יחידה 33: קטע אמצעים שיעור 1. קטע אמצעים במשולש מוטי בונה נדנדת גן. הוא מציב בכל צד מוט אופקי לתמיכה במסגרת כמו בתמונה. המוטות, הצבועים באדום, מחברים את אמצעי העמודים. כיצד יחשב מוטי את אורך המוט האדום? נכיר תכונות של קטע המחבר אמצעי צלעות של משולש. הגדרה: קטע המחבר אמצעי שתי צלעות במשולש, נקרא קטע אמצעים במשולש. דוגמה: במשולש בשרטוט, הוא קטע אמצעים. 1. א. באיזה משולש הקטע המקווקו הוא קטע אמצעים? IV III II I ב. אילו קטעים משורטטים במשולשים האחרים? 2. א. ש רטטו משולשים שונים )ישר-זווית, קהה-זווית, שווה-צלעות(. בכל משולש ש רטטו את כל קטעי האמצעים. ב. כמה קטעי אמצעים קיימים בכל משולש? ג. היכן בערך נמצאים קטעי האמצעים ב"משולשי האטבים" שבתמונות? יחידה - 33 קטע אמצעים 255
חושבים על... γ 3. א. ג זרו 4 משולשים חופפים )תוכלו לקפל נייר פעמיים ולגזור משולש(. במשולשים שגזרתם, ס מנו זוויות שוות בגודלן ב- b a, ו- g לפי המשולשים המדגימים. בּ נו מארבעת המשולשים הקטנים שגזרתם משולש אחד גדול. ב. הוכיחו שאכן בניתם משולש: ה ראו שהזוויות המוצמדות זו לזו יוצרות קו ישר )צלע של המשולש הגדול(. ג. נ מקו מדוע כל צלע של משולש קטן היא קטע אמצעים במשולש הגדול. ד. נ מקו מדוע קטע אמצעים במשולש שווה באורכו למחצית אורך הצלע השלישית. ה. נ מקו מדוע קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית. α β β γ γ α γ β α β במשימה 3 הוכחנו: משפט קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה באורכו למחצית אורך הצלע השלישית. 4. נחזור למשימת הפתיחה )השרטוט הוא להדגמה(. בנדנדת הגן שבנה מוטי המרחק בין רגלי העמודים הוא 180 ס"מ. שני המוטות הצבועים אדום מחברים את אמצעי העמודים. מה אורך כל אחד מהמוטות האדומים התומכים בעמודים? ה סבירו. 180 בעקבות... 5. נוכיח בדרך נוספת כי קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה באורכו למחצית האורך של הצלע השלישית. א. כּ תבו מה נתון ומה צריך להוכיח. ב. בניית עזר: ה אריכו את קטע כאורכו עד לנקודה,( = P) P וח ברו את הנקודות P ו-. הוכיחו: P ג. מהו סוג המרובע?P הוכיחו. P ד. הוכיחו : 1 = 2 יחידה - 33 קטע אמצעים 256
7 קטע אמצעים במשולש לפי ההגדרה הוא חוצה שתי צלעות של המשולש = הוכחנו כי קטע אמצעים: = מקביל לצלע השלישית II 1 = 2 שווה באורכו למחצית אורך הצלע השלישית 6. נתון קטע אמצעים במשולש א. הוכיחו: ב. מהו יחס הדמיון? ג. מהו היחס בין שטחי המשולשים הדומים? אוסף משימות השרטוטים באוסף המשימות הם להדגמה, ומידות האורך נתונות בס"מ. 1. בכל משולש ק בעו אם הקטע המקווקו הוא קטע אמצעים. אם כן, מ צאו את אורך הקטע. א. ב. ג. ד. 2 3 2 6 8 4 8 10.6 5.3 3.5 2 4 3 3 14 5.5 5.5 15 10 R 2. נתון הנקודות,,P R הן אמצעי הצלעות של ח שבו את היקף המשולש הפנימי.PR P 13 יחידה - 33 קטע אמצעים 257
