חדוו"א 2 פתרונות לשאלות מבחינות 5 ביולי 2011 נערך על ידי: אורי אלברטון אזהרה: זוהי הצעת פתרון לשאלות מבחינות קודמות, הפתרונות המופיעים לעיל לא נבדקו ע

תמליל

1 חדוו"א פתרונות לשאלות מבחינות 5 ביולי נערך על ידי: אורי אלברטון אזהרה: זוהי הצעת פתרון לשאלות מבחינות קודמות, הפתרונות המופיעים לעיל לא נבדקו על ידי אף גורם מוסמך ועשויים להכיל טעויות, שגיאות חישוב ועוד. (אם במקרה החלטתם לקרוא את הפתרונות ומצאתם טעות כזאת, אשמח לשמוע, orilb בג'ימייל), e 9 סמסטר ב', מועד מיוחד (קלרטג) שאלה מתכנס? א) האם האינטגרל e log (x) פתרון: ראשית נשים לב כי הנקודה הבעייתית היחידה הינה, לכן מספיק לבדוק את ההתכנסות של האינטגרל e log (x) נבצע חילוף משתנים: e e log (x) = { t = log x = e t dt x = e t t : = = e t e t dt = e t(t ) dt כאשר מתקיים כי φ(t) = e t הינה פונקציה מונוטונית עולה וגזירה ברציפות ולכן אכן ניתן לבצע החלפת משתנים זו. עתה נשים לב כי עבור כל t > e מתקיים t(t ( t ולכן t(t ) e, t e מכייון ששתי הפונקציות הנ"ל חיוביות ניתן להשתמש בקריטריון ההשוואה לפונקציות חיוביות ולהסיק כי: e e t dt < e e t(t ) dt < e e t dt = b (e e e b ) = e e < ואכן מתקיים מתכנס. על כן ניתן להסיק כי האינטגרל המקורי e log (x) ± x, נניח כי ב) נתונה f פונקציה גזירה ברציפות המקיימת = xf(x) f (x) = יש להוכיח כי xf (x)f(x) = f b גזירה ברציפות (מכפלה של פונקציות גזירות f, f (x) = b גזירה ברציפות לכן גם פתרון: נסתכל על (x) f (x) ברציפות), כמו כן ברור כי = x הינה פונקציה אינטגרבילית, ולכן נוכל לבצע אינטגרציה בחלקים: ( ) ˆ b xf (x) = x ± f (x) = [bf (b) f ()] xf(x) xf(x) = x ± ˆ b xf (x)f(x) נשים לב כי מהנתון = xf(x) ± x נוכל להסיק כי xf(x) xf(x) = x ± x ±

2 ולכן מתקיים [bf (b) f ()] = b על כן אם ניקח גבול עבור הביטוי ( ) כאשר ו b נקבל כי f (x) = xf (x)f(x) נסיק כי ומהנתון = f (x) xf (x)f(x) = שאלה נתונה ) [, ] [, : f פונקציה רציפה ואי שלילית, כמו כן נתון כי f קעורה כלומר לכל שתי נקודות ] [, y x, ו [ [, λ מתקיים: f(λx + ( λ)y) λf(x) + ( λ)f(y) ˆ f(t) dt נניח גם ש = ()f, יש להוכיח כי פתרון: נניח כי ] [, t אזי קיים ] [, t λ = כך ש λ),t = λ + ( לכן מתנאי הקעירות נקבל: f(t) = f(λ + ( λ) ) λf() + ( λ)f() ( λ)f() = t (המעבר הלפני אחרון מכיוון ש f אי שלילית ולכן ()f) כלומר קיבלנו שלכל [,] t מתקיים כי f(t) t לכן נוכל לכתוב: ˆ f(t) dt ˆ t dt = b. f b זאת על פי טענה שהוכחנו בכיתה לפיה אם g(t) f(t) לכל [b t,] אזי g עתה נסתכל על ] [,,t אם נבחר λ = t אזי מתקיים כי λ) t = λ + ( ולכן מתנאי קעירות נקבל: f(t) = f(λ + ( λ) ) λf() + ( λ)f() λf() = t (כאשר שוב המעבר הלפני אחרון מכיוון ש f אי שלילית) כלומר קיבלנו שלכל [,] t מתקיים כי f(t) t ולכן נוכל לכתוב: ˆ f(t) dt ˆ ( t) = לכן מתקיים ˆ f(t) dt = ˆ f(t) + ˆ f(t) + = כנדרש.

3 8 סמסטר ב', מועד ב' (סודין) e x +e x שאלה חשבו את האינטגרל b, לכן נפתור ראשית את האינטגרל עבור b קבוע באמצעות החלפת משתנים: b = e b [ b e x +e = b x t = e x dt = e x e x e x + t : e b dt +t = rct(e b ) rct() = rct(e b ) π 4 ] פתרון: האינטגרל הנ"ל הינו e x e+ x כאשר φ(x) = e x הינה פונקציה מונוטונית עולה, אשר מעבירה את הקטע [b,] לקטע ] b,] e ולכן התנאים הנדרשים לביצוע החלפת המשתנים אכן מתקיימים. לכן קיבלנו כי ˆ b e x = + e x b e x = + e x b rct(eb ) π 4 = π 4 שאלה נתונות פונקציות.f : [, ] R נתון כי f f במ"ש על ] [, וכי f חסומה בקטע. הוכיחו כי sup f (x) [,] sup f(x) [,] פתרון: על פי הנתון f חסומה בקטע (נניח f ), M לכן מתקיים כי sup [,] f סופי, נסמן אם כן.sup [,] f = S R כמו כן f מתכנסת במ"ש ל f, לכן קיים N כך שלכל > N מתקיים: x [, ] : f (x) f(x) < f(x) < f (x) < f(x) + f (x) < f(x) + M + כלומר החל ממקום מסוים (x) f חסומה ולכן sup [,] f הינו סופי, נסמן אם כן sup [,] f = S R לכל. > N עלינו להראות.S S נניח בשלילה כי, S S אזי קיים > ε וקיים! N כך שלכל! N > מתקיים. S S (x) > ε כלומר קיימים אינסוף אינדקסים עבורם מתקיים S > S + ε או S, < S ε נניח בה"כ כי קיימים אינסוף אינדקסים כך ש ε.s > S + מהגדרת הסופרמום קיים ] [, x כך ש S.S ε < f(x ) < מכך ש f מתכנסת במ"ש ל f קיים N כך ש > N x [, ] f (x) f(x) < ε בפרט זה נכון עבור x, לכן לכל N > מתקיים f (x ) > f(x) ε > S ε מצד שני על פי ההנחה שלנו קיים N k > עבורו f k (x ) < S k < S ε < f k (x ) הגענו לסתירה, לכן בהכרח מתקיים S S שאלה 3 הינו בעל רדיוס התכנסות R. נתון כי טור החזקות = z?(c C) א) מהו רדיוס ההתכנסות של = c z, כלומר הטור החדש מתקבל מהצבה של cz בטור המקורי. ממשפט = c z = פתרון: נשים לב שמתקיים = (cz) אודות רדיוס ההתכנסות אנו יודעים כי הטור המקורי מתכנס לכל z < R ולא מתכנס עבור z, > R לכן הטור החדש מתכנס לכל. cz > R ולא מתכנס עבור cz < R 3

4 מכיוון שמתקיים c z cz = (נובע מיידית מהצגה פולארית של מספרים מרוכבים) נסיק כי רדיוס ההתכנסות של הטור החדש (עבור (c הינו: R = R c במידה ו = c אזי הטור החדש הינו טור אפסים ולכן מתכנס לכל z, C כלומר במקרה זה = R.? ב) מהו רדיוס ההתכנסות של הטור = 3 z.r = sup וכן R = פתרון: ע"פ משפט קושי הדמרד אנו יודעים כי מתקיים 3 sup נניח תחילה כי < R <, נסמן, sup = L כאשר תחת ההנחה שלנו מתקיים < L < (הסדרה חיובית אז ברור כי גם L אי שלילי). ממשפט אודות sup אנו יודעים כי L הינו sup אם ורק אם L הוא גבול חלקי של סדרה b וכן לכל > ε קיים אינדקס שהחל ממנו מתקיים b < L + ε לכל, נשתמש בתנאי זה על מנת להראות ש. sup 3 = L 3 ראשית מכך ש L גבול חלקי של קיימת תת סדרה k כך ש k k L עבור תת סדרה זו מתקיים: k k 3 = ( k k ) 3 = L 3 k k לכן L 3 אכן גבול חלקי של 3. עתה יהי >,ε קיים > ε המקיים ε ε > (ε ) 3 + 3L(ε ) + 3L וכן קיים N כך שלכל > N מתקיים ε < L + (מכיוון ש L הינו.( sup לכן לכל > N מתקיים ( ) 3 < (L + ε ) 3 = L 3 + (ε ) 3 + 3L(ε ) + 3L ε < L 3 + ε כלומר הראינו ש L 3 אכן מקיים תנאי sup עבור 3, כלומר.R = L 3 = R 3 * בהכרח קיים ε כנדרש מכיוון ש ( 3L f(x) = x 3 + 3Lx + 3L x = x(x + 3Lx + פונקציה רציפה המקיימת = f() ומכיוון ש > L מתקיים > f(x) לכל >.x נניח עתה כי =,R זה ייתכן אם ורק אם =, sup מכיוון שלכל מתקיים נסיק כי במקרה זה הינו הגבול החלקי היחיד של הסדרה ולכן מתקיים. לכן ברור כי מתקיים 3 ). 3 = ( כלומר במקרה זה מתקיים = R.R = במידה ו = R, מתקיים =, sup מכיוון ש גבול חלקי של הסדרה מאותם שיקולים שהובאו לעיל נובע כי וברור כי במקרה זה מתקיים = 3. sup לכן נקבל כי = R.R = הוא גם גבול חלקי של הסדרה 3 שאלה 4 תהי f : R R m העתקה רציפה, הוכיחו או הפריכו: א) תהי E R m קבוצה פתוחה, אזי המקור (E) f גם כן קבוצה פתוחה. פתרון: הטענה נכונה, נוכיח זאת. ניזכר בהגדרת המקור E}.f (E) = {x R : f(x) על מנת להראות ש (E) f קבוצה פתוחה מספיק להראות כי לכל (E) x f קיים > r כך ש ( E ).B(x, r ) f יהי אם כן (E),x f אזי.f(x ) E מכיוון ש E פתוחה קיים > ε כך ש E.B(f(x ), ε) עתה מכיוון ש f רציפה קיים r כך שלכל ) y B(x, r מתקיים,f(y) B(f(x ), ε) E כלומר לכל ) y B(x, r מתקיים.y f (E) לכן קיבלנו כי (E) B(x, r ) f כנדרש. ב) תהי E R קבוצה פתוחה, אזי התמונה f(e) גם כן קבוצה פתוחה. פתרון: הטענה אינה נכונה. ניקח למשל f, c R m ברור כי f רציפה על E. אבל מתקיים כי {c} f(e) = וזוהי בבירור אינה קבוצה פתוחה, משום שלכל > r מתקיים {c}, B(c.ך (r שאלה 5.(x, y) לכל R x f x + y f תהי f : R R פונקציה C המקיימת = y הוכיחו כי f פונקציה קבועה. פתרון: תהי (x, y ) R נקודה כלשהיא. נגדיר מסילה γ(t) : [, ] R ע"י ),γ(t) = (tx, ty זוהי מסילה גזירה המקיימת.γ (t) = (x, y ) עתה נגדיר g(t) =: f γ(t) : R R זוהי הרכבה של פונקציות דיפרנציאביליות, לכן על פי כלל השרשרת g גזירה ומתקיים: g (t) =< f(γ(t)), γ (t) >=< f(γ(t)), (x, y ) > נשתמש במשפט לגרנז' עבור g ונקבל כי קיים (,) c כך ש f(x, y ) f(, ) = g() g() = g (c) =< f(γ(c)), (x, y ) > 4

