תורת הקבוצות מושגים בסיסיים מבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות חוברת תרגילים כתוב באופן מפורש את הקבוצות הבאות: 5 2x + 3< היא קבוצת המספרים השלמים המקיימים : 7 B היא קבוצת האותיות הקודמות לאות f באלף-בית הלטיני. 3 2 ג היא קבוצת הפתרונות הממשיים למשוואה: = 0 x x + 3x + 2 y + 3y+ 1= ד D היא קבוצת הפתרונות השלמים למשוואה : 0 תהי {10,...,2,3,1} =. רשום באופן מפורש את הקבוצות הבאות: {, y 1 } {, y 1 } { x y x y 10} B = x x x+ y< 4 = x x x+ y < 4 ג ( + = D רשום את הקבוצות הבאות באמצעות תכונה מאפיינת. E היא קבוצת המספרים השלמים הזוגיים השליליים. F היא קבוצת הסטודנטים הלומדים במכללה בשנה ראשונה. זהה את הקבוצות הבאות: = x x = 2k + 1 { k } B = { x k x= 2k+ 1} = { x} 2 { x ( 2 ( y x x y } ג ( x x ד < = D.1.2.3.4 3 ו {3} ז {3} ח ( {{2,3} } ט (. מהם הפסוקים האמיתיים? תהי } 2,{2,3},{2} { 1, = {2,3} 3} {2, {2} ג ( {2} ד ( 2 ה.5 בכל אחד מהזוגות הבאים קבע האם מתקיים יחס שייכות ( (, יחס הכלה ( (, שניהם או אף אחד מהם. a ; a, ד a ; { } א ( {{ }} { } ;, { } {{ a } ; a, {{ a } { a} ; { a} { a} ; a, ג a} { ה ו. B, B הן קבוצות שמקיימות, B,. a, b B, c, d, e B, נניח כי f אילו מהפסוקים הבאים אמיתיים בהכרח? d B ד a e ה b f ו c ג.6.7
= {1, 2,...,9}, נתונות הקבוצות : 4,6,8} {2, = B = {1,3,5,7,9}, D = {3,4,5}, E = {3,5} X המקיימת את התנאי או הסבירו למהק בוצה כזו אינה עבור כל אחד מהמקרים הבאים מצא קבוצה קיימת : ( X D ( B X ג ( X ( X ( X ( X ד אין אף איבר משותף ל X ול- B ab, ( a b [ a, [ b,,(, a] (, ש [b (, b], [ a, ab, אז אף אחת מהקבוצות ((, b] [ a,, ( a, [ וגם b] : ], cd,[ ab, ] [ והוכח אותו. והוכח אותו. הוכח : מצא תנאי הכרחי ומספיק לכך : ג ד הוכח שאם (כלומר: מצא תנאי הכרחי ומספיק לכך ש אינה חלקית לרעותה..8.9 10. הוכח או הפרך את הטענות הבאות: a = c b= d a, a, b = c, c, d ( ( ( ( { {, } {, } a = c b= d a b = c d = { 1, } ג ( 3}} 1,{2, { = ד (.11 רשום את ( Ρ כאשר : }} 1,{ { = = {{1}, } ( ( ( ( ( ול- Ρ Ρ( ( ( Ρ Ρ Ρ ( ( Ρ ΡΡ, ΡΡ, Ρ ( רשום את בהינתן קבוצה, הוכח כי ל- יש לפחות שני איברים משותפים. ג הבא דוגמא לקבוצה כך שישנם בדיוק שני איברים משותפים, ודוגמא בה יש יותר משניים..12 13. הוכח או הפרך כל אחד מהסעיפים הבאים:, מתקיים : לכל שתי קבוצות, B ( B ( B Ρ( Ρ( ( Ρ( Ρ( B B ( ( B Ρ( Ρ( B ג ( ( ד B ( Ρ( Ρ( B (. Ρ ( 14. תהי קבוצה סופית. הוכח כי לא יכול להתקיים :
.15 מצא את: B, B, B, B עבור: B = {1,3,5,7,9} ; = {1,2,3,5,7,8,10} odd { 2 1 } ; even { 2 k } { x x } [ ] { x x } B = = k k = = k B = (3,5 = 3 < < 5 ; = 1, 4 = 1 4 ג, B, אשר מקיימות את השוויון, ושלוש אשר. ( B = ( B 16. נתון השוויון : העזר בדיאגרמות וון על מנת למצוא שלוש קבוצות, לא מקיימות אותו. 17. בכל אחד מהזוגות הבאים קבע האם מתקיים תמיד שוויון, ואם לא, האם מתקיימת תמיד הכלה בכיוון מסוים. הסבר באמצעות דיאגרמות וון. ( B ( B ( B ( B ( ( B ( B ג ( ( B ( B ד ( ( B ( B ה ( ( B ( B ו ( ( בדיוק:. 18 מצא קבוצה בת שלושה איברים כך שב- Ρ שני איברים איבר אחד ג שלושה איברים
19. הוכח: ( B = ( B B= B ( B = ( B ( ג ד ( B ( B =. Ρ ( B =Ρ( Ρ( B (, הוכח כי לכל שתי קבוצות B, כך ש : מצא קבוצות B מתקיים:, Ρ B =Ρ Ρ B והוכח את התנאי. Ρ( B Ρ( Ρ( B Ρ( B Ρ( Ρ( B ( ( : (i (ii מצא תנאי הכרחי ומספיק עבורו.20 ג 21. הוכח או הפרך: = B = B = B = B = B = B ג ( = B B ד ( (
(( B B ( B ( ( B = B ( B = ( B = ( B = = = 22. הוכח: ( ג ( ( חשב את: 1 1,1+ 0,1 1 (i 0 + 1 2 2 2 1,1 + n (ii 0 2 n n= 1,1 + n (iii 0 2 n n= x ( 1, x [ 1, x] (iv x ( 1, ( 1, 23. חשב את : [ x, 1] ([ x, 1] [ 1, x] (v (vi. Ρ ( כתוב באופן מפורש את הקבוצה:. = {1, 2}. 24 ( B ( D = ( ( B D. ( B = ( U ( U B הוכח : הוכח: (כאשר U הוא ה"עולם" המכיל את ואת B וביחס אליו נקבע המשלים B D = B הפרך : D ( ( ( (.25 ג הוכח: ( = B ( = B B (( B = ( = ( = B ( B = B ( ( B B = ( B B B ( ( ((( ( ( ג ((( ( = ( ( B ( = (( ( B = ד ( (( = = ( B = = ( = B= (( B ( B = ה (.26 27. הצרינו את הטענות הבאות תוך שימוש אך ורק בסימנים הבאים: כמתים:, קשרים:,,, סימני משתנה: x סימני קבוצות:,, BD, סימנים נוספים:
הקבוצות ו B שוות. D או B B D ג D B D ד B ה = B ו (