חדוו"א 2 פתרונות לשאלות מבחינות 5 ביולי 2011 נערך על ידי: אורי אלברטון אזהרה: זוהי הצעת פתרון לשאלות מבחינות קודמות, הפתרונות המופיעים לעיל לא נבדקו ע
|
|
- בת שבע בראון
- לפני1 שנים
- צפיות:
תמליל
1 חדוו"א פתרונות לשאלות מבחינות 5 ביולי נערך על ידי: אורי אלברטון אזהרה: זוהי הצעת פתרון לשאלות מבחינות קודמות, הפתרונות המופיעים לעיל לא נבדקו על ידי אף גורם מוסמך ועשויים להכיל טעויות, שגיאות חישוב ועוד. (אם במקרה החלטתם לקרוא את הפתרונות ומצאתם טעות כזאת, אשמח לשמוע, orilb בג'ימייל), e 9 סמסטר ב', מועד מיוחד (קלרטג) שאלה מתכנס? א) האם האינטגרל e log (x) פתרון: ראשית נשים לב כי הנקודה הבעייתית היחידה הינה, לכן מספיק לבדוק את ההתכנסות של האינטגרל e log (x) נבצע חילוף משתנים: e e log (x) = { t = log x = e t dt x = e t t : = = e t e t dt = e t(t ) dt כאשר מתקיים כי φ(t) = e t הינה פונקציה מונוטונית עולה וגזירה ברציפות ולכן אכן ניתן לבצע החלפת משתנים זו. עתה נשים לב כי עבור כל t > e מתקיים t(t ( t ולכן t(t ) e, t e מכייון ששתי הפונקציות הנ"ל חיוביות ניתן להשתמש בקריטריון ההשוואה לפונקציות חיוביות ולהסיק כי: e e t dt < e e t(t ) dt < e e t dt = b (e e e b ) = e e < ואכן מתקיים מתכנס. על כן ניתן להסיק כי האינטגרל המקורי e log (x) ± x, נניח כי ב) נתונה f פונקציה גזירה ברציפות המקיימת = xf(x) f (x) = יש להוכיח כי xf (x)f(x) = f b גזירה ברציפות (מכפלה של פונקציות גזירות f, f (x) = b גזירה ברציפות לכן גם פתרון: נסתכל על (x) f (x) ברציפות), כמו כן ברור כי = x הינה פונקציה אינטגרבילית, ולכן נוכל לבצע אינטגרציה בחלקים: ( ) ˆ b xf (x) = x ± f (x) = [bf (b) f ()] xf(x) xf(x) = x ± ˆ b xf (x)f(x) נשים לב כי מהנתון = xf(x) ± x נוכל להסיק כי xf(x) xf(x) = x ± x ±
2 ולכן מתקיים [bf (b) f ()] = b על כן אם ניקח גבול עבור הביטוי ( ) כאשר ו b נקבל כי f (x) = xf (x)f(x) נסיק כי ומהנתון = f (x) xf (x)f(x) = שאלה נתונה ) [, ] [, : f פונקציה רציפה ואי שלילית, כמו כן נתון כי f קעורה כלומר לכל שתי נקודות ] [, y x, ו [ [, λ מתקיים: f(λx + ( λ)y) λf(x) + ( λ)f(y) ˆ f(t) dt נניח גם ש = ()f, יש להוכיח כי פתרון: נניח כי ] [, t אזי קיים ] [, t λ = כך ש λ),t = λ + ( לכן מתנאי הקעירות נקבל: f(t) = f(λ + ( λ) ) λf() + ( λ)f() ( λ)f() = t (המעבר הלפני אחרון מכיוון ש f אי שלילית ולכן ()f) כלומר קיבלנו שלכל [,] t מתקיים כי f(t) t לכן נוכל לכתוב: ˆ f(t) dt ˆ t dt = b. f b זאת על פי טענה שהוכחנו בכיתה לפיה אם g(t) f(t) לכל [b t,] אזי g עתה נסתכל על ] [,,t אם נבחר λ = t אזי מתקיים כי λ) t = λ + ( ולכן מתנאי קעירות נקבל: f(t) = f(λ + ( λ) ) λf() + ( λ)f() λf() = t (כאשר שוב המעבר הלפני אחרון מכיוון ש f אי שלילית) כלומר קיבלנו שלכל [,] t מתקיים כי f(t) t ולכן נוכל לכתוב: ˆ f(t) dt ˆ ( t) = לכן מתקיים ˆ f(t) dt = ˆ f(t) + ˆ f(t) + = כנדרש.
3 8 סמסטר ב', מועד ב' (סודין) e x +e x שאלה חשבו את האינטגרל b, לכן נפתור ראשית את האינטגרל עבור b קבוע באמצעות החלפת משתנים: b = e b [ b e x +e = b x t = e x dt = e x e x e x + t : e b dt +t = rct(e b ) rct() = rct(e b ) π 4 ] פתרון: האינטגרל הנ"ל הינו e x e+ x כאשר φ(x) = e x הינה פונקציה מונוטונית עולה, אשר מעבירה את הקטע [b,] לקטע ] b,] e ולכן התנאים הנדרשים לביצוע החלפת המשתנים אכן מתקיימים. לכן קיבלנו כי ˆ b e x = + e x b e x = + e x b rct(eb ) π 4 = π 4 שאלה נתונות פונקציות.f : [, ] R נתון כי f f במ"ש על ] [, וכי f חסומה בקטע. הוכיחו כי sup f (x) [,] sup f(x) [,] פתרון: על פי הנתון f חסומה בקטע (נניח f ), M לכן מתקיים כי sup [,] f סופי, נסמן אם כן.sup [,] f = S R כמו כן f מתכנסת במ"ש ל f, לכן קיים N כך שלכל > N מתקיים: x [, ] : f (x) f(x) < f(x) < f (x) < f(x) + f (x) < f(x) + M + כלומר החל ממקום מסוים (x) f חסומה ולכן sup [,] f הינו סופי, נסמן אם כן sup [,] f = S R לכל. > N עלינו להראות.S S נניח בשלילה כי, S S אזי קיים > ε וקיים! N כך שלכל! N > מתקיים. S S (x) > ε כלומר קיימים אינסוף אינדקסים עבורם מתקיים S > S + ε או S, < S ε נניח בה"כ כי קיימים אינסוף אינדקסים כך ש ε.s > S + מהגדרת הסופרמום קיים ] [, x כך ש S.S ε < f(x ) < מכך ש f מתכנסת במ"ש ל f קיים N כך ש > N x [, ] f (x) f(x) < ε בפרט זה נכון עבור x, לכן לכל N > מתקיים f (x ) > f(x) ε > S ε מצד שני על פי ההנחה שלנו קיים N k > עבורו f k (x ) < S k < S ε < f k (x ) הגענו לסתירה, לכן בהכרח מתקיים S S שאלה 3 הינו בעל רדיוס התכנסות R. נתון כי טור החזקות = z?(c C) א) מהו רדיוס ההתכנסות של = c z, כלומר הטור החדש מתקבל מהצבה של cz בטור המקורי. ממשפט = c z = פתרון: נשים לב שמתקיים = (cz) אודות רדיוס ההתכנסות אנו יודעים כי הטור המקורי מתכנס לכל z < R ולא מתכנס עבור z, > R לכן הטור החדש מתכנס לכל. cz > R ולא מתכנס עבור cz < R 3
4 מכיוון שמתקיים c z cz = (נובע מיידית מהצגה פולארית של מספרים מרוכבים) נסיק כי רדיוס ההתכנסות של הטור החדש (עבור (c הינו: R = R c במידה ו = c אזי הטור החדש הינו טור אפסים ולכן מתכנס לכל z, C כלומר במקרה זה = R.? ב) מהו רדיוס ההתכנסות של הטור = 3 z.r = sup וכן R = פתרון: ע"פ משפט קושי הדמרד אנו יודעים כי מתקיים 3 sup נניח תחילה כי < R <, נסמן, sup = L כאשר תחת ההנחה שלנו מתקיים < L < (הסדרה חיובית אז ברור כי גם L אי שלילי). ממשפט אודות sup אנו יודעים כי L הינו sup אם ורק אם L הוא גבול חלקי של סדרה b וכן לכל > ε קיים אינדקס שהחל ממנו מתקיים b < L + ε לכל, נשתמש בתנאי זה על מנת להראות ש. sup 3 = L 3 ראשית מכך ש L גבול חלקי של קיימת תת סדרה k כך ש k k L עבור תת סדרה זו מתקיים: k k 3 = ( k k ) 3 = L 3 k k לכן L 3 אכן גבול חלקי של 3. עתה יהי >,ε קיים > ε המקיים ε ε > (ε ) 3 + 3L(ε ) + 3L וכן קיים N כך שלכל > N מתקיים ε < L + (מכיוון ש L הינו.( sup לכן לכל > N מתקיים ( ) 3 < (L + ε ) 3 = L 3 + (ε ) 3 + 3L(ε ) + 3L ε < L 3 + ε כלומר הראינו ש L 3 אכן מקיים תנאי sup עבור 3, כלומר.R = L 3 = R 3 * בהכרח קיים ε כנדרש מכיוון ש ( 3L f(x) = x 3 + 3Lx + 3L x = x(x + 3Lx + פונקציה רציפה המקיימת = f() ומכיוון ש > L מתקיים > f(x) לכל >.x נניח עתה כי =,R זה ייתכן אם ורק אם =, sup מכיוון שלכל מתקיים נסיק כי במקרה זה הינו הגבול החלקי היחיד של הסדרה ולכן מתקיים. לכן ברור כי מתקיים 3 ). 3 = ( כלומר במקרה זה מתקיים = R.R = במידה ו = R, מתקיים =, sup מכיוון ש גבול חלקי של הסדרה מאותם שיקולים שהובאו לעיל נובע כי וברור כי במקרה זה מתקיים = 3. sup לכן נקבל כי = R.R = הוא גם גבול חלקי של הסדרה 3 שאלה 4 תהי f : R R m העתקה רציפה, הוכיחו או הפריכו: א) תהי E R m קבוצה פתוחה, אזי המקור (E) f גם כן קבוצה פתוחה. פתרון: הטענה נכונה, נוכיח זאת. ניזכר בהגדרת המקור E}.f (E) = {x R : f(x) על מנת להראות ש (E) f קבוצה פתוחה מספיק להראות כי לכל (E) x f קיים > r כך ש ( E ).B(x, r ) f יהי אם כן (E),x f אזי.f(x ) E מכיוון ש E פתוחה קיים > ε כך ש E.B(f(x ), ε) עתה מכיוון ש f רציפה קיים r כך שלכל ) y B(x, r מתקיים,f(y) B(f(x ), ε) E כלומר לכל ) y B(x, r מתקיים.y f (E) לכן קיבלנו כי (E) B(x, r ) f כנדרש. ב) תהי E R קבוצה פתוחה, אזי התמונה f(e) גם כן קבוצה פתוחה. פתרון: הטענה אינה נכונה. ניקח למשל f, c R m ברור כי f רציפה על E. אבל מתקיים כי {c} f(e) = וזוהי בבירור אינה קבוצה פתוחה, משום שלכל > r מתקיים {c}, B(c.ך (r שאלה 5.(x, y) לכל R x f x + y f תהי f : R R פונקציה C המקיימת = y הוכיחו כי f פונקציה קבועה. פתרון: תהי (x, y ) R נקודה כלשהיא. נגדיר מסילה γ(t) : [, ] R ע"י ),γ(t) = (tx, ty זוהי מסילה גזירה המקיימת.γ (t) = (x, y ) עתה נגדיר g(t) =: f γ(t) : R R זוהי הרכבה של פונקציות דיפרנציאביליות, לכן על פי כלל השרשרת g גזירה ומתקיים: g (t) =< f(γ(t)), γ (t) >=< f(γ(t)), (x, y ) > נשתמש במשפט לגרנז' עבור g ונקבל כי קיים (,) c כך ש f(x, y ) f(, ) = g() g() = g (c) =< f(γ(c)), (x, y ) > 4
5 כלומר קיבלנו כי f(x, y ) f(, ) = x f x (cx, cy ) + y f y (cx, cy ) c[f(x, y ) f(, )] = cx f x (cx, cy ) + cy f y (cx, cy ) = נכפול את שני האגפים של השוויון הנ"ל ב c ונקבל כלומר קיבלנו כי ) f(, f(x, y ) = לכל נקודה ב R ולכן f קבועה. סמסטר ב', מועד א' (ארטשטיין,בן ארצי) ˆ x rct(x) x( + x ) rct(x) שאלה א) חשבו את האינטגרל הלא מסוים הבא: I = x rct(x) x(+x ) rct(x) = [ t = rct x (+x ) rct(x) = dt = (+x ) x(+x ) = x ] (+x ) rct(x) = dt t x(+x ) = log(t) = log( rct x ) x (+x ) = log x log( + x ) I = log( rct x ) + log( + x ) log x + c = log( rct x +x x ) + c) פתרון: ב) האם האינטגרל x rct(x) x( + x ) rct(x) מתכנס? פתרון: הנקודות הבעייתיות הן ו לכן נבדוק בנפרד x rct(x) + b x( + x = ) rct(x) log(rct b ) log( π ) b b 4 + x rct x x x = π x + x x = π x + x x x = π מתקיים ˆ x rct(x) x( + x ) rct(x) = log(π + x ) (rct x ) 4 x x לכן האינטגרל מתכנס ב. נבדוק באפס (rct x x + x x rct x (L) ) = = x x x + x = מתכנס. x rct(x) x(+x ) rct(x) לכן האינטגרל מתכנס גם ב והאינטגרל 5
6 שאלה 3 הראו כי לא קיימת f : R R גזירה ברציפות פעמיים כך ש = y) f(x, על מעגל היחידה } = {(x, y) : x + y וכך שבכל נקודה בתוך עיגול היחידה } < {(x, y) : x + y מתקיים f f x y < פתרון: נשים לב כי כדור היחידה הסגור הינו קבוצה קומפקטית (זוהי קבוצה סגורה וחסומה ב R) ולכן מכיוון ש f רציפה על כדור היחידה, על פי משפט ווירשטראס f מקבלת מקסימום ומינימום על הכדור, כלומר, m, M B(, ) s.t x B(, ) : f(m) f(x) f(m) אם,m M שתיהן על מעגל היחידה אזי נקבל = f(m) f(m) = ולכן במקרה זה f על כדור היחידה, על כן לכל נקודה בתוך f f. נניח אם כן כי לפחות אחת מהנקודות הינה נקודה x y f ולכן אכן לא מתקיים < x = f y עיגול היחידה מתקיים = פנימית בתוך עיגול היחידה, נניח בה"כ כי (,)B M. ראינו בהרצאה כי אם M נקודת מקסימום מקומית של f אזי מטריצת ההסיאן f(m) הינה שלילית למחצה, כלומר לא קיימים ערכים עצמיים חיוביים עבור המטריצה, לכן נקבל כי f(m) det (מכיוון שזוהי מטריצה סימטרית היא דומה למטריצה אלכסונית ) dig(λ, λ ולכן הדטרמיננטה שלה שווה ל λ λ מכך שהמטריצה שלילית למחצה), אבל det f(m) = f x f y ( f x y ) f x f y (M) f. על כן לא קיימת פונקציה f כנ"ל. x f y ולכן גם במקרה זה לא מתקיים < שאלה 4 א) יהי מספר לא שלם. על ידי חישוב טור פורייה של e i(π x) בקטע [π,] חשבו את הסכום הדו סופי ˆf() = eiπ π = ( + ) פתרון: נחשב את מקדמי פוריה של הפונקציה הנ"ל π e ix e ix π = eiπ π e i(+)x e = iπ iπ(+) [e i(+)x ] π = = ieiπ π(+) (e i(π+π) i ) = π(+) (e iπ e iπ ) = si(π) π(+) = π π e i(π x) = Z si (π) π (+) = si (π) π = (+) = (+) = π si (π) (( = ( + ) ) ) = = לכן על פי שוויון פרסבל נקבל כי ב) האם מעבר הגבול הבא נכון או לא (הוכיחו) מתכנס עבור כל (,), מכיוון שזהו טור חיובי אזי הוא מתכנס בהחלט וניתן לשנות את = (+) ע"פ סעיף א' הטור סדר סכימת האיברים בטור, לכן נוכל לכתוב: (( ( + ) ) ) = ( = = ( + ) + = ( + ) + ) = ( = ( ) + = ( + ) ) מתכנסים, ו ( ) ( ), מכיוון שהטורים ( ) (+) וכן עתה נשים לב כי עבור כל [,] מתקיים מתכנסים במ"ש בקטע ].[, = ( ) ו = (+) אזי ע"פ M בוחן של ווירשטראס הטורים מכיוון שאלה טורים של פונקציות רציפות (החל מ = ) בקטע אזי הפונקציה הגבולית הינה רציפה ב =, כלומר מתקיים = = ( ) = = ( + ) = 6 = ( ) ( + )
7 = ( = ( ) + = ) = = ולכן הגבול הנ"ל שווה ל 4(log ) = שאלה 5 הוכיחו כי מתקיים אי השוויון הבא f(x) = x הינה פונקציה אי שלילית יורדת עבור > x, זאת מכיוון שמתקיים x = פתרון: נשים לב שהפונקציה x x f x (x) = ( e z log ) = log (x e x log ) log ( x x e x log ) (e x log ) = log (x e x log )[ x log ] (e x log ) נסתכל על הביטוי, x log עבור כל > x מתקיים > x, כמו כן מכיוון ש e > 4 = נקבל כי > log ולכן בסה"כ x log < < על כן < (x) f לכל > x ולכן הפונקציה אכן יורדת. נוכל איפוא להשתמש במבחן ההשוואה בין טור לאינטגרל על פיו אם f(x) הינה פונקציה אי שלילית יורדת אזי מתקיים f(x) f() = נחשב אם כך את האינטגרל f(x) [ ] x = t = x t : x dt = log() x [ u = t ] u : 4 du = log() t dt dt = du = dt log = t = log 4 du u = 4(log ) log()u בשני המקרים השתשמנו בפונקציה מונוטונית עולה לשם חילוף המשתנים, ובנוסף כל הפונקציות באינטגרל הנ"ל רציפות ועל כן חילופי המשתנים אכן תקינים. כלומר קיבלנו כי = si(x) = ( t + ˆ 4(log ) = x x [ = t = cos x si x = t dt = si x = dt t dt = t t dt t = כנדרש. סמסטר ב', מועד ב' (ארטשטיין). שאלה si(x) חשבו את האינטגרל הלא מסוים הבא פתרון: ] = dt ( t)(+t) = +t ) dt = [log( + t) log( t)] = cos x = log( +cos x ) = log( si( x ) cos( x )) = log(t( x )) log( t +t ) = 7
8 שאלה הראו שטור הפונקציות הבא מתכנס לכל x וכן מגדיר פונקציה גזירה ברציפות על R: = ( ) rct( x ) פתרון: ראשית נראה כי הטור מתכנס לכל x (ואף מתכנס במ"ש על כל R), לשם כך נשתמש במבחן לייבניץ להתכנסות טורים במידה שווה. מבחן לייבניץ: בהינתן טור מתחלף מהצורה (x) ( ) המוגדר על D, אם מתקיימים התנאים הבאים: מונוטונית יורדת ב (x) D על (x) אזי תחת תנאים אלה הטור מתכנס במ"ש. נבדוק אם כן כי הטור הנדון אכן מקיים את התנאים הנ"ל: מונוטוניות: נשים לב כי מתקיים > + x > x + כמו כן מכיוון ש rct הינה פונקציה עולה מתקיים גם כי rct( x x ) > rct( ) + לכן משני אי השוויונות הנ"ל נובע כי אכן מתקיים כי הסדרה מונוטונית יורדת ב : rct( x ) > rct( x + + ) x וכן לכל x קבוע שאיפה במ"ש ל : קל לראות כי הסדרה שואפת נקודתית לאפס שכן רציפה נקבל כי גם rct( x ) rct() = על כן מכיוון ש rct rct( x שואפת אף היא לאפס. כמו כן מתקיים לכל x R כי: ), ולכן ברור כי מכפלת שני הגורמים rct( x ) π ולכן השאיפה היא במ"ש. על כן מתקיימים התנאים עבור קריטריון לייבניץ והטור שלנו מתכנס לכל x R ואף במידה שווה. ( ) = f(x) הינה פונקציה גזירה ברציפות, נשתמש במשפט אודות גזירה של סדרת פונקציות = rct( x עתה נראה ש ) שנוסחו: ( ) N f N = פונקציה גזירה ברציפות = rct( x תהי f :,] [b R סדרת פונקציות גזירות ברציפות (אכן במקרה שלנו ) לכל N כסכום של פונקציות גזירות ברציפות) כמו כן נניח כי: קיימת x R כך ש f (x) f נקודתית (הראינו התכנסות במ"ש ל f עבור כל ( x R סדרת הנגזרות מתכנסת במ"ש.f g ( ) +x אזי מתקיים כי f f (כבר הראינו) וכן f, f = כמו כן מכיוון שסדרת הנגזרות רציפה וההתכנסות היא במ"ש אזי גם הפונקציה הגבולית רציפה כלומר f רציפה. מתכנס במ"ש, נשתמש שוב במבחן לייבניץ. = לכן על מנת לסיים נותר להראות כי הטור לכל x R מתקיים כי + x מתכנסת במ"ש ל. כמו כן קל לראות כי הסדרה הנ"ל יורדת עבור כל x קבוע. לכן טור הנגזרות אכן מתכנס במ"ש +x לכן וקיבלנו כי הטור המקורי אכן מגדיר פונקציה גזירה ברציפות. 8
9 שאלה 3 נתונה,f : R R המקיימת כי עבור כל מסילה רציפה,γ : [, ] R הפונקציה f γ רציפה. הוכיחו כי (y f(x, רציפה, או תנו דוגמא נגדית. פתרון: נוכיח כי (y f(x, אכן רציפה. נניח בשלילה כי קיימת נקודה R כך ש f אינה רציפה בנקודה, כלומר קיים > ε כך ש: δ > x R s.t x B(, δ) & f(x) f() > ε בפרט נוכל להסיק כי קיימת סדרה של נקודות x R המקיימת f(x ) f() > ε לכל וכן ).x B(, נגדיר את המסילה הבאה: { x + ( t)( + )(x + x ) γ(t) = t > + t = t < אזי בפרט קיים נשים לב שזוהי מסילה רציפה שכן עבור כל הנקודות שאינן קל לראות רציפות ועבור אכן מתקיים כי אם t k ולכן מהגדרת המסילה ניתן לראות כי מתקיים כך ש k+ k γ(t) x k = ( kt)(k + ) x k+ x k ( kt)(k + ) k = (k + k t(k + )) k כאשר החסם על k x +k x מתקבל מכיוון שעל פי אי שוויון המשולש: x k x k+ x k + x k+ k k כך שמתקיים.γ(t) B(, 3 k ) על פי אי שוויון המשולש נקבל כי x k B(, k לכן מכיוון ש ) כלומר γ(t) כש t ולכן γ(t) רציפה גם ב. עתה נשים לב כי f(γ(t)) אינה פונקציה רציפה ב, זאת מכיוון שלכל > δ קיימת נקודה < δ f(γ( k )) f(γ()) = f(x k) f() > ε קיבלנו סתירה לנתון ש f γ רציפה עבור כל מסילה רציפה. לכן בהכרח מתקיים כי f רציפה. ˆ π π ( = si(x) ) שאלה 4 א) חשבו si(x), f(x) = ניתן לראות בקלות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש ב R (או ב [ π,π ]) אם נשים לב לכך שלכל = פתרון: נסמן si(x) ומכאן נוכל להשתמש ב M בוחן של ווירשטראס. נראה שמתקיים כי טור פורייה המתאים ל f הינו הטור x R המגדיר אותה. נחשב באמצעות cos(kx) si(mx), ונשתמש בעובדה שאלה פונקציות אורתוגונליות ב L. si(mx) si(x) מתכנסים במ"ש (מאותו שיקול כמו עבור הטור המקורי) ולכן ניתן לבצע אינטגרציה, si(x) cos(kx) הטורים איבר איבר לכן נקבל כי: π si(x) π = = = π π = π π si(x) cos(mx) π = m = π = b m = si(x) si(mx) = = = π = π si(x) π = π si(x) cos(mx) π = π si(x) si(mx) π = m לכן טור פורייה המתאים ל f (בכתיבה של קוסינוסים וסינוסים) הוא אכן הטור המגדיר את f (יכול להיות שזה ברור ממה שנלמד בכיתה ולא צריך להסביר את זה). נחשב את המקדמים של טור האקספוננטים ˆf() באמצעות הקשר: ˆf() = = ˆf() = ( ib ) = i + > ˆf() = ( + ib ) = i + < 9
10 ˆ π π עתה נוכל להשתמש בשוויון פרסבל על פיו מתקיים f(x) = ˆf() Z ובמקרה שלנו מתקיים ˆ π π ( = si(x) ) = + = = ( ) = 4 4 = 3 ˆ π f(x)e i(+ )x = ב) נתונה f :,] [π R רציפה כך שלכל שלם מתקיים הסיקו כי = f(x) לכל.x π פתרון: נשים לב שאפשר לכתוב את הנתון באופן קצת שונה, כך שמתקיים = f(x)e i( x( נסתכל על הפונקציה f(x) g(x) = e i x ונחשב את מקדמי פוריה שלה ĝ() = π π f(x)e i x e ix = π π f(x)e i( )x = כאשר השווין הנ"ל נכון גם עבור ()ĝ על פי הנתון. לכן טור פוריה המתאים ל g הינו טור אפסים ובפרט מתכנס בהחלט, מכיוון ש g רציפה נסיק כי טור פוריה מתכנס לפונקציה g, כלומר = g. לכן קיבלנו e i x f(x) e i x f(x) = f(x) = f(x) = כנדרש. שאלה 5 נתונה סדרת פונקציות f : [, ] R המקיימת את יחס הרקורסיה (x).f + (x) = xf נתון כי = (x) f לכל x. הוכיחו כי הסדרה מתכנסת במ"ש לפונקציה f(x) = x בקטע [,]. פתרון: נראה באינדוקציה כי לכל ] [, x הסדרה (x) f הינה סדרה מונוטונית יורדת המקיימת.f (x) x צעד האינדוקציה: = מתקיים f (x) = x x,f (x) = x ואכן לכל ] [, x.f (x) f (x) בסיס האינדוקציה: נניח כי הראינו שעבור מתקיים f (x) f (x) x ונראה שנכון גם עבור (x).f + אכן x x x xf (x) = f + (x) xf (x) = f (x) כנדרש. לכן לכל [,] x f (x) הינה סדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלמטה לכן מתכנסת נקודתית. מאריתמטיקה של גבולות ומיחס הרקורסיה, אם נסמן f(x) f (x) = נקבל כי f(x) = xf(x) f(x) = x לכן הראינו התכנסות נקודתית של הסדרה ל x. עתה מכיוון שמדובר בסדרה מונוטונית יורדת של פונקציות רציפות, המתכנסת נקודתית לפונקציה רציפה בקטע סגור, ניתן להשתמש במשפט דיני ולהסיק כי ההתכנסות בקטע היא במ"ש. 7 סמסטר א', מועד א' (אהרונסון) שאלה הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות:.ρ(x, y) := x y + x y I) א) (ρ,r) הינו מרחב מטרי כאשר פתרון: הטענה נכונה, עלינו להוכיח כי ρ אכן מטריקה, כלומר מקיימת סימטריות, חיוביות ואי שוויון המשולש. ניתן לראות בקלות (x ρ(x, (y = ρ(y, וכן ρ(x, (y = x = y לכן נותר להראות אי שוויון המשולש. (הסתבכתי עם החישובים פה אבל זה נכון) ב) אם + R f :,) (b רציפה במ"ש ב ( b,), אזי גם f רציפה במ"ש בקטע.