5 כלומר קיבלנו כי f(x, y ) f(, ) = x f x (cx, cy ) + y f y (cx, cy ) c[f(x, y ) f(, )] = cx f x (cx, cy ) + cy f y (cx, cy ) = נכפול את שני האגפים של השוויון הנ"ל ב c ונקבל כלומר קיבלנו כי ) f(, f(x, y ) = לכל נקודה ב R ולכן f קבועה. סמסטר ב', מועד א' (ארטשטיין,בן ארצי) ˆ x rct(x) x( + x ) rct(x) שאלה א) חשבו את האינטגרל הלא מסוים הבא: I = x rct(x) x(+x ) rct(x) = [ t = rct x (+x ) rct(x) = dt = (+x ) x(+x ) = x ] (+x ) rct(x) = dt t x(+x ) = log(t) = log( rct x ) x (+x ) = log x log( + x ) I = log( rct x ) + log( + x ) log x + c = log( rct x +x x ) + c) פתרון: ב) האם האינטגרל x rct(x) x( + x ) rct(x) מתכנס? פתרון: הנקודות הבעייתיות הן ו לכן נבדוק בנפרד x rct(x) + b x( + x = ) rct(x) log(rct b ) log( π ) b b 4 + x rct x x x = π x + x x = π x + x x x = π מתקיים ˆ x rct(x) x( + x ) rct(x) = log(π + x ) (rct x ) 4 x x לכן האינטגרל מתכנס ב. נבדוק באפס (rct x x + x x rct x (L) ) = = x x x + x = מתכנס. x rct(x) x(+x ) rct(x) לכן האינטגרל מתכנס גם ב והאינטגרל 5

6 שאלה 3 הראו כי לא קיימת f : R R גזירה ברציפות פעמיים כך ש = y) f(x, על מעגל היחידה } = {(x, y) : x + y וכך שבכל נקודה בתוך עיגול היחידה } < {(x, y) : x + y מתקיים f f x y < פתרון: נשים לב כי כדור היחידה הסגור הינו קבוצה קומפקטית (זוהי קבוצה סגורה וחסומה ב R) ולכן מכיוון ש f רציפה על כדור היחידה, על פי משפט ווירשטראס f מקבלת מקסימום ומינימום על הכדור, כלומר, m, M B(, ) s.t x B(, ) : f(m) f(x) f(m) אם,m M שתיהן על מעגל היחידה אזי נקבל = f(m) f(m) = ולכן במקרה זה f על כדור היחידה, על כן לכל נקודה בתוך f f. נניח אם כן כי לפחות אחת מהנקודות הינה נקודה x y f ולכן אכן לא מתקיים < x = f y עיגול היחידה מתקיים = פנימית בתוך עיגול היחידה, נניח בה"כ כי (,)B M. ראינו בהרצאה כי אם M נקודת מקסימום מקומית של f אזי מטריצת ההסיאן f(m) הינה שלילית למחצה, כלומר לא קיימים ערכים עצמיים חיוביים עבור המטריצה, לכן נקבל כי f(m) det (מכיוון שזוהי מטריצה סימטרית היא דומה למטריצה אלכסונית ) dig(λ, λ ולכן הדטרמיננטה שלה שווה ל λ λ מכך שהמטריצה שלילית למחצה), אבל det f(m) = f x f y ( f x y ) f x f y (M) f. על כן לא קיימת פונקציה f כנ"ל. x f y ולכן גם במקרה זה לא מתקיים < שאלה 4 א) יהי מספר לא שלם. על ידי חישוב טור פורייה של e i(π x) בקטע [π,] חשבו את הסכום הדו סופי ˆf() = eiπ π = ( + ) פתרון: נחשב את מקדמי פוריה של הפונקציה הנ"ל π e ix e ix π = eiπ π e i(+)x e = iπ iπ(+) [e i(+)x ] π = = ieiπ π(+) (e i(π+π) i ) = π(+) (e iπ e iπ ) = si(π) π(+) = π π e i(π x) = Z si (π) π (+) = si (π) π = (+) = (+) = π si (π) (( = ( + ) ) ) = = לכן על פי שוויון פרסבל נקבל כי ב) האם מעבר הגבול הבא נכון או לא (הוכיחו) מתכנס עבור כל (,), מכיוון שזהו טור חיובי אזי הוא מתכנס בהחלט וניתן לשנות את = (+) ע"פ סעיף א' הטור סדר סכימת האיברים בטור, לכן נוכל לכתוב: (( ( + ) ) ) = ( = = ( + ) + = ( + ) + ) = ( = ( ) + = ( + ) ) מתכנסים, ו ( ) ( ), מכיוון שהטורים ( ) (+) וכן עתה נשים לב כי עבור כל [,] מתקיים מתכנסים במ"ש בקטע ].[, = ( ) ו = (+) אזי ע"פ M בוחן של ווירשטראס הטורים מכיוון שאלה טורים של פונקציות רציפות (החל מ = ) בקטע אזי הפונקציה הגבולית הינה רציפה ב =, כלומר מתקיים = = ( ) = = ( + ) = 6 = ( ) ( + )

7 = ( = ( ) + = ) = = ולכן הגבול הנ"ל שווה ל 4(log ) = שאלה 5 הוכיחו כי מתקיים אי השוויון הבא f(x) = x הינה פונקציה אי שלילית יורדת עבור > x, זאת מכיוון שמתקיים x = פתרון: נשים לב שהפונקציה x x f x (x) = ( e z log ) = log (x e x log ) log ( x x e x log ) (e x log ) = log (x e x log )[ x log ] (e x log ) נסתכל על הביטוי, x log עבור כל > x מתקיים > x, כמו כן מכיוון ש e > 4 = נקבל כי > log ולכן בסה"כ x log < < על כן < (x) f לכל > x ולכן הפונקציה אכן יורדת. נוכל איפוא להשתמש במבחן ההשוואה בין טור לאינטגרל על פיו אם f(x) הינה פונקציה אי שלילית יורדת אזי מתקיים f(x) f() = נחשב אם כך את האינטגרל f(x) [ ] x = t = x t : x dt = log() x [ u = t ] u : 4 du = log() t dt dt = du = dt log = t = log 4 du u = 4(log ) log()u בשני המקרים השתשמנו בפונקציה מונוטונית עולה לשם חילוף המשתנים, ובנוסף כל הפונקציות באינטגרל הנ"ל רציפות ועל כן חילופי המשתנים אכן תקינים. כלומר קיבלנו כי = si(x) = ( t + ˆ 4(log ) = x x [ = t = cos x si x = t dt = si x = dt t dt = t t dt t = כנדרש. סמסטר ב', מועד ב' (ארטשטיין). שאלה si(x) חשבו את האינטגרל הלא מסוים הבא פתרון: ] = dt ( t)(+t) = +t ) dt = [log( + t) log( t)] = cos x = log( +cos x ) = log( si( x ) cos( x )) = log(t( x )) log( t +t ) = 7

8 שאלה הראו שטור הפונקציות הבא מתכנס לכל x וכן מגדיר פונקציה גזירה ברציפות על R: = ( ) rct( x ) פתרון: ראשית נראה כי הטור מתכנס לכל x (ואף מתכנס במ"ש על כל R), לשם כך נשתמש במבחן לייבניץ להתכנסות טורים במידה שווה. מבחן לייבניץ: בהינתן טור מתחלף מהצורה (x) ( ) המוגדר על D, אם מתקיימים התנאים הבאים: מונוטונית יורדת ב (x) D על (x) אזי תחת תנאים אלה הטור מתכנס במ"ש. נבדוק אם כן כי הטור הנדון אכן מקיים את התנאים הנ"ל: מונוטוניות: נשים לב כי מתקיים > + x > x + כמו כן מכיוון ש rct הינה פונקציה עולה מתקיים גם כי rct( x x ) > rct( ) + לכן משני אי השוויונות הנ"ל נובע כי אכן מתקיים כי הסדרה מונוטונית יורדת ב : rct( x ) > rct( x + + ) x וכן לכל x קבוע שאיפה במ"ש ל : קל לראות כי הסדרה שואפת נקודתית לאפס שכן רציפה נקבל כי גם rct( x ) rct() = על כן מכיוון ש rct rct( x שואפת אף היא לאפס. כמו כן מתקיים לכל x R כי: ), ולכן ברור כי מכפלת שני הגורמים rct( x ) π ולכן השאיפה היא במ"ש. על כן מתקיימים התנאים עבור קריטריון לייבניץ והטור שלנו מתכנס לכל x R ואף במידה שווה. ( ) = f(x) הינה פונקציה גזירה ברציפות, נשתמש במשפט אודות גזירה של סדרת פונקציות = rct( x עתה נראה ש ) שנוסחו: ( ) N f N = פונקציה גזירה ברציפות = rct( x תהי f :,] [b R סדרת פונקציות גזירות ברציפות (אכן במקרה שלנו ) לכל N כסכום של פונקציות גזירות ברציפות) כמו כן נניח כי: קיימת x R כך ש f (x) f נקודתית (הראינו התכנסות במ"ש ל f עבור כל ( x R סדרת הנגזרות מתכנסת במ"ש.f g ( ) +x אזי מתקיים כי f f (כבר הראינו) וכן f, f = כמו כן מכיוון שסדרת הנגזרות רציפה וההתכנסות היא במ"ש אזי גם הפונקציה הגבולית רציפה כלומר f רציפה. מתכנס במ"ש, נשתמש שוב במבחן לייבניץ. = לכן על מנת לסיים נותר להראות כי הטור לכל x R מתקיים כי + x מתכנסת במ"ש ל. כמו כן קל לראות כי הסדרה הנ"ל יורדת עבור כל x קבוע. לכן טור הנגזרות אכן מתכנס במ"ש +x לכן וקיבלנו כי הטור המקורי אכן מגדיר פונקציה גזירה ברציפות. 8

