קורס: חדו"א לכלכלה וניהול (04) סמסטר 009 א תאריך הבחינה //09 מועד הבחינה 88 מבנה הבחינה: בבחינה שני חלקים בחלק א 5 שאלות חובה משקל כל שאלה הוא 5 נקודות בחלק ב עליך לבחור שאלות בלבד משקל כל שאלה הוא 5 נקודות על השאלות הסגורות בחלק א ענה בכרטיס הממ"ח שקיבלת הקפד להחזיר את כרטיס הממ"ח בסיום הבחינה כל חומר עזר מותר בשימוש
חלק א - חובה ענה על כל השאלות -5 סמן את תשובותיך לשאלות הסגורות בכרטיס הממ"ח שקיבלת בחלק זה תיבדק רק התשובה הסופית מכרטיס הממ"ח שאלה b X באיור מופיע ישר החותך את ציר בגובה b כמו כן ציירנו משולש ובו מופיעים אורכי הניצבים מצאו את החיתוך X X = b + X = b X = b X = b X = b א ג ד ה f ( ) = a + b + c שאלה הפרבולה מקיימת: כדאי לצייר a < 0 וגם 0 < f () < f() > 0 b טענה : b 4ac > 0 טענה : < 0 c טענה : כל הטענות הנכונות הן:,,,, א, ג ד ה ( )g בעזרת הפונקציות הנתונות נגדיר פונקציה = h () f ( ) 6 = שאלה נתונות הפונקציות ו- מורכבת )) h ( ) = g( f( מצאו את הנגזרת 4 5 א 6 ג ד ה
שאלה 4 באיור הגרף של f( ) = מצאו את X עבורו הגובה הוא X log log log05 log log א ג ד ה מי מבין הגרפים הבאים הוא הגרף של הפונקציה? שאלה 5 { f ( ) = נגדיר < א ב ג ד ה חלק ב של הבחינה בעמודים הבאים
א נתונה בעיית קיצון: חלק ב - ענה על שלוש שאלות בחלק זה min{ + } st + = 6, 0 הוכיחו כי הערך המינימאלי הוא 5 הציגו פתרון גרפי לבעיית הקיצון ציינו את נקודות החיתוך של האילוץ עם הצירים, זה חשוב לסעיף הבא הציגו פתרון גרפי בלבד לבעיית הקיצון של מציאת מקסימום לפונקציה f (, ) = P+ P כאשר P, P > 0 ויחס המחירים הוא, כלומר 5 P P = 5 האילוץ נשאר כמו בסעיף א + = 6, 0 הסבירו היטב כיצד השתמשתם בנתון על יחס המחירים זה הלב של השאלה שאלה 6 (8 נק') (7 נק') שאלה 7 נגדיר ( ) f ( ) = 5 + לכל (8 נק') א חקרו את הפונקציה (רצוי לפי הסדר המוצג): נקודות קיצון, תחומי עליה וירידה, תחומי קמירות וקעירות ונקודת פיתול בסיום שרטטו את הגרף לפי ממצאי החקירה שימו לב f ( ) = 0 (7 נק') סטודנט מחליט להזיז את הגרף של הפונקציה f כלפי מעלה מתברר לסטודנט כי לאחר ההזזה הגרף החדש חותך את ציר בנקודה מהי הנוסחא של הפונקציה החדשה? = ) הזזה כלפי מעלה היא הפעולה הבאה כפי שהאיור מראה ( סיום הבחינה בעמוד הבא 4
שאלה 8 נתונה פונקצית התועלת u (, ) = +, 0, 0 (6 נק') (6 נק') א שרטטו מפת עקומות שוות ערך לפונקציה פרטו בקצרה את השיקולים התבוננו וציירו שתי עקומות כלליות, 0 < c < d כאשר, u = c, u = d ג ( נק') הראו גרפית כיצד ניתן למצוא שתי נקודות, אחת על כל עקומה, כך ש- שיעור התחלופה השולי בנקודות האלה יהיה שווה נמקו את השיקול שלכם יש עקומה שוות ערך מסוימת המקצה קטעים שווים על הצירים הוכיחו כי השטח הכלוא בין הצירים והעקומה