יחידה 8: שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות שיעור 1. שיקוף בציר תלמידים התבקשו לשרטט פרבולה שכל הערכים שלה שליליים. יואב ש רטט כך: תומר אמר: אי-אפשר זיו ש רטט כך: מי צודק? נשקף בציר את הגרף של, = ונלמד את התכונות של הפונקציה המתקבלת. 3 7 6 5 4 3 1 1 0 1 3 4 5 6 7 1 3 שיקוף הפרבולה = בציר ה ניחו את ה"פרבולה השקופה" על הפרבולה = וה פכו אותה. 1. נחקור את הפרבולה ה"הפוכה". א. ה שלימו טבלה לפונקציה שאחרי השיקוף )הפרבולה ה"הפוכה"(. 3 1 0 1 3 ב. מה שיעורי נקודת הקדקוד של הפרבולה ה"הפוכה"? ג. איזה מבין הייצוגים הבאים הוא הייצוג האלגברי של הפרבולה ה"הפוכה"? ה סבירו. = 1 = 1 = = 3 1 הפרבולה = מתקבלת על-ידי שיקוף בציר של הפרבולה. = 3 1 0 1 3 1 3 יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 151
נקודת הקדקוד של פרבולה היא נקודת קיצון. - אם נקודת הקדקוד היא הנקודה "הכי נמוכה" של הפרבולה, היא נקראת נקודת מינימום. נקודת מינימום - אם נקודת הקדקוד היא הנקודה "הכי גבוהה" של הפרבולה, היא נקראת נקודת מקסימום. נקודת מקסימום = דוגמה: קדקוד הפרבולה = הוא נקודת המינימום של הפרבולה. קדקוד הפרבולה = הוא נקודת המקסימום של הפרבולה.. ה שלימו תעודת זהות של הפונקציה. = ייצוג אלגברי של הפונקציה סקיצה ציר הסימטריה שיעורי נקודת הקדקוד סוג הקדקוד )מינימום/מקסימום( שיעורי נקודות החיתוך עם ציר ( = )0 שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ) = (0 התחום שבו הפונקציה עולה התחום שבו הפונקציה יורדת התחום שבו הפונקציה חיובית (0 > ) התחום שבו הפונקציה שלילית (0 < ) ת"ז יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 15
מזיזים למעלה ולמטה 3. א. ה ניחו את "הפרבולה השקופה" על מערכת הצירים, כך שתתאים לפונקציה. = ה זיזו אותה 4 יחידות למעלה. ב. ה שלימו טבלה לפונקציה לאחר ההזזה. 3 1 0 1 3 6 5 4 3 4 3 1 1 0 1 3 4 5 6 7 8 1 3 4 5 6 = + 4 ס מנו את הנקודות במערכת הצירים וח בּרו לקבלת פרבולה. ג. ר שמו ייצוג אלגברי מתאים לפונקציה לאחר ההזזה. בּ דקו תשובתכם. ד. ה שלימו תעודת זהות לפונקציה שרשמתם בסעיף ג. ייצוג אלגברי של הפונקציה סקיצה ציר הסימטריה שיעורי נקודת הקדקוד סוג הקדקוד )מינימום/מקסימום( ת"ז שיעורי נקודות החיתוך עם ציר ( = )0 שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ) = (0 התחום שבו הפונקציה עולה התחום שבו הפונקציה יורדת התחום שבו הפונקציה חיובית (0 > ) התחום שבו הפונקציה שלילית (0 < ) יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 153
קדקוד הפרבולה = הוא ).(0,0 נקודה זו היא נקודת המקסימום של הפרבולה. ציר הסימטריה הוא ציר. התחום שבו הפונקציה עולה : המספרים השליליים ).( < 0 התחום שבו הפונקציה יורדת : המספרים החיוביים ).( > 0 התחום שבו הפונקציה שלילית : כל המספרים פרט ל.( 0) 0 - התחום שבו הפונקציה חיובית : אין מספרים. אם מזיזים את הפרבולה c, = יחידות כלפי מעלה, מתקבלת פרבולה שהייצוג האלגברי שלה הוא. = + c הקדקוד שלה ),(0, c הוא נקודת מקסימום. פרבולה זו חותכת את ציר בשתי נקודות. 4 0 ים חושבים על... דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל דוגמה : במשימה 3 הייצוג האלגברי של הפרבולה הוא. = + 4 הקדקוד הוא ),(0, 4 והוא נקודת מקסימום. התחום שבו הפונקציה עולה : המספרים השליליים ).( < 0 התחום שבו הפונקציה יורדת : המספרים החיוביים ).( > 0 התחום שבו הפונקציה חיובית : המספרים בין ) ( ל.( < < ) - התחום שבו הפונקציה שלילית : המספרים משמאל ל ( ) - כלומר, < או המספרים מימין ל - כלומר. >.4 יואב אמר : הפונקציה הריבועית = 1 היא שלילית בכל התחום. לפונקציה זו אין נקודות חיתוך עם ציר, וכל הערכים שלה שליליים. ה סבירו איך יואב ידע זאת. 154 יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות
אוסף משימות.1 ה שלימו. ייצוג אלגברי של הפונקציה סוג הקדקוד מינימום / מקסימום שיעורי נקודת הקדקוד יש או אין נקודות חיתוך עם ציר = + 3 = 3 = + 3 = 3. בשרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. = דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל א. ש רטטו סקיצה של גרף הפונקציה. = + 9 ב. האם גרף הפונקציה חותך את ציר? אם כן, בכמה נקודות? ג. בטבלה שלפניכם תעודת זהות של הפונקציה. = ה שלימו תעודת זהות לפונקציה. = + 9 = ייצוג אלגברי של הפונקציה = + 9 ת"ז סקיצה ים ציר הסימטריה =0 שיעורי נקודת הקדקוד ) (0, 0 סוג הקדקוד (מינימום / מקסימום) מקסימום שיעורי נקודות החיתוך עם ציר ) = 0 ( ) (0, 0 שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ( = 0) ) (0, 0 התחום שבו הפונקציה עולה מספרים שליליים ) ( < 0 התחום שבו הפונקציה יורדת מספרים חיוביים ) ( > 0 התחום שבו הפונקציה חיובית ) ( > 0 אין מספרים התחום שבו הפונקציה שלילית ) ( < 0 0 יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 155
3. ה תאימו ייצוג אלגברי לפרבולה. 5 5 5 5 = + 5 = + 5 = 5 = 5 4. ר שמו ייצוג אלגברי מתאים לכל פרבולה. ב. א. 5. א. ר שמו ייצוג אלגברי של פרבולה המקיימת: ג. ד. - שיעורי נקודת הקדקוד (4,0), - הפונקציה עולה בתחום המספרים השליליים (0 < ), - הפונקציה יורדת בתחום המספרים החיוביים (0 > ). ב. ש רטטו סקיצה של גרף הפונקציה שרשמתם. ג. האם הקדקוד הוא נקודת מקסימום או נקודת מינימום? 6. א. ש רטטו באותה מערכת צירים גרפים של שתי פרבולות: פרבולה I: קדקוד (3,0), ויש לה שתי נקודות חיתוך עם ציר. פרבולה :II קדקוד (3,0), ויש לה שתי נקודות חיתוך עם ציר. ב. ר שמו ייצוג אלגברי לכל פרבולה. ג. ק בעו אם הקדקוד של כל פרבולה הוא נקודת מקסימום או נקודת מינימום. יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 156
א. 7. בכל סעיף ה קיפו את האות בטור המתאים. מה קיבלתם? נכון כ לא נכון מ לפונקציה 5 = יש נקודת מקסימום. ב. לפונקציה = + 5 יש נקודת מינימום. צ ל ג. לפונקציה = + 3 יש נקודת מקסימום. פ ה ד. לפונקציה 1 = יש נקודת מקסימום. ב כ ה. לפונקציה = יש נקודת מינימום. ע ב ו. לפונקציה = + 3 יש מינימום ב- 0).(3, נ ו ז. לפונקציה 1 = יש מקסימום ב- 1).(0, ד ל 8. בכל סעיף ש רטטו סקיצה מתאימה ור שמו דוגמה לייצוג אלגברי מתאים לפונקציה. א. לפונקציה יש נקודת מינימום, והגרף שלה אינו חותך את ציר. ב. לפונקציה יש נקודת מקסימום, והגרף שלה חותך את ציר בנקודה אחת בלבד. ג. לפונקציה יש נקודת מקסימום, והגרף שלה חותך את ציר בשתי נקודות. ד. לפונקציה יש נקודת מקסימום, והגרף שלה אינו חותך את ציר. ה. נקודת המקסימום של הפונקציה היא (3,0). 9. א. הקדקוד של פרבולה נמצא על ציר. כמה פרבולות כאלה אפשר לשרטט? ר שמו דוגמה לפונקציה כזו. ב. הקדקוד של פרבולה נמצא בנקודה (,0). ר שמו שתי דוגמאות לפונקציה כזו. ג. הקדקוד של פרבולה הוא נקודת מינימום ב- (,0). האם לפונקציה יש נקודות אפס? ה סבירו. 10. לכל סעיף ר שמו דוגמה לפונקציה ריבועית. א. פרבולה שאין לה נקודות אפס )אין נקודות חיתוך עם ציר ). ב. פרבולה שיש לה נקודת אפס אחת )יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ). ג. פרבולה שיש לה שתי נקודות אפס )יש שתי נקודות חיתוך עם ציר ). יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 157
שיעור. הרחבות וכיווצים של פרבולות 7 6 5 4 3 1 III II 4 3 1 0 1 3 I בשרטוט שלושה גרפים של פונקציות ריבועיות. = = 1 = איזה מבין הגרפים הוא גרף הפונקציה? = ה סבירו. איזה גרף מתאים ל-? = 1? = איזה גרף מתאים ל- נלמד תכונות של פונקציות שהן הרחבה או כיווץ של. = 1 = 1. נתייחס לנתונים ממשימת הפתיחה. א. ה שלימו טבלה לפונקציה. = 1 0 1 = ר שמו ליד הפרבולה המתאימה את הייצוג האלגברי שלה. 1. = ב. ה שלימו טבלה לפונקציה 3 1 0 1 3 ר שמו ליד הפרבולה המתאימה את הייצוג האלגברי שלה. ג. ה שלימו תכונות לכל פרבולה. = 1 = = = 0 (0, 0) מספרים חיוביים 0) > ( מספרים שליליים 0) < ( ציר הסימטריה שיעורי נקודת הקדקוד התחום שבו הפונקציה עולה התחום שבו הפונקציה יורדת יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 158
חושבים על.... א. בשרטוטים פרבולות של פונקציות ריבועיות = : = 3 = ה עתיקו אותם על דף שקוף. = 3 = = ב. היעזרו ב"פרבולה השקופה" של = ובשלוש הפרבולות שבסעיף א. ה ניחו במערכת הצירים את כל ארבע הפרבולות, זו על גבי זו (הקדקוד בראשית הצירים). 8 דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל 7 6 5 4 6 5 4 6 5 4 3 1 0 1 ג. מה התכונות המשותפות לארבע הפרבולות? במה הן שונות זו מזו? ממה נובע השוני? ים במשימות 1 ו - הכרנו פרבולות שהייצוג האלגברי שלהן הוא מהצורה.(a 0) = a אפשר לקבל את הפרבולות זו מזו על - ידי כיווץ או הרחבה. דוגמה : בשרטוט הגרפים של שלוש פונקציות כאלה. הפרבולה האדומה היא הגרף של = 3 ).(a > 1 = הפרבולה הירוקה היא הגרף של הפרבולה הכחולה היא הגרף של = 3 ).(a = 1 7 6 5 4 ).(a < 1 1 3 4 יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 5 4 3 1 0 159
בעקבות....3 הגרף הירוק שבשרטוט הוא גרף הפונקציה. = ה רחיבו (או כ יווצו) את גרף הפונקציה = כך שהתקבלו גרפים של הפונקציות מהמשפחה. = a 7 6 5 4 א. צ בעו באדום את הגרפים שבהם.a > 1 ב. צ בעו בכחול את הגרפים שבהם.0 < a < 1 6 5 4 6 5 4 3 1 0 קולט F ים דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל משטח הנוצר על - ידי סיבוב של פרבולה סביב ציר נקרא משטח פרבולי. למשטח פרבולי תכונות גאומטריות ופיזיקליות חשובות. לדוגמה, קרני אור או גלים המגיעים במקביל (כמו בשרטוט) ופוגעים בו, מוחזרים כולם אל אותה נקודה הנקראת מוקד. תכונה זו משמשת לריכוז קרני אור בטלסקופים ובאנטנות. קרני אור או גלים הפוגעים במראה או במשטח פרבולי, מוחזרים אל נקודת קליטה אחת הנמצאת במוקד הפרבולה. כך מתקבלת במוקד עוצמה גדולה יותר, ואיכות הקליטה משתפרת. תכונה זו של הפרבולה מנוצלת גם לכיוון ההפוך : פנסים וזרקורים חזקים (למשל, פנסי מכוניות) מורכבים ממראה פרבולית, ובמוקד הפרבולה נמצאת נורה. קרני האור שמקורן בנורה מוחזרות על - ידי המראה בכיוון אחיד. כך נוצרת אלומת אור מקבילה בעלת עוצמה חזקה יותר. מקור אור 160 F יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות
אוסף משימות.1 במערכת הצירים משורטטים גרפים של שתי פונקציות ריבועיות : = 6 5 II I = 4 4 ה תאימו ייצוג אלגברי לפרבולה. ה סבירו כיצד התאמתם. 3 3 1 0 1. במערכת הצירים משורטטים גרפים של ארבע פונקציות ריבועיות : = = 4 = = III II I 6 IV 5 4 דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל ה תאימו ייצוג אלגברי לפרבולה. ה סבירו כיצד התאמתם. 6 5 4 6 5 4 3 1 0.3 בשרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. = א. ש רטטו סקיצה של גרף הפונקציה. = 3 ים ב. מה שיעורי נקודת הקדקוד של הפונקציה ששרטטתם? ג. מהו ציר הסימטריה של הפונקציה ששרטטתם?.4 נתונות ארבע פונקציות ריבועיות : = = = = 4 = 4 א. איזו פונקציה מתארת את הפרבולה ה"מכווצת" ביותר? ב. איזו פונקציה מתארת את הפרבולה ה"רחבה" ביותר? יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 161
5. א. ש רטטו פרבולה המקיימת את התנאים האלה: - ציר הוא ציר הסימטריה שלה. - יש לה נקודת אפס אחת. ב. ר שמו דוגמה לייצוג אלגברי של פונקציה כזו. ג. ר שמו דוגמה נוספת לפונקציה ריבועית כזו. ד. כמה פרבולות כאלה יש? 6. א. ש רטטו פרבולה המקיימת את התנאים האלה: - ציר הוא ציר הסימטריה שלה. - יש לה שתי נקודות אפס. ב. ר שמו דוגמה לייצוג אלגברי של פונקציה כזו. ג. ר שמו דוגמה נוספת לפונקציה ריבועית כזו. ד. כמה פרבולות כאלה יש? 7. בכל סעיף נתונים ייצוגים אלגבריים של פרבולה וישר. ק בעו אם הפרבולה והישר נחתכים. אם כן, מ צאו את שיעורי נקודות החיתוך. אם לא, ה סבירו. = 4 = א. = 4 = 4 ב. ג. ד. 1. = 4 = 4. = 4 = 4 יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 16
שיעור 3. שיקוף בציר )המשך( בשרטוט סקיצה של גרף הפונקציה הריבועית. = ש ערו: כיצד ייראה גרף הפונקציה? = 3 ש רטטו סקיצה לפי השערתכם. נחקור פרבולות נוספות מהמשפחה.(a 0) = a 1. נתייחס לפונקציות במשימת הפתיחה. א. ה שלימו טבלה לפונקציה. = 3 1 0 1 = 3 6 5 4 ב. ס מנו את הנקודות במערכת הצירים וח בּרו לקבלת פרבולה. ג. ה שלימו תעודת זהות של הפונקציה ששרטטתם. ייצוג אלגברי של הפונקציה ציר הסימטריה שיעורי נקודת הקדקוד שיעורי נקודות החיתוך עם ציר ( = )0 שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ) = (0 התחום שבו הפונקציה עולה התחום שבו הפונקציה יורדת התחום שבו הפונקציה חיובית (0 > ) התחום שבו הפונקציה שלילית (0 < ) ת"ז 1 3 1 0 1 3 4 5 6 7 8 = 3 1 3 4 5 6 יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 163
. בשרטוט שלוש פרבולות : = 3 = 6 = 5 4 6 5 4 3 1 0 1 א. התאימו ייצוג אלגברי לכל פרבולה. 3 4 ב. איזו פונקציה מתארת את הפרבולה ה"מכווצת" ביותר? 5 ג. איזו פונקציה מתארת את הפרבולה ה"רחבה" ביותר? 6 7 III II I 8 חושבים על....3 נתייחס לפונקציות ממשימה. א. מהן התכונות המשותפות לכל הפונקציות האלה? ב. במה שונות הפונקציות זו מזו? ממה נובע השוני? דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל הכרנו פרבולות מהמשפחה.(a 0) = a אפשר לקבל פרבולות אלו על - ידי כיווץ או הרחבה של הפרבולות = או. = לכל הפרבולות מהמשפחה ציר הסימטריה הוא. = 0 שיעורי כל נקודות הקדקוד הם ).(0, 0 = 0.5 4 = 3 = 4 0 1 3 4 1 ים 3 = 0.5 = 3 אם a חיובי ),(a > 0 לפרבולה יש נקודת מינימום. הפרבולה יורדת בתחום, < 0 ועולה בתחום. > 0 הפונקציה חיובית בכל התחום פרט ל.0 - אם a שלילי ),(a < 0 לפרבולה יש נקודת מקסימום. הפרבולה עולה בתחום, < 0 ויורדת בתחום. > 0 הפונקציה שלילית בכל התחום פרט ל.0-164 4 = 0 0 יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות
= 1 1 =.4 ה שלימו תעודות זהות לפונקציות: = = ייצוג אלגברי של הפונקציה ת.ז. סקיצה ציר הסימטריה שיעורי נקודת הקדקוד סוג הקדקוד )מינימום/מקסימום( שיעורי נקודות החיתוך עם ציר ( = )0 שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ) = (0 התחום שבו הפונקציה עולה התחום שבו הפונקציה יורדת התחום שבו הפונקציה חיובית (0 > ) התחום שבו הפונקציה שלילית (0 < ) אוסף משימות 1. כּ תבו ליד כל ייצוג אלגברי של פונקציה את האות הרשומה על הגרף המתאים. איזה פרי קיבלתם? ייצוג אלגברי של הפונקציה האות פ ו = 1 = 4 = 1 ח ת = 4 יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 165
4 3 1 א. ש רטטו פרבולה המקיימת את התנאים הבאים:. קדקוד הפרבולה 4).(0, - הפרבולה חותכת את ציר בשתי נקודות: - 4 3 1 0 1 1 3 4 (, 0) (, 0) ב. האם קדקוד הפרבולה הוא מינימום או מקסימום? 3 4 5 6 ג. איזה מבין הייצוגים הבאים הוא הייצוג האלגברי של הפונקציה? ה סבירו. = + 4 = + 4 = 4 = 4 4 3 4 3 1 1 0 1 3 4 5 6 1 3 4 3. א. ש רטטו פרבולה המקיימת את התנאים הבאים: - קדקוד הפרבולה 4).(0, - הפרבולה חותכת את ציר בשתי נקודות: (, 0) (, 0) ב. האם קדקוד הפרבולה הוא מינימום או מקסימום? ג. איזה מבין הייצוגים הבאים הוא הייצוג האלגברי של הפונקציה? ה סבירו. = + 4 = + 4 = 4 = 4 4. בכל סעיף ק בעו אם הטענה נכונה. אם כן, נ מקו. אם לא, ת נו דוגמה נגדית. א. כל פרבולה שהקדקוד שלה הוא נקודת מינימום, חותכת את ציר. ב. כל פרבולה שהקדקוד שלה הוא נקודת מקסימום, חותכת את ציר. ג. כל פרבולה שהקדקוד שלה הוא מינימום בנקודה (,0), היא חיובית בכל התחום. ד. כל פרבולה שהקדקוד שלה הוא מקסימום בנקודה (,0), היא שלילית בכל התחום. 5. הקדקוד של פרבולה הוא בנקודה (8,0). הפרבולה חותכת את ציר בשתי נקודות: (0,4) ו- (0,4 ). איזה מבין הייצוגים הבאים הוא הייצוג האלגברי של הפונקציה? ה סבירו. = 4 8 1 = 8 1 = + 8 = 8 = 1 8 יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 166
שיעור 4. הזזה לאורך ציר I II ה"עכביש" שבשרטוט התחיל את טיולו בראשית הצירים ועלה לאורך ציר. "רגלי העכביש" מורכבות מהגרפים של הפונקציות: = + 3 = + 3 = + 3 = + 3 ה תאימו לכל פונקציה גרף. III IV נחקור פרבולות שהייצוג האלגברי שלהן הוא.(a 0) = a + k = 8 10 9 8 7 6 5 4 3 1 4 3 1 0 1 1 3 4 3 4 5 6 3 1. נתייחס לנתונים במשימת הפתיחה. א. ה תאימו ייצוג אלגברי לכל פרבולה. ה סבירו. ב. במה דומות ובמה שונות הפונקציות האלה?. נתונה הפרבולה 8. = א. ה שלימו טבלה לפונקציה. 3 1 0 1 ב. ס מנו את הנקודות במערכת הצירים וח ברו לקבלת פרבולה. ג. ה שלימו את תכונות הפונקציה. = 8 ייצוג אלגברי של הפונקציה ציר הסימטריה שיעורי נקודת הקדקוד סוג הקדקוד )מינימום/מקסימום( שיעורי נקודות החיתוך עם ציר ( = )0 שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ) = (0 התחום שבו הפונקציה עולה התחום שבו הפונקציה יורדת התחום שבו הפונקציה חיובית (0 > ) התחום שבו הפונקציה שלילית (0 < ) יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 167
אם מזיזים את הפרבולה (a 0) = a ב k - יחידות לאורך ציר, מקבלים פרבולות מהמשפחה. = a + k דוגמה : בשרטוט הפרבולה. = 8 אם מזיזים את הפרבולה, = 8 יחידות למטה לאורך ציר, מקבלים את הפרבולה. = 8 ציר הסימטריה הוא. = 0 קדקוד הפרבולה, נקודת מינימום.(0, 8), לפרבולה שתי נקודות אפס ) (, 0 ו.(, 0) - 6 5 4 6 5 4 3 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל.3 בשרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. = א. ש רטטו סקיצה של גרף הפונקציה. = + 4 ב. האם גרף הפונקציה ששרטטתם חותך את ציר? אם כן, בכמה נקודות? חושבים על... = 1 או ים.4 בשרטוט שתי פרבולות שהייצוג האלגברי שלהן מהצורה לכל פרבולה ר שמו : שיעורי נקודת הקדקוד. ציר הסימטריה. שיעורי נקודות האפס. ייצוג אלגברי מתאים (הוסיפו מספר מתאים).. = 1 + II I 3 1 0 1 3 4 פותרים משוואות.5 בכל סעיף ק בעו אם לפרבולה יש נקודות אפס. אם כן, מ צאו את שיעורי נקודות האפס. אם לא, ה סבירו. א = 3 1. 168 ב = 3 + 1. ג. = 3 + 1 ד. = 3 1 יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות
.6 לפניכם ייצוגים אלגבריים של פרבולות ושל ישרים. בכל סעיף ש רטטו סקיצה של שני הגרפים המתאימים. ק בעו אם הפרבולה והישר נחתכים בנקודה אחת, בשתי נקודות או אינם נחתכים. א = 3. ב = 3. =4 ג. = 3 + 4 =1. = 4 ד. = 3 + 4 =4. אוסף משימות.1 לפניכם גרפים של הפונקציות : = 4 + 1. = + 1 I א. ה תאימו ייצוג אלגברי לכל פרבולה. ב. ר שמו במה הפונקציות דומות זו לזו ובמה הן שונות. ייצוג אלגברי של הפונקציה = 4 + 1 = 4 + 1 שיעורי נקודת הקדקוד II יש או אין נקודות אפס סוג הקדקוד מינימום / מקסימום ים = 4 1 דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל. ה שלימו. 3 1 0 1 3 = 4 1.3 לפניכם גרפים של הפונקציות : II = + 4 = + 4 = + 4 = + 4 I א. ה תאימו ייצוג אלגברי לכל פרבולה. ב. ר שמו את שיעורי נקודת הקדקוד של כל פרבולה. III IV יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 169
.4 לפניכם גרפים של הפונקציות : = 6 = 6 = 6 = 6 I II א. ה תאימו ייצוג אלגברי לכל פרבולה. ב. ר שמו את שיעורי נקודת הקדקוד של כל פרבולה. IV.5 ה שלימו תעודות זהות של הפונקציות = + 1 : ייצוג אלגברי של הפונקציה = + 1 = + 1 = + 1 III ת. ז. סקיצה דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל ציר הסימטריה שיעורי נקודת הקדקוד סוג הקדקוד (מינימום / מקסימום) שיעורי נקודות החיתוך עם ציר ( = 0) שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ( = 0) ים התחום שבו הפונקציה עולה התחום שבו הפונקציה יורדת התחום שבו הפונקציה חיובית ) ( > 0 התחום שבו הפונקציה שלילית ) ( < 0.6 בכל סעיף ק בעו אם לפרבולה יש נקודות אפס. אם כן, מ צאו את שיעורי נקודות האפס. אם לא, ה סבירו. א = 8. 170 ב = + 4. ג. = 3 + 7 ד. = 3 + 3 יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות
7. בכל סעיף ק בעו אם לפרבולה יש נקודות אפס. אם כן, מ צאו את שיעורי נקודות האפס. אם לא, ה סבירו. = 4 + 100 = 4 + 100 = + 36 א. 6 = 6 ב. ג. ד. 8. לפניכם ייצוגים אלגבריים של פרבולות ושל ישרים. בכל סעיף ש רטטו סקיצה של שני הגרפים המתאימים. ק בעו אם הפרבולה והישר נחתכים בנקודה אחת, בשתי נקודות או אינם נחתכים. = 5 = + 9 = 0 א. 9 = ג. = 9 = + 9 = 1 ב. = 3 + 4 ד. א. 9. לפניכם ייצוגים אלגבריים של פרבולות ושל ישרים. בכל סעיף ש רטטו סקיצה של שני הגרפים המתאימים. ק בעו אם הפרבולה והישר נחתכים בנקודה אחת, בשתי נקודות או אינם נחתכים. = 4 = 9 1 = 4 1 = + 4 ג. = 0 = 1 = 1 4 1 = + 1 ב. א. ד. 10. בכל סעיף ה קיפו את האות בטור המתאים. מה קיבלתם? נכון ק לא נכון א לפונקציה = + 5 יש נקודת מקסימום ב. לפונקציה = + 1 יש נקודת מינימום פ ד ג. לפונקציה = 3 + 3 אין נקודות אפס ק ר ד. לפונקציה 3 = 3 יש שתי נקודות אפס ו ס ה. לפונקציה = + 3 ולישר = 4 אין נקודות משותפות ק ד 11. בכל סעיף ק בעו אם הפרבולות נחתכות בנקודה אחת, בשתי נקודות או אם הן אינן נחתכות. = 3 + = + 3 = 5 א. = ג. = + 1 = 4 + 4 = 3 + 3 ב. = 3 + 1 ד. יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 171
שיעור 5. משימות נוספות על הלוח רשומות חמש פונקציות ריבועיות. = ( 1) = + 1 = + 1 = ( + 1) = 4 + 1 שחר אמר: לכל הפונקציות קדקוד מינימום בנקודה (1 0)., האם שחר צודק? נפתור תרגילים עם הפרבולות שהכרנו ונזהה פרבולות לפי תכונות. 1. נתייחס לנתונים במשימת הפתיחה. א. ה תאימו ייצוג אלגברי לפרבולה. = + 1 = + 1 = ( 1) = 4 + 1 = ( + 1) ב. האם שחר צודק? ה סבירו. ג. מהו ציר הסימטריה של כל פרבולה? יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 17
. פ שטו וק בעו אם מתקבלת פונקציה ריבועית. אם כן, ר שמו את שיעורי נקודת הקדקוד וק בעו אם הנקודה היא מינימום או מקסימום. דוגמאות 4 ) = ( + + 4 + 4 4 +8 = +8 ) = ( + 3)( 1 + 3 = + 4 פונקציה קווית. (אינה פונקציה ריבועית). = ( + 3) + 5 א = ( + 8) (4 + 1). ד. ב = ( + 3) 6 9. ה = ( + 1)( + ) 3. ג. = = + 5 פונקציה ריבועית. הקדקוד מינימום בנקודה ).(0, 4 = (4 ) 4 + 1 ו. = ( + ) + ( + 3) אם פתרתם נכון, קיבלתם ארבע פונקציות ריבועיות מתאימות. לשתיים מהפונקציות קדקוד מינימום, ולשתיים האחרות קדקוד מקסימום. דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל בעקבות....3 ש רטטו סקיצה של פרבולה שהקדקוד שלה בנקודה A וחותכת את ציר בשתי נקודות. א. האם קדקוד הפרבולה הוא נקודת מינימום או נקודת מקסימום? ה סבירו. A ב. בכמה פרבולות שונות הקדקוד עשוי להיות בנקודה?A ה סבירו. ים המתמטיקאי והאסטרונום היווני אפולוניוס מפרגה שחי בין 6 ל 190 - לפנה"ס, חקר את התכונות של הצורות המתקבלות מחתכי חרוט. תוצאות חקירתו פורסמו בספר של שמונה חלקים ששמו " "( "Conics חתכי החרוט"). רק שבעה מתוך שמונת החלקים של הספר נשתמרו עד היום. אם חותכים חרוט, הצורה הגאומטרית של החתך תלויה בזווית שבה נעשה החיתוך. פר בול ה וההיפ רבול ה. באיור אפשר לראות כיצד מתקבלים : המעגל, האליפסה, ה הק ו הי וצר של הח יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות רוט מעגל חיתוך מקביל למעגל הבסיס אליפסה חיתוך לא מקביל לבסיס, בזווית קטנה מנטיית הקו היוצר של החרוט פר בול ה חיתוך מקביל לקו היוצר של החרוט היפ רבול ה חיתוך בזווית גדולה מנטיית הקו היוצר 173
אוסף משימות.1 פּ שטו וש רטטו באותה מערכת צירים סקיצות של הפרבולות. א = ( + 3) 6 5. ב = ( 6) + 6 +. ג = ( ) + 4 6.. בכל משבצת בּ חרו ייצוג אלגברי של פונקציה ריבועית מתאימה. ה קיפו את האות שלידה. ר שמו את האותיות שהקפתם (לפי סדר המשבצות מא - ד). מה קיבלתם? ג. קדקוד מינימום בנקודה ) (0, א. קדקוד מינימום בנקודה ) (0, = א = י = ש = + נ דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל = נ = + ו ד. קדקוד מקסימום בנקודה ) (0, ב. קדקוד מקסימום בנקודה ) (0, = פ = נ ס = כ = נ = + ז = + ים.3 פ שטו, ר שמו את שיעורי נקודת הקדקוד וק בעו אם הקדקוד הוא מינימום או מקסימום. א = ( + 3) + ( 3). ג. ) = ( + 4) ( + 4 ב = (5 ) 5 + 1. ד. = ( + )( + 3) 5 אם פתרתם נכון, לשתיים מהפונקציות קדקוד מינימום ולשתיים האחרות קדקוד מקסימום. הקדקוד של שתיים מהפונקציות הוא ).(0, 0 174 יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות
4. בכל סעיף ה קיפו ייצוג אלגברי של פונקציה ריבועית שמתאים לתכונה. = + 5 = + 1 = + 5 א. עד 0 הפונקציה יורדת ומ- 0 והלאה היא עולה ה ק נ = 8 = 8 = + 8 ב. עד 0 הפונקציה עולה ומ- 0 והלאה היא יורדת י ו ס = + 10 = 5 = + 5 ג. הפונקציה חיובית תמיד ו ר מ = = 5 = + 10 ד. הפונקציה שלילית תמיד י צ פ = 6 ה. לפונקציה שתי נקודות חיתוך עם ציר = א = 4 ק ראו מלמטה למעלה את האותיות שליד הפונקציות שהקפתם. מה קיבלתם? 5. ה תאימו ייצוג אלגברי לפרבולה. ר מ = = + = יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 175
.6 ה תאימו ייצוג אלגברי לפרבולה. = + 3 = 3 = 3 = 3 דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל.7 לכל סעיף ר שמו ייצוג אלגברי של פונקציה ריבועית מתאימה. א. קדקוד הפרבולה הוא מינימום בנקודה ).(0, 1 ב. קדקוד הפרבולה הוא מקסימום בנקודה ).(0,1 ג. קדקוד הפרבולה הוא בנקודה ),(0, ולפרבולה יש שתי נקודות חיתוך עם ציר. ד. קדקוד הפרבולה הוא בנקודה ),(0, ולפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר. ים.8 לפניכם שישה ייצוגים אלגבריים של פונקציות ריבועיות..I = 1 = + 1.III = 3 1.V II = + 1 = 3 1.IV = + 1.VI א. לאילו מהפונקציות יש אותה נקודת קדקוד? מה השיעורים שלה? ב. באילו מהפונקציות הקדקוד הוא נקודת מינימום? ג. באילו מהפונקציות הקדקוד הוא נקודת מקסימום? 176 יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות
שומרים על כושר יחס 1. היחס בין מספר הבנים למספר הבנות בכיתה ט הוא 5:3 )על כל 5 בנים יש 3 בנות(. א. האם ייתכן שבכיתה ט יש 0 בנים ו- 1 בנות? ה סבירו. ב. האם ייתכן שבכיתה ט יש 5 בנים ו- 30 בנות? ה סבירו. ג. אם מספר הבנים בכיתה ט הוא 15, מהו מספר הבנות? ד. אם מספר הבנות בכיתה ט הוא 15, מהו מספר הבנים? ה. אם בכיתה ט יש 16 ילדים, כמה מהם בנים וכמה מהם בנות?. מ צאו בין היחסים הבאים, זוגות שבהם היחס שווה ל- 3:4 ה. 15:1 ג. 1:16 א. 40:30 ב. 30:40 ד. ו. 6:8 33:44 3. ה שלימו את הטבלאות לפי היחס, וב טאו בעזרת. א. היחס 4:3 8 1 36 300 ב. 10 היחס 1:7 35 140 4. בכד 16 כדורים שחורים ו- 1 כדורים לבנים. ג. היחס :3 6 30 60 10 א. מה היחס בין מספר הכדורים השחורים למספר כדורים הלבנים בכד? ב. בוחרים כדור בלי להסתכל. מה ההסתברות שבוחרים כדור לבן? מה ההסתברות שבוחרים כדור שחור? 5. היחס בין הגדלים של זוויות המשולש הוא 1::3. ח שבו את הגודל של כל זווית במשולש. 6. נתון משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. א. מה הגודל של זווית הראש? מה הגודל של זוויות הבסיס? ב. מהו היחס בין הגודל של זווית הראש לגודל של זווית הבסיס? יחידה - 8 שיקוף, הרחבה וכיווץ של פרבולות 177