9 שאלה 3 נתונה,f : R R המקיימת כי עבור כל מסילה רציפה,γ : [, ] R הפונקציה f γ רציפה. הוכיחו כי (y f(x, רציפה, או תנו דוגמא נגדית. פתרון: נוכיח כי (y f(x, אכן רציפה. נניח בשלילה כי קיימת נקודה R כך ש f אינה רציפה בנקודה, כלומר קיים > ε כך ש: δ > x R s.t x B(, δ) & f(x) f() > ε בפרט נוכל להסיק כי קיימת סדרה של נקודות x R המקיימת f(x ) f() > ε לכל וכן ).x B(, נגדיר את המסילה הבאה: { x + ( t)( + )(x + x ) γ(t) = t > + t = t < אזי בפרט קיים נשים לב שזוהי מסילה רציפה שכן עבור כל הנקודות שאינן קל לראות רציפות ועבור אכן מתקיים כי אם t k ולכן מהגדרת המסילה ניתן לראות כי מתקיים כך ש k+ k γ(t) x k = ( kt)(k + ) x k+ x k ( kt)(k + ) k = (k + k t(k + )) k כאשר החסם על k x +k x מתקבל מכיוון שעל פי אי שוויון המשולש: x k x k+ x k + x k+ k k כך שמתקיים.γ(t) B(, 3 k ) על פי אי שוויון המשולש נקבל כי x k B(, k לכן מכיוון ש ) כלומר γ(t) כש t ולכן γ(t) רציפה גם ב. עתה נשים לב כי f(γ(t)) אינה פונקציה רציפה ב, זאת מכיוון שלכל > δ קיימת נקודה < δ f(γ( k )) f(γ()) = f(x k) f() > ε קיבלנו סתירה לנתון ש f γ רציפה עבור כל מסילה רציפה. לכן בהכרח מתקיים כי f רציפה. ˆ π π ( = si(x) ) שאלה 4 א) חשבו si(x), f(x) = ניתן לראות בקלות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש ב R (או ב [ π,π ]) אם נשים לב לכך שלכל = פתרון: נסמן si(x) ומכאן נוכל להשתמש ב M בוחן של ווירשטראס. נראה שמתקיים כי טור פורייה המתאים ל f הינו הטור x R המגדיר אותה. נחשב באמצעות cos(kx) si(mx), ונשתמש בעובדה שאלה פונקציות אורתוגונליות ב L. si(mx) si(x) מתכנסים במ"ש (מאותו שיקול כמו עבור הטור המקורי) ולכן ניתן לבצע אינטגרציה, si(x) cos(kx) הטורים איבר איבר לכן נקבל כי: π si(x) π = = = π π = π π si(x) cos(mx) π = m = π = b m = si(x) si(mx) = = = π = π si(x) π = π si(x) cos(mx) π = π si(x) si(mx) π = m לכן טור פורייה המתאים ל f (בכתיבה של קוסינוסים וסינוסים) הוא אכן הטור המגדיר את f (יכול להיות שזה ברור ממה שנלמד בכיתה ולא צריך להסביר את זה). נחשב את המקדמים של טור האקספוננטים ˆf() באמצעות הקשר: ˆf() = = ˆf() = ( ib ) = i + > ˆf() = ( + ib ) = i + < 9

10 ˆ π π עתה נוכל להשתמש בשוויון פרסבל על פיו מתקיים f(x) = ˆf() Z ובמקרה שלנו מתקיים ˆ π π ( = si(x) ) = + = = ( ) = 4 4 = 3 ˆ π f(x)e i(+ )x = ב) נתונה f :,] [π R רציפה כך שלכל שלם מתקיים הסיקו כי = f(x) לכל.x π פתרון: נשים לב שאפשר לכתוב את הנתון באופן קצת שונה, כך שמתקיים = f(x)e i( x( נסתכל על הפונקציה f(x) g(x) = e i x ונחשב את מקדמי פוריה שלה ĝ() = π π f(x)e i x e ix = π π f(x)e i( )x = כאשר השווין הנ"ל נכון גם עבור ()ĝ על פי הנתון. לכן טור פוריה המתאים ל g הינו טור אפסים ובפרט מתכנס בהחלט, מכיוון ש g רציפה נסיק כי טור פוריה מתכנס לפונקציה g, כלומר = g. לכן קיבלנו e i x f(x) e i x f(x) = f(x) = f(x) = כנדרש. שאלה 5 נתונה סדרת פונקציות f : [, ] R המקיימת את יחס הרקורסיה (x).f + (x) = xf נתון כי = (x) f לכל x. הוכיחו כי הסדרה מתכנסת במ"ש לפונקציה f(x) = x בקטע [,]. פתרון: נראה באינדוקציה כי לכל ] [, x הסדרה (x) f הינה סדרה מונוטונית יורדת המקיימת.f (x) x צעד האינדוקציה: = מתקיים f (x) = x x,f (x) = x ואכן לכל ] [, x.f (x) f (x) בסיס האינדוקציה: נניח כי הראינו שעבור מתקיים f (x) f (x) x ונראה שנכון גם עבור (x).f + אכן x x x xf (x) = f + (x) xf (x) = f (x) כנדרש. לכן לכל [,] x f (x) הינה סדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלמטה לכן מתכנסת נקודתית. מאריתמטיקה של גבולות ומיחס הרקורסיה, אם נסמן f(x) f (x) = נקבל כי f(x) = xf(x) f(x) = x לכן הראינו התכנסות נקודתית של הסדרה ל x. עתה מכיוון שמדובר בסדרה מונוטונית יורדת של פונקציות רציפות, המתכנסת נקודתית לפונקציה רציפה בקטע סגור, ניתן להשתמש במשפט דיני ולהסיק כי ההתכנסות בקטע היא במ"ש. 7 סמסטר א', מועד א' (אהרונסון) שאלה הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות:.ρ(x, y) := x y + x y I) א) (ρ,r) הינו מרחב מטרי כאשר פתרון: הטענה נכונה, עלינו להוכיח כי ρ אכן מטריקה, כלומר מקיימת סימטריות, חיוביות ואי שוויון המשולש. ניתן לראות בקלות (x ρ(x, (y = ρ(y, וכן ρ(x, (y = x = y לכן נותר להראות אי שוויון המשולש. (הסתבכתי עם החישובים פה אבל זה נכון) ב) אם + R f :,) (b רציפה במ"ש ב ( b,), אזי גם f רציפה במ"ש בקטע.

11 x אינה רציפה פתרון: הטענה לא נכונה. ניקח לדוגמא את,f(x) = x בבירור פונקציה רציפה במ"ש בקטע (,), אבל הפונקציה y = מתקיים, x y אבל x = ו במ"ש. שכן אם ניקח את הסדרות / / = = מתכנס גם כן. ג) אם > והטור מתכנס אזי הטור. = פתרון: הטענה אינה נכונה. ניקח לדוגמא ד) אם U R פתוחה ו U Ū = אזי = U פתרון: הטענה נכונה. נניח בשלילה כי קיים x, U אזי מכך ש U פתוחה קיים r כך ש,B(x, r ) U ולכן גם עבור כל.B(x, r לכן ברור כי ניתן לבנות סדרת נקודות ב U המתכנסת ל x ועל כן x הינה נקודת מתקיים + r ) B(x, r ) U סגור, כלומר x, Ū מצד שני x הינה גם נקודה פנימית ולכן it(u) x. מכיוון שעל פי הגדרה מתקיים it(u) U = Ū \ נקבל כי x / U בסתירה לנתון. U = Ū לכן לא קיים x U ו =.U (II אם d) (X, מרחב מטרי קומפקטי ו X f : X רציפה, אזי לכל >,δ x X קיים > ε כך ש d(f(x), f(y)) < ε לכל.y B(x, δ) פתרון: הטענה נכונה. ניקח x X ונגדיר g(y) = d(f(x ), f(y)) : X R זוהי פונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית (כהרכבה של רציפות + ניתן לראות מידית מההגדרה כי פונקציית המרחק היא רציפה) ולכן על פי משפט ווירשטראס g(y) חסומה. כלומר y X : g(y) < M d(f(x), f(y)) d(f(x ), f(y)) + d(f(x ), f(x)) = g(y) + g(x) < M לכן עבור כל,x y X מתקיים בפרט מתקיים לכל > δ ולכל δ).y B(x, := (x),f אזי קיימת פונקציה f : R R כך ש f f במ"ש x ע"י x + f : [, ] R פונקציות נגדיר עבור (III ב [, ]. פתרון: הטענה אינה נכונה. נבדוק ראשית התכנסות נקודתית, עבור x קבוע מתקיים f (x) = x x + = x x + f (x) { x x = לכן אילו ההתכנסות הייתה במ"ש, אזי מכיוון שהסדרה הינה סדרת פונקציות רציפות היינו בהכרח מקבלים כי הפונקציה הגבולית הינה רציפה. מכיוון שהפונקציה הגבולית אינה רציפה לא ייתכן כי ההתכנסות במ"ש. שאלה א) יהי (d,x) מרחב מטרי קומפקטי, ותהי f : X R פונקציה רציפה, הוכיחו את משפט ווירשטראס: קיים m X כך ש ( f(m f(x) לכל.x X הוכחה: נראה ראשית כי התמונה של f(x) R f, הינה קבוצה קומפקטית. תהי אפוא סדרה f(x),y אזי קיימת סדרה x X המקיימת.f(x ) = y.f(z) f(x) ולכן,z X כאשר מקומפקטיות גם.x k z, x קבוצה קומפקטית ולכן קיימת תת סדרה מתכנסת של X מכיוון ש f רציפה מתקיים כי f(z), f(x k ) = f( x k ) = אבל f(x k ) = y k ולכן מצאנו תת סדרה מתכנסת של y כאשר ההתכנסות לאיבר ב ( f(x. כלומר, על פי ההגדרה f(x) קבוצה קומפקטית. עתה מכיוון ש ( f(x קבוצה קומפקטית ב R אזי היא סגורה וחסומה, כלומר קיים f(x), sup f(x) לכן קיים m X כך ש f(x),f(m) = sup כנדרש. ב) יהי.Ω := {, } N נגדיר d : Ω Ω R ע"י { x = y d(x, y) = ( )t(x,y) x y