11 x אינה רציפה פתרון: הטענה לא נכונה. ניקח לדוגמא את,f(x) = x בבירור פונקציה רציפה במ"ש בקטע (,), אבל הפונקציה y = מתקיים, x y אבל x = ו במ"ש. שכן אם ניקח את הסדרות / / = = מתכנס גם כן. ג) אם > והטור מתכנס אזי הטור. = פתרון: הטענה אינה נכונה. ניקח לדוגמא ד) אם U R פתוחה ו U Ū = אזי = U פתרון: הטענה נכונה. נניח בשלילה כי קיים x, U אזי מכך ש U פתוחה קיים r כך ש,B(x, r ) U ולכן גם עבור כל.B(x, r לכן ברור כי ניתן לבנות סדרת נקודות ב U המתכנסת ל x ועל כן x הינה נקודת מתקיים + r ) B(x, r ) U סגור, כלומר x, Ū מצד שני x הינה גם נקודה פנימית ולכן it(u) x. מכיוון שעל פי הגדרה מתקיים it(u) U = Ū \ נקבל כי x / U בסתירה לנתון. U = Ū לכן לא קיים x U ו =.U (II אם d) (X, מרחב מטרי קומפקטי ו X f : X רציפה, אזי לכל >,δ x X קיים > ε כך ש d(f(x), f(y)) < ε לכל.y B(x, δ) פתרון: הטענה נכונה. ניקח x X ונגדיר g(y) = d(f(x ), f(y)) : X R זוהי פונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית (כהרכבה של רציפות + ניתן לראות מידית מההגדרה כי פונקציית המרחק היא רציפה) ולכן על פי משפט ווירשטראס g(y) חסומה. כלומר y X : g(y) < M d(f(x), f(y)) d(f(x ), f(y)) + d(f(x ), f(x)) = g(y) + g(x) < M לכן עבור כל,x y X מתקיים בפרט מתקיים לכל > δ ולכל δ).y B(x, := (x),f אזי קיימת פונקציה f : R R כך ש f f במ"ש x ע"י x + f : [, ] R פונקציות נגדיר עבור (III ב [, ]. פתרון: הטענה אינה נכונה. נבדוק ראשית התכנסות נקודתית, עבור x קבוע מתקיים f (x) = x x + = x x + f (x) { x x = לכן אילו ההתכנסות הייתה במ"ש, אזי מכיוון שהסדרה הינה סדרת פונקציות רציפות היינו בהכרח מקבלים כי הפונקציה הגבולית הינה רציפה. מכיוון שהפונקציה הגבולית אינה רציפה לא ייתכן כי ההתכנסות במ"ש. שאלה א) יהי (d,x) מרחב מטרי קומפקטי, ותהי f : X R פונקציה רציפה, הוכיחו את משפט ווירשטראס: קיים m X כך ש ( f(m f(x) לכל.x X הוכחה: נראה ראשית כי התמונה של f(x) R f, הינה קבוצה קומפקטית. תהי אפוא סדרה f(x),y אזי קיימת סדרה x X המקיימת.f(x ) = y.f(z) f(x) ולכן,z X כאשר מקומפקטיות גם.x k z, x קבוצה קומפקטית ולכן קיימת תת סדרה מתכנסת של X מכיוון ש f רציפה מתקיים כי f(z), f(x k ) = f( x k ) = אבל f(x k ) = y k ולכן מצאנו תת סדרה מתכנסת של y כאשר ההתכנסות לאיבר ב ( f(x. כלומר, על פי ההגדרה f(x) קבוצה קומפקטית. עתה מכיוון ש ( f(x קבוצה קומפקטית ב R אזי היא סגורה וחסומה, כלומר קיים f(x), sup f(x) לכן קיים m X כך ש f(x),f(m) = sup כנדרש. ב) יהי.Ω := {, } N נגדיר d : Ω Ω R ע"י { x = y d(x, y) = ( )t(x,y) x y
12 כאשר } t(x, y) := mi{ : x y עבור.x y הוכיחו כי (d,ω) הינו מרחב מטרי קומפקטי. פתרון: ראשית עלינו להראות כי (y d(x, אכן מטריקה. קל לראות כי (x d(x, (y = d(y, וכן כי = (y d(x, אם ורק אם x. = y נותר להראות כי מתקיים אי שוויון המשולש. יהיו אפוא,x, y, z Ω עלינו להראות z).d(x, z) d(x, y) + d(y, אם x = z אזי = z) d(x, וסיימנו, לכן נניח x z ו.t(x, z) = נסתכל עתה על y) d(x, אם x = y אזי מתקיים שוויון z),d(x, z) = d(y, לכן נניח כי x y ו.t(x, y) = אם אזי מתקיים כי z) t(x, z) = t(y, ולכן z).d(x, z) = d(y, z) d(x, y) + d(y, אם > אזי מתקיים כי z).d(x, z) < d(x, y) d(x, y) + d(y, ראינו שבכל מקרה מתקיים אי שוויון המשולש ועל כן Ω אכן מטריקה. נראה ש ( d,ω) קבוצה קומפקטית על ידי כך שנראה כי לכל סדרה } } Ω יש תת סדרה מתכנסת לאיבר ב Ω. תהי איפוא } } Ω סדרה, נבנה תת סדרה שלה באמצעות התהליך האינדוקטיבי הבא (לא בטוח שזה כתוב טוב אבל זה הרעיון הכללי): צעד : נשים לב שלמעשה מתקיים = ( (), (),..., (k),...). () k () או = k (), לכן קיימים אינסוף אינדקסים k כך ש = {, } מתקיים, N לכל () נסתכל על אם קיימים אינסוף אינדקסים כך ש = נבחר את תת הסדרה =. i k i : (k) צעד :i נניח שבנינו תת סדרה i, i המקיימת (k) = L נבנה תת סדרה של i באופן דומה לצעד הראשון, כלומר מכיוון שמתקיים (), נבחר את תת סדרה זאת של אינדקסים ונסמנה את האינדקסים שלה ב, אחרת k () ונסמן את האינדקסים שלה באותו האופן. נסמן = () L או = () L בהתאם לבחירתנו. k i : (i) i {, } i, i נבחר את תת הסדרה הנ"ל (אם שתיהן m i i או תת סדרה המקיימת = m המקיימת = i m ( i m ונסמן את האינדקסים של תת הסדרה החדשה i וכן = (i) L או = (i) L בהתאמה. i k שהינה למעשה תת סדרה קבועה מכיוון שמתקיים k i N : i k = L (i) בהכרח קיימת תת סדרה קיימות נבחר את = באמצעות תהליך זה אנו מקבלים תת סדרה של, t [, R] : t si(yt) y ברור שזוהי תת סדרה מתכנסת, שגבולה הוא הסדרה L. (i) Ω שאלה 3.R לכל > t [, ב [ R,y + במ"ש כאשר si(yt) y א) הוכח כי t פתרון: נסתכל על ההפרש בין f y ל t, מתקיים = t si(yt) yt R si(yt) yt x, כלומר לכל > ε קיים > δ כך ש si(x) x < x < δ si(x) x < ε :y < δ R כנ"ל, ולכן עבור כל δ >, ε R t [, R] : < yt < δ R si(yt) < R ε yt R = ε עתה מתקיים כי = לכן בפרט קיים עבור מכיוון ש εקטן כרצוננו ואי השוויון הנ"ל נכון לכל t בקטע, ההתכנסות בקטע [R,] היא אכן במ"ש. ב) הוכיחו כי ˆ ˆ si(yt) dt tdt y + t y + + t
13 f y (t) = si(yt) y + t t + t = f נראה ראשית כי si(yt) yt t [, R] : f y (t) f(t) = si(yt) = t +t si(yt) yt R si(yt) (כי גם y + yt < ε R y < δ R מתקיים y +t t נסתכל על ההפרש f(t), f y (t) מתקיים +t = si(yt) yt כפי שהראינו בסעיף א', עבור כל > ε קיים > δ כך שלכל מאריתמטיקה של גבולות) ולכן מתקיים כי y < δ R t [, R] : f y(t) f(t) < ε על כן ההתכנסות אכן במ"ש בכל קטע סופי. y < π R נקבל כי עבור כל si x x מתקיים x [, π כמו כן כן מכיוון שעבור כל ] si(yt) t y + t + t t + t t 3 מתכנס. +t מתכנס נקבל על פי השוואת פונקציות חיוביות כי גם האינטגרל t t עתה החל מ > t מתקיים כי ומכיוון שהאינטגרל t 3 t +t לכן נוכל להסיק כי האינטגרל. +t אף הוא מתכנס, כיוון ש אינה נקודה בעייתית עבור על כן נוכל להשתמש במשפט הבא אודות התכנסות אינטגרלים: תהי f :,] ( R סדרת פונקציות אשר מקיימת כי f אינטגרבילית בכל [R,] סופי (החל מ מסוים), כמו כן נניח כי מתקיימים התנאים הבאים: y + = y +,]. [R מתכנסת במ"ש על כל קטע סגור וסופי f f וכן ψ(t) f (t) < לכל (החל ממקום מסוים). קיימת >,ψ המקיימת < ψ si(yt) y f = f מתכנס וכן מתקיים אזי האינטגרל f הראינו כי מתקיימים כל התנאים הנדרשים במשפט הנ"ל ועל כן נסיק כי dt + t y + y si x b y + x + y y si x b x +y = y + si yt b y dt +t = y + si x b y +( x y ) tdt + t ג) מצאו כל < b <, כך שעבורם מתקיים: פתרון: נשים לב כי מתקיים [ ] x = yt t : = y dt si yt ( y b y ) b dt +t = 3
14 ( si yt y ) b t b ניתן להראות כי,b בדיוק באותו האופן שבו הראינו בסעיף ב' עבור =, si yt ( y ) b dt +t נסתכל על הביטוי (לא נחזור על ההוכחה לכך בסעיף זה, ניתן פשוט להחליף את השורש בהוכחה בסעיף הקודם בחזקת < b < ). כמו כן משיקולים דומים לאלה שבסעיף הקודם מתקיים כי ( si yt ) b y + t tb + t t b + t dt < וכן מאותם שיקולים מתקיים, עבור כל < b <, כי yt si < (מדובר בפונקציה רציפה ואי שלילית, שונה מפונקצית האפס, ( y ) b dt +t לכן על פי המשפט מסעיף ב' מתקיים כי < ולכן האינטגרל גדול מאפס). si yt (, ונוכל לכתוב: y ) b dt +t נסמן אם כך ) (, L(b) = y + y si x b x +y = y + = L(b) y + y b y + y b si yt ( y ) b dt +t + y (במובן הרחב) ומתקיים: כאשר המעבר האחרון נכון על פי אריתמטיקה של גבולות, ומכיוון שבכל מקרה קיים הגבול y b y + y b = + b = + b > + b < לכן ניתן לראות כי הגבול אודותיו נשאלנו, הינו גבול סופי וחיובי רק עבור < b <, אשר מקיימים: + b = שאלה 4 א) מצא את רדיוס ההתכנסות של טור החזקות = ( 3 )x פתרון: נשתמש במשפט קושי הדמרד על פיו מתקיים כי אזי גם הגבול + R = sup, לשם כך נעזר בטענה מחדוו"א על פיה אם קיים הגבול ( 3 נחשב את הגבול ) קיים ושווה לו. ( 3+ + ) (3 + 3)!!()! ( 3 ) = (3)!( + )!( + )! = (3 + )(3 + )(3 + 3) ( + )( + )( + ) = 7 4.R = 4 7 לכן רדיוס ההתכנסות. ( ) + = ב) בדוק התכנסות הטור פתרון: נשים לב כי האיבר הכללי של הטור הינו אי שלילי ולכן ניתן להשתמש במבחן ההשוואה. מתקיים כי ( ) + ונשתמש במבחן ההשוואה הגבולי עם מתקיים = נסתכל על הטור החיובי = = מתבדר. = לכן הטורים מתכנסים ומתבדרים יחדיו, מכיוון שהטור ההרמוני מתבדר גם הטור על כן ממבחן ההשוואה גם הטור המקורי מתבדר. 4
15 שאלה 5 א) תהי U R d קבוצה פתוחה, ו R γ : [, ] U,f : U פונקציות גזירות ברציפות. הוכיחו כי f γ : [, ] R גם היא גזירה ברציפות. פתרון: תהי [,] t, מהנתון אודות גזירות γ מתקיים γ(t + h) γ(t ) = h γ (t ) + o( h ) R d מהנתון אודות דיפרנציאביליות של f מתקיים כי f(γ(t + h)) f(γ(t )) =< f(γ(t )), γ(t + h) γ(t ) > +o( γ(t + h) γ(t ) ) (f γ) (t ) = h f(γ(t +h)) f(γ(t )) h = h h (< f(γ(t )), γ(t + h) γ(t ) > +o( γ(t + h) γ(t ) )) = h h ((< f(γ(t )), h γ (t ) + o( h ) > +o( γ(t + h) γ(t ) )) = = h (< f(γ(t )), γ (t ) > + < f(γ(t )), h o( h ) > + o( γ(t +h) γ(t ) ) h ) לכן < f(γ(t )), h o( h ) > f(γ(t )) o( h ) h h o( γ(t +h) γ(t ) ) h = o( γ(t +h) γ(t ) ) γ(t +h) γ(t ) = o( γ(t +h) γ(t ) ) h γ (t )+o( h ) γ(t +h) γ(t ) h o( γ(t +h) γ(t ) ) γ(t +h) γ(t ) γ(t +h) γ(t ) h ( γ (t ) + o( h ) h מאי שוויון קושי שוורץ נקבל כמו כן מתקיים כאשר המעבר האחרון מאי שוויון המשולש. o( h ), כך שקיבלנו h מכיוון ש γ רציפה מתקיים ), γ(t + h) γ(t כמו כן ) h γ (t קבוע ו h o( γ(t + h) γ(t ) ) h h (f γ) (t ) =< f(γ(t )), γ (t ) > לסיכום, קיבלנו כי הנגזרת של f γ בנקודה t קיימת ומתקיים לכן f γ גזירה בקטע, מכך ש f(x) ו (t) γ רציפות נקבל גם כי (t) f) (γ כמכפלה פנימית של פונקציות רציפות. ב) תהי f : R R מוגדרת על ידי { x 3 y f(x, y) = x 4 +y (x, y) (, ) (x, y) = (, ) האם f דיפרנציאבילית ב (,)? פתרון: קל לבדוק כי הנגזרות החלקיות של f בראשית קיימות ומתקיים f x (, ) = f y (, ) = אנו יודעים כי אם f דיפרנציאבילית אזי בהכרח מתקיים ((,) y,)f, ( = f) x,),( f וכן על פי הגדרת הדיפרנציאביליות מתקיים f(x, y) = f(, )+ < f(, ), (, ) > +o( x + y ) = o( x + y ) 5
16 f(x, y)? = o( x + y ) כלומר על מנת לבדוק דיפרנציאביליות עלינו לבדוק האם אכן (x,y) (,) x 3 y x 4 + y x + y = r + r 5 cos 3 θ si θ r 3 (r cos 4 θ + si θ) = r + r 3 cos 3 θ si θ r cos 4 θ + si θ = נבדוק זאת: w(x) := si(b x) = כאשר המעבר האחרון נכון עבור θ,si ועבור = θ si מתקיים ממילא = y) f(x, לכל.r כלומר ) f(x, y) = o( x + y ולכן f אכן דיפרנציאבילית בראשית. שאלה 6 x) si(b מתכנס במ"ש על R וכי הפוקנציה w : R R המוגדרת על ידי = א) יהיו הוכיחו כי הטור הינה גזירה ברציפות. פתרון: נשתמש במשפט אודות גזירות טורים, אשר נוסחו: יהי (x) טור של פונקציות (x) : I R גזירות ברציפות, כמו כן נניח כי: מתכנס. קיימת נקודה x כך שהטור ) = (x מתכנס במ"ש לפונקציה g. טור הנגזרות (x) =.( = (x)) = אזי מתקיים כי הטור (x) מתכנס במ"ש וכן (x) = נראה שהתנאים הנ"ל מתקיימים עבור הטור,w(x) אכן עבור x מתקיים = ) si(b x ולכן הטור הינו טור אפסים ובפרט מתכנס., נראה שטור זה מתכנס במ"ש באמצעות M בוחן של ווירשטראס, אכן מתקיים: = b נסתכל על טור הנגזרות שהינו (x cos(b x R : b cos(b x) ( b ) הינו טור הנדסי מתכנס, ולכן על פי M בוחן גם טור הנגזרות מתכנס בהחלט ובמידה = ( b ) אזי הטור b מכיוון שמתקיים < שווה. w (x) = הינה w(x) וכן כי נגזרת הפונקציה R מתכנס במ"ש על si(b x) = לכן על פי משפט הגזירות מתקיים כי הטור. = b cos(b x) הנגזרת אכן רציפה מכיוון שמדובר בטור של פונקציות רציפות שמתכנס במ"ש ולכן ההתכנסות היא לפונקציה רציפה. מתכנס? ב) האם האינטגרל e x4 פתרון: הנקודה הבעייתית היחידה הינה לכן מספיק לבדוק את התכנסות האינטגרל. e x4 נשים לב כי עבור כל > x מתקיים: e x4 x 4 e x4 x 4 = x e) לכן ניתן להשתמש במבחן ההשוואה לפונקציות חיוביות (בבחינה כדאי לנסח את = x! (ניתן לראות זאת למשל מכך ש מבחן ההשוואה במלואו). מתקיים כי: = [ x4 3x 3 ] = 3 < מתכנס. ולכן נסיק כי גם האינטגרל e x4 7 סמסטר א', מועד ב' (אהרונסון) שאלה הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות: רציפה במ"ש ב ( b,). +f אזי גם,(, b) רציפה במ"ש ב f : (, b) R + א) אם (I פתרון: הטענה נכונה. יהי >,ε אזי מרציפות במ"ש של f קיימת > δ כך ש. x, y (, b) : x y < δ f(x) f(y) < ε לכן לכל x y < δ מתקיים: + f(x) + f(y) = f(y) f(x) f(x) f(y) < ε ( + f(x))( + f(y)) 6