3. נתון הנקודות P R,, הן אמצעי הצלעות של R א. הוכיחו: ארבעת המשולשים שנוצרו חופפים זה לזה ב. מ צאו את היחס בין שטח PR ובין שטח. P 4. נתון תיכון לצלע ב- קטע אמצעים ב- שטח שווה 12 ס"מ מ צאו את שטחי המשולשים, ו-. ה סבירו. a 5. בּ נו משולש שאורך קטעי האמצעים שלו כאורכי הקטעים,b a ו- c. b c. 1 1 1 6. ב- חיברו את אמצעי הצלעות, כך שהתקבל. 2 2 2 1 חיברו את אמצעי הצלעות, כך שהתקבל משולש 1 1 ב-. 3 3 3 2 חיברו את אמצעי הצלעות, כך שהתקבל משולש 2 2 וב-? 2 2 2 3 מכסים את 3 3 א. כמה משולשים מהסוג? 1 1 1 3 מכסים את 3 3 ב. כמה משולשים מהסוג? מכסים את 3 3 3 ג. כמה משולשים מהסוג 2 1 1 3 3 2 3 2 1 יחידה - 33 קטע אמצעים 258
7. נתון ו- הם תיכונים ב- התיכונים נפגשים בנקודה קטע אמצעים ב- G G א. הוכיחו: G מקבילית ב. הוכיחו: נקודת הפגישה של שני תיכונים במשולש מחלקת כל תיכון ביחס של 2:1 ) = 2 ו- = 2( 8. נוכיח שקטע אמצעים מקביל לצלע השלישית )בדרך שונה מזו שראינו בשיעור(. נתון = = צ"ל א. ו- הם שווי-שטח. נ מקו. ב. ו- הם שווי-שטח. נ מקו. ג. ו- הם שווי-שטח. נ מקו. ד. הוכיחו: מקביל לצלע )באמצעות סעיף ג( ה.. נ מקו. ו.. = 0.5 נ מקו..9 נתון, 3 ס"מ =, 4 ס"מ = אם נחבר בזה אחר זה את אמצעי הצלעות,,,,,, ו- נקבל משושה א ח שבו את היקף המשושה. ב. ח שבו את שטח המרובע. ג. ח שבו את שטח המשושה. יחידה - 33 קטע אמצעים 259
שיעור 2. תנאים מספיקים לזיהוי קטע אמצעים במשולש נתון קטע החותך שתי צלעות של משולש. הקטע מקביל לצלע השלישית. האם אפשר להסיק כי הוא קטע אמצעים? אורך הקטע שווה למחצית אורך הצלע השלישית. האם אפשר להסיק כי הוא קטע אמצעים? אילו תכונות של הקטע מספיקות כדי להוכיח שהוא אכן קטע אמצעים? נכיר תנאים מספיקים לקטע אמצעים. קטע היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע אחרת.1 נתון הנקודה היא אמצע הצלע ש רטטו דרך מקביל לצלע, וס מנו את נקודת החיתוך עם הצלע באות. האם חותך את באמצע הצלע? אם כן, נ סחו משפט. אם לא, ש רטטו דוגמה נגדית. משפט אם קטע חותך שתיים מצלעות משולש, חוצה אחת משתי הצלעות ומקביל לצלע השלישית, אז הוא קטע אמצעים במשולש. חושבים על... 2. א. כּ תבו מה נתון ומה צריך להוכיח במשפט הרשום במסגרת. ב. מ צאו משולשים דומים וכ תבו את יחס הדמיון. ג. היעזרו בסעיפים הקודמים וה שלימו את הוכחת המשפט. יחידה - 33 קטע אמצעים 260
קטע היוצא מאמצע צלע אחת ושווה באורכו למחצית אורך צלע אחרת.3 נתון הנקודה היא אמצע הצלע ש רטטו מ- באמצעות מחוגה, קטע שאורכו כאורך חצי הצלע. האם הקטע חותך את באמצע הצלע? אם כן, נ סחו משפט. אם לא, ש רטטו דוגמה נגדית. חושבים על... 4. טענה: אם קטע יוצא מאמצע צלע של משולש ושווה באורכו למחצית אורך צלע אחרת, אז הוא חוצה את הצלע השלישית )כלומר הוא קטע אמצעים במשולש(. א. כ תבו מה נתון ומה צריך להוכיח בטענה. ב. האם הטענה נכונה? ה סבירו או הראו דוגמה נגדית. קטע החותך שתי צלעות במשולש, ושווה באורכו למחצית אורך הצלע השלישית ומקביל לה.5 נתון ג זרו קטע שאורכו כאורך חצי הצלע. ה זיזו את הקטע שגזרתם במקביל ל-, עד שקצותיו יחתכו את הצלעות ו-. ס מנו את נקודות החיתוך של הקטע עם צלעות המשולש בנקודות ו-. האם הוא קטע אמצעים? אם כן, נ סחו משפט. אם לא, ש רטטו דוגמה נגדית. משפט )משפט הפוך לתכונות קטע אמצעים במשולש( אם קטע חותך שתיים מצלעות משולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחצית אורך הצלע השלישית, אז הוא קטע אמצעים במשולש. חושבים על... 6. א. כּ תבו מה נתון ומה צריך להוכיח במשפט הרשום במסגרת. ב. הוכיחו: ג. מהו יחס הדמיון? ד. ה סבירו מדוע הוא קטע אמצעים. יחידה - 33 קטע אמצעים 261
הגדרה: קטע המחבר את אמצעי שתי צלעות במשולש נקרא קטע אמצעים במשולש. תכונות קטע אמצעים במשולש אם קטע הוא קטע אמצעים במשולש, אז הוא מקביל לצלע השלישית ושווה למחצית אורך הצלע השלישית. הפוכים זה לזה תנאים מספיקים לזיהוי קטע אמצעים במשולש אם קטע החותך שתי צלעות של משולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחצית אורך צלע השלישית, אז הוא קטע אמצעים במשולש. אם קטע חוצה אחת מצלעות משולש, ומקביל לצלע אחרת, אז הוא קטע אמצעים במשולש. א. 7. במשולש, ס מנו נקודה על צלע ונקודה L על צלע. בכל סעיף ק בעו על-סמך הנתונים אם L הוא קטע אמצעים במשולש. = ה. = L L = L 1 L = 2 L 1 L = 2 ~ L ב. ג. L הוא טרפז ו. ז. 1 L = 2 ד. = L = L ח. 8. נוכיח בדרך השלילה את המשפט ההפוך לתכונות קטע אמצעים במשולש: אם קטע חותך שתי צלעות של משולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחצית אורך הצלע השלישית, אז הוא קטע אמצעים במשולש. נתון הקטע חותך את הצלעות ו- הוכחה: מקביל לצלע שווה באורכו למחצית אורך נניח כי אינו קטע אמצעים. אם אינו קטע אמצעים, אז קיים קטע RT שונה מ-, שהוא קטע אמצעים במשולש, והמרובע RT הוא מקבילית. נ מקו. ה סבירו מדוע לא ייתכן שהמרובע RT הוא מקבילית. מכאן מסיקים כי ההנחה אינה נכונה ו- הוא קטע אמצעים במשולש. R T יחידה - 33 קטע אמצעים 262
