-שוויון האחרון מתקיים. a )( אם אז ולכן באינדוקציה מקבלים ש a )( מתכונות )( ו- )( נובע שהסדרה יורדת וחסומה מלמטה, לכן לפי משפט קיים גבול C. C או C 0 למשוואה האחרונה יש שורשים:. C לכן, lima אבל גם C C. lima אם אז a,,,..., ולכן, משום שסדרה יורדת, גם, C לכן 0. lima אם אז לפי תכונה )( מתקיים ש a,,,..., לכן T T g. נתבונן ב- g בקטע 0,. ברור ש T T T 0 T. g T וכן g 0 0 נגדיר פונקציה חדשה: רציפה בו. כמו כן. g T T T T. g 0 g כלומר 0 T, g ואז בנקודה זו 0 כך ש 0 0 ממשפט ערך הביניים נובע שקיימת נקודה,0 T רציפה ב- 0, נובע ש 0, 0 קיימת נקודה c כך ש 0,. נבחר 0, ונוכיח ש 0 )משום ש (. 0, נשתמש במשפט לגראנז' בקטע :,0. 0 c c.) c 0 0 c0, עולה ואז אם c 0 אז. 0 אם c 0 אז c c )שכן ) 0, שכן עולה. )משום ש ואז אבל נובע ש, c סתירה, c

3 .4 א) ) נרשום נוסחת טיילור עבור פונקציות בשאלה:. e o וכן, si o, e si o לכן. e si o לכן e si e si. lim. לכן ואז o 0 ) פתרון ראשון: ראשית נציג: l l l l l e l e lim lim 0 0 lim e l lim e e e 0 0, l. l בדומה נוכל. נשתמש בפולינום מקלורן של הפונקציה o. l נציב: l l lim 0 o לכן נחשב את היות והמכנה הוא ממעלה, נפתח עד מעלה : o o l l o o o o o o l l, lim 0. lim e l e e 0 לקבל כי: o ואז:. l l o l l לכן l l, lim ולבסוף: לכן 0 פתרון שני: : e l נחשב את פולינום מקלורן של e l o o o o

4 e o lim l lim 0 0 o lim o e 0 o. y ואז נרשום: 5. הפונקציה הנתונה: תחום ההגדרה:. אין תכונות מיוחדות.. lim y ; lim y ) y 0 y 0; לכן, 4 ) y y לכן נקודת מקסימום,..5 ( נחשב את הנגזרת השנייה: 4 y y y. y 0 0 לכן y 4. לכן 0 היא נקודת פיתול, 0 0 )4 אסימפטוטות משופעות. y k b 4 4. b lim לכן lim וכן 4 k lim אסימפטוטה משופעת דו-צדדית. גרף הפונקציה: 4

5 y y y 4 פיתול ma d cos d d si הצבה t ta cos si cos si si si 5 dt dt t 5 4 si l l C tt t t si. נקבל: 0 5 A B C 0. א) ) ) נציג: 5 A 0 B C A A 0A B B C C A B A B C 0A C A B 0 A B A B C 5 C 5 A, B, C 5 0A C 0 0A C 5d 5 5 d d l d הצבה 4 t d tdt l dt l 4 l t t 9 t 9 t 9 t 4 4 arcta lt 9 C l arcta l 0 C 5

6 ג) ) נשתמש באינטגרציה בחלקים: u arcta d du arcta arcta d arcta d d v d dv, לכן. נשים לב כי.. d d d arcta C arcta arcta d arcta C לכן: תשובה סופית: