יחידה 6: כופלים ומחלקים מספרים מכוונים שיעור. איך כופלים? כפל מספרים מכוונים. המורה: לפניכם לוח כפל נשלים אותו יחד בשלבים. שחר: אין בעיה אנחנו מכירים את לוח הכפל. ניר: שימו לב יש להתייחס לסימני המספרים. דקלה: אני מציעה שנשלים בהתחלה את השורות והטורים שאנחנו מכירים. נלמד לכפול מספרים בעולם המספרים המורחב ונשלים את הלו. השלימו בלוח הכפל מכפלות של מספרים חיוביים ואפס. אם כופלים מספר ב- 0 מקבלים 0. אם כופלים מספר ב- מקבלים את המספר עצמ יחידה 6 כופלים ומחלקים מספרים מכוונים
פתרו היעזרו ברמז הבא: אפשר לפרש כפל כ"פ ע מים". דוגמה: () יכול להתפרש כ - פעמים.(). () = () = () = () = () = () = כאשר בתרגיל מופיע סימן פעולת הכפל ומספר בעל כיוון משתמשים בסוגריים. דוגמה: (8) השלימו בעזרת התרגילים שפתרתם את המשבצות המתאימות בלוח הכפל. יהונתן טען: () = () לפי חוק החילוף של הכפל ולכן אפשר להשלים חלק מהמשבצות הריקות בלוח בעזרת חוק החילוף של הכפל. השלימו בלוח הכפל את המשבצות הריקות שאפשר להשלים בעזרת ההצעה של יהונתן.. נשארו תשע משבצות ריקות בלוח הכפל. כי כך נשמרת החוקיות של הלו 6+ = () שירי טענה: כי (מספר שלילי) כפול (מספר שלילי) הוא עוד יותר שלילי. 6 = () אסף טען: מי מהם צודק? מדוע? השלימו את סדרת התרגילים. שימו לב! אחד הגורמים קט ן כל הזמן. המכפלה ג דל () = 6 () = () = 0 () = () () = () () = () () = מה דעתכם עכשיו אחרי פתרון סדרת התרגילים מי צודק? שירי או אסף?. יחידה 6 כופלים ומחלקים מספרים מכוונים
במשימה איך כופלים למדנו איך כופלים מספרים בעולם המספרים המורח נסכם את פעולת הכפל בטבלה: המכפלה של שני מספרים חיוביים או של שני מספרים שליליים היא מספר חיובי. המכפלה של מספר חיובי ומספר שלילי היא מספר שלילי. אם במכפלה אחד הגורמים או שני הגורמים הם 0 התוצאה היא 0.. מצאו בכל סעיף מספר מתאים במקום a. a (+) = = (+) a a () = = () a a () = = () a a () = 0 = 0 (+) a ט. a (+) = = (+) a י. - יחידה 6 כופלים ומחלקים מספרים מכוונים 6
שיעור. חיובי או שלילי סימן המכפל (6) 0 (6) (0) לפניכם תרגיל שירה החלה לפתור כך: נוגה החלה לפתור כך: יפעת החלה לפתור כך: מי מהן צודקת? נלמד על תוצאות של תרגילי כפל ועל הסימן שלהן.. פ תרו בשלוש דרכים שונות את התרגיל: () (). השלימו את הטבל מספר הגורמים החיוביים מספר הגורמים השלילים המכפלה חיובית או שלילית המכפלה () (8) () () (8) () () (8) () 8 8 8 8 האם יש קשר בין מספר הגורמים החיוביים וסימן המכפלה? האם יש קשר בין מספר הגורמים השליליים וסימן המכפלה? 7 יחידה 6 כופלים ומחלקים מספרים מכוונים
קבעו מבלי לחשב את המכפלה לאילו מהתרגילים הבאים תוצאה שלילית. (9) () (6) 8 7 (). () (+) 0 (6) () 7 () () () 7 0 9 אם במכפלה מספר הגורמים השליליים הוא אי זוגי וכל הגורמים שונים מ- 0 אז תוצאת המכפלה היא מספר שלילי. ידוע כי תוצאת המכפלה הבאה היא שלילית. () (7) () 7 a קבעו אם המספר "המסתתר" מאחורי האות a הוא חיובי או שלילי. מאחורי האותיות במכפלה a b c מסתתרים מספרים. ידוע שכל המספרים שונים מאפס ורק c חיובי. מהו סימן המכפלה? מאחורי האותיות במכפלה a b b c מסתתרים מספרים שונים מ-.0 אם c ו- a מספרים שליליים האם הסימן של b משפיע על סימן המכפלה? הסביר אם a ו- b מספרים שליליים. האם תוכלו לקבוע מהו סימן המכפלה? מאחורי האותיות במכפלה a b b c a k מסתתרים מספרים. b ו- k מספרים שליליים והיתר חיוביים. מהו סימן המכפלה? מה תוכלו לומר על סימן המכפלה אם ידוע שרק c חיובי? מה אתם יודעים על המכפלה אם = 0 k והשאר חיוביים?. 9 - יחידה 6 כופלים ומחלקים מספרים מכוונים 8
שיעור. חזקות חזקות החזקה היא כתיבה מקוצרת של מכפלה חוזרת של אותו מספר. = = בסיס החזקה: מעריך החזקה: () = () () () () () = () בסיס החזקה: מעריך החזקה: המכפלה שלילית כי מספר הגורמים השליליים אי זוגי. < 0 () () = () () () () = 8 () > 0 בסיס החזקה: מעריך החזקה: המכפלה חיובית כי מספר הגורמים השליליים זוגי.. רשמו כמכפלות וקבעו אם התוצאה היא מספר חיובי או שלילי. () (0) () 7 () 7 () () 6 שימו לב! הוא הנגדי ל- ומשמעותו 6 = () הוא הנגדי ל- () ומשמעותו 6 = () () () (). ק בעו האם התוצאה חיובית או שלילית. () () () () 9 יחידה 6 כופלים ומחלקים מספרים מכוונים
. חשב () 00 = () 0 = 00 = () = () 9 = 8 = ( 90 ) = 7 = a מספר חיובי. רשמו אם תוצאת החזקה היא מספר חיובי או שלילי.. a a a a (a) (a) (a) (a) (7) m 7 m 7 m m אי זוגי m אי זוגי (7) m n זוגי n זוגי (7) n (7) n קבעו = או. 7 n 7 n. מצאו מספר שאפשר להציב בכל הריבועים כך שיהיה נכון. = =? = = כמה מספרים כאלה מצאתם? כמה מספרים מקיימים את השוויון.6 0-0 יחידה 6 כופלים ומחלקים מספרים מכוונים 0
שיעור. מספרים הפכיים מכפלות של מספרים הופכיים. מה משותף לכל התרגילים הבאים? מהן תוצאות המכפלות? 7 6 6 6 6 נלמד על מספרים הופכיים ומכפלתם.. המכפלה של אילו מבין זוגות המספרים הבאים שווה ל-? 7 7 7 7 זוג מספרים שמכפלתם נקראים מספרים הופכיים זה לז ל- א 0 ין הופכי..x 0 7 לדוגמה: 7 ו- ו- הם מספרים הופכיים. הם מספרים הופכיים. הם מספרים הופכיים. x x ו- מספרים הופכיים הם בעלי כיוון זהה (שניהם חיוביים או שניהם שליליים). האם הוא ההופכי של 6? 6 האם : 6 הוא ההופכי של 6?? 6 : שווה ל- 6? 6 : הוא ההופכי של 6 האם האם. יחידה 6 כופלים ומחלקים מספרים מכוונים
. מדוע לדעתכם ל- 0 אין מספר הופכי? האם תוכלו למצוא מספרים הופכיים כך ש