אוסף משימות השרטוטים באוסף המשימות הם להדגמה, ומידות האורך נתונות בס"מ. 1. בכל סעיף ק בעו אם הוא קטע אמצעים במשולש. ה סבירו. א. ב. ג. 9 40 18 40 35 35 2. שרטטו משולש. ס מנו נקודה על צלע ונקודה L על צלע. בכל סעיף ש רטטו וק בעו אם L הוא קטע אמצעים במשולש. א. תיכון לצלע ו- L תיכון לצלע ב. L ~ 1 1 L = 2 L= 2 ג. 3. נתון מלבן L = א. האם L קטע אמצעים במשולש? ה סבירו. ב. הוכיחו: L = + L N 4. נתון קטע אמצעים ב- ב- תיכון לצלע צ"ל N תיכון לצלע ב- יחידה - 33 קטע אמצעים 263
N 5. נתון המרובע הוא מעוין המרובע N הוא טרפז שווה-שוקיים היקף המעוין הוא 32 ס"מ א. הוכיחו: = ב. ח שבו את הגדלים של זוויות המעוין. ג. ח שבו את היקף הטרפז.N 6. ישר החוצה קטע ומאונך לו נקרא אנך אמצעי. האם ייתכן שאנך אמצעי לאחת מצלעות המשולש יהיה קטע אמצעים במשולש? ש רטטו שרטוט מתאים או ה סבירו..7 במשולש ישר-זווית ) = 90 ( חסום ריבוע.RG א. מ צאו את כל המשולשים הדומים בשרטוט. ב. האם ייתכן ש- הוא קטע אמצעים ב-? נ מקו. G R 8. בּ נו משולש, שבו אורך קטע האמצעים המקביל לצלע כאורך הקטע a, וגודל שתי הזוויות שיוצר הקטע הזה עם הצלעות ו- כגודל הזוויות b ו- g. ש רטטו תחילה שרטוט מדגים. a γ β 9. בּ נו משולש, שבו אורך קטע האמצעים המקביל לצלע כאורך הקטע a, אורך התיכון לצלע כאורך הקטע m וגודל הזווית שבין התיכון לצלע כגודל הזווית b. ש רטטו תחילה שרטוט מדגים. m a β יחידה - 33 קטע אמצעים 264
שיעור 3. קטע אמצעים בטרפז הגדרה: קטע המחבר את אמצעי השוקיים של טרפז, נקרא קטע אמצעים בטרפז. ג זרו טרפז. ש רטטו את קטע האמצעים בטרפז. ק פלו את הטרפז לאורך קטע האמצעים שלו. מה קיבלתם? ק פלו פנימה את קדקודי הטרפז כבתמונה: איזו צורה קיבלתם? מהן התכונות של קטע אמצעים בטרפז? נכיר תכונות של קטע אמצעים בטרפז. תכונות קטע אמצעים בטרפז 1. באילו מהשרטוטים הקטע המקווקו הוא קטע אמצעים בטרפז? ה סבירו מדוע בשרטוטים האחרים הקטע אינו קטע אמצעים בטרפז. א. ג. ה. ז. ב. ד. ו. ח. יחידה - 33 קטע אמצעים 265
2. ז הו בתמונה טרפזים ומ צאו בהם קטעים אמצעיים. חושבים על... 3. ה צמידו שני טרפזים חופפים עם קטע האמצעים שלהם כבשרטוט. T S א. הוכיחו: המרובע N הוא מקבילית ב. הוכיחו: המרובעים SP ו- PSN הם מקביליות N ג. מסקנה: PT מקביל לבסיסי הטרפז. נ מקו. + PT = 2 ד. הוכיחו: משפט קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה באורכו למחצית סכום אורכי הבסיסים. + = 2 4. נוכיח את המשפט של קטע אמצעים בטרפז, בדרך נוספת. א. ר שמו מה נתון ומה צריך להוכיח. ב. בניית עזר: מחברים את וממשיכים אותו עד שיחתוך את המשך בנקודה. -הוכיחו: - הקטע הוא קטע אמצעים ב-. נ מקו. -הוכיחו: מקביל לבסיסי הטרפז ושווה באורכו למחצית סכום אורכי הבסיסים. יחידה - 33 קטע אמצעים 266
בעקבות... 5. במהלך השיעור מצאנו תכונות של קטע אמצעים בטרפז בשלוש דרכים. הפיכת טרפז למלבן )משימת הפתיחה( הפיכת טרפז למקבילית )משימה 3( הפיכת טרפז למשולש )משימה 4( T S N ה ראו כיצד אפשר להסיק באמצעות כל אחת מהדרכים האלה כי שטח הטרפז שווה למחצית מכפלת סכום אורכי הבסיסים באורך גובה הטרפז. תנאים מספיקים לזיהוי קטע אמצעים בטרפז חושבים על... 6. בטרפז הקטע חוצה את השוק ומקביל לבסיסים. האם הוא קטע אמצעים בטרפז? א. כ תבו מה נתון ומה צריך להוכיח. ב. היעזרו באלכסון ומ צאו קטעי אמצעים במשולשים שנוצרו. ג. היעזרו בסעיפים הקודמים והוכיחו כי הוא קטע אמצעים בטרפז. T הוכחנו: משפט אם קטע חוצה אחת משוקי הטרפז ומקביל לבסיסים, אז הוא קטע אמצעים בטרפז. יחידה - 33 קטע אמצעים 267
בעקבות... 7. לפניכם משפט הפוך למשפט על תכונות קטע אמצעים בטרפז. אם קטע חותך את שתי שוקי הטרפז, מקביל לבסיסים ושווה באורכו למחצית סכום אורכי הבסיסים, אז הוא קטע אמצעים בטרפז. נתון הוכחה: + = 2 נוכיח את המשפט בדרך השלילה. נניח כי אינו קטע אמצעים. כלומר קיים קטע PS שונה מ-, שהוא קטע אמצעים בטרפז, ואז המרובע PS הוא מקבילית. נ מקו. ה סבירו מדוע לא ייתכן שהמרובע PS הוא מקבילית. מכאן מסיקים כי ההנחה אינה נכונה, ולכן הוא קטע אמצעים בטרפז. ר שמו את המסקנה בכתיב מתמטי. P S הגדרה: קטע המחבר את אמצעי השוקיים של טרפז, נקרא קטע אמצעים בטרפז. תכונות קטע אמצעים בטרפז אם קטע הוא קטע אמצעים בטרפז, אז הוא מקביל לבסיסים ושווה באורכו למחצית סכום אורכי הבסיסים. הפוכים זה לזה תנאים מספיקים לזיהוי קטע אמצעים בטרפז אם קטע החותך את שתי שוקי הטרפז, מקביל לבסיסים ושווה באורכו למחצית סכום אורכי הבסיסים, אז הוא קטע אמצעים בטרפז. אם קטע חוצה שוק אחת של הטרפז ומקביל לבסיסים, אז הוא קטע אמצעים בטרפז. יחידה - 33 קטע אמצעים 268
לפעמים כדי לבנות גשר, תקרה או פתח כניסה לאולם, בונים קשת מאבן. טכנולוגיית הבנייה של הקשת החלה בהודו לפני כ- 5,000 שנים, אך שוכללה ופותחה לשימוש יעיל על-ידי הרומאים. הקשת הבסיסית מורכבת ממספר אי-זוגי של לבנים או של אבנים בצורת טרפז, שכל אחת מהן נשענת על שכנותיה. האבן העליונה מכונה "אבן ראשה", והיא סוגרת את הקשת ושומרת על יציבותה. כאשר כל הלבנים במקומן, הקשת נשארת יציבה והלבנים אינן נופלות. לאורך הקשת פועלים כוחות לחיצה בין דפנות הלבנים, ולא נוצרים מאמצי כפיפה העלולים לגרום לקריסת המבנה. בתמונה חזית בית-הכנסת העתיק בברעם - אחד מבתי הכנסת הרבים שנבנו בישובים היהודיים שהמשיכו להתקיים בגליל לאחר חורבן בית המקדש. שרידים של בתי-כנסת נמצאו גם בבית אלפא, בכורזים, בקצרין, בציפורי ועוד. אוסף משימות השרטוטים באוסף המשימות הם להדגמה, מידות האורך נתונות בס"מ. 12 1. נתון הוא קטע אמצעים בטרפז 12 ס"מ = S L P T R 28 ס"מ = S = SL = L = P = PT = TR = R א. ח שבו את אורך הקטע לפי הנתונים בשרטוט. ב. ח שבו את אורכי הקטעים LT,SP ו-.R 28 ה סבירו את דרך החישוב. L 2. נתון הוא קטע אמצעים בטרפז 15 ס"מ = 10 ס"מ = L מהו שטח הטרפז? ה סבירו את דרך החישוב. תזכורת: שטח הטרפז שווה למחצית המכפלה של סכום אורכי הבסיסים באורך הגובה. יחידה - 33 קטע אמצעים 269
3. נתון הוא קטע אמצעים בטרפז ש רטטו וה משיכו את השוקיים, עד לנקודת החיתוך שלהן וס מנו אותה באות. א. האם ייתכן ש- הוא קטע אמצעים במשולש? ה סבירו או ה דגימו. ב. האם ייתכן ש- הוא קטע אמצעים במשולש? ה סבירו או ה דגימו. ג. האם יתכן ש- הוא קטע אמצעים במשולש? ה סבירו או ה דגימו. 4. ח ברו אמצעי שתי צלעות נגדיות של מקבילית. א. האם הקטע מקביל לצלעות של המקבילית? הוכיחו. ב. האם אורך הקטע שווה למחצית סכום אורכי הצלעות האלה? הוכיחו. L 5. נתון טרפז L חותך את שני הבסיסים הוא קטע אמצעים בטרפז א. לאילו צורות מחולק הטרפז? ה סבירו. ב. האם חוצה את הקטע?L אם כן, הוכיחו. אם לא, ש רטטו דוגמה נגדית. G H 6. נתון הוא קטע אמצעים בטרפז G ו- H נקודות החיתוך של ואלכסוני הטרפז 4 ס"מ = 6 ס"מ = ח שבו את אורכי הקטעים: GH,H,G,G 7. נתון קטע אמצעים בטרפז שווה-שוקיים H G P R 10 ס"מ = H R 16 ס"מ = א. הוכיחו: GP קטע אמצעים בטרפז RH ב. ח שבו את אורכי הקטעים: GP,P,G יחידה - 33 קטע אמצעים 270
G H 8. נתון טרפז שווה-שוקיים הוא קטע אמצעים G ו- H נקודות החיתוך של ואלכסוני הטרפז GH = 2 הוכיחו: G 9. משפט אם קטע החותך שוקיים של טרפז, מקביל לבסיסים ואורכו שווה למחצית אורכי הבסיסים, אז הוא קטע אמצעים בטרפז. )משפט הפוך למשפט קטע אמצעים בטרפז.( הוכיחו בדרך נוספת. התבססו על בניית עזר: משרטטים דרך מקביל ל-. 10. א. האם קטע האמצעים בטרפז מחלק את הטרפז לשני טרפזים דומים? אם כן, הוכיחו. אם לא, ה ראו דוגמה נגדית או ה סבירו. ב. היא נקודת המפגש של אלכסוני הטרפז. האם ייתכן שהנקודה נמצאת על קטע האמצעים בטרפז? ה סבירו. יחידה - 33 קטע אמצעים 271