12 כאשר } t(x, y) := mi{ : x y עבור.x y הוכיחו כי (d,ω) הינו מרחב מטרי קומפקטי. פתרון: ראשית עלינו להראות כי (y d(x, אכן מטריקה. קל לראות כי (x d(x, (y = d(y, וכן כי = (y d(x, אם ורק אם x. = y נותר להראות כי מתקיים אי שוויון המשולש. יהיו אפוא,x, y, z Ω עלינו להראות z).d(x, z) d(x, y) + d(y, אם x = z אזי = z) d(x, וסיימנו, לכן נניח x z ו.t(x, z) = נסתכל עתה על y) d(x, אם x = y אזי מתקיים שוויון z),d(x, z) = d(y, לכן נניח כי x y ו.t(x, y) = אם אזי מתקיים כי z) t(x, z) = t(y, ולכן z).d(x, z) = d(y, z) d(x, y) + d(y, אם > אזי מתקיים כי z).d(x, z) < d(x, y) d(x, y) + d(y, ראינו שבכל מקרה מתקיים אי שוויון המשולש ועל כן Ω אכן מטריקה. נראה ש ( d,ω) קבוצה קומפקטית על ידי כך שנראה כי לכל סדרה } } Ω יש תת סדרה מתכנסת לאיבר ב Ω. תהי איפוא } } Ω סדרה, נבנה תת סדרה שלה באמצעות התהליך האינדוקטיבי הבא (לא בטוח שזה כתוב טוב אבל זה הרעיון הכללי): צעד : נשים לב שלמעשה מתקיים = ( (), (),..., (k),...). () k () או = k (), לכן קיימים אינסוף אינדקסים k כך ש = {, } מתקיים, N לכל () נסתכל על אם קיימים אינסוף אינדקסים כך ש = נבחר את תת הסדרה =. i k i : (k) צעד :i נניח שבנינו תת סדרה i, i המקיימת (k) = L נבנה תת סדרה של i באופן דומה לצעד הראשון, כלומר מכיוון שמתקיים (), נבחר את תת סדרה זאת של אינדקסים ונסמנה את האינדקסים שלה ב, אחרת k () ונסמן את האינדקסים שלה באותו האופן. נסמן = () L או = () L בהתאם לבחירתנו. k i : (i) i {, } i, i נבחר את תת הסדרה הנ"ל (אם שתיהן m i i או תת סדרה המקיימת = m המקיימת = i m ( i m ונסמן את האינדקסים של תת הסדרה החדשה i וכן = (i) L או = (i) L בהתאמה. i k שהינה למעשה תת סדרה קבועה מכיוון שמתקיים k i N : i k = L (i) בהכרח קיימת תת סדרה קיימות נבחר את = באמצעות תהליך זה אנו מקבלים תת סדרה של, t [, R] : t si(yt) y ברור שזוהי תת סדרה מתכנסת, שגבולה הוא הסדרה L. (i) Ω שאלה 3.R לכל > t [, ב [ R,y + במ"ש כאשר si(yt) y א) הוכח כי t פתרון: נסתכל על ההפרש בין f y ל t, מתקיים = t si(yt) yt R si(yt) yt x, כלומר לכל > ε קיים > δ כך ש si(x) x < x < δ si(x) x < ε :y < δ R כנ"ל, ולכן עבור כל δ >, ε R t [, R] : < yt < δ R si(yt) < R ε yt R = ε עתה מתקיים כי = לכן בפרט קיים עבור מכיוון ש εקטן כרצוננו ואי השוויון הנ"ל נכון לכל t בקטע, ההתכנסות בקטע [R,] היא אכן במ"ש. ב) הוכיחו כי ˆ ˆ si(yt) dt tdt y + t y + + t

13 f y (t) = si(yt) y + t t + t = f נראה ראשית כי si(yt) yt t [, R] : f y (t) f(t) = si(yt) = t +t si(yt) yt R si(yt) (כי גם y + yt < ε R y < δ R מתקיים y +t t נסתכל על ההפרש f(t), f y (t) מתקיים +t = si(yt) yt כפי שהראינו בסעיף א', עבור כל > ε קיים > δ כך שלכל מאריתמטיקה של גבולות) ולכן מתקיים כי y < δ R t [, R] : f y(t) f(t) < ε על כן ההתכנסות אכן במ"ש בכל קטע סופי. y < π R נקבל כי עבור כל si x x מתקיים x [, π כמו כן כן מכיוון שעבור כל ] si(yt) t y + t + t t + t t 3 מתכנס. +t מתכנס נקבל על פי השוואת פונקציות חיוביות כי גם האינטגרל t t עתה החל מ > t מתקיים כי ומכיוון שהאינטגרל t 3 t +t לכן נוכל להסיק כי האינטגרל. +t אף הוא מתכנס, כיוון ש אינה נקודה בעייתית עבור על כן נוכל להשתמש במשפט הבא אודות התכנסות אינטגרלים: תהי f :,] ( R סדרת פונקציות אשר מקיימת כי f אינטגרבילית בכל [R,] סופי (החל מ מסוים), כמו כן נניח כי מתקיימים התנאים הבאים: y + = y +,]. [R מתכנסת במ"ש על כל קטע סגור וסופי f f וכן ψ(t) f (t) < לכל (החל ממקום מסוים). קיימת >,ψ המקיימת < ψ si(yt) y f = f מתכנס וכן מתקיים אזי האינטגרל f הראינו כי מתקיימים כל התנאים הנדרשים במשפט הנ"ל ועל כן נסיק כי dt + t y + y si x b y + x + y y si x b x +y = y + si yt b y dt +t = y + si x b y +( x y ) tdt + t ג) מצאו כל < b <, כך שעבורם מתקיים: פתרון: נשים לב כי מתקיים [ ] x = yt t : = y dt si yt ( y b y ) b dt +t = 3

14 ( si yt y ) b t b ניתן להראות כי,b בדיוק באותו האופן שבו הראינו בסעיף ב' עבור =, si yt ( y ) b dt +t נסתכל על הביטוי (לא נחזור על ההוכחה לכך בסעיף זה, ניתן פשוט להחליף את השורש בהוכחה בסעיף הקודם בחזקת < b < ). כמו כן משיקולים דומים לאלה שבסעיף הקודם מתקיים כי ( si yt ) b y + t tb + t t b + t dt < וכן מאותם שיקולים מתקיים, עבור כל < b <, כי yt si < (מדובר בפונקציה רציפה ואי שלילית, שונה מפונקצית האפס, ( y ) b dt +t לכן על פי המשפט מסעיף ב' מתקיים כי < ולכן האינטגרל גדול מאפס). si yt (, ונוכל לכתוב: y ) b dt +t נסמן אם כך ) (, L(b) = y + y si x b x +y = y + = L(b) y + y b y + y b si yt ( y ) b dt +t + y (במובן הרחב) ומתקיים: כאשר המעבר האחרון נכון על פי אריתמטיקה של גבולות, ומכיוון שבכל מקרה קיים הגבול y b y + y b = + b = + b > + b < לכן ניתן לראות כי הגבול אודותיו נשאלנו, הינו גבול סופי וחיובי רק עבור < b <, אשר מקיימים: + b = שאלה 4 א) מצא את רדיוס ההתכנסות של טור החזקות = ( 3 )x פתרון: נשתמש במשפט קושי הדמרד על פיו מתקיים כי אזי גם הגבול + R = sup, לשם כך נעזר בטענה מחדוו"א על פיה אם קיים הגבול ( 3 נחשב את הגבול ) קיים ושווה לו. ( 3+ + ) (3 + 3)!!()! ( 3 ) = (3)!( + )!( + )! = (3 + )(3 + )(3 + 3) ( + )( + )( + ) = 7 4.R = 4 7 לכן רדיוס ההתכנסות. ( ) + = ב) בדוק התכנסות הטור פתרון: נשים לב כי האיבר הכללי של הטור הינו אי שלילי ולכן ניתן להשתמש במבחן ההשוואה. מתקיים כי ( ) + ונשתמש במבחן ההשוואה הגבולי עם מתקיים = נסתכל על הטור החיובי = = מתבדר. = לכן הטורים מתכנסים ומתבדרים יחדיו, מכיוון שהטור ההרמוני מתבדר גם הטור על כן ממבחן ההשוואה גם הטור המקורי מתבדר. 4