הוא אתם מחשבים חובה להביא איור של השטח שאת גודלו (רמז: מה מלמד אתכם הנתון כי ההקצאה על הצירים שווה),, a, b> 0 a u (, ) = נגדיר א b כאשר שאלה 9 (7 נק') T u= נתון u (05,4) + 8 u (05,4) = באיור שלפניך: העקומה שוות הערך u (, ) = הנקודה (05,4) = T על העקומה הוכיחו כי הפונקציה הומוגנית מהו סדר ההומוגניות? מצאו את הפרמטרים a, b בעזרת נתוני השאלה מומלץ להיעזר במשפט אוילר לאחר שרושמים את הנתון הממוסגר בצורה מתאימה למשפט זה f ( ) = ln הפונקציה מוכרת לך מהקורס (8 נק') בעזרת האיור ותכונה חשובה של הגרף הראו כי ln < 05 + ln lnx רמז: סמנו באיור נקודות מתאימות, = =, והיעזרו בשיפוע מיתר ובשיפוע משיק ובתכונה החשובה של הגרף על מנת להוכיח את הנדרש 5
פתרון הבחינה חלק א - השאלות הסגורות מפתח התשובות הוא: 5 4 א ג ד ה ג חלק ב - השאלות הפתוחות g(, ) = + f (, ) = + שאלה 6 סעיף א נגדיר ו- תנאי הסדר הראשון הינם: 9 = β = β + = 6 פותרים את מערכת המשוואות ומקבלים ) = Y ( X = 4, נוודא בעזרת התנאי מסדר שני שאכן זאת נקודת מינימום: H = f β g g + f β g g f β g g g 0 0 0 0 0 ומיד רואים כי 0<H הערך המינימאלי הוא ולכן הנקודה החשודה היא אכן נקודת מינימום f ( X = 4, Y = ) = 4 + = 5 נעבור כעת להצגה הגרפית העקומות שוות הערך של פונקצית המטרה + f (, ) = הן קווים ישרים יורדים משמאל לימין העקומות מקצוות קטעים שווים על הצירים החץ השמן כלומר כיוון גידול הוא החוצה מהראשית פשוטות מהעקומות האלה עקומת האילוץ אין עקומות = 6 + וזאת עקומה יורדת וקמורה העקומה יוצאת מגובה 9= לנקודה 6= על ציר איקס 6 כדאי לוודא עובדות פשוטות אלה נקודת הפתרון המבוקשת היא נקודת ההשקה כי היא נקודה על האילוץ ועל העקומה בעלת אינדקס הכי קטן מחפשים את האינדקס הכי קטן כי פותרים בעיית מינימום 6
סעיף ב פונקצית המטרה היא f (, ) = P+ P העקומות שוות הערך שלה הינן קווי תקציב - ניתן לצייר לבד וניתן לעיין בסעיף 67 בעמוד 8 או בסעיף 84 בעמודים 00-0 ובכן, הלב של התרגיל הוא להבין מה מלמד אותנו הנתון P P = 5 ניקח עקומה שוות ערך טיפוסית P P P+ P = c לישר זה יש שיפוע השווה ל- לפי הנתון נסיק כי הישרים שלנו יורדים בשיפוע -5 האילוץ הוא נשים לב כי לישר המחבר את הנקודות על הצירים יש שיפוע + = 6 של 5- כדאי לנמק מהיכן הגענו למסקנה המהממת הזאת לאור זאת אנו מבינים כי הישרים שלנו - כלומר מפת העקומות שוות הערך היא למעשה מפה של ישרים יורדים שמקבילים לישר המחבר את הנקודות =6 ו- =9 מסמנים את האילוץ, מעבירים את הישר בין נקודות הקצה (ישר ששיפועו 5- ( ואחר כך מציירים עוד כמה ישרים מקבילים לכן האיור שלנו נראה כך: 9 או המקסימום מונח על העקומה שוות הערך הגבוהה ביותר לאור זאת נבחר את נקודות הקצה של עקומת האילוץ כלומר, לאור נתוני השאלה, לבעיית המקסימום יש נקודות פתרון והן ( 0,9) ( 6,0) הרחבה: 6 מהו הערך המקסימאלי? f (0,9) = P 0 + P 9 = 9 P f (6,0) = P 6 + P 0 = 6 P נציב את נקודת הפתרון העליונה ונקבל נציב את נקודת הפתרון התחתונה ונקבל נחמד P = 5P 6 P = 9 P הערך המקסימאלי הוא וכמובן אלה מספרים שווים כי 7
