2 אגודת הסטודנטים, בן-גוריון
3 פתרון מבחן מועד ב', חדו"א 2 להנדסת חשמל, סמסטר ב', תשע"ו שאלה : א הטור המגדיר את fx הוא טור טלסקופי. הסכומים החלקיים של טור זה הם S n x n k kxe kx k xe k x nxe nx x fx lim n S nx lim n nxe nx lim y ye y, y מכאן אנו מקבלים ועל כן,fx x. מכאן שפונקצית הגבול רציפה בקטע ]., ב נבדוק התכנסות במ"ש. ראשית נשים לב לכך שמתקיים fx S n x nxe nx xne nx S n x, x לכן נמצא את המקסימום של הפונקציה S. n x nxe nx מתקיים nxe nx ne nx n 2 xe nx ne nx nx x /n S n /n e ובנוסף לבסוף, כיון שעבור x מתקיים n S ועבור x מתקיים n S n ne נקבל ש sup fx S n x max S nx e x,] x,] ולכן ההתכנסות אינה במ"ש. שאלה 2: א נחשב את הגבול y.lim x,y, fx, לשם כך נרשום את y fx, בקואורדינטות פולאריות fr, θ r3 cos 3 θ r sin θ r cos θ r 3 sin 3 θ r 2a r 2a cos 3 θ sin θ cos θ sin 3 θ r 2a sin θ cos θ cos 2 θ sin 2 θ 2 r 2a sin 2θ cos 2θ r 2a sin θ מכאן נקבל ש:. עבור < 2 a: במקרה זה מתקיים fr, θ r 2a sin θ r 2a r + lim fx, y x,y, ומכאן שבמקרה זה אגודת הסטודנטים, בן גוריון
.2 עבור 2 :a תהי θ זווית כך ש > sinθ ונגדיר מסלול xt t cos θ, yt t sin θ, t + lim fxt, yt t + sinθ lim t t 2a + { sinθ, a 2, a > 2 במקרה זה מתקיים ומכאן שבמקרה זה y fx, אינה רציפה ב, y.x, ב נחשב את הנגזרות המעורבות הנדרשות. ראשית, עבור, y,x מתקיים f 3x 2 y y 3 x 2 + y 2 a x 3 y xy 3 ax 2 + y 2 a 2x x, y x x 2 + y 2 2a 3x 2 y y 3 x 2 + y 2 2axx 3 y xy 3 x 2 + y 2 a+ 2 f, yx y 2 f, xy x ומהסימטריה של y fx, או מחישוב ישיר נקבל גם f 3y 2 x x 3 x 2 + y 2 2ayy 3 x yx 3 x, y y x 2 + y 2 a+ f f + x, f,, lim lim x x x x x f f, + y f,, lim lim y y y x y בנוסף, על פי הגדרת הנגזרת מתקיים עתה נוכל לחשב, ע"י שימוש בהגדרת הנגזרת, את הנגזרות המעורבות בראשית הצירים ] f, lim x y f x f, + y x, y lim y 3 2a ] lim y 2 2a ] y y y ] f, lim y x f y f + x, y, x lim x 3 2a ] lim x 2 2a ] x x x, a <, a no limit, a > בצורה דומה, a <, a no limit, a > מכאן שהנגזרות קיימות עבור a ושוות עבור < a. 2 אגודת הסטודנטים, בן-גוריון
5 שאלה 3: א נמצא נקודות קריטיות. כיון ש y fx, היא פולינום הנקודות הקריטיות היחידות מגיעות מהתאפסות הגרדיאנט. המשוואות הן f xx, y : I 3x 2 5y, f yx, y : II 3y 2 5x פתרון מיידי אחד של המשוואות הוא, y,x. בנוסף, אם x אזי y. מכאן נקבל x, y, x I y II : 3x 3 3y 3 x y x, 3x 2 5x x3x 5 x 5 x, y 5, 5 נציב חזרה ב I ונקבל על כן הנקודות הקריטיות הן, y,x. y,5 5,x, נותר לנו לסווג את הנקודות. מתקיים f xxx, y 6x, f