17 (כאשר המעבר הלפני אחרון נכון מכיוון ש f(y).f(x), מתכנס. הטענה נכונה מתכנס בהחלט, אזי הטור = 3 ב) אם הטור =. = ( ) 4 ג) אם הטור מתכנס, אזי הטור 4 מתכנס. הטענה אינה נכונה למשל עבור. y x < δ עבורם x, y R לכל f(x) f(y) < ε כך ש ε קיים > δ רציפה, אזי לכל > f : R R אם (II הטענה אינה נכונה למשל עבור f. = e x.f() := ו < x עבור f(x) = si( x ) כאשר הינה קבוצה סגורה ב R A = {(x, f(x)) : x } הגרף (III פתרון: הטענה נכונה, נוכיח זאת. si( x),, סדרת נקודות מתכנסת אם ורק אם יש התכנסות בכל אחת מהקואורדינטות x תהי סדרת נקודות מתכנסת A (( ומכיוון ש [ [, קטע סגור מתקיים ] [,. x si( כאשר x שואף לאפס, x נשים לב כי לא ייתכן שסדרת הנקודות מתכנסת ומתקיים, x זאת מכיוון שלא קיים הגבול ) ומכיוון שאנו דורשים שסדרת הנקודות תהיה מוכלת כולה ב A לא קיימת סדרה מתכנסת מסוג זה.. si( x לכן בהכרח מתקיים ] (,. x מכיוון ש ( f(x) = si( x פונקציה רציפה בקטע ],(, נסיק כי ) x = si( ).(x, si( x )) A ולכן מתקיים כי x (, ] עבור (x, si( x כלומר קיבלנו כי גבול הסדרה הוא בהכרח מהצורה (( מכאן נסיק שהקבוצה מכילה את כל נקודות הגבול שלה ולכן זוהי קבוצה סגורה. שאלה א) נניח כי ( ) f : [, ] R סידרה של פונקציות גזירות המקיימות 3 (x) f לכל ] [, x ו. נניח גם כי לכל. f (x) =: L(x) קיים הגבול x [, ] הוכיחו כי sup f (x) L(x) x [,] פתרון: יהי >.ε נראה כי קיים N כך שלכל > N ולכל ] [, x מתקיים. f (x) L(x) < ε ראשית נראה לכל ] [, x קיימת סביבה ) x u x = (x δ x, x + δ ואינקדס N x כך שמתקיים > N x y u x : f (y) L(y) < ε f (y) L(y) f (y) f (x) + f (x) L(x) + L(x) L(y) מתקיים f (y) f (x) = x y f (c) 3δ על פי משפט לגרנז' מתקיים L(x) L(y) 3δ אי השוויון הנ"ל נשמר במעבר לגבול ולכן מתקיים גם כי כמו כן מהתכנסות נקודתית קיים N x כך שלכל > N x מתקיים f (x) L(x) < ε 3 δ = ε 9 נקבל לכן עבור f (y) L(y) f (y) f (x) + f (x) L(x) + L(x) L(y) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε עתה נשים לב כי מתקיים [,] x u x = [,], זהו כיסוי פתוח של קטע סגור, ועל פי משפט היינה בורל קיים עבורו תת כיסוי סופי. כלומר קיימים ] [, x,.., x כך שמתקיים [, ] = k= u xk 7
18 נבחר } xk N = mx{n (זוהי קבוצה סופית לכן קיים איבר מקסימלי) ונקבל כי מתקיים > N y [, ] : f(y) L(y) < ε ˆ R R ˆ R ( x ) e t dt R כנדרש. ב) הוכח כי לכל > R מתקיים.[ R, R] בקטע f (x) = ( x פתרון: ראשית נראה כי ) e x אנו יודעים כי קיימת התכנסות נקודתית f. (x) e x כמו כן נשים לב כי מתקיים f (x) = x x ( ) :x [ R, R] ולכן לכל ( x לכן החל מ > R מתקיים ) f (x) R נוכל אם כך להשתמש בטענה שהוכחנו בסעיף א' (כמובן שאין זה משנה אם החסם הוא 3 או R) ולקבוע כי אכן f. (x) e x לכן על פי משפט אינטגרציה של סדרת פונקציות מתכנסת במ"ש, ומכיוון ש ( x ) f אינטגרבילית רימן בקטע לכל נוכל לקבוע כי מתקיים: ˆ R R ˆ R ( x ) = x ( ) = R ˆ R R e t dt שאלה 3 הוכיחו כי גם א) נתונה ) [, : f פונקציה רציפה וכן ידוע כי = f(x) f(x) x f(t) dt,f (x) := x מכיוון ש > f(x) ורציפה אנו יודעים כי > (x) F לכל ) [, x ולכן הנקודה הבעייתית פתרון: נסמן f(t) dt היחידה באינטגרל הנ"ל הינה. כמו כן מכיוון ש ( f(x רציפה, ע"פ משפט שהוכחנו בכיתה אודות גזירות האינטגרל עבור כל (,] x מתקיים כי f(x) F. (x) = f(x),(log(f (((x) = נשתמש אם כן במשפט היסודי של החשבון האינטגרלי על מנת לחשב את ערכו F (x) על כן נשים לב כי מתקיים גם של האינטגרל: f(x) x f(t) dt = b f(x) b F (x) = b [log(f (x)) log(f ())] x = log( b f(x)) log(f ()) = כאשר אנו יודעים כי (() log(f הינו מספר סופי מכיוון שהראינו () F, וכן ודאי ש () F שכן f(x) רציפה ואינטגרבילית בקטע ].[,. = ( 6 ב) מצאו את רדיוס ההתכנסות של טור החזקות 3 )x פתרון: בדיוק באותו אופן בו פותרים את סעיף א בשאלה 4 של מועד א 7. שאלה 4 g(x) = כאשר א) הוכח כי אם f : [, ] R פונקציה רציפה אזי לכל > ε קיימת g : [, ] R מהצורה (x) k= k Ik,,..., R ו [ [,,I,.., I כך ש sup f(x) g(x) < ε x [,] פתרון: f פונקציה רציפה בקטע סגור, לכן על פי משפט קנטור רציפה בו במ"ש. לכן לכל > ε קיים > δ כך ש x y < δ f(x) f(y) < ε 8
19 . נבנה את החלוקה הבאה של הקטע [,]: לכן בהינתן >,ε קיים כך ש < δ k < : I k = [ k, k + ) כאשר את הקטע האחרון בחלוקה נגדיר כקטע סגור..g() = f() מתקיים,x מידית ניתן לראות שעבור =.g(x) = k= k Ik (x) ו k = f( k+ כמו כן נגדיר ) k+ x נקבל כי < k+ < δ מכיוון ש,g(x) = f( ) ולכן k x < k+ עתה עבור ] [, x, קיים k כך ש f(x) g(x) = f(x) f( k + ) < ε לכן גם מתקיים ˆ b sup f(x) g(x) < ε x [,] כנדרש. ב) תהי f : R R פונקציה רציפה ו [ b I =,] קטע סופי. הוכיחו כי f(x + h) f(x) h פתרון: נשים לב כי לכל h מתקיים כי f(x + (h f(x) : R R פונקציה רציפה, ולכן בפרט אינטגרבילית בקטע [b,]. f פונקציה רציפה בקטע סגור [ + b ], ולכן רציפה בו במ"ש, כלומר לכל > ε קיים > δ כך ש: x y < δ f(x) f(y) < ε h < δ : ˆ b, לכן מתקיים: ε (b ) ε f(x + h) f(x) (b ) sup f(x + h) f(x) < (b ) x [,b] (b ) = ε ˆ b f(x + h) f(x) h נבחר > δ המתאים ל מכיוון ש ε קטן כרצוננו נסיק מכך כי k= 4 3k שאלה 5 א) חשבו את הגבול k= 4 3k = k= 4 3( k ) פתרון: נכתוב את הסכום באופן מעט שונה T = { < של <... <, ולחלוקה } < 4 3x k= = 4 3x = 3 π 3 עתה ניתן לשים לב כי הסכום הנ"ל הוא סכום רימן המתאים לפונקציה הקטע [,]. כלומר מתקיים ˆ 4 3k = = 3 4 x cos t dt [ 3 4 3x x = si t t : π 3 = 3 cost dt = π 3 si t 3 dt = π 9 7 ] נפתור את האינטגרל
20 ( 3 rcsi( 3 (האמת שהחלפת המשתנים מיותרת וניתן היה לזהות כי מדובר בנגזרת של (x לכן קיבלנו כי k= f(x, y) = 4 3k = π 7 { xy x +y 4 (x, y) (, ) (x, y) = (, ) ב) תהי f : R R פונקציה המוגדרת על ידי האם f דיפרנציאבילית ב (,)? פתרון: אם f אכן דיפרנציאבילית בנקודה, אזי בהכרח מתקיים כי )) (, y. f(, ) = (f x (, ), f נחשב את הנגזרות החלקיות על פי ההגדרה h f x (, ) = h h h = h f y (, ) = h h h = f(x, y) = f(, )+ < f(, ), (x, y) > +o( x + y ) ניזכר כי f דיפרנציאבילית בנקודה (,) אם מתקיים f(x, y)? = o( r ) במקרה שלנו על מנת ש f תהיה דיפרנציאבילית צריך להתקיים r + (x,y) (,) f(x) x + y = (x,y) (,) r 3 si θ cos θ r[r cos θ + r 4 si 4 θ] = r + xy [x + y 4 ] x + y נבדוק האם אכן מתקיים התנאי נבדוק בקואורדינטות פולאריות, ונניח כי אנו שואפים במסלול בו θ :cos si θ cos θ cos θ + r 3 si 4 θ = t θ cos θ.t θ cos θ נקבל,θ = π 4 ולמשל עבור כלומר קיבלנו כי ) f(x, y) o( x + y ולכן f אינה דיפרנציאבילית בנקודה ).(, x) cos(b מתכנס במ"ש על R וכי הפוקנציה w : R R המוגדרת על ידי = := w(x) הינה גזירה ברציפות. שאלה 6 א) יהיו > b. > הוכיחו כי הטור = cos(b x) פתרון: שאלה זו כמעט זהה לשאלה המקבילה במועד א', הפתרון באותה דרך למעט העובדה שהפעם ב = x לא מתקבל טור. = אפסים אלא הטור הוא בהכרח טור מתבדר ואז לא תיתכן התכנסות = אני נוטה להניח שיש פה טעות בשאלה מכיוון שעבור <, הטור במ"ש של w(x) בכל R. מתכנס ונוכל להמשיך באותו אופן כמו בשאלה 6 במועד א'. = אם נניח כי נתון > אזי הטור מתכנס? e x 3 ב) האם האינטגרל פתרון: כמו בשאלה המקבילה במועד א'. 7 סמסטר א', מועד מיוחד (אהרונסון) שאלה הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות: : f : R R עבור פונקציה רציפה (I
21 א) אם U R פתוחה, אזי גם f (U) R פתוחה. פתרון: הטענה נכונה. תהי (U) x f ונניח כי U.f(x ) = y U קבוצה פתוחה ולכן קיימת סביבה של y כך ש.(y ε, y + ε) U f פונקציה רציפה ולכן קיימת > δ כך ש, x B(x, δ) f(x) (y ε, y + ε) U כלומר: x B(x, δ) f(x) U x f (U) ולכן (U).B(x, δ) f ב) אם U R סגורה, אזי גם f(u) R סגורה. פתרון: הטענה אינה נכונה. = (y,f(x, זוהי פונקציה רציפה כמנה של פונקציות רציפות ומכיוון ש + x עבור כל ניקח למשל את הפונקציה x+.(x, y) R נגדיר U, = R זוהי קבוצה סגורה כמובן. אבל [,) =,f(u) וזוהי אינה קבוצה סגורה. ג) אם f : R R גזירה ברציפות, x R וקיים > ε כך ש ) f(x) f(x לכל ε),x B(x, אזי ) (, = ). f(x פתרון: הטענה נכונה. מכיוון ש f דיפרנציאבילית ברציפות מתקיים עבור כל û R וקטור יחידה ו R : t f(x + tû) f(x ) f(x + tû) f(x ) = t < f(x ), û > +o(t) =< f(x ), û > t t מכיוון ש x נקודת מינימום מקומית אזי עבור t < ε מתקיים > ).f(x + tû) f(x לכן עבור + t נקבל > û f(x ), < ועבור t נקבל > û f(x ),.< מכאן שבהכרח מתקיים =< û f(x,( < עבור כל û, ולכן זה גורר (על פי טענה מאלגברה ליניארית) כי (,) = ). f(x. A(t) dt = אינטגרבילית על ] [, ו A אזי it(a) = ו A (, ) אם (II פתרון: הטענה אינה נכונה. ניקח את (,) Q A = R \ ואז נקבל כי D(x) A (x) = פונקציית דיריכלה. ראינו בשיעור כי פונקציה זו אינה אינטגרבילית בקטע (,). (III אם f : R R ו y, f(x) f(y) x לכל,x, y R אזי f קבועה. פתרון: הטענה נכונה. נראה כי f דיפרנציאבילית ב R וכי. f תהי, x R אזי f דיפרנציאבילית ב x אם ורק אם קיים וקטור ) f(x כך שמתקיים f(x + tû) = f(x )+ < f(x ), tû > +o(t) כאשר t R ו û וקטור יחידה. נראה כי הנ"ל מתקיים עבור = ) : f(x f(x + tû)? = f(x ) + o(t) f(x + tû) f(x )? = o(t) ואכן מתקיים כי f(x + tû) f(x ) x + tû x t = t t t t t t = כלומר הראינו כי בכל נקודה x R מתקיים כי f דיפרנציאבילית ו = ). f(x לכן מכיוון ש f נסיק כי f קבועה על פי הנלמד בכיתה (ואם זה לא נלמד בכיתה אפשר להראות את זה על פי משפט לגרנז'). (x,y) (,) x 3 y x 4 + y = r + f(x, y) = { x 3 y x 4 +y (x, y) (, ) (x, y) = (, ) 7 r cos θ 3 si θ r 4 cos 4 θ + r si θ = r + שאלה 3 נגדיר f : R R ע"י האם f: רציפה ב (,)? דיפרנציאבילית ב (,)? פתרון: נבדוק רציפות ב (,) בקוארדינטות פולריות 3 r r cos 4 θ + si θ cos θ 3 si θ
22 cos θ 3 si r חסום), כאשר = θ si אזי מלכתחילה עבור θ si ניתן לראות כי הגבול הנ"ל הינו ( 3 ו θ r cos 4 θ+si θ x 3 y ולכן הגבול הינו. x 4 +y עבור כל > r מתקיים = לכן ) f(, (x,y) (,) f(x, y) = ו f אכן רציפה בנקודה ).(, נבדוק דיפרנציאביליות, אם f דיפרנציאבילית אז מתקיים בהכרח כי ((,) y,)f, ( = f) x,),( f במקרה שלנו קל לבדוק (במבחן כדאי להראות) כי f x (, ) = f y (, ) = לכן f דיפרנציאבלית בנקודה (,) אם ורק אם מתקיים f(x, y)? = f(, )+ < f(, ), (x, y) > +o( x + y ) = o( x + y ) (x,y) (,) f(x, y) x + y = (x,y) (,) x 3 y [x 4 + y ] x + y מתקיים כי r + 7 r cos θ 3 si θ r 5 cos 4 θ + r 3 si θ = r + r r cos 4 θ + si θ cos θ 3 si θ = נבדוק בקואורדינטות פולאריות כאשר השוויון האחרון מתקיים מאותם שיקולים כמו במקרה הקודם. לכן f(x, y) = o( x + y ו f דיפרנציאבילית ב (.(, שאלה 5 נתונה סדרה של פונקציות f : [, π] R כך ש f si במ"ש על π].[, הוכיחו כי הסדרות (x) sup x [,π] f ו ( x ) if x [,π] f מתכנסות ומצאו את גבולותיהן. פתרון: הפתרון הינו באותו אופן בו פתרנו את שאלה במבחן של סודין: 8 סמסטר ב', מועד ב' (אולי במקרה הספציפי הזה יש דרך קצת יותר פשוטה/מהירה, אבל גם הפתרון הנ"ל בודאות נכון). e x + e x שאלה 6 הוכיחו כי האינטגרל : b e x +e x מתכנס וחשבו אותו. פתרון: נחשב ראשית את האינטגרל [ = e b e b e x +e = b x t = e x dt = e x e x e x + t : e e b dt +t = rct(e b ) rct(e ) ] e x = + e x b ˆ b e x = + e x b [rct(eb ) rct(e )] = π לכן מתקיים כי