15 שאלה 5 א) תהי U R d קבוצה פתוחה, ו R γ : [, ] U,f : U פונקציות גזירות ברציפות. הוכיחו כי f γ : [, ] R גם היא גזירה ברציפות. פתרון: תהי [,] t, מהנתון אודות גזירות γ מתקיים γ(t + h) γ(t ) = h γ (t ) + o( h ) R d מהנתון אודות דיפרנציאביליות של f מתקיים כי f(γ(t + h)) f(γ(t )) =< f(γ(t )), γ(t + h) γ(t ) > +o( γ(t + h) γ(t ) ) (f γ) (t ) = h f(γ(t +h)) f(γ(t )) h = h h (< f(γ(t )), γ(t + h) γ(t ) > +o( γ(t + h) γ(t ) )) = h h ((< f(γ(t )), h γ (t ) + o( h ) > +o( γ(t + h) γ(t ) )) = = h (< f(γ(t )), γ (t ) > + < f(γ(t )), h o( h ) > + o( γ(t +h) γ(t ) ) h ) לכן < f(γ(t )), h o( h ) > f(γ(t )) o( h ) h h o( γ(t +h) γ(t ) ) h = o( γ(t +h) γ(t ) ) γ(t +h) γ(t ) = o( γ(t +h) γ(t ) ) h γ (t )+o( h ) γ(t +h) γ(t ) h o( γ(t +h) γ(t ) ) γ(t +h) γ(t ) γ(t +h) γ(t ) h ( γ (t ) + o( h ) h מאי שוויון קושי שוורץ נקבל כמו כן מתקיים כאשר המעבר האחרון מאי שוויון המשולש. o( h ), כך שקיבלנו h מכיוון ש γ רציפה מתקיים ), γ(t + h) γ(t כמו כן ) h γ (t קבוע ו h o( γ(t + h) γ(t ) ) h h (f γ) (t ) =< f(γ(t )), γ (t ) > לסיכום, קיבלנו כי הנגזרת של f γ בנקודה t קיימת ומתקיים לכן f γ גזירה בקטע, מכך ש f(x) ו (t) γ רציפות נקבל גם כי (t) f) (γ כמכפלה פנימית של פונקציות רציפות. ב) תהי f : R R מוגדרת על ידי { x 3 y f(x, y) = x 4 +y (x, y) (, ) (x, y) = (, ) האם f דיפרנציאבילית ב (,)? פתרון: קל לבדוק כי הנגזרות החלקיות של f בראשית קיימות ומתקיים f x (, ) = f y (, ) = אנו יודעים כי אם f דיפרנציאבילית אזי בהכרח מתקיים ((,) y,)f, ( = f) x,),( f וכן על פי הגדרת הדיפרנציאביליות מתקיים f(x, y) = f(, )+ < f(, ), (, ) > +o( x + y ) = o( x + y ) 5

16 f(x, y)? = o( x + y ) כלומר על מנת לבדוק דיפרנציאביליות עלינו לבדוק האם אכן (x,y) (,) x 3 y x 4 + y x + y = r + r 5 cos 3 θ si θ r 3 (r cos 4 θ + si θ) = r + r 3 cos 3 θ si θ r cos 4 θ + si θ = נבדוק זאת: w(x) := si(b x) = כאשר המעבר האחרון נכון עבור θ,si ועבור = θ si מתקיים ממילא = y) f(x, לכל.r כלומר ) f(x, y) = o( x + y ולכן f אכן דיפרנציאבילית בראשית. שאלה 6 x) si(b מתכנס במ"ש על R וכי הפוקנציה w : R R המוגדרת על ידי = א) יהיו הוכיחו כי הטור הינה גזירה ברציפות. פתרון: נשתמש במשפט אודות גזירות טורים, אשר נוסחו: יהי (x) טור של פונקציות (x) : I R גזירות ברציפות, כמו כן נניח כי: מתכנס. קיימת נקודה x כך שהטור ) = (x מתכנס במ"ש לפונקציה g. טור הנגזרות (x) =.( = (x)) = אזי מתקיים כי הטור (x) מתכנס במ"ש וכן (x) = נראה שהתנאים הנ"ל מתקיימים עבור הטור,w(x) אכן עבור x מתקיים = ) si(b x ולכן הטור הינו טור אפסים ובפרט מתכנס., נראה שטור זה מתכנס במ"ש באמצעות M בוחן של ווירשטראס, אכן מתקיים: = b נסתכל על טור הנגזרות שהינו (x cos(b x R : b cos(b x) ( b ) הינו טור הנדסי מתכנס, ולכן על פי M בוחן גם טור הנגזרות מתכנס בהחלט ובמידה = ( b ) אזי הטור b מכיוון שמתקיים < שווה. w (x) = הינה w(x) וכן כי נגזרת הפונקציה R מתכנס במ"ש על si(b x) = לכן על פי משפט הגזירות מתקיים כי הטור. = b cos(b x) הנגזרת אכן רציפה מכיוון שמדובר בטור של פונקציות רציפות שמתכנס במ"ש ולכן ההתכנסות היא לפונקציה רציפה. מתכנס? ב) האם האינטגרל e x4 פתרון: הנקודה הבעייתית היחידה הינה לכן מספיק לבדוק את התכנסות האינטגרל. e x4 נשים לב כי עבור כל > x מתקיים: e x4 x 4 e x4 x 4 = x e) לכן ניתן להשתמש במבחן ההשוואה לפונקציות חיוביות (בבחינה כדאי לנסח את = x! (ניתן לראות זאת למשל מכך ש מבחן ההשוואה במלואו). מתקיים כי: = [ x4 3x 3 ] = 3 < מתכנס. ולכן נסיק כי גם האינטגרל e x4 7 סמסטר א', מועד ב' (אהרונסון) שאלה הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות: רציפה במ"ש ב ( b,). +f אזי גם,(, b) רציפה במ"ש ב f : (, b) R + א) אם (I פתרון: הטענה נכונה. יהי >,ε אזי מרציפות במ"ש של f קיימת > δ כך ש. x, y (, b) : x y < δ f(x) f(y) < ε לכן לכל x y < δ מתקיים: + f(x) + f(y) = f(y) f(x) f(x) f(y) < ε ( + f(x))( + f(y)) 6

17 (כאשר המעבר הלפני אחרון נכון מכיוון ש f(y).f(x), מתכנס. הטענה נכונה מתכנס בהחלט, אזי הטור = 3 ב) אם הטור =. = ( ) 4 ג) אם הטור מתכנס, אזי הטור 4 מתכנס. הטענה אינה נכונה למשל עבור. y x < δ עבורם x, y R לכל f(x) f(y) < ε כך ש ε קיים > δ רציפה, אזי לכל > f : R R אם (II הטענה אינה נכונה למשל עבור f. = e x.f() := ו < x עבור f(x) = si( x ) כאשר הינה קבוצה סגורה ב R A = {(x, f(x)) : x } הגרף (III פתרון: הטענה נכונה, נוכיח זאת. si( x),, סדרת נקודות מתכנסת אם ורק אם יש התכנסות בכל אחת מהקואורדינטות x תהי סדרת נקודות מתכנסת A (( ומכיוון ש [ [, קטע סגור מתקיים ] [,. x si( כאשר x שואף לאפס, x נשים לב כי לא ייתכן שסדרת הנקודות מתכנסת ומתקיים, x זאת מכיוון שלא קיים הגבול ) ומכיוון שאנו דורשים שסדרת הנקודות תהיה מוכלת כולה ב A לא קיימת סדרה מתכנסת מסוג זה.. si( x לכן בהכרח מתקיים ] (,. x מכיוון ש ( f(x) = si( x פונקציה רציפה בקטע ],(, נסיק כי ) x = si( ).(x, si( x )) A ולכן מתקיים כי x (, ] עבור (x, si( x כלומר קיבלנו כי גבול הסדרה הוא בהכרח מהצורה (( מכאן נסיק שהקבוצה מכילה את כל נקודות הגבול שלה ולכן זוהי קבוצה סגורה. שאלה א) נניח כי ( ) f : [, ] R סידרה של פונקציות גזירות המקיימות 3 (x) f לכל ] [, x ו. נניח גם כי לכל. f (x) =: L(x) קיים הגבול x [, ] הוכיחו כי sup f (x) L(x) x [,] פתרון: יהי >.ε נראה כי קיים N כך שלכל > N ולכל ] [, x מתקיים. f (x) L(x) < ε ראשית נראה לכל ] [, x קיימת סביבה ) x u x = (x δ x, x + δ ואינקדס N x כך שמתקיים > N x y u x : f (y) L(y) < ε f (y) L(y) f (y) f (x) + f (x) L(x) + L(x) L(y) מתקיים f (y) f (x) = x y f (c) 3δ על פי משפט לגרנז' מתקיים L(x) L(y) 3δ אי השוויון הנ"ל נשמר במעבר לגבול ולכן מתקיים גם כי כמו כן מהתכנסות נקודתית קיים N x כך שלכל > N x מתקיים f (x) L(x) < ε 3 δ = ε 9 נקבל לכן עבור f (y) L(y) f (y) f (x) + f (x) L(x) + L(x) L(y) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε עתה נשים לב כי מתקיים [,] x u x = [,], זהו כיסוי פתוח של קטע סגור, ועל פי משפט היינה בורל קיים עבורו תת כיסוי סופי. כלומר קיימים ] [, x,.., x כך שמתקיים [, ] = k= u xk 7

