פרק אינטגרל כפול לכן לפי משפט 55 )ראו גם את ההערה( שאלות :5 d cos( ) d [ ] [] שאלות עם פתרון שאלה 5 חשבו: פתרון 8 הפונקציה ) f ( ) cos( מתקיים: רציפה במלבן d cos( ) d d cos( ) d עדיף לחשב את האינטגרל השני: sin( ) cos( ) d cos( ) d sin sin sin d cos( ) d sin d cos cos 5 מכאן שאלה חשבו: כאשר קבוצה חסומה ע"י הקווים: 8 פתרון קבוצה חסומה ע"י הטרפז ראו את האיור: איור 5
הקבוצה היא פשוטה משני הסוגים )ראו את הגדרה 55( אך האינטגרציה לפי סוג II היא קלה יותר: d d tan d tan tan d cos cos שאלה 5 d d d נתון סכום אינטגרלים חוזרים: d החליפו את סדר האינטגרציה וחשבו את הסכום פתרון עבור האינטגרל הראשון תחום האינטגרציה חסום ע"י הקווים: אם ורק אם נפשט את המשוואה האחרונה: בקבוצה הזאת עבור האינטגרל השני תחום האינטגרציה חסום ע"י הקווים: 8 נפשט את המשוואה השנייה: בקבוצה הזאת אם ורק אם נאחד את שתי הקבוצות ונקבל שעבור סכום האינטגרלים תחום האינטגרציה חסום ע"י הקווים: ראו את האיור: איור 57 נחתכות בנקודה ( ( לכן תחום האינטגרציה עבור סכום {( ) } הפרבולות: האינטגרלים הוא מכאן את סכום האינטגרלים ניתן לרשום דרך אינטגרל אחד:
d d d d d d d ( ) d d ( ) d 55 נחשב את האינטגרל לפי המשתנה : האינטגרציה לפי המשתנה מניבה את התוצאה: שאלה 54 חשבו את נפח הגוף החסום ע"י המשטחים עם המשוואות: z )4 z ) z ) ) פתרון אחד מיישומי האינטגרל הכפול הוא חישוב נפח )ראו את הסעיף "יישומים של אינטגרל כפול"( (z ) עקרונית אין שוני בין מקרה זה בשאלה זו ניתן למשתנה תפקיד של פונקציה של משתנים : z 8 למקרה בו z הוא פונקציה של משתנים נראה כי הגוף מתאים לתבנית: G {( z) ( z) ( z) ( z)} ומכאן את הנפח ניתן לחשב באמצעות הנוסחה: V ( G) ( ( z) ( z)) ddz שני המשטחים: מספר ו- 4 מורכבים מהישרים המקבילים לציר ה- מפני שבמשוואותיהם לא נוכח משתנה z z את הקווים z כדי לדמיין את המשטחים שרטטו במישור ראו את האיור: איור 58 4
העבירו ישר המקביל לציר ה- דרך כל נקודה של העקומים שני המשטחים חוסמים את חלק המרחב שאינו חסום לאורך ציר ה- ראו את האיור: איור 59 המשטחים מספר חוסמים את הגוף לאורך ציר ה- ניתן לראות את הגוף ב- Chapter 5 File 4dpg Chapter 5 C מכאן ניתן לרשום את הגוף בצורה הבאה: z} G {( z) ( z) כאשר הקבוצה נמצאת במישור z וחסומה ע"י הפרבולה והישר ראו את האיור 58 מכאן V ( G) ( z ) ddz () לכן ( 7) z V ( G) d ( z ) dz z z d הישר והפרבולה נחתכים בנקודות: ( ) () 544 ( ) ( ) ( ) ( ) d 5 4 שאלה 55 מצאו את שטח תחום החסום ע"י העקומים: פתרון נשרטט את סקיצת התחום התחום נמצא בין שני הישרים ושני המעגלים נפתח את משוואות המעגלים: ( ) 4 ( ) 4 8 5
המעגלים מוזזים לאורך ציר ה- וסקיצת התחום מקבלת את הצורה הבאה ראו את האיור: איור 5 )S חישוב האינטגרל באמצעות אינטגרלים חוזרים כרוך בקשיים רבים ניתן לעקוף את ) כידוע הקשיים ע"י מעבר לקואורדינאטות קוטביות התחום מקיים את תנאי המשפט 59: {( ) ( r cos r sin ) r ( ) r r ( )} זווית היא זווית השיפוע של ישר: ז"א tan ו- ו- tan ז"א זווית היא זווית השיפוע של ישר: ( r אינן קבועות כי מרכזי המעגלים אינם נמצאים בראשית כדי למצוא את הנוסחאות פונקציות ) ( r 4 ( המגדירות את הפונקציות נחליף במשוואות באמצעות קואורדינאטות קוטביות: r r sin r ( ) sin קואורדינאטות קרטזיות r r r 4 4 sin ( ) 4sin 4sin 4sin sin r rdr sin 4sin sin sin 4sin sin sin 4sin S( ) d מכאן rdr d rdr sin d ( cos ) d sin נסיים את החישובים:
שאלה מצאו את מסת C 5 תחום מישורי ( ) 4 9 4 f ( ) עשוי מחומר כך שצפיפות החומר המישורית מוגדרת ע"י הפונקציה 7 התחום 8 פתרון ניתן לחשב את מסת התחום באמצעות אינטגרל כפול: m( ) ( 7) br sin במקרה לחישוב האינטגרל ניעזר בקואורדינאטות קוטביות מוכללות: ar cos ה T( r ) (r cos r העתקה שייכת למחלקה הנתון: b a נתבונן בהעתקה ) sin נפעיל את ההעתקה על מלבן R r בכל G {( r ) r } J( T r ) r לפי משפט 57 מתקיים: תמונת המלבן היא התחום הנתון יעקוביאן ההעתקה - ( ) ( 7) ( cos 7) ( cos 7 ) m r rddr d r r dr G (r cos 7 r) dr r cos 5r 7 cos 5 m( ) 7cos 5 d 5 כאשר קבוצה נמצאת ברביע הראשון וחסומה ע"י הקווים עם המשוואות: 9 נחשב את האינטגרל: 57 ( ) מכאן: שאלה חשבו 5 8 פתרון הקבוצה היא פשוטה משני הסוגים אך האינטגרציה הנשנית בה כרוכה בקשיים טכניים ניתן לראות את הקבוצה ב- Chapter 5 File 5dpg Chapter 5 C v ההחלפה הופכת את תחום האינטגרציה למלבן: לכן ניעזר בהחלפת המשתנים: u G [] [59] נחשב את היעקוביאן ) : J( T 7
u u J T v v ( ) ( ) היעקוביאן שונה מ- בקבוצה לכן בהתאם למשפט 45 מתקיים: J( T u v) J( T ) ( ) 9 5 לפי משפט 57 מקבלים: ( ) u(( ( u v)) ( u v) ) dudv (( ( u v)) ( u v) ) G ) ( e 4 du udv כאשר חסומה ע"י הקווים: שאלות לעבודה עצמית שאלה 58 ln( ) 59 חשבו שאלה מצאו את שטח הקבוצה החסומה ע"י הקווים: 44 שאלה 5 z חשבו את נפח הגוף החסום ע"י המשטחים: z שאלה 5 חשבו את שטח תחום הנמצא ברביע הראשון וחסום ע"י העקומים: שאלה 5 מצאו את מסת הדיסק { )} כאשר צפיפות החומר המישורית מוגדרת ע"י פונקציה ) f ( ) sin( ) z ( ) 4 שאלות מושגיות ושאלות להעמקה שאלה 5 מצאו את נפח גוף V החסום ע"י משטחים: 8 ניתן לראות את הגוף והיטלו ב- Chapter 5 File 7dpg Chapter 5 File dpg Chapter 5 C שאלה 54 חשבו את שטח הקבוצה הנמצאת ברביע הראשון והחסומה ע"י הקו: a ( ) a רמז: הקבוצה סימטרית ביחס לראשית והישר ניתן לראות את הקו ב- Chapter 5 File 8dpg Chapter 5 C שאלה 55 מצאו את מרכז הכובד של חצי העיגול } {( ) a אם הוא עשוי מחומר בעל צפיפות חומר מישורית קבועה: ( )
כאשר - פונקציה f ( ) f ( ) a [ ] 5 f() t שאלה נתונה פונקציה רציפה בקטע ו- f ( t) dt מצאו את {( ) } שאלה 57 לפניכם רשימת האינטגרלים: חסום ע"י העקומים sin ) 4 חסום ע"י העקומים חסום ע"י העקומים חסום ע"י העקומים cos tan() tan( ) קבעו אילו אינטגרלים בהכרח שווים ל- ללא חישוב האינטגרלים שאלה 58 ) ) )4 יהי התחום ( חשבו את נקודות החיתוך של המעגלים: ו- ) חשבו את שאלה 59 a והתחום a נתונים: פונקציה gt הרציפה בקטע g t dt בנוסף מתקיימים התנאים: a a h ( ) - פונקציה רציפה בקטע ] ab [ b כאשר ) ( g f ( ) g( ) d h( ) d a c d a מצאו את g ו- 4 שאלה 5 הוכיחו את הטענה: אם ) f ( ) g( ) h( אזי [ cd ] רציפה בקטע 8 תשובות שאלה 58 (ln 4 )( e ) שאלה 54 a / 9
שאלה 59 8 שאלה 5 48 שאלה 5 ln שאלה 5 שאלה 5 4 9 שאלה 55 4a שאלה 5 שאלה 57 ) ) שאלה 58 שאלה 59 a 4