23 9 סמסטר ב', מועד א' (קלרטג,גלוסקין) שאלה תהי f : R C פונקציה מחזורית הגזירה אינסוף פעמים. הוכיחו כי לכל > p שלם מקדמי פוריה של f מקיימים ± p ˆf() = ˆf () = iπ ˆf() פתרון: בכיתה הראינו כי עבור f גזירה ברציפות מתקיים עבור f גזירה אינסוף פעמים ניתן, באמצעות הפעלה חוזרת של הטענה הנ"ל, להסיק כי לכל {} N p מתקיים: ˆ f (p) () = (iπ) p p ˆf() ± מכיוון ש (p) f רציפה, היא בפרט אינטגרבילית ולכן על פי הלמה של רימן לבג מתקיים: f ˆ (p) () = ± (iπ)p p ˆf() = ± p ˆf() = עתה עבור > p שאינו שלם קיים k שלם אי שלילי כך ש + k k < p < ולכן מתקיים: k ˆf() p ˆf() k+ ˆf() באמצעות משפט הסנדביץ' נקבל כי גם במקרה זה מתקיים = ˆf(). ± p = 3 שאלה חשבו את בעזרת טורי חזקות או בכל דרך אחרת. f = פתרון: לשם פתרון השאלה נשתמש במשפטים שלמדנו אודות אינטגרביליות וגזירות של טורי חזקות על פיהם אם = x טור חזקות בעל רדיוס התכנסות R, אזי ברדיוס ההתכנסות מתקיים: x f(t) dt = = + x+ f (x) = = x.r = ˆ x והטורים הנ"ל הינם בעלי רדיוס התכנסות R..f( 3 ) נשים לב כי אנו מתבקשים למצוא את,f(x) = נסמן אם כן = x כמו כן נשים לב כי רדיוס ההתכנסות של הטור הנ"ל, על פי משפט קושי הדמרד הינו = מתקיים כי: f(x) = x = x = x g(x) = נמצא את,g(x) נבצע אינטגרציה תוך שימוש במשפט שצוטט לעיל: g(t) dt = x = x x = x h(x) ( x) = ( x ) = = x = h(x) =, ולכן x = אנו יודעים כי מתקיים = x 3
24 x x g(t) dt = ( x) x g(x) = ( g(t) dt) x = ( ( x) ) = ( x) + x ( x) = x 3 ( x) 3 f(x) = x g(x) = x ( x) 3 לכן מהשווינות המופיעים לעיל נוכל לכתוב כל ה שוויונות הנ"ל נכונים ברדיוס ההתכנסות, ומכיוון שרדיוס ההתכנסות של כל הטורים הנ"ל הינו = R, נוכל לכתוב = 3 = f( 3 ) = ( 3 ) ( 3 )3 = 3 שאלה 3 מתכנס? א) האם האינטגרל si(x 3 ) פתרון: הנקודה הבעייתית היחידה הינה ב (( si(x 3 רציפה וחסומה על (,]), לכן מספיק לבדוק התכנסות של האינטגרל. si(x 3 ) נבצע החלפת משתנים: ˆ ] ˆ t = x 3 x = t 3 si(t) si(x 3 ) = [ dt = 3 x = 3 עתה נוכל להשתמש במבחן דיריכלה אשר נוסחו: יהיו,f g פונקציות גזירות ברציפות, אינטגרביליות על כל תת קטע סופי של (,] ונניח כי g(x) dt 3 t = 3 t 3 dt. (, ) עבור כל האינטגרל f M הפונקציה g(x) הינה פונקציה חיובית יורדת ומקיימת x (אולי כדאי להסביר למה, פונקציה מחזורית אם אינטגרל si(t) t 3 מתכנס. אזי האינטגרל fg ואכן עבור si(t) f(t) = מתקיים כי עבור כל סופי si(t) שמתאפס על פני מחזור שלם וכו'..) כמו כן מתקיים כי = g(t) מונטונית יורדת ושואפת לאפס. שתי הפונקציות הנ"ל גזירות ברציפות ואינטגרביליות על כל תת קטע סופי של (,] ולכן על פי מבחן דיריכלה האינטגרל dt מתכנס, ועל כן גם האינטגרל המקורי אודותיו נשאלנו מתכנס. מתכנס וש (x) f חסומה. ב) תהי f : R R פונקציה גזירה ברציפות. נניח ש f הוכיחו כי = f(x). x פתרון: נניח בשלילה כי f(x), x כלומר קיימת סדרה של נקודות,x כך שמתקיים. f(x ) > ε x x),כאשר M הינו החסם של הנגזרת, אזי על פי משפט לגרנז' f(x ) f(x) = f (c) x x < M f(x) > ε ε M < ε ε M, x + x (x מתקיים ε M t 3 כמו כן מתקיים כי אם ) ε M, x + ε M כלומר לכל ) מכיוון שהאינטגרל f מתכנס אזי על פי קריטריון קושי קיים B כך שלכל b, b > B מתקיים ˆ b f < ε b M ˆ x + ε M f(x) = f(c) x ε M ˆ x + ε M x ε M + B x > כך שמתקיים > ε M ε M אבל לכל > B קיים.(x ε M, x + ε M כאשר השוויון הראשון מתקיים על פי משפט ערך הביניים האינטגרלי, מכיוון ש f רציפה ושומרת סימן בקטע ) כלומר, קיבלנו שקריטריון קושי אינו מתקיים, בסתירה להתכנסות האינטגרל. f על כן בהכרח מתקיים = f(x). x 4
25 שאלה 4 יהיו < b < <. עבור k שלם נסמן: R k = ˆ b t k log t dt א) הראו כי R k = k + [bk+ log b k+ log ] bk+ k+ (k + ) פתרון: נשים לב כי t k ו t log פונקציות רציפות וגזירות ולכן ניתן לבצע אינטגרציה בחלקים: R k = k+ [tk+ log t] b b t k+ k+ t = k+ [tk+ log t] b k+ [ tk+ k+ ]b = = k+ [bk+ log b k+ log ] bk+ k+ (k+) ˆ b log t t dt = k= R k t = k= tk b log t t dt = b ( k= tk log t) dt ב) הראו כי פתרון: נשים לב כי מתקיים t k log t log b k עתה נשים לב כי לכל [b t,] מתקיים =k tk log t בוחן של ווירשטראס הטור הוא טור מספרים מתכנס, ולכן על פי M log מכיוון ש < b < הטור k= bk.( log t t מתכנס במידה שווה (לפונקציה על כן נוכל להשתמש במשפט אודות אינטגרציה איבר איבר של טורי פונקציות: אם הטור (x) הינו טור של פונקציות אינטגרביליות רימן בקטע [b,] וכן f(x) (x) במידה שווה, אזי מתקיים ˆ b log t t dt = ˆ b ˆ b k= f(x) = = ˆ b ( t k log t) dt = k= (x) ˆ b t k log t dt = באמצעות שימוש במשפט זה נוכל לכתוב k= R k וקיבלנו את הדרוש. ג) חשבו את את הגבול + b ˆ b log t t dt b log t = dt, t לפרק את הטור לטורים k= ( k+ [bk+ log b k+ log ] bk+ k+ (k+) פתרון: הרעיון הוא להשתמש בשוויון ) ניתנים לחישוב שמתכנסים במ"ש ולחשב אותם. 5
26 שאלה 5 תהי u : R R פונקציה גזירה ברציפות. נתון כי בכל נקודה y) (x, במעגל היחידה } = {(x, y) R : x + y מתקיים: y u x x u y נסמן t).f(t) = u(cos t, si א) הוכיחו כי (t) f לכל π].t [, פתרון: u גזירה ברציפות, וכן (t γ(t) = (cos,t si הינה מסילה גזירה ברציפות לכל [π t.,] לכן נוכל להשתמש בכלל השרשת על פיו מתקיים: (u(γ(t)) =< u, γ (t) > f (t) =< ( u x (γ(t)), u y (γ(t)), ( si t, cos t) >= cos t u x (cos t, si t) si t u(cos t, si t) y נקבל כי נשים לב כי מתקיים = t cos t + si ולכן נוכל להשתמש בנתון ולקבוע כי cos t u (cos t, si t) si t u(cos t, si t) x y f() = (, ) = f(π) כלומר קיבלנו כי (t).f ב) הוכיחו כי f(t) פונקציה קבועה. פתרון: נשים לב כי f(t) הינה פונקציה מחזורית π שכן מתקיים כמו כן בסעיף הקודם ראינו כי (t) f ולכן f יורדת בקטע [π,], כלומר מתקיים t [, π] : f() f(t) f(π) t [, π] : f() = f(t) = f(π) אבל מכיוון ש f מחזורית מתקיים ולכן f קבועה. 9 סמסטר ב', מועד ב' (קלרטג,גלוסקין) שאלה מתכנס. חשבו את תהי f : [, ) R פונקציה רציפה. נניח ש f(x) ˆ f(x) ˆ [ ] t = x t : f(x) = = dt = ˆ f(t) dt פתרון: נבצע החלפת משתנים: ˆ f(x) = כאשר הפונקציה φ(x) = x הינה פונקציה מונוטונית עולה ולכן השוויון לעיל אכן נכון. עתה מתקיים ˆ f(t) dt = ˆ ˆ f(t) dt = f(t) dt = קיים וסופי. כאשר מעבר הגבול נכון מכיוון שאנו יודעים כי f(t) dt כלומר קיבלנו f(x) = 6
27 שאלה א) האם האינטגרל cos x מתכנס בתנאי? בהחלט? + x x, cos פונקציות פתרון: נשים לב כי הנקודה הבעייתית היחידה הינה (בכל תת קטע סופי הפונקציה רציפה וחסומה). פונקציה מונוטונית יורדת ושואפת לאפס ב. כמו כן +x וכן [, ) עבור כל האינטגרל x cos גזירות ברציפות בקרן (,] ולכן ניתן להשתמש במבחן דיריכלה ולקבוע כי האינטגרל הנ"ל אכן מתכנס בתנאי. נראה כי האינטגרל אינו מתכנס בהחלט, ראשית נשים לב שמתקיים +x cos x +x cos x +x מתבדר. cos x +x אזי גם האינטגרל cos x +x ולכן על פי מבחן ההשוואה עבור פונקציות חיוביות, אם האינטגרל = cos +cos x אזי x = מכיוון שמתקיים cos x + x = + cos x = ( ˆ + x + x + cos x + x כאשר במידה ושני האינטגרלים באגף שמאל קיימים, ולפחות אחד מהם סופי אזי השוויון הנ"ל נכון בודאי. cos x קיים וסופי. +x באמצעות מבחן דיריכלה, מאותם שיקולים שפורטו לעיל, ניתן לראות כי האינטגרל אבל האינטגרל + x = log( + x) = cos x מתבדר. +x לכן גם האינטגרל מתכנס. f קיים ושלילי. הוכיחו כי ב) תהי f : [, ) R פונקציה גזירה וחיובית. נניח ש (x) x (log f) פתרון: מהנתון < c x (log f) (x) = נסיק כי קיים x כך שלכל x > x מתקיים < ε (log f) (x) < c + ולכן מתקיים כי ˆ x x (log f) (x) ˆ x x (c + ε) log f(x) log f(x ) = (c + ε)(x x ) = c (x x ) כאשר c קבוע שלילי. לכן נבצע אקספונציאציה של השוויון שקיבלנו f(x ) f(x) e c x e c x f(x) Me c x כאשר M קבוע חיובי כלשהוא. מתכנס. מתכנס, ממבחן ההשוואה לפונקציות חיובית נובע כי גם f עתה מכיוון שהאינטגרל e c x = + + שאלה 3 חשבו את נקבל כי = R ולכן הטור אכן + בעזרת טורי חזקות או בכל דרך אחרת = + = + f( ) ואז מתקיים f(x) = = + פתרון: נגדיר x נשים לב כי על פי קושי הדמרד מתקיים R = sup ומכיוון שמתקיים = + מתכנס ב =.x כמו כן נשים לב כי מתקיים f(x) = (x + x ) = x x + = x x + = = = = = x = x g(x) + h(x) 7
28 (השוויון הנ"ל נכון מכיוון ששני הטורים בעל רדיוס התכנסות = R וטורי חזקות מתכנסים בהחלט ברדיוס ההתכנסות, לכן ניתן לשנות את סדר הסכימה). באופן דומה לדרך בה הראינו בשאלה 9 3, מועד א', נקבל כי: g(x) = ( x) h(x) = log( x) f(x) = x ( x) log( x) f( ) = ( ) log( ) = + log לכן נקבל כי = + + = f( ) = + log ולכן (x, y) R : f(x, y) x + y שאלה 5 תהי f : R R פונקציה המקיימת נסמן g. = f הגדירו דיפרנציאביליות של פונקציה מ R ל R, הוכיחו כי g דיפרנציאבילית ב (,) וחשבו את הנגזרות החלקיות. פתרון: נאמר ש R g : R דיפרנציאבילית בנקודה ) (x, y אם קיים g(x, y ) R כך שעבור כל (x, y) R מתקיים: f(x, y) = f(x, y )+ < g(x, y ), (x x, y y ) > +o (x,y) (x,y )( (x x ) + (y y ) ) נראה כי עבור g הנתונה מתקיים כי g דיפרנציאבילית בראשית, ומתקיים (,) = (,)g, זה נכון אם מתקיים: g(x, y) = g(, ) + o( x + y ) f(, ) = f(, ) = g(, ) = נשים לב שמהנתון על f נובע כי g(x, y) (x,y) (,) x + y x + y (x,y) (,) x + y = לכן עלינו לבדוק האם מתקיים ) g(x, y)? = o( x + y x + y = (x,y) (,) לכן ) g(x, y) = o( x + y והראינו כי g אכן דיפרנציאבילית בראשית ומתקיים ) (, = ). g(, על פי מה שראינו בכיתה אם g דיפרנציאבלית בנקודה אזי בהכרח מתקיים ) y g, = f) x, f לכן במקרה שלנו מתקיים f x = f y = 8 סמסטר ב', מועד מיוחד (סודין) ˆ cos(log x) שאלה חשבו את האינטגרל 8
29 [ ] t = log x x = e cos(log x) = t t : = e t dt = e t cos( t) dt = e t cos(t) dt = b b e t cos(t) dt פתרון: ראשית נבצע חילוף משתנים השתמשנו בפונקציה מונוטונית יורדת וגזירה,φ(t) = e t מכיוון שהפונקציות רציפות אין צורך שהפונקציה תהיה מונוטונית עולה, ולכן אכן מתקיים השוויון וחילוף המשתנים תקין. נשים לב כי cos t ו e t רציפות וגזירות ולכן ניתן לבצע אינטגרציה בחלקים: I(b) = b e t cos t dt = e t cos t b b e t si t dt = e t cos t b + e t si t b b e t cos t dt = = e t cos t b + e t si t b I(b) I(b) = e t cos t b + e t si t b I(b) = [e t si t e t cos t] b ˆ cos(log x) = e t cos(t) dt = b [e t si t e t cos t] b = נוכל עתה להשאיף את b ולקבל כי ( ) x שאלה האם האינטגרל מתכנס בהחלט? מתכנס בתנאי? מתבדר? פתרון: קל לראות כי האינטגרל אינו מתכנס בהחלט מכיוון שמתקיים ( ) x = = x = ( ) ˆ + x = ( ) = ( ) [ + ] = = + נבדוק התכנסות בתנאי, נשים לב שלמעשה מתקיים כי = קל לראות כי f(x) = x + x f (x) = נראה שהסדרה הינה סדרה מונוטונית יורדת: x + x ניתן לראות כי מתקיים < (x) f עבור כל > x ולכן f(x) פונקציה יורדת, כלומר + = f( + ) f() = מתכנס. על כן ניתן להשתמש במבחן לייבניץ להתכנסות טור עם סימנים מתחלפים ולהסיק כי הטור [ = ( ) [ + מתכנס בתנאי. על כן האינטגרל ( ) x 9