18 נבחר } xk N = mx{n (זוהי קבוצה סופית לכן קיים איבר מקסימלי) ונקבל כי מתקיים > N y [, ] : f(y) L(y) < ε ˆ R R ˆ R ( x ) e t dt R כנדרש. ב) הוכח כי לכל > R מתקיים.[ R, R] בקטע f (x) = ( x פתרון: ראשית נראה כי ) e x אנו יודעים כי קיימת התכנסות נקודתית f. (x) e x כמו כן נשים לב כי מתקיים f (x) = x x ( ) :x [ R, R] ולכן לכל ( x לכן החל מ > R מתקיים ) f (x) R נוכל אם כך להשתמש בטענה שהוכחנו בסעיף א' (כמובן שאין זה משנה אם החסם הוא 3 או R) ולקבוע כי אכן f. (x) e x לכן על פי משפט אינטגרציה של סדרת פונקציות מתכנסת במ"ש, ומכיוון ש ( x ) f אינטגרבילית רימן בקטע לכל נוכל לקבוע כי מתקיים: ˆ R R ˆ R ( x ) = x ( ) = R ˆ R R e t dt שאלה 3 הוכיחו כי גם א) נתונה ) [, : f פונקציה רציפה וכן ידוע כי = f(x) f(x) x f(t) dt,f (x) := x מכיוון ש > f(x) ורציפה אנו יודעים כי > (x) F לכל ) [, x ולכן הנקודה הבעייתית פתרון: נסמן f(t) dt היחידה באינטגרל הנ"ל הינה. כמו כן מכיוון ש ( f(x רציפה, ע"פ משפט שהוכחנו בכיתה אודות גזירות האינטגרל עבור כל (,] x מתקיים כי f(x) F. (x) = f(x),(log(f (((x) = נשתמש אם כן במשפט היסודי של החשבון האינטגרלי על מנת לחשב את ערכו F (x) על כן נשים לב כי מתקיים גם של האינטגרל: f(x) x f(t) dt = b f(x) b F (x) = b [log(f (x)) log(f ())] x = log( b f(x)) log(f ()) = כאשר אנו יודעים כי (() log(f הינו מספר סופי מכיוון שהראינו () F, וכן ודאי ש () F שכן f(x) רציפה ואינטגרבילית בקטע ].[,. = ( 6 ב) מצאו את רדיוס ההתכנסות של טור החזקות 3 )x פתרון: בדיוק באותו אופן בו פותרים את סעיף א בשאלה 4 של מועד א 7. שאלה 4 g(x) = כאשר א) הוכח כי אם f : [, ] R פונקציה רציפה אזי לכל > ε קיימת g : [, ] R מהצורה (x) k= k Ik,,..., R ו [ [,,I,.., I כך ש sup f(x) g(x) < ε x [,] פתרון: f פונקציה רציפה בקטע סגור, לכן על פי משפט קנטור רציפה בו במ"ש. לכן לכל > ε קיים > δ כך ש x y < δ f(x) f(y) < ε 8

19 . נבנה את החלוקה הבאה של הקטע [,]: לכן בהינתן >,ε קיים כך ש < δ k < : I k = [ k, k + ) כאשר את הקטע האחרון בחלוקה נגדיר כקטע סגור..g() = f() מתקיים,x מידית ניתן לראות שעבור =.g(x) = k= k Ik (x) ו k = f( k+ כמו כן נגדיר ) k+ x נקבל כי < k+ < δ מכיוון ש,g(x) = f( ) ולכן k x < k+ עתה עבור ] [, x, קיים k כך ש f(x) g(x) = f(x) f( k + ) < ε לכן גם מתקיים ˆ b sup f(x) g(x) < ε x [,] כנדרש. ב) תהי f : R R פונקציה רציפה ו [ b I =,] קטע סופי. הוכיחו כי f(x + h) f(x) h פתרון: נשים לב כי לכל h מתקיים כי f(x + (h f(x) : R R פונקציה רציפה, ולכן בפרט אינטגרבילית בקטע [b,]. f פונקציה רציפה בקטע סגור [ + b ], ולכן רציפה בו במ"ש, כלומר לכל > ε קיים > δ כך ש: x y < δ f(x) f(y) < ε h < δ : ˆ b, לכן מתקיים: ε (b ) ε f(x + h) f(x) (b ) sup f(x + h) f(x) < (b ) x [,b] (b ) = ε ˆ b f(x + h) f(x) h נבחר > δ המתאים ל מכיוון ש ε קטן כרצוננו נסיק מכך כי k= 4 3k שאלה 5 א) חשבו את הגבול k= 4 3k = k= 4 3( k ) פתרון: נכתוב את הסכום באופן מעט שונה T = { < של <... <, ולחלוקה } < 4 3x k= = 4 3x = 3 π 3 עתה ניתן לשים לב כי הסכום הנ"ל הוא סכום רימן המתאים לפונקציה הקטע [,]. כלומר מתקיים ˆ 4 3k = = 3 4 x cos t dt [ 3 4 3x x = si t t : π 3 = 3 cost dt = π 3 si t 3 dt = π 9 7 ] נפתור את האינטגרל

20 ( 3 rcsi( 3 (האמת שהחלפת המשתנים מיותרת וניתן היה לזהות כי מדובר בנגזרת של (x לכן קיבלנו כי k= f(x, y) = 4 3k = π 7 { xy x +y 4 (x, y) (, ) (x, y) = (, ) ב) תהי f : R R פונקציה המוגדרת על ידי האם f דיפרנציאבילית ב (,)? פתרון: אם f אכן דיפרנציאבילית בנקודה, אזי בהכרח מתקיים כי )) (, y. f(, ) = (f x (, ), f נחשב את הנגזרות החלקיות על פי ההגדרה h f x (, ) = h h h = h f y (, ) = h h h = f(x, y) = f(, )+ < f(, ), (x, y) > +o( x + y ) ניזכר כי f דיפרנציאבילית בנקודה (,) אם מתקיים f(x, y)? = o( r ) במקרה שלנו על מנת ש f תהיה דיפרנציאבילית צריך להתקיים r + (x,y) (,) f(x) x + y = (x,y) (,) r 3 si θ cos θ r[r cos θ + r 4 si 4 θ] = r + xy [x + y 4 ] x + y נבדוק האם אכן מתקיים התנאי נבדוק בקואורדינטות פולאריות, ונניח כי אנו שואפים במסלול בו θ :cos si θ cos θ cos θ + r 3 si 4 θ = t θ cos θ.t θ cos θ נקבל,θ = π 4 ולמשל עבור כלומר קיבלנו כי ) f(x, y) o( x + y ולכן f אינה דיפרנציאבילית בנקודה ).(, x) cos(b מתכנס במ"ש על R וכי הפוקנציה w : R R המוגדרת על ידי = := w(x) הינה גזירה ברציפות. שאלה 6 א) יהיו > b. > הוכיחו כי הטור = cos(b x) פתרון: שאלה זו כמעט זהה לשאלה המקבילה במועד א', הפתרון באותה דרך למעט העובדה שהפעם ב = x לא מתקבל טור. = אפסים אלא הטור הוא בהכרח טור מתבדר ואז לא תיתכן התכנסות = אני נוטה להניח שיש פה טעות בשאלה מכיוון שעבור <, הטור במ"ש של w(x) בכל R. מתכנס ונוכל להמשיך באותו אופן כמו בשאלה 6 במועד א'. = אם נניח כי נתון > אזי הטור מתכנס? e x 3 ב) האם האינטגרל פתרון: כמו בשאלה המקבילה במועד א'. 7 סמסטר א', מועד מיוחד (אהרונסון) שאלה הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות: : f : R R עבור פונקציה רציפה (I

21 א) אם U R פתוחה, אזי גם f (U) R פתוחה. פתרון: הטענה נכונה. תהי (U) x f ונניח כי U.f(x ) = y U קבוצה פתוחה ולכן קיימת סביבה של y כך ש.(y ε, y + ε) U f פונקציה רציפה ולכן קיימת > δ כך ש, x B(x, δ) f(x) (y ε, y + ε) U כלומר: x B(x, δ) f(x) U x f (U) ולכן (U).B(x, δ) f ב) אם U R סגורה, אזי גם f(u) R סגורה. פתרון: הטענה אינה נכונה. = (y,f(x, זוהי פונקציה רציפה כמנה של פונקציות רציפות ומכיוון ש + x עבור כל ניקח למשל את הפונקציה x+.(x, y) R נגדיר U, = R זוהי קבוצה סגורה כמובן. אבל [,) =,f(u) וזוהי אינה קבוצה סגורה. ג) אם f : R R גזירה ברציפות, x R וקיים > ε כך ש ) f(x) f(x לכל ε),x B(x, אזי ) (, = ). f(x פתרון: הטענה נכונה. מכיוון ש f דיפרנציאבילית ברציפות מתקיים עבור כל û R וקטור יחידה ו R : t f(x + tû) f(x ) f(x + tû) f(x ) = t < f(x ), û > +o(t) =< f(x ), û > t t מכיוון ש x נקודת מינימום מקומית אזי עבור t < ε מתקיים > ).f(x + tû) f(x לכן עבור + t נקבל > û f(x ), < ועבור t נקבל > û f(x ),.< מכאן שבהכרח מתקיים =< û f(x,( < עבור כל û, ולכן זה גורר (על פי טענה מאלגברה ליניארית) כי (,) = ). f(x. A(t) dt = אינטגרבילית על ] [, ו A אזי it(a) = ו A (, ) אם (II פתרון: הטענה אינה נכונה. ניקח את (,) Q A = R \ ואז נקבל כי D(x) A (x) = פונקציית דיריכלה. ראינו בשיעור כי פונקציה זו אינה אינטגרבילית בקטע (,). (III אם f : R R ו y, f(x) f(y) x לכל,x, y R אזי f קבועה. פתרון: הטענה נכונה. נראה כי f דיפרנציאבילית ב R וכי. f תהי, x R אזי f דיפרנציאבילית ב x אם ורק אם קיים וקטור ) f(x כך שמתקיים f(x + tû) = f(x )+ < f(x ), tû > +o(t) כאשר t R ו û וקטור יחידה. נראה כי הנ"ל מתקיים עבור = ) : f(x f(x + tû)? = f(x ) + o(t) f(x + tû) f(x )? = o(t) ואכן מתקיים כי f(x + tû) f(x ) x + tû x t = t t t t t t = כלומר הראינו כי בכל נקודה x R מתקיים כי f דיפרנציאבילית ו = ). f(x לכן מכיוון ש f נסיק כי f קבועה על פי הנלמד בכיתה (ואם זה לא נלמד בכיתה אפשר להראות את זה על פי משפט לגרנז'). (x,y) (,) x 3 y x 4 + y = r + f(x, y) = { x 3 y x 4 +y (x, y) (, ) (x, y) = (, ) 7 r cos θ 3 si θ r 4 cos 4 θ + r si θ = r + שאלה 3 נגדיר f : R R ע"י האם f: רציפה ב (,)? דיפרנציאבילית ב (,)? פתרון: נבדוק רציפות ב (,) בקוארדינטות פולריות 3 r r cos 4 θ + si θ cos θ 3 si θ