שיעור 4. אמצע לאמצע נחבר מחברים לפי הסדר את אמצעי הצלעות של המרובעים הבאים: דלתון מלבן מעוין ריבוע מקבילית איזה מרובע מתקבל בכל מקרה? נחקור איזה מרובע מתקבל אם מחברים אמצעי צלעות של מרובע אחר. 1. א. ש רטטו מרובע כלשהו. ס מנו את האמצע של כל צלע. ח ברו את אמצעי הצלעות לפי הסדר. איזה מרובע קיבלתם? ח זרו על הפעולה עם מרובע אחר. מה קיבלתם? ב. ש רטטו אחד מאלכסוני המרובע המקורי. התבוננו במשולשים שנוצרו בשרטוט. הוכיחו: המרובע שנוצר מחיבור אמצעי הצלעות הוא מקבילית. ג. מסקנה: הקטעים המחברים את אמצעי הצלעות הנגדיות במרובע חוצים זה את זה. ש רטטו ונ מקו. משפט אם מחברים אמצעי צלעות של מרובע בזה אחר זה, מתקבלת מקבילית. 2. א. ש רטטו מרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה. ח ברו את אמצעי הצלעות לפי הסדר. איזה מרובע קיבלתם? הוכיחו. ב. ש רטטו מרובע שאלכסוניו שווים באורכם. ח ברו את אמצעי הצלעות לפי הסדר. איזה מרובע קיבלתם? הוכיחו. ג. אילו תנאים צריכים לקיים אלכסוני מרובע, כדי שאם נחבר את אמצעי הצלעות שלו נקבל ריבוע? נ מקו. יחידה - 33 קטע אמצעים 272
3. בכל סעיף ק בעו איזה סוג מרובע יתקבל אם נחבר בזה אחר זה את אמצעי הצלעות ונ מקו. א. מרובע כלשהו ג. מקבילית מלבן ה. טרפז ז. דלתון ב. מעויין ד. ריבוע ו. ח. טרפז שווה-שוקיים חושבים על... 4. א. מחברים אמצעי צלעות של מרובע לפי הסדר ומקבלים מלבן. ק בעו אם הטענות הבאות נכונות, ונ מקו. - המרובע המקורי חייב להיות מעוין. - המרובע המקורי יכול להיות דלתון. - האלכסונים במרובע המקורי חייבים להיות מאונכים זה לזה. ב. מחברים את אמצעי הצלעות של מרובע לפי הסדר ומקבלים מעוין. ק בעו אם הטענות הבאות נכונות, ונ מקו. - המרובע המקורי חייב להיות מלבן. - המרובע המקורי יכול להיות מלבן. - האלכסונים במרובע המקורי חייבים להיות שווים זה לזה באורכם. ג. מחברים את אמצעי הצלעות של מרובע לפי הסדר ומקבלים ריבוע. ק בעו את הטענות הבאות נכונות, ונ מקו. - המרובע המקורי חייב להיות ריבוע. - המרובעי המקורי יכול להיות ריבוע. - האלכסונים במרובע המקורי חייבים להיות מאונכים זה לזה ושווים באורכם. אוסף משימות השרטוטים באוסף המשימות הם להדגמה, מידות האורך נתונות בס"מ. 1. בכל סעיף ה עתיקו וח ברו את אמצעי הצלעות של מרובע לפי הסדר. ק בעו איזה מרובע התקבל, ונ מקו. א. ד. ג. ב. מעוין מלבן = ריבוע יחידה - 33 קטע אמצעים 273
א. 2. בכל סעיף ח שבו את אורכי הצלעות של המרובע שקדקודיו אמצעי הצלעות של המרובע הנתון או ה סבירו מדוע אי אפשר לחשב. ג. ד. ב. מלבן = 12 טרפז = 6 = = 8 ריבוע = 10 3. ש רטטו טרפז שווה-שוקיים וח ברו את אמצעי צלעותיו לפי הסדר. איזה מרובע יוצרים אמצעי הצלעות? הוכיחו. 4. הוכיחו: בטרפז שווה-שוקיים קטע האמצעים והקטע המחבר את אמצעי הבסיסים חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה. R 5. נתון מרובע אמצע האלכסון אמצע האלכסון R ש רטטו וס מנו את נקודת החיתוך של הקטעים המחברים את אמצעי הצלעות הנגדיות ו- בנקודה P. הוכיחו: PR = P יחידה - 33 קטע אמצעים 274