30 שאלה 3 c טור מתכנס עבור s = t הוכיחו כי = s. הטור מתכנס במידה שווה עבור < s t. הטור מתכנס בהחלט עבור + t s > יהי פתרון: ) ראשית נשים לב שמתקיים c מתכנס במ"ש עבור = s = c s = c t s t =.( לכל f (s) ) במידה אחידה וחסומה הינה סדרה מונוטונית יורדת ב, s t עבור,f (s) = הסדרה s t הוא טור מספרים מתכנס, בפרט מתכנס במ"ש מכיוון שאינו תלוי ב s. g (s) = c הטור = t לכן מתקיימים התנאים למבחן אבל להתכנסות במ"ש של הטור (s) f (s)g, כלומר הטור.t s < מתכנס. = c ( נניח כי + t,s > נסמן (α > ) s = t + + α נראה כי הטור s מתקיים כי c t++α = +α c t = = g הוא טור מתכנס עבור > α (באמצעות מבחן העיבוי של קושי). ראינו בחדוו"א כי טור מהצורה +α, c ולכן t הינה האיבר הכללי של טור מתכנס, ולכן שואפת לאפס, לכן ממקום מסוים מתקיים < f = c כמו כן הסדרה t מתכנס עבור = c מתכנס, כלומר הטור s = +α c =. c +α t +α לכן באמצעות מבחן ההשוואה לטורים חיוביים נוכל להסיק כי הטור t.s > t + שאלה 5 תהי K R קבוצה קומפקטית ותהי f : K R פונקציה רציפה. הוכיחו כי הגרף של Γ f := {(x, f(x)) : x K}, f הינו גם כן קבוצה קומפקטית. פתרון: נוכיח כי לכל סדרת נקודות ב Γ f יש תת סדרה מתכנסת, כאשר גבול הסדרה שייך ל Γ. f תהי איפוא y Γ f סדרה, אזי y מהצורה )) y = (x, f(x כאשר x סדרת נקודות ב K..L = x k K כאשר x k יש תת סדרה מתכנסת x קבוצה קומפקטית אזי ל K מכיוון ש f רציפה אזי אם x k L מתקיים גם כי f(l).f(x ) כלומר קיימת תת סדרה מתכנסת של.y k (L, f(l)),y מכיוון ש L שייך ל K אזי.(L, f(l)) = y k Γ f 3
מטלת מנחה (ממ"ן) 11 הקורס: חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות 2,1 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות סמסטר: ב 2007 מו
מטלת מנחה (ממ"ן) הקורס: - חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות, 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות 337 סמסטר: ב 7 מועד אחרון להגשה: אנא שים לב: מלא בדייקנות את הטופס המלווה לממ"ן בהתאם לדוגמה
קרא עודמשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון
אינטגרל מסוים i שאינו תלוי בחלוקה ] [ ובחירה m. S f סכום אינטגרלי + f + K i lim S כאשר i 0. I f I הגדרה אם קיים נקרא אינטגרל מסוים ומסומן הצבה.[ רציפות ב- ] אז הוא f g g g כאשר f g g כאשר udv uv vdu g
קרא עודUntitled
2 אגודת הסטודנטים, בן-גוריון 3 פתרון מבחן מועד ב', חדו"א 2 להנדסת חשמל, סמסטר ב', תשע"ו שאלה : א הטור המגדיר את fx הוא טור טלסקופי. הסכומים החלקיים של טור זה הם S n x n k kxe kx k xe k x nxe nx x fx lim
קרא עודחשבון אינפיניטסימלי מתקדם 1
חשבון אינפיניטסימלי מתקדם הסיכומים של דינה מבוסס על הרצאות ותרגולים מאת: פרופ' רז קופרמן מר אורי שפירא ירושלים 007 תוכן עניינים מרחבים מטריים 3 נספח א' נספח ב' הגדרות ודוגמאות 3 קבוצות מיוחדות במרחב מטרי
קרא עוד2019 שאלות מומלצות לתרגול מס' דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך(. כלל השרשרת. S = ( x, y, z) z = x + 3y על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק
דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך( כלל השרשרת S ( z) z + על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק מקביל : f ( ) + הפונקציה מוגדרת וגזירה ברציפות בכל M( ) שאלה נתון פרבולואיד אליפטי P ( z) + 6 + z + 8 למישור
קרא עודתרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L
תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L, K סימני יחס חד מקומיים,R לכל אחד מהביטויים הבאים,
קרא עודתאריך הבחינה 30
אוניברסיטת בן-גוריון בנגב מדור בחינות 9//8 תאריך הבחינה : ד"ר ס. סמית, דר' דבורה שמות המורים : פרץ, פרופ' גריגורי דרפל מבחן ב: חדו"א ג' --9 מס' הקורס: מיועד לתלמידי: ביולוגיה, כימיה וגאולוגיה ב מועד: א
קרא עודפתרונות לדף מס' 5
X הוכיחו כי קבוצה X סגורה אמ"מ פתוחה P נקודה כלשהי עלינו למצוא כך ש- X P X פתרון: תהא X קבוצה סגורה ניקח נניח בשלילה כי לא קיים כזה, ז"א לכל קיימת כך ש- X מכיוון ש- P P נסיק כי d P, P סגורה מתקיים P B
קרא עודMicrosoft Word - Sol_Moedb10-1-2,4
הפקולטה למתמטיקה - הטכניון חיפה מד''ח - 48 חורף תשע''א - בחינה סופית מועד ב' שאלה : תהי נתונה המד"ח הבאה: u + uu = y א. מצא את העקומים האופייניים של משוואה זו בצורה פרמטרית. ב. פתור את המד"ח הנתונה לעיל
קרא עודאנליזה מתקדמת
א) א) ג) -- אוניברסיטת בן- מדור בחינות מס' גוריון בנגב תאריך הבחינה: 7/0/00 שם המרצים: פונף, בסר, טקצ'נקו, ליידרמן חדו"א א בחינה ב: 0--00 מס' הקורס: מתמטיקה,מדעי המחשב, הנדסת תכנה מיועד לתלמידי: א' מועד:
קרא עודמבוא לאנליזה נומרית na191 Assignment 2 solution - Finding Roots of Nonlinear Equations y cos(x) שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y x 3 1 ושל ממש פתרונות
מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignmnt 2 solution - Finding Roots of Nonlinar Equations y cos() שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y 3 1 ושל ממש פתרונות בעזרת שיטת החצייה ובעזרת Rgula Falsi )אין צורך לפתור אנליטית(
קרא עוד. [1,3] ו = 0 f(3) f(1) = עמוד 1 מתוך 6 דר' ז. אולחא מס' הקורס 9711 חדו''א הנ מכונות 1 f ( x) = ( x 1)( x 2)( x 3) c= f c = c (1,3), c תשובות I 1) פונ
. [,] ו 0 f() f() עמוד מתוך 6 ז. אולחא מס' הקורס 97 חדו''א הנ מכונות f ( ) ( )( )( ) f (,), תשובות I ) פונ' לכן קיים פתרון רציפה וגזירה בקטע כך ש 0 ) (? f ( ) +, ± ± 0.58 (, ),.58,.4 יש n פעמים להשתמש
קרא עודMicrosoft Word - hedva 806-pitronot-2011.doc
ו- ( ( השייכים לתחום ההגדרה שאלה פתרון: א. לפי ההגדרה, f היא פונקציה זוגית, אם לכל ( ) שלה, מתקיים. f f נציב את במקום בפונקציה הנתונה ונקבל: ( ) ( ) ( ) + + + + ( ) f f f כלומר, הפונקציה היא זוגית. על
קרא עודMicrosoft Word - SDAROT 806 PITRONOT.doc
5 יח"ל - תרגילים הכנה לבגרות תרגיל 8 נסמן ב- את האיבר הראשון ונסמן ב- את מנת הסדרה. על פי הנתון מתקיים: 6 ( S6 89 89 0 5 0 5 S0 S5 ( 0 5 0 t t 0 6 (. לפיכך, 89 5 נסמן t ונקבל: 5 t או או או 5 t נפסול את
קרא עודMicrosoft Word - עבודת פסח לכיתה י 5 יחל.doc
עבודת פסח במתמטיקה לכיתה י' (5 יחידות) תרגילים שבעבודה על החומר שנלמד בכיתה ומיועדים לחזרה יש לעשות לא פחות מ- תרגילים מכל פרק אלגברה פתור את מערכת המשוואות הבאות: y x 1 y y 1 x y m x 1 x עבור אילו ערכים
קרא עודסיכום אינפי 2 28 ביולי 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה ב
סיכום אינפי 2 28 ביולי 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך..אינני לוקחת אחריות על מה שכתוב מטה. השימוש
קרא עודLimit
פרק אינטגרל כפול לכן לפי משפט 55 )ראו גם את ההערה( שאלות :5 d cos( ) d [ ] [] שאלות עם פתרון שאלה 5 חשבו: פתרון 8 הפונקציה ) f ( ) cos( מתקיים: רציפה במלבן d cos( ) d d cos( ) d עדיף לחשב את האינטגרל השני:
קרא עודשיעור 1
שיעור קצב גדילת פונקציות אנחנו בודקים את היעילות האסימפטותית של האלגוריתם, כיצד גדל זמן הריצה כאשר גודל הקלט גדל ללא גבול. בדר"כ אלגוריתמים עם "סיבוכיות" ריצה טובה יותר יהיו יעילים יותר מלבד לקלטים קצרים
קרא עודתרגול 1
תרגול rcsin d rcsin t d שאלה חשב את האינטגרלים המסוימים הבאים: sin cos d rcsin d sin cos d א ב ג פתרון שאלה סעיף א נציב dt sin d t cos עבור נקבל t cos cos עבור נקבל sin cos d tdt סעיף ב נפתור תחילה בעזרת
קרא עודתרגול מס' 7 – חזרה על MST ואלגוריתם Dijkstra
תרגול מס' 10 תכנון ליניארי תכנון לינארי הינו כלי שימושי במדעי המחשב. בקורס ראינו כיצד ניתן להציג בעיות שונות במסגרת תכנון לינארי. בנוסף, ראינו שימושים לדואליות של תוכניות לינאריות, אשר מקשרת בין בעיות
קרא עוד<4D F736F F D20EEF9E5E5E0E5FA20E3E9F4F8F0F6E9E0ECE9E5FA2E646F63>
משוואות דיפרנציאליות מושגי ייסוד: משוואה המקשרת את גורם הפונקציה עם הפונקציה והנגזרות שלה או הדיפרנציאלים שלה, נקראת "משוואה דיפרנציאלית רגילה" לפתור משוואה דיפרנציאלית פירושו, למצוא את הפונקציה המקיימת
קרא עודדף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n 1. y' n x n, y הנגזרת x.1 נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- (. x א. נחסר אחד מהחזקה. ב
דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n n n, y הנגזרת נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- ( א נחסר אחד מהחזקה ב 7 y כאשר גוזרים כופלים בחזקה, 7 כלומר נרשום אותה משמאל ל-, ובחזקה של
קרא עודתורת החישוביות תרגול הכנה לוגיקה ותורת הקבוצות מה יש כאן? בקורס תורת החישוביות נניח ידע בסיסי בתורת הקבוצות ובלוגיקה, והכרות עם מושגים בסיסיים כמו א"ב
תורת החישוביות תרגול הכנה לוגיקה ותורת הקבוצות מה יש כאן? בקורס תורת החישוביות נניח ידע בסיסי בתורת הקבוצות ובלוגיקה, והכרות עם מושגים בסיסיים כמו א"ב, מילה ושפה לטובת מי ששכח חומר זה, או שלא למדו מעולם,
קרא עודעב 001 ינואר 12 מועד חורף פתרונות עפר
ק( נסמן ב- את מהירות המשאית שיצאה מעיר A (קמ"ש, קבועה) בגרות עב ינואר מועד חורף שאלון 35 נסמן ב- y את מהירות המכונית שיצאה מעיר B (קמ"ש, קבועה) B A נסמן ב- s את המרחק מעיר לעיר "מ) s v עד מפגש ראשון משאית
קרא עודMicrosoft Word - 01 difernziali razionalit
פונקציות רציונליות 5 יחידות מתוך הספר 806 כרך ד' 0, כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי חל איסור מוחלט לתרגם, להעתיק או לשכפל חוברת זו או קטעים ממנה, בשום צורה ובשום אמצעי אלקטרוני, אופטי או מכני (לרבות
קרא עודשאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימ
שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימודי מתמטיקה בשנה א. אין מבחני כניסה לקורסים אלו, אולם
קרא עוד. שאלה 1: ה אי x] T : R 4[ x] R 4[ אופרטור ליניארי מוגדר על-ידי T( ax bx cx d) bx ax cx c )13 נק'( א( מצאו את הערכים העצמיים, המרחבים העצמיים
שאלה : ה אי x] : R4[ x] R4[ אופרטור ליניארי מוגדר על-ידי ( ax bx cx d) bx ax cx c )3 נק'( א( מצאו את הערכים העצמיים המרחבים העצמיים והפולינום המורכב מוקטורים עצמיים של R [ [x האופייני של מצאו בסיס של 4
קרא עודMicrosoft Word - tutorial Dynamic Programming _Jun_-05.doc
הטכניון מכון טכנולוגי לישראל אלגוריתמים (3447) סמסטר חורף 006/007 הפקולטה למדעי המחשב תכנון דינאמי תרגיל תת מחרוזת משותפת ארוכה ביותר תת-מחרוזת z k שקיימת סדרה עולה ממש,... z = z של מחרוזת נתונה x m,...,,
קרא עוד<4D F736F F D20F4FAF8E5EF20EEE5F2E320E020F1EEF1E8F820E120FAF9F2E3>
האקדמית תל אביב-יפו מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות מועד א' סמסטר ב' תשע"ד הפתרון לא נכתב על ידי גורם רשמי ובהחלט יכול להיות שנפלו טעויות פה ושם עשיתי כמיטב יכולתי אבל תשימו לב ותפעילו שיקול דעת אשמח לשמוע
קרא עודמועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: סמסטר: א תשע"ח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מו
מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: 26.01.2018 2 סמסטר: א תשע"ח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מורכבת מ- 6 שאלות. כל שאלה מזכה ב- 20 נקודות כך הנקודות
קרא עודתיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: כל הזכויות שמורות
תיק משימטיקה מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה להנגשה פרטנית נא לפנות: st.negishut@weizmann.ac.il תוכן העניינים מטרות התיק... 3 זמני עבודה משוערים... 3 החומרים והעזרים הדרושים... 4 רקע... 5 הצעה למהלך העבודה...