xyx, y 5, f yyx, y 6y x, y f xx f xy f yx f yy f xxf yy f xy 2 36xy 225 ולכן נציב את הנקודות הקריטיות. עבור, y, x מתקיים < 225, ולכן נקודה זו היא נקודת f אוכף. עבור 5 5, y x, מתקיים > 675 36 5 5 225 5 5, ובנוסף > 3 6 5 5 xx5, ולכן נקודה זו היא נקודת מינימום מקומי. ב על פי ההנחיה, נעשה שימוש בשיטת כופלי לגראנ'ז. ראשית נבנה את פונקצית העזר φx, y,, λ x 2 y 2 + λ2x y 3 φ x : I 2x + 2λ φ y : II 2y λ φ λ : III 2x y 3 המשוואות המתקבלות הן: נפתור את מערכת המשוואות הזו. נציב ב III ונקבל 2y I + II : x 2 22y y 3 y x 2 x, y 2, הנקודה,2 x, y היא הנקודה החשודה היחידה שמצאנו. את סיווג הנקודה שמצאנו ניתן לבצע בשתי דרכים: y 2x 3 gx fx, yx x 2 2x 3 2 דרך א': ממשוואת האילוץ נקבל נציב זאת ב y fx, ונקבל 3 אגודת הסטודנטים, בן גוריון
6 נבדוק את סימן הנגזרת השניה בנקודה 2 x. מתקיים g 2 6 < ולכן הנקודה היא נקודת מקסימום. דרך ב': נפעיל את הפרוצדורה לסיווג הנקודה החשודה תחת האילוץ. נחשב את הדיפרנציאל השני של פונקצית העזר y ו x לפי φx, y, λ d 2 φx, y, λ φ xxx, y, λ dx 2 +2φ xyx, y, λ dx dy+φ yyx, y, λ dy 2 2dx 2 2dy 2 2x y 3 2dx dy עתה נמצא את הדיפרנציאל של פונקצית האילוץ נציב את הקשר בין dx ו dy בדיפרנציאל השני של φ ונקבל d 2 φ 2dx 2 2dy 2 2dx 2 22dx 2 6dx 2 < מכאן שהנקודה 2, x, y היא נקודת מקסימום מקומית. x + ydx x ydy x 2 + y 2 שאלה : א יש לחשב את האינטגרל כאשר המסלול הוא אליפסה : x 2 9 + y2 והוא מכוון בכיוון החיובי. כדי לחשב את האינטגרל נעשה שימוש במשפט גרין. נסמן P x, y x + y y x x 2, Qx, y + y2 x 2 + y 2 מתקיים Q x x2 + y 2 2xy x x 2 + y 2 2 x2 2xy y 2 x 2 + y 2 2, P y x2 + y 2 2yx + y x 2 + y 2 2 x2 2xy y 2 x 2 + y 2 2 ולכן Q x P y, x, y, כיון שהשדה אינו מוגדר ובוודאי שאינו גזיר בראשית הצירים, נקיף את הראשית במעגל קטן ברדיוס ɛ המכוון בכיוון החיובי. נסמן מעגל זה ב. ɛ ממשפט גרין נקבל ש x + ydx x ydy x + ydx x ydy Q x 2 + y 2 + x 2 + y 2 x P dx dy y ɛ כאשר התחום D מוגדר ע"י } D {x, y R 2 : ɛ x 2 + y 2 and x2 9 + y2 D אגודת הסטודנטים, בן-גוריון
7 x + ydx x ydy x 2 + y 2 ɛ x + ydx x ydy x 2 + y 2 על כן. לשם כך נבצע פרמטריזציה של ɛ ע"י ɛ x+ydx x ydy עתה נבצע את האינטגרל x 2 y+ 2 rθ ɛ cos θ î + ɛ sin θ ĵ, θ 2π d r θ ɛ sin θ î + ɛ cos θ ĵ, dθ θ 2π ɛ x + ydx x ydy x 2 + y 2 F dr ɛ ɛ cos θ + ɛ sin θ î + ɛ 2 אם נסמן F x, y P x, yî + Qx, yĵ נקבל ש ɛ sin θ ɛ cos θ ɛ 2 ĵ ɛ sin θ î + ɛ cos θ ĵ dθ sin θcos θ + sin θ + cos θsin θ cos θ dθ dθ 2π ב ראשית נבצע פרמטריזציה של חצי הספרה העליון. אם z אזי מתקיים x 2 + y 2 + z 2 6 z 6 x 2 y 2 rx, y xî + yĵ + 6 x 2 y 2k מכאן שהפרמטריזציה היא ואלמנט השטח על פני הספרה הוא ds z x 2 + 2 2 z 2 x y y + dx dy + + dx dy 6 x2 y 2 6 x2 y 2 dx dy 6 x2 y2 נסמן ב S חלק הספרה שאת שטחו יש למצוא וב D את ההיטל של S על מישור.XY אם נסמן את השטח המבוקש ב A S אזי מתקיים A S ds dx dy 6 x2 y2 S D כדי לבצע את האינטגרל נעבור לקואורדינטות פולאריות. ראשית נשים לב לכך שמתקיים x 2 + y 2 y x 2 + y 2 y x 2 + y 2 y + x 2 + y 2 2 כך שהמסילה x 2 + y 2 y היא מעגל ברדיוס 2 R שמרכזו בנקודה 2, y.x, בקואורדינטות פולאריות x r cos θ, y r sin θ 5 אגודת הסטודנטים, בן גוריון
8 מתקיים x 2 + y 2 y r 2 r sin θ rθ sin θ, θ π עבור חצי המעגל המצוי בתחום x מתקיים rθ sin θ, θ π 2 עתה נוכל לבצע את האינטגרל A S D π/2 6 x2 y dx dy dθ 2 2 π/2 sin θ dθ 2 6 r 2 r sin θ r 6 π/2 π/2 dr r 2 dθ 6 r 2 π/2 dθ sin θ dr ] 6 6 sin 2 θ 2r 6 r 2 dθ cos θ 6 θ sin θ θπ/2 π ] θ 6 2 שאלה 5: א נעשה שימוש במשפט גאוס. נסגור את החרוט מלמטה ע"י הדיסקה ונכוון את S כלפי מעלה. נסמן } 2 S { x, y R 2 : x 2 + y F x, y, z xz 2 + y 2 î + yx 2 + z 2 ĵ + zy 2 + x 2 k S על פי משפט גאוס מתקיים F ds + F ds F dv S כאשר הוא הנפח הכלוא ע"י S. S מתקיים F z 2 + x 2 + y 2 F dv x 2 + y 2 + z 2 dv ולכן נשים לב לכך שעל פני החרוט מתקיים F dv x 2 + y 2 + z 2 dv dθ 2π dθ dr dr r r 2 z + 3 ] z r z3 כדי לבצע את האינטגרל הנפחי נעשה שימוש בקואורדינטות גליליות..z x 2 + y 2 מתקיים z dr r 2π r 3 r + ] 3 r 3r + 3r2 r 3 dz r r 2 + z 2 dr r r 2 r + 3 ] r3 2π 2π 5 r5 + 2 r 3 r3 + 6 r2 ] r r dr 3 r + 2r 3 r 2 + 3 ] r 2π 5 + 2 3 + ] 2π 6 5 6 אגודת הסטודנטים, בן-גוריון
9 עתה נחשב את האינטגרל על S. מתקיים F ds S S y 2 î + yx 2 ĵ + x 2k ] kdxdy x 2 dxdy S 2π 2π dθ dr r r 2 cos 2 θ 2π dθ cos 2 θ 8 dθ + cos 2θ π S F ds F dv F ds S F dv + F 2π ds 5 + π 23π 6 S ולבסוף ב עקומת החיתוך בין הגליל x2 + y 2 a 2 לבין המישור z,a >, x a + היא אליפסה. נסמן ב S x a התחום ע"י ונעשה שימוש במשפט סטוקס. נסמן את חלק המישור z + F x, y, z y zî + x zĵ + x yk F dr F ds לפי משפט סטוקס מתקיים S F î ĵ k x y z y z x z x y + î + ĵ + k 2ĵ נחשב בנוסף ds Nds כאשר N הוא וקטור יחידה נורמלי למישור z a >, x a + בכיוון החיובי ביחס לציר.X הוקטור הנורמלי N מתקבל ע"י N + ĵ + k a + aî 2 F ds F Nds 2ĵ a 2 + + ĵ + k aî אך מכאן אנו מקבלים ש ds y zdx + x zdy + x ydz F dr ולכן נקבל מיידית ש 7 אגודת הסטודנטים, בן גוריון