H 6. נתון מרובע הנקודה מחלקת את הצלע ביחס 1:2 H הנקודה מחלקת את הצלע ביחס 1:2 G G א. מהו סוג המרובע?GH הוכיחו. ב. אם ידוע שאלכסוני המרובע מאונכים זה לזה, מהו סוג המרובע?GH נ מקו. ג. אם ידוע שאלכסוני המרובע שווים באורכם, מהו סוג המרובע?GH נ מקו. 7. נתון טרפז חסום במרובע NPS SN 10 ס"מ = SN S N 4 ס"מ = 7.5 ס"מ = 6 ס"מ = N P 9 ס"מ = P אם אפשר, ח שבו את אורכי הקטעים: S,N, אם אי אפשר לחשב, ה סבירו. 8. נתונה מקבילית. בּ נו מרובע שקדקודי המקבילית הזו הם אמצעי צלעותיו. תּ ארו את הבנייה. הוכיחו: כל קדקודי המקבילית הם אמצעי צלעות המרובע שבניתם. יחידה - 33 קטע אמצעים 275
משימות נוספות הוא קטע אמצעים במשולש נתון 1. =90 ה משיכו את וצרו קטע השווה באורכו לקטע. ח ברו את עם ו-. הוכיחו: א. המרובע הוא מקבילית. ב. המרובע הוא מלבן. 2. נתון הוא טרפז II הנקודות ו- הן אמצעי הקטעים ו- = 2 א. הוכיחו: הנקודות ו- מחלקות את האלכסון לשלושה חלקים שווים באורכם. ב. נתון = a בּ טאו באמצעות a את אורך קטע האמצעים של הטרפז. R P Q 3. נתון הוא תיכון ב- R אמצע התיכון אמצע P אמצע Q א. הוכיחו: המרובע PQR הוא מקבילית. ב. מהו סוג המרובע PQR אם זווית תהיה זווית ישרה? נ מקו. ג. איזה תנאי צריך לקיים כדי שמרובע PQR יהיה מעוין? נ מקו. Q T 4. נתון הוא מלבן עובר דרך - נקודת המפגש של אלכסוני המלבן אמצע Q אמצע T צ רו את משולש.QT מ צאו פי כמה גדול שטח המלבן משטח.QT יחידה - 33 קטע אמצעים 276
5. נתון קטע אמצעים במשולש שטח משולש שווה 24 סמ"ר 6 ס"מ = א. ח שבו את שטח משולש. ב. האם אפשר לוותר על אחד הנתונים? אם כן, על איזה נתון? ה סבירו. 6. נתון מקבילית הנקודות ו- L הם אמצעי הצלעות ו- בהתאמה. הוכיחו: הקטעים ו- L מחלקים את האלכסון לשלושה חלקים שווים באורכם. 7. נתון הוא קטע אמצעים בטרפז ו- חוצים את הזוויות ליד הבסיס הגדול ו- נפגשים על קטע האמצעים 10 ס"מ = ח שבו את היקף הטרפז. 8. האלכסונים של טרפז שווה-שוקיים מאונכים זה לזה. אורך קטע האמצעים שווה 8 ס"מ. א. ח שבו את אורך גובה הטרפז. ב. ח שבו את שטח הטרפז. G 9. נתון הנקודה היא אמצע הנקודה G נמצאת על הצלע כך ש- = G 1 G = הוכיחו: 2.10 נתון הוא משולש שווה-שוקיים ( ) = הוא גובה לבסיס הוא תיכון לשוק והתיכון נקודת החיתוך של הגובה = 1 הוכיחו: 3 )רמז: ש רטטו אנך מ- ל- ). יחידה - 33 קטע אמצעים 277