קרא עודáñéñ åîéîã (ñéåí)
מתו% 5 בסיס ומימד סיום) במסגרת הוכחת משפט של בסיסי לכל שני בסיסי של אותו מ"ו יש אותו מספר איברי ), הוכחנו בעצ יותר: משפט: א V מ"ו נוצר סופית, A V קבוצה בת"ל, B V קבוצה פורשת אז. A B הערה: מרחב וקטורי הוא
קרא עודמתמטיקה של מערכות
מתמטיקה של מערכות פתרון לתרגיל נגזור את שני האגפים לפי ונקבל : ) ולכן נתון ש- אז א ) e e נתון ש- א ) נגזור את שני האגפים לפי ונקבל: e, ולכן ) e e e ונקבל: נחלק את שני האגפים ב- נתון ש- ו- וגם ש- פונקציות
קרא עודתכנון אלגוריתמים עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 02: , בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 003 מתרגל אחראי: אורי 0
22 עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 2: 622, בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 3 מתרגל אחראי: אורי הוראות כלליות: כל עוד לא נאמר אחרת, כאשר הנכם מתבקשים לתאר אלגוריתם יש לספק את הבאות: תיאור
קרא עודא"ודח ב2 גרבימ הרש 1 רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא 13 בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא L יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע (x(t)
א"ודח ב גרבימ הרש רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע ttt t r רשאכ ttt :עטקב תופיצר תורזגנ תולעב [ab]. יהי F תופיצר תורזגנ
קרא עודMicrosoft Word - אלגברה מעורב 2.doc
תרגול אלגברה? ( ), (6 ) 6 9 נתון:. מהו ערכו של. () () () (). למה שווה? a ai. נתון: a + 9 + 6a () () 7 () () אף תשובה אינה נכונה?. ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( ) () () () (). נתון: + 0 z z z iz
קרא עודהטכניון מכון טכנולוגי לישראל אלגוריתמים 1 )443432( סמסטר חורף הפקולטה למדעי המחשב תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגור
תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגוריתמים לפתרון בעית מסלולים קלים מציאת מסלולים קלים ביותר מצומת ביותר ממקור יחיד. כלומר, V לכל צמתי הגרף. בעיה אחרת הקשורה לבעיה זו היא בעית ה-(
קרא עודפקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד
פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה 2-7012610-3 תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד ב' שם המרצה: ערן עמרי, ענת פסקין-צ'רניאבסקי חומר עזר:
קרא עודמבנים בדידים וקומבינטוריקה סמסטר אביב תשע"ט מספרי רמזי תרגול 11 הגדרה: (t R = R(s, הוא המספר הטבעי הקטן ביותר כך שבכל צביעה של צלעות הגרף וכחול(, קיים
מספרי רמזי תרגול 11 הגדרה: (t R = R(s הוא המספר הטבעי הקטן ביותר כך שבכל צביעה של צלעות הגרף וכחול( קיים תת-גרף שלם K s שצבוע בכחול או שקיים תת-גרף שלם K t שצבוע באדום. הגדרה שקולה: עבור גרף עם לפחות (t
קרא עודMicrosoft Word - ExamA_Final_Solution.docx
סמסטר חורף תשע"א 18 בפבואר 011 הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצה: מתרגלים: רן אל-יניב נועה אלגרבלי, גיא חפץ, נטליה זילברשטיין, דודו ינאי (אחראי) סמסטר חורף תשע" מבחן סופי פתרון (מועד
קרא עודמבחן סוף סמסטר מועד א 15/02/08 מרצה אחראית: דר שירלי הלוי גינסברג מתרגלים: גלעד קותיאל, דניאל גנקין הוראות: א. בטופס המבחן 7 עמודים ו 4 דפי נוסחאות. ב
מבחן סוף סמסטר מועד א 15/02/08 מרצה אחראית: דר שירלי הלוי גינסברג מתרגלים: גלעד קותיאל, דניאל גנקין הוראות: א. בטופס המבחן 7 עמודים ו 4 דפי נוסחאות. בדקו שכל העמודים ברשותכם. ב. משך המבחן שלוש שעות (180
קרא עוד! 1! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) xyy = 1 x y xy 2 = 2xy 2 מצא את הפתרו' הכללי: x y y = 3 א) y ג) ב) ד) y tan x = y (1 ( x+ y
!! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) tan ( a a z 0 a z s ds dt (רמז: cos d d ז) d ( ) d ( ) ח) ) מצא את הפתרונות המקיימי :. () 0 ( ). (). () 0 d ( ) d ( ) π. sin ln ) tan cos d cos d
קרא עודעבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה אפריל 5105 קשה בלימודים, קל במבחנים, קל בחיים עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה יש לפתור את כל השאלות
עבודה במתמטיקה לכיתה י' 5 יח"ל פסח תשע"ה יש לפתור את כל השאלות על דפים משובצים. רשמו את שמכם על כל אחד מהדפים הפתרונות יוגשו אחרי חופשת הפסח. מומלץ לכתוב דואר אלקטרוני, Whatspp כאשר נתקלים בקושי. מישהו
קרא עודע 003 מרץ 10 מועד מיוחד פתרונות עפר
בגרות ע מרץ 0 מועד מיוחד שאלון 5005. x א. () יש למצוא את הערך של m שעבורו גרף + ) mx f ( x) mm ( 6) x + ( כאשר נציב m או 6 m נקבל 0 0 ונקבל פונקציה עולה ובהתאם הישר לא מקביל לציר ה - הוא ישר המקביל לציר
קרא עודMathType Commands 6 for Word
0 אלגברה לינארית גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת מתמטיקה באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות
קרא עודתכנון אלגוריתמים, אביב 1021, תרגול מס' 4 תכנון דינאמי תכנון דינאמי בתרגול זה נדון בבעיית הכפלת סדרת מטריצות (16.1.(CLR ראשית נראה דוגמא: דוגמא: תהינה
תכנון דינאמי בתרגול זה נדון בבעיית הכפלת סדרת מטריצות (6..(CLR ראשית נראה דוגמא: דוגמא: תהינה ארבע מטריצות:. A, A, A, A נסמן את גודל המטריצות בסדרה ע"י סדרת גדלים כאשר, p 5 5 p היא בגודל A {,,,5,}, P כלומר
קרא עוד<4D F736F F D20FAF8E2E5EC20E0ECE2E1F8E420EEF2E5F8E D F9E0ECE5FA2E646F63>
< 0 a b b a > 0 נתון: מכאן ניתן לומר בוודאות כי -. a < b ab < 0 a 0 b > לא ניתן לקבוע בוודאות.. ( 0)?. לא ניתן לדעת. + ( + ) ( ) + + נתון: כמה ערכי שונים מקיימים את המשוואה?. אינסוף 0 +. תשובות ו נכונות
קרא עוד<4D F736F F D20F4F2E5ECE5FA20EEE5EEF6E0E5FA20312E646F63>
1 תרגול פעולות מומצאות ( ( $ מה מהתשובות לא יכולה להיות תוצאה של הפעולה ) ( $ 1 הוגדרה פעולה חדשה $ + 1 1 + 10 + () () מה תוצאת הפעולה ) ( @ @ 10 = הוגדרה הפעולה החדשה 10 1 () 10 () 10 $ 19 $ 17 a) ( $
קרא עודMicrosoft Word - shedva_2011
שיטות דיפרנציאליות ואינטגרליות הפקולטה להנדסה אוניברסיטת תל אביב גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה
קרא עודא. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש בגרות סט יולי 09 מועד קיץ ב שאלון CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף
א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש 3 CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף, E בהתאמה. לכן, הנקודה BE.3: לצלעות AE מחלקת את ו- AB ביחס של ע"פ נוסחת חלוקת קטע ביחס נתון
קרא עודתאריך פרסום: תאריך הגשה: מבנה נתונים תרגיל 5 )תיאורטי( מרצה ומתרגל אחראים: צחי רוזן, דינה סבטליצקי נהלי הגשת עבודה: -את העבודה יש לה
תאריך פרסום: 01.01.15 תאריך הגשה: 15.01.15 מבנה נתונים תרגיל 5 )תיאורטי( מרצה ומתרגל אחראים: צחי רוזן, דינה סבטליצקי נהלי הגשת עבודה: -את העבודה יש להגיש בזוגות. -העבודה חייבת להיות מוקלדת. -הקובץ חייב
קרא עודPowerPoint Presentation
מבוא למדעי המחשב תירגול 6: כתובות ומצביעים 1 תוכנייה מצביעים מצביעים ומערכים, אריתמטיקה של מצביעים 2 3 מצביעים תזכורת- כתובות זיכרון הזיכרון כתובת התא #1000 #1004 #1008 ערך השמור בתא תא 10-4 לא מאותחל
קרא עודמספר זהות: סמסטר ב' מועד א' תאריך: 11102/4// שעה: 9:22 משך הבחינה: 3 שעות חומר עזר: אין מותר השימוש במחשבון פשוט בחינה בקורס: מבני נתונים מרצה: הדר בי
מספר זהות: סמסטר ב' מועד א' תאריך: 11102/4// שעה: 9:22 משך הבחינה: 3 שעות חומר עזר: אין מותר השימוש במחשבון פשוט בחינה בקורס: מבני נתונים מרצה: הדר בינסקי הנחיות: יש לענות על כל השאלות. יש לענות על כל
קרא עודMicrosoft Word - 28
8-6-7-8 - פתרון מבחן מס' 8 (ספר לימוד שאלון 87) y M (, ) y מרכז המעגל החוסם את המשולש נמצא בנקודת חיתוך האנכים האמצעיים y y לצלעות המשולש: y M _, y y R M ( M) ( M) () R M y m 9 9 69 9 9 9 9 (ב) משוואת
קרא עודמבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות
תורת הקבוצות מושגים בסיסיים מבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות חוברת תרגילים כתוב באופן מפורש את הקבוצות הבאות: 5 2x + 3< היא קבוצת המספרים השלמים המקיימים : 7 B היא קבוצת האותיות הקודמות לאות f באלף-בית הלטיני.
קרא עודיחידה 8: שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות שיעור 1. שיקוף בציר x תלמידים התבקשו לשרטט פרבולה שכל הערכים שלה שליליים. y יואב ש רטט כך: y תומר אמר: אי-אפשר
יחידה 8: שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות שיעור 1. שיקוף בציר תלמידים התבקשו לשרטט פרבולה שכל הערכים שלה שליליים. יואב ש רטט כך: תומר אמר: אי-אפשר זיו ש רטט כך: מי צודק? נשקף בציר את הגרף של, = ונלמד את
קרא עוד67865 כלים מתמטיים 7 בינואר 2014 מרצה: מיכאל בן אור מתרגל: צור לוריא איני לוקחת אחריות על מה שכתוב כאן, so tread lightly אין המרצה קשור לסיכום זה בשום
67865 כלים מתמטיים 7 בינואר 2014 מרצה: מיכאל בן אור מתרגל: צור לוריא איני לוקחת אחריות על מה שכתוב כאן, so tread lightly אין המרצה קשור לסיכום זה בשום דרך הערות יתקבלו בברכה nogarotman@gmailcom אהבתם?
קרא עודðñôç 005 î
ו - משופר נספח לשאלון 005 9005 תוכן עניינים: עמ' סדרות תוספת לאי-שיוויונים ממעלה שניה יישומים 40 (כולל יישום במשפט ויאטה לעומת הנספח הקודם, השאלות הבאות הוחלפו : עמ ' שאלה עמ ' שאלה עמ ' שאלה 6,7,8,9 0,
קרא עודאוניברסיטת בן-גוריון המחלקה למדעי המחשב בוחן במבנים בדידים וקומבינטוריקה פרופ' מתיא כ"ץ, ד"ר עופר נימן, ד"ר סטוארט סמית, ד"ר נתן רובין, גב'
אוניברסיטת בן-גוריון המחלקה למדעי המחשב בוחן במבנים בדידים וקומבינטוריקה 0-- פרופ' מתיא כ"ץ, ד"ר עופר נימן, ד"ר סטוארט סמית, ד"ר נתן רובין, גב' יעל שטיין טל באומל, לילך חייטמן-ירושלמי, נתי פטר, ד ר סטוארט
קרא עודתשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, 635863 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 תלמיד קנה 11 מחברות דקות ו- 4 מחברות עבות,
קרא עודאלגברה ליניארית תאוריה ותרגילים פרופ' שלמה הבלין, אוניברסיטת בר אילן ד"ר יפית מעין, מרכז אקדמי לב
אלגברה ליניארית תאוריה ותרגילים פרופ' שלמה הבלין, אוניברסיטת בר אילן ד"ר יפית מעין, מרכז אקדמי לב 1 א. תכונות וקטורים תוכן עניינים 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 7 8 9 9 10 10 11 11 12 12 וקטור שוויון וקטורים
קרא עודמצגת של PowerPoint
שלום לתלמידי י"א חמש יחידות מתמטיקה גיל קרסיק מורה למתמטיקה בשעה וחצי הקרובות נדבר על שאלון 806 סדרות הנדסיות וחשבוניות ארבעה תרגילים שהיו בבחינות בגרות ארבעה טיפים )טיפ אחד אחרי כל תרגיל שנפתור הערב(
קרא עודMicrosoft Word - solutions.doc
תחרות גיליס 009-00 הרי פוטר הגיע לחנות הדובשנרייה בהוגסמיד. הוא מגלה, שהכסף שלו מספיק בדיוק ל- סוכריות קוסמים ול- 5 קרפדות שוקולד, או בדיוק ל- 0 קרפדות שוקולד ול- 0 נשיקות מנטה, או בדיוק ל- 45 נשיקות מנטה
קרא עודמבחן סוף סמסטר מועד ב 28/10/08 מרצה אחראית: דר שירלי הלוי גינסברג מתרגלים: גלעד קותיאל, גדי אלכסנדרוביץ הוראות: א. בטופס המבחן 6 עמודים (כולל דף זה) ו
מבחן סוף סמסטר מועד ב 28/10/08 מרצה אחראית: דר שירלי הלוי גינסברג מתרגלים: גלעד קותיאל, גדי אלכסנדרוביץ הוראות: א. בטופס המבחן 6 עמודים (כולל דף זה) ו 4 דפי נוסחאות. בדקו שכל העמודים ברשותכם. ב. משך המבחן
קרא עודטיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נ
טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נתון כלשהו.. אין צורך לענות על השאלות לפי סדר הופעתן.