שאלה 7 סעיף א חקירת פונקציה מהפשוטות שניתן לחשוב עליהן להלן הגרף לא נפרט את מהלך החקירה בכל בחינה ניתן למצוא שאלה דומה סעיף ב ( ) ( ) f ( ) = 5 + = 6 נציב בפונקציה המקורית -= ונקבל 6 בפונקציה לאחר ההזזה כלפי מעלה הערך הזה הוא 0 ולכן נוסיף לפונקציה שלנו נקבל ( ) כלומר fnew ( ) = + ( ) fnew ( ) = 5 + + 6 u (, ) = +, 0, 0 שאלה 8 סעיף א הפונקציה היא u = 0 u = < קל לראות כי העקומות יורדות ואכן D = u u + u u u u u > 0 0 + 0 ( 0, K ) ; ( K,0) קל לראות כי העקומות קעורות ואכן העקומות חותכות את הצירים + = K u (, ) אם = K אזי ולכן 8
u > 0, u > 0 כיוון הגידול הוא החוצה כי למשל האיור: סעיף ב U=c U=d u mrs = = u מתקיים רואים מיד כי אם ללא שינוי אזי mrs ללא שינוי לכן נבחר נקודות בעלות אותו שיעור וואי זה הכל סעיף ג לפניך העקומה c וסימנו את החיתוך עם הצירים C^05 U=C c=0 c = c c = לפי הנתון ולפי הרמז c ולכן זאת משוואה פשוטה שהפתרונות שלה הן =c ו- הפתרון =c הוא היחיד האפשרי + = אם כך מצאנו כי העקומה היא C והחיתוך עם הצירים הוא,0) ( ; ) 0, ( +^= = = / 0 כעת נחשב את השטח d הפונקציה היא לכן השטח הוא מחשבים אינטגרל זה ומקבלים הנה השטח המבוקש 9
מכאן נסיק מייד כי סדר a u (, ) = b שאלה 9 סעיף א הפונקציה הנתונה היא פונקצית קוב דאגלאס a + b utt (, ) ההומוגניות שלה הוא ניתן גם לבחון מהי סעיף א ולקבל ישירות את אותה מסקנה הנתון הממוסגר מרמז על משפט אוילר נציג אותו באופן הבא שמתאים למשפט אוליר נתון = 4) (05, u u (05, 4) + 8 נחלק ב - ונקבל: = 6 (05,4) u 05 u (05,4) + 4 05 u (05,4) + 4 u (05,4) = (05,4) pu לפי משפט אוילר, p סדר ההומוגניות: = 6 pu(05,4) יוצא כי u הנקודה (05,4)=T על העקומה ולכן כך נקבל כי = 6 u(05,4) p a + b והנה מצאנו משוואה אחת והיא = a + b כזכור סדר ההומוגניות הוא p = נציב זאת בפונקציה u (05,4) = ניישם את הנתון כי הנקודה T על העקומה ונרשום a b 4 = = u(05,4) = 4 a b ונקבל צמצום שימוש בכללי חזקות b a = 0 b a או = ולכן a b = u (, ) = a= b= b-a=0 ובכן: a+b= וגם ומכאן ו- הפונקציה שמצאנו היא סיימנו lnx ln ln נארגן ונעביר אגפים סיימנו < 05 סעיף ב סימנו את הנקודות על הגרף העברנו מיתר העברנו משיק (ישר מרוסק) בנקודה בה = הפונקציה קעורה לכן שיפוע המשיק גדול משיפוע המיתר זה טיעון המפתח בתרגיל! (ln ) = שיפוע המשיק: שיפוע המיתר: כלומר ln ln שיפוע המשיק יותר גדול משיפוע המיתר כלומר סוף קובץ 0