22 cos θ 3 si r חסום), כאשר = θ si אזי מלכתחילה עבור θ si ניתן לראות כי הגבול הנ"ל הינו ( 3 ו θ r cos 4 θ+si θ x 3 y ולכן הגבול הינו. x 4 +y עבור כל > r מתקיים = לכן ) f(, (x,y) (,) f(x, y) = ו f אכן רציפה בנקודה ).(, נבדוק דיפרנציאביליות, אם f דיפרנציאבילית אז מתקיים בהכרח כי ((,) y,)f, ( = f) x,),( f במקרה שלנו קל לבדוק (במבחן כדאי להראות) כי f x (, ) = f y (, ) = לכן f דיפרנציאבלית בנקודה (,) אם ורק אם מתקיים f(x, y)? = f(, )+ < f(, ), (x, y) > +o( x + y ) = o( x + y ) (x,y) (,) f(x, y) x + y = (x,y) (,) x 3 y [x 4 + y ] x + y מתקיים כי r + 7 r cos θ 3 si θ r 5 cos 4 θ + r 3 si θ = r + r r cos 4 θ + si θ cos θ 3 si θ = נבדוק בקואורדינטות פולאריות כאשר השוויון האחרון מתקיים מאותם שיקולים כמו במקרה הקודם. לכן f(x, y) = o( x + y ו f דיפרנציאבילית ב (.(, שאלה 5 נתונה סדרה של פונקציות f : [, π] R כך ש f si במ"ש על π].[, הוכיחו כי הסדרות (x) sup x [,π] f ו ( x ) if x [,π] f מתכנסות ומצאו את גבולותיהן. פתרון: הפתרון הינו באותו אופן בו פתרנו את שאלה במבחן של סודין: 8 סמסטר ב', מועד ב' (אולי במקרה הספציפי הזה יש דרך קצת יותר פשוטה/מהירה, אבל גם הפתרון הנ"ל בודאות נכון). e x + e x שאלה 6 הוכיחו כי האינטגרל : b e x +e x מתכנס וחשבו אותו. פתרון: נחשב ראשית את האינטגרל [ = e b e b e x +e = b x t = e x dt = e x e x e x + t : e e b dt +t = rct(e b ) rct(e ) ] e x = + e x b ˆ b e x = + e x b [rct(eb ) rct(e )] = π לכן מתקיים כי

23 9 סמסטר ב', מועד א' (קלרטג,גלוסקין) שאלה תהי f : R C פונקציה מחזורית הגזירה אינסוף פעמים. הוכיחו כי לכל > p שלם מקדמי פוריה של f מקיימים ± p ˆf() = ˆf () = iπ ˆf() פתרון: בכיתה הראינו כי עבור f גזירה ברציפות מתקיים עבור f גזירה אינסוף פעמים ניתן, באמצעות הפעלה חוזרת של הטענה הנ"ל, להסיק כי לכל {} N p מתקיים: ˆ f (p) () = (iπ) p p ˆf() ± מכיוון ש (p) f רציפה, היא בפרט אינטגרבילית ולכן על פי הלמה של רימן לבג מתקיים: f ˆ (p) () = ± (iπ)p p ˆf() = ± p ˆf() = עתה עבור > p שאינו שלם קיים k שלם אי שלילי כך ש + k k < p < ולכן מתקיים: k ˆf() p ˆf() k+ ˆf() באמצעות משפט הסנדביץ' נקבל כי גם במקרה זה מתקיים = ˆf(). ± p = 3 שאלה חשבו את בעזרת טורי חזקות או בכל דרך אחרת. f = פתרון: לשם פתרון השאלה נשתמש במשפטים שלמדנו אודות אינטגרביליות וגזירות של טורי חזקות על פיהם אם = x טור חזקות בעל רדיוס התכנסות R, אזי ברדיוס ההתכנסות מתקיים: x f(t) dt = = + x+ f (x) = = x.r = ˆ x והטורים הנ"ל הינם בעלי רדיוס התכנסות R..f( 3 ) נשים לב כי אנו מתבקשים למצוא את,f(x) = נסמן אם כן = x כמו כן נשים לב כי רדיוס ההתכנסות של הטור הנ"ל, על פי משפט קושי הדמרד הינו = מתקיים כי: f(x) = x = x = x g(x) = נמצא את,g(x) נבצע אינטגרציה תוך שימוש במשפט שצוטט לעיל: g(t) dt = x = x x = x h(x) ( x) = ( x ) = = x = h(x) =, ולכן x = אנו יודעים כי מתקיים = x 3

24 x x g(t) dt = ( x) x g(x) = ( g(t) dt) x = ( ( x) ) = ( x) + x ( x) = x 3 ( x) 3 f(x) = x g(x) = x ( x) 3 לכן מהשווינות המופיעים לעיל נוכל לכתוב כל ה שוויונות הנ"ל נכונים ברדיוס ההתכנסות, ומכיוון שרדיוס ההתכנסות של כל הטורים הנ"ל הינו = R, נוכל לכתוב = 3 = f( 3 ) = ( 3 ) ( 3 )3 = 3 שאלה 3 מתכנס? א) האם האינטגרל si(x 3 ) פתרון: הנקודה הבעייתית היחידה הינה ב (( si(x 3 רציפה וחסומה על (,]), לכן מספיק לבדוק התכנסות של האינטגרל. si(x 3 ) נבצע החלפת משתנים: ˆ ] ˆ t = x 3 x = t 3 si(t) si(x 3 ) = [ dt = 3 x = 3 עתה נוכל להשתמש במבחן דיריכלה אשר נוסחו: יהיו,f g פונקציות גזירות ברציפות, אינטגרביליות על כל תת קטע סופי של (,] ונניח כי g(x) dt 3 t = 3 t 3 dt. (, ) עבור כל האינטגרל f M הפונקציה g(x) הינה פונקציה חיובית יורדת ומקיימת x (אולי כדאי להסביר למה, פונקציה מחזורית אם אינטגרל si(t) t 3 מתכנס. אזי האינטגרל fg ואכן עבור si(t) f(t) = מתקיים כי עבור כל סופי si(t) שמתאפס על פני מחזור שלם וכו'..) כמו כן מתקיים כי = g(t) מונטונית יורדת ושואפת לאפס. שתי הפונקציות הנ"ל גזירות ברציפות ואינטגרביליות על כל תת קטע סופי של (,] ולכן על פי מבחן דיריכלה האינטגרל dt מתכנס, ועל כן גם האינטגרל המקורי אודותיו נשאלנו מתכנס. מתכנס וש (x) f חסומה. ב) תהי f : R R פונקציה גזירה ברציפות. נניח ש f הוכיחו כי = f(x). x פתרון: נניח בשלילה כי f(x), x כלומר קיימת סדרה של נקודות,x כך שמתקיים. f(x ) > ε x x),כאשר M הינו החסם של הנגזרת, אזי על פי משפט לגרנז' f(x ) f(x) = f (c) x x < M f(x) > ε ε M < ε ε M, x + x (x מתקיים ε M t 3 כמו כן מתקיים כי אם ) ε M, x + ε M כלומר לכל ) מכיוון שהאינטגרל f מתכנס אזי על פי קריטריון קושי קיים B כך שלכל b, b > B מתקיים ˆ b f < ε b M ˆ x + ε M f(x) = f(c) x ε M ˆ x + ε M x ε M + B x > כך שמתקיים > ε M ε M אבל לכל > B קיים.(x ε M, x + ε M כאשר השוויון הראשון מתקיים על פי משפט ערך הביניים האינטגרלי, מכיוון ש f רציפה ושומרת סימן בקטע ) כלומר, קיבלנו שקריטריון קושי אינו מתקיים, בסתירה להתכנסות האינטגרל. f על כן בהכרח מתקיים = f(x). x 4

25 שאלה 4 יהיו < b < <. עבור k שלם נסמן: R k = ˆ b t k log t dt א) הראו כי R k = k + [bk+ log b k+ log ] bk+ k+ (k + ) פתרון: נשים לב כי t k ו t log פונקציות רציפות וגזירות ולכן ניתן לבצע אינטגרציה בחלקים: R k = k+ [tk+ log t] b b t k+ k+ t = k+ [tk+ log t] b k+ [ tk+ k+ ]b = = k+ [bk+ log b k+ log ] bk+ k+ (k+) ˆ b log t t dt = k= R k t = k= tk b log t t dt = b ( k= tk log t) dt ב) הראו כי פתרון: נשים לב כי מתקיים t k log t log b k עתה נשים לב כי לכל [b t,] מתקיים =k tk log t בוחן של ווירשטראס הטור הוא טור מספרים מתכנס, ולכן על פי M log מכיוון ש < b < הטור k= bk.( log t t מתכנס במידה שווה (לפונקציה על כן נוכל להשתמש במשפט אודות אינטגרציה איבר איבר של טורי פונקציות: אם הטור (x) הינו טור של פונקציות אינטגרביליות רימן בקטע [b,] וכן f(x) (x) במידה שווה, אזי מתקיים ˆ b log t t dt = ˆ b ˆ b k= f(x) = = ˆ b ( t k log t) dt = k= (x) ˆ b t k log t dt = באמצעות שימוש במשפט זה נוכל לכתוב k= R k וקיבלנו את הדרוש. ג) חשבו את את הגבול + b ˆ b log t t dt b log t = dt, t לפרק את הטור לטורים k= ( k+ [bk+ log b k+ log ] bk+ k+ (k+) פתרון: הרעיון הוא להשתמש בשוויון ) ניתנים לחישוב שמתכנסים במ"ש ולחשב אותם. 5

26 שאלה 5 תהי u : R R פונקציה גזירה ברציפות. נתון כי בכל נקודה y) (x, במעגל היחידה } = {(x, y) R : x + y מתקיים: y u x x u y נסמן t).f(t) = u(cos t, si א) הוכיחו כי (t) f לכל π].t [, פתרון: u גזירה ברציפות, וכן (t γ(t) = (cos,t si הינה מסילה גזירה ברציפות לכל [π t.,] לכן נוכל להשתמש בכלל השרשת על פיו מתקיים: (u(γ(t)) =< u, γ (t) > f (t) =< ( u x (γ(t)), u y (γ(t)), ( si t, cos t) >= cos t u x (cos t, si t) si t u(cos t, si t) y נקבל כי נשים לב כי מתקיים = t cos t + si ולכן נוכל להשתמש בנתון ולקבוע כי cos t u (cos t, si t) si t u(cos t, si t) x y f() = (, ) = f(π) כלומר קיבלנו כי (t).f ב) הוכיחו כי f(t) פונקציה קבועה. פתרון: נשים לב כי f(t) הינה פונקציה מחזורית π שכן מתקיים כמו כן בסעיף הקודם ראינו כי (t) f ולכן f יורדת בקטע [π,], כלומר מתקיים t [, π] : f() f(t) f(π) t [, π] : f() = f(t) = f(π) אבל מכיוון ש f מחזורית מתקיים ולכן f קבועה. 9 סמסטר ב', מועד ב' (קלרטג,גלוסקין) שאלה מתכנס. חשבו את תהי f : [, ) R פונקציה רציפה. נניח ש f(x) ˆ f(x) ˆ [ ] t = x t : f(x) = = dt = ˆ f(t) dt פתרון: נבצע החלפת משתנים: ˆ f(x) = כאשר הפונקציה φ(x) = x הינה פונקציה מונוטונית עולה ולכן השוויון לעיל אכן נכון. עתה מתקיים ˆ f(t) dt = ˆ ˆ f(t) dt = f(t) dt = קיים וסופי. כאשר מעבר הגבול נכון מכיוון שאנו יודעים כי f(t) dt כלומר קיבלנו f(x) = 6

27 שאלה א) האם האינטגרל cos x מתכנס בתנאי? בהחלט? + x x, cos פונקציות פתרון: נשים לב כי הנקודה הבעייתית היחידה הינה (בכל תת קטע סופי הפונקציה רציפה וחסומה). פונקציה מונוטונית יורדת ושואפת לאפס ב. כמו כן +x וכן [, ) עבור כל האינטגרל x cos גזירות ברציפות בקרן (,] ולכן ניתן להשתמש במבחן דיריכלה ולקבוע כי האינטגרל הנ"ל אכן מתכנס בתנאי. נראה כי האינטגרל אינו מתכנס בהחלט, ראשית נשים לב שמתקיים +x cos x +x cos x +x מתבדר. cos x +x אזי גם האינטגרל cos x +x ולכן על פי מבחן ההשוואה עבור פונקציות חיוביות, אם האינטגרל = cos +cos x אזי x = מכיוון שמתקיים cos x + x = + cos x = ( ˆ + x + x + cos x + x כאשר במידה ושני האינטגרלים באגף שמאל קיימים, ולפחות אחד מהם סופי אזי השוויון הנ"ל נכון בודאי. cos x קיים וסופי. +x באמצעות מבחן דיריכלה, מאותם שיקולים שפורטו לעיל, ניתן לראות כי האינטגרל אבל האינטגרל + x = log( + x) = cos x מתבדר. +x לכן גם האינטגרל מתכנס. f קיים ושלילי. הוכיחו כי ב) תהי f : [, ) R פונקציה גזירה וחיובית. נניח ש (x) x (log f) פתרון: מהנתון < c x (log f) (x) = נסיק כי קיים x כך שלכל x > x מתקיים < ε (log f) (x) < c + ולכן מתקיים כי ˆ x x (log f) (x) ˆ x x (c + ε) log f(x) log f(x ) = (c + ε)(x x ) = c (x x ) כאשר c קבוע שלילי. לכן נבצע אקספונציאציה של השוויון שקיבלנו f(x ) f(x) e c x e c x f(x) Me c x כאשר M קבוע חיובי כלשהוא. מתכנס. מתכנס, ממבחן ההשוואה לפונקציות חיובית נובע כי גם f עתה מכיוון שהאינטגרל e c x = + + שאלה 3 חשבו את נקבל כי = R ולכן הטור אכן + בעזרת טורי חזקות או בכל דרך אחרת = + = + f( ) ואז מתקיים f(x) = = + פתרון: נגדיר x נשים לב כי על פי קושי הדמרד מתקיים R = sup ומכיוון שמתקיים = + מתכנס ב =.x כמו כן נשים לב כי מתקיים f(x) = (x + x ) = x x + = x x + = = = = = x = x g(x) + h(x) 7

28 (השוויון הנ"ל נכון מכיוון ששני הטורים בעל רדיוס התכנסות = R וטורי חזקות מתכנסים בהחלט ברדיוס ההתכנסות, לכן ניתן לשנות את סדר הסכימה). באופן דומה לדרך בה הראינו בשאלה 9 3, מועד א', נקבל כי: g(x) = ( x) h(x) = log( x) f(x) = x ( x) log( x) f( ) = ( ) log( ) = + log לכן נקבל כי = + + = f( ) = + log ולכן (x, y) R : f(x, y) x + y שאלה 5 תהי f : R R פונקציה המקיימת נסמן g. = f הגדירו דיפרנציאביליות של פונקציה מ R ל R, הוכיחו כי g דיפרנציאבילית ב (,) וחשבו את הנגזרות החלקיות. פתרון: נאמר ש R g : R דיפרנציאבילית בנקודה ) (x, y אם קיים g(x, y ) R כך שעבור כל (x, y) R מתקיים: f(x, y) = f(x, y )+ < g(x, y ), (x x, y y ) > +o (x,y) (x,y )( (x x ) + (y y ) ) נראה כי עבור g הנתונה מתקיים כי g דיפרנציאבילית בראשית, ומתקיים (,) = (,)g, זה נכון אם מתקיים: g(x, y) = g(, ) + o( x + y ) f(, ) = f(, ) = g(, ) = נשים לב שמהנתון על f נובע כי g(x, y) (x,y) (,) x + y x + y (x,y) (,) x + y = לכן עלינו לבדוק האם מתקיים ) g(x, y)? = o( x + y x + y = (x,y) (,) לכן ) g(x, y) = o( x + y והראינו כי g אכן דיפרנציאבילית בראשית ומתקיים ) (, = ). g(, על פי מה שראינו בכיתה אם g דיפרנציאבלית בנקודה אזי בהכרח מתקיים ) y g, = f) x, f לכן במקרה שלנו מתקיים f x = f y = 8 סמסטר ב', מועד מיוחד (סודין) ˆ cos(log x) שאלה חשבו את האינטגרל 8

29 [ ] t = log x x = e cos(log x) = t t : = e t dt = e t cos( t) dt = e t cos(t) dt = b b e t cos(t) dt פתרון: ראשית נבצע חילוף משתנים השתמשנו בפונקציה מונוטונית יורדת וגזירה,φ(t) = e t מכיוון שהפונקציות רציפות אין צורך שהפונקציה תהיה מונוטונית עולה, ולכן אכן מתקיים השוויון וחילוף המשתנים תקין. נשים לב כי cos t ו e t רציפות וגזירות ולכן ניתן לבצע אינטגרציה בחלקים: I(b) = b e t cos t dt = e t cos t b b e t si t dt = e t cos t b + e t si t b b e t cos t dt = = e t cos t b + e t si t b I(b) I(b) = e t cos t b + e t si t b I(b) = [e t si t e t cos t] b ˆ cos(log x) = e t cos(t) dt = b [e t si t e t cos t] b = נוכל עתה להשאיף את b ולקבל כי ( ) x שאלה האם האינטגרל מתכנס בהחלט? מתכנס בתנאי? מתבדר? פתרון: קל לראות כי האינטגרל אינו מתכנס בהחלט מכיוון שמתקיים ( ) x = = x = ( ) ˆ + x = ( ) = ( ) [ + ] = = + נבדוק התכנסות בתנאי, נשים לב שלמעשה מתקיים כי = קל לראות כי f(x) = x + x f (x) = נראה שהסדרה הינה סדרה מונוטונית יורדת: x + x ניתן לראות כי מתקיים < (x) f עבור כל > x ולכן f(x) פונקציה יורדת, כלומר + = f( + ) f() = מתכנס. על כן ניתן להשתמש במבחן לייבניץ להתכנסות טור עם סימנים מתחלפים ולהסיק כי הטור [ = ( ) [ + מתכנס בתנאי. על כן האינטגרל ( ) x 9

30 שאלה 3 c טור מתכנס עבור s = t הוכיחו כי = s. הטור מתכנס במידה שווה עבור < s t. הטור מתכנס בהחלט עבור + t s > יהי פתרון: ) ראשית נשים לב שמתקיים c מתכנס במ"ש עבור = s = c s = c t s t =.( לכל f (s) ) במידה אחידה וחסומה הינה סדרה מונוטונית יורדת ב, s t עבור,f (s) = הסדרה s t הוא טור מספרים מתכנס, בפרט מתכנס במ"ש מכיוון שאינו תלוי ב s. g (s) = c הטור = t לכן מתקיימים התנאים למבחן אבל להתכנסות במ"ש של הטור (s) f (s)g, כלומר הטור.t s < מתכנס. = c ( נניח כי + t,s > נסמן (α > ) s = t + + α נראה כי הטור s מתקיים כי c t++α = +α c t = = g הוא טור מתכנס עבור > α (באמצעות מבחן העיבוי של קושי). ראינו בחדוו"א כי טור מהצורה +α, c ולכן t הינה האיבר הכללי של טור מתכנס, ולכן שואפת לאפס, לכן ממקום מסוים מתקיים < f = c כמו כן הסדרה t מתכנס עבור = c מתכנס, כלומר הטור s = +α c =. c +α t +α לכן באמצעות מבחן ההשוואה לטורים חיוביים נוכל להסיק כי הטור t.s > t + שאלה 5 תהי K R קבוצה קומפקטית ותהי f : K R פונקציה רציפה. הוכיחו כי הגרף של Γ f := {(x, f(x)) : x K}, f הינו גם כן קבוצה קומפקטית. פתרון: נוכיח כי לכל סדרת נקודות ב Γ f יש תת סדרה מתכנסת, כאשר גבול הסדרה שייך ל Γ. f תהי איפוא y Γ f סדרה, אזי y מהצורה )) y = (x, f(x כאשר x סדרת נקודות ב K..L = x k K כאשר x k יש תת סדרה מתכנסת x קבוצה קומפקטית אזי ל K מכיוון ש f רציפה אזי אם x k L מתקיים גם כי f(l).f(x ) כלומר קיימת תת סדרה מתכנסת של.y k (L, f(l)),y מכיוון ש L שייך ל K אזי.(L, f(l)) = y k Γ f 3