קרא עודתרגיל 5-1
תרגיל 1 יחסי העדפה, פונקציות תועלת, עקומות אדישות וקווי תקציב כל השאלות להלן מתייחסות לצרכן שהעדפותיו מוגדרות על סלי צריכה של שני מוצרים. העדפות אלה הן רציונאליות (ז"א, מקיימות את תכונות השלמות והטרנזיטיביות).
קרא עודמבוא למדעי המחשב - חובלים
אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מבוא למדעי המחשב סמסטר ב' תשע"ב בחינת סיום, מועד ב',.02..9.7 מרצה: אורן וימן מתרגלים: נעמה טוויטו ועדו ניסנבוים מדריכי מעבדה: מחמוד שריף ומיקה עמית משך המבחן: שעתיים חומר
קרא עודPRESENTATION NAME
נכתב ע"י כרמי גרושקו. כל הזכויות שמורות 2010 הטכניון, מכון טכנולוגי לישראל הקצאה דינמית )malloc( מערכים דו-מימדיים סיבוכיות: ניתוח כזכור, כדי לאחסן מידע עלינו לבקש זכרון ממערכת ההפעלה. 2 עד עכשיו: הגדרנו
קרא עודSlide 1
מבוא למדעי המחשב תירגול 4: משתנים בוליאניים ופונקציות מבוא למדעי המחשב מ' - תירגול 4 1 משתנים בוליאניים מבוא למדעי המחשב מ' - תירגול 4 2 ערכי אמת מבחינים בין שני ערכי אמת: true ו- false לכל מספר שלם ניתן
קרא עודפיסיקה 1 ב' מרצים: גולן בל, משה שכטר, מיכאל גדלין מועד ב משך המבחן 3 שעות חומר עזר: דף נוסחאות מצורף, מחשבון אסור בהצלחה! חלק א'
פיסיקה 1 ב' 203-1-1391 מרצים: גולן בל, משה שכטר, מיכאל גדלין מועד ב 03.08.2017 משך המבחן 3 שעות חומר עזר: דף נוסחאות מצורף, מחשבון אסור בהצלחה! חלק א' - שאלות אמריקאיות (כל שאלה - 5 נק') - יש לסמן תשובה
קרא עודפתרון וחקירת מערכות של משוואות לינאריות שאלות: 1( מצא אילו מהמערכות הבאות הן מערכות שקולות: 2x+ y= 4 x+ y= 3 x y = 0 2x+ y = 3 x+ 10y= 11 א. 2x 2y= 0
פתרון וחקירת מערכות של משוואות לינאריות שאלות: 1( מצא אילו מהמערכות הבאות הן מערכות שקולות: x+ y= x+ y= 3 x y = 0 x+ y = 3 x+ 10y= 11 x y= 0 x y= 7 x y= 1 ד x = 3 x+ y = z+ t = 8 רשום את המטריצות המתאימות
קרא עודMicrosoft Word - madar1.docx
משוואות דיפרנציאליות רגילות גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת מתמטיקה באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות
קרא עודמשוואות דפרנציאליות רגילות /ח
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty Version 10 uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq משוואות דפרנציאליות רגילות /ח wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui
קרא עודMicrosoft Word - 38
08.05.6-80 - פתרון מבחן מס' 8 (ספר מבחנים שאלון 0580) t (v 75) (א) מהירות ההתקרבות של שני הרוכבים היא לכן הזמן שעבר מיציאת הרוכבים ועד הפגישה: קמ"ש, שעות 60 v 75 לפי הנתון בשאלה, נרכיב את המשוואות: 60
קרא עודתכנות דינמי פרק 6, סעיפים 1-6, ב- Kleinberg/Tardos סכום חלקי מרחק עריכה הרעיון: במקום להרחיב פתרון חלקי יחיד בכל צעד, נרחיב כמה פתרונות אפשריים וניקח
תכנות דינמי פרק 6, סעיפים -6, ב- Kleinberg/Tardos סכום חלקי מרחק עריכה הרעיון: במקום להרחיב פתרון חלקי יחיד בכל צעד, נרחיב כמה פתרונות אפשריים וניקח בסוף את הטוב ביותר. סכום חלקי sum) (subset הקלט: סדרה
קרא עודמקביליות
תכונות שמורה Invariant Properties גרא וייס המחלקה למדעי המחשב אוניברסיטת בן-גוריון 2 בדיקות מודל Checking( )Model מערכת דרישות מידול פירמול בדיקות מודל )Model Checking( מודל של המערכת תכונות פורמליות סימולציה
קרא עודאוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב.5.6 מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשע"ז בחינה סופית מועד א', מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: סמאח אידריס, ראמי עילבו
אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב.5.6 מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשע"ז בחינה סופית מועד א', 31.1.2017 מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: סמאח אידריס, ראמי עילבוני, דולב שרון הנחיות: 1. משך הבחינה: 120 דקות. 2. היציאה
קרא עודrizufim answers
ÌÈÙÂˆÈ מדריך למורה פעילות זו היא פעילות חקר לבדיקת כל אפשרויות הריצוף שבהן סידור מצולעים סביב קודקוד הוא זהה. המצולעים שבהם ישתמשו התלמידים הם: משולש שווה צלעות, משושה משוכלל וריבוע - כולם בעלי צלע באותו
קרא עודשאלה 2. תכנות ב - CShell
ביה"ס למדעי המחשב 4.2.2018 האקדמית נתניה מבחן מועד א' יסודות מערכות פתוחות סמסטר חורף, תשע"ח משך המבחן: שלוש וחצי שעות. יש לענות על כל השאלות. מותר השימוש בחומר עזר כלשהו, פרט למחשבים, (מחשבונים מותר).
קרא עודמספר נבחן / תשס"ג סמסטר א' מועד א' תאריך: שעה: 13:00 משך הבחינה: 2.5 שעות בחינה בקורס: מבחנים והערכה א' מרצה: ד"ר אבי אללוף חומר עזר
מספר נבחן 2002 2003 / תשס"ג סמסטר א' מועד א' תאריך: 29.1.03 שעה: 13:00 משך הבחינה: 2.5 שעות בחינה בקורס: מבחנים והערכה א' מרצה: ד"ר אבי אללוף חומר עזר: אין שימוש במחשבון: מותר בבחינה 10 עמודים כולל עמוד
קרא עודMicrosoft Word ACDC à'.doc
דו"ח מסכם בניסוי: AC/DC חלק: א' סמסטר ב' תשס"א שם הבודק : תאריך הבדיקה: I שם מדריך הניסוי (שם מלא): סרגיי ציון הדו"ח: II תאריך ביצוע הניסוי: 14/05/001 תאריך הגשת הדו"ח: 1/05/001 הדו"ח מוגש על ידי: II I
קרא עודאוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: נעמה טוויטו, מחמוד שריף מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשע"ב בחינת סיום, מועד א', הנחי
אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: נעמה טוויטו, מחמוד שריף מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשע"ב בחינת סיום, מועד א', 6.2.2012 הנחיות: 1. משך הבחינה: 120 דקות. 2. היציאה מהכיתה במהלך
קרא עודבגרות עז יולי 17 מועד קיץ ב שאלון ,000 א. ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב-. 25% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי,
,000 א ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב- 5% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי, 5% לכן, המחיר החדש הוא: 5,000 00 5 5 00 שקלים ממחירו הקודם 0005 תשובה: מחיר הספה לאחר ההתייקרות הוא
קרא עודפסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה -
פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה יחס פרופורציה וקנה מידה נוסחאות הכפל המקוצר ופירוק לגורמים פתרון משוואות, אי שוויונות ומערכת משוואות ממעלה ראשונה שאלות מילוליות משוואות ריבועיות שברים
קרא עודPowerPoint Presentation
מה הם הגורמים שקובעים את רמת הפעילות הכלכלית, שער הריבית, רמת המחירים ורמת התעסוקה? הפעילות המשותפת במספר שווקים: פעילות ריאלית שוק הסחורות: CIGX-M עקומת IS (r,) שיווי משק ל פעילות מונטרית שוק הכספים:
קרא עודע 001 ינואר 10 מועד חורף פתרונות עפר
בגרות ע 00 ינואר 0 שאלון 50 הציר האופקי, ציר ה-, x מתאר את הזמן שעובר, בשניות, מתחילת השחייה כל משבצת היא בת 0 שניות הציר האנכי, ציר ה - y, מתאר את המרחק מקצה הבר כה כל משבצת היא בת 0 מטר כאשר הקו עולה
קרא עוד<4D F736F F D20F4F8F720E7F9E9E1E420EBEEE5FAE9FA203120E9E5ECE E646F63>
הסברים לפרק כמותי : :úåðåëðä úåáåùúä 0 9 8 7 6 5 5 0 9 8 7 6 5. התשובה הנכונה היא: (). עלינו לקבוע איזה מהביטויים שבתשובות אינו זוגי. משום שהשאלה עוסקת בתכונת הזוגיות, ננסה ללמוד מהנתון על זוגיותם של x
קרא עודעבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם י
עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם יודעים כיצד לפתור אותן. את העבודה יש להגיש במהלך השבוע
קרא עוד<4D F736F F D20F4E9E6E9F7E420FAF8E2E5ED20ECF2E1F8E9FA20E4E2E4E420F1E5F4E9FA20496C616E2E646F63>
מתקף ותנע מבוא תרשים 1 כשמפעילים מתקף על גוף כלשהו, התנע שלו משתנה. שינוי התנע שווה למתקף, שהוא השטח מתחת לגרף הכוח כתלות בזמן: Δp = F dt 51 m v m v1 = dt 2 F כאשר F הוא הכוח המופעל על הגוף, p הוא השינוי
קרא עודמקביליות
תכונות בטיחות Safety Properties גרא וייס המחלקה למדעי המחשב אוניברסיטת בן-גוריון 2 תזכורת: תכונות זמן ליניארי Linear Time Properties תכונות זמן-ליניארי מתארות קבוצת עקבות שהמערכת צריכה לייצר מכוונים ללוגיקה
קרא עודשעור 6
שעור 6 Open addressing אין רשימות מקושרות. (נניח שהאלמנטים מאוחסנים בטבלה עצמה, לחילופין קיים מצביע בהכנסה המתאימה לאלמנט אם אין שרשור). ב- addressing open הטבלה עלולה להימלא ב- factor α load תמיד. במקום
קרא עודAlgorithms Tirgul 1
- מעגלי אוילר ומסלולי אוילר תרגול 1 חידה: האם אפשר לצייר את הציורים הבאים בלי להרים את העיפרון מהנייר? 1 קצת אדמיניסטרציה אופיר פרידלר ophir.friedler@gmail.com אילן כהן - ilanrcohen@gmail.com שעות קבלה
קרא עודמדינת ישראל סוג הבחינה: בגרות לבתי ספר על יסודיים משרד החינוך מועד הבחינה: קיץ תשע"ג, 2013 נספח לשאלון: אין להעביר את הנוסחאון לנבחן אחר נוסחאו
מדינת ישראל סוג הבחינה: בגרות לבתי ספר על יסודיים משרד החינוך מועד הבחינה: קיץ תשע"ג, 01 נספח לשאלון: 8801 אין להעביר את הנוסחאון לנבחן אחר )1 עמודים( הגדלים בנוסחאון מופיעים ביחידות SI 1 1 [ N m] kgf
קרא עודפרויקט "רמזור" של קרן אביטל בס "ד מערך שיעור בנושא: "פונקציה" טליה קיפניס והדסה ערמי, מאולפנת צביה פרטים מקדימים על מערך השיעור: השיעור מהווה מבוא לנו
בס "ד מערך שיעור בנושא: "פונקציה" טליה קיפניס והדסה ערמי, מאולפנת צביה פרטים מקדימים על מערך השיעור: השיעור מהווה מבוא לנושא הפונקציות הנלמד בכתה ט' בכל הרמות. עזרי ההוראה בהם נשתמש: מחשב, ברקו, דפי עבודה
קרא עודMicrosoft Word - ex04ans.docx
1 אריאל סטולרמן סטטיסטיקה / תרגיל #4 קבוצה 03 Φ2. ההתפלגות הנורמלית (1) Φ2.2. Φ2.22. Φ1.5 1Φ1.5. Φ0. Φ5 1Φ5 1Φ4.417. Φ 1Φ 1Φ4.417. נתון: ~ 0,1 ( a )להלן חישוב ההסתברויות: 2.22 1.55 Φ1.55 Φ2.22 Φ1.55 1Φ2.22
קרא עודמהוא לתכנות ב- JAVA מעבדה 3
מבוא לתכנות ב- JAVA מעבדה 3 נושאי התרגול לולאות ניפוי שגיאות לולאות - הקדמה כיצד הייתם כותבים תוכנית שתדפיס את המספרים השלמים בין 1 ל- 100 בעזרת הכלים שלמדתם עד עתה? חייבת להיות דרך אחרת מאשר לכתוב 100
קרא עודSlide 1
מבוא למדעי המחשב תירגול 7: פונקציות 1 מה היה שבוע שעבר? לולאות מערכים מערכים דו-ממדיים 2 תוכנייה )call by value( פונקציות העברת פרמטרים ע"י ערך תחום הגדרה של משתנה מחסנית הקריאות 3 פונקציות 4 הגדרה של
קרא עודמומנט התמדה
מומנט התמדה מילות מפתח: גוף קשיח, מומנט התמד,)nertia( מומנט כוח,)Torque( מטוטלת פיסיקלית, מטוטלת פיתול הציוד הדרוש:, דיסקת אלומיניום תלויה על תייל, גלילים פליז תלויים על תייל, - גלילי פליז עם הברגה, משקלות
קרא עודמבוא לתכנות ב- JAVA תרגול 7
מבוא לתכנות ב- JAVA תרגול 8 תזכורת - מבנה של פונקציה רקורסיבית.2 פונקציה רקורסיבית מורכבת משני חלקים עיקריים 1. תנאי עצירה: מקרה/מקרים פשוטים בהם התוצאה לא מצריכה קריאה רקורסיבית לחישוב צעד רקורסיבי: קריאה
קרא עודמבחן חוזר במכניקה 55 א יא יח""ללח פתור 3 מהשאלות 1-5 לכל שאלה 33%. חומר עזר מותר מחשבון ונוסחאון של בגרות. v m sec משך הבחינה 105 דקות. שאלה מספר 1 4
מבחן חוזר במכניקה 55 א יא יח""ללח פתור 3 מהשאלות 1-5 לכל שאלה 33%. חומר עזר מותר מחשבון ונוסחאון של בגרות. v sec משך הבחינה 105 דקות. שאלה מספר 1 4 גוף נע לאורך ציר X כך שברגע. x הוא נמצא 0 t 0-10 16 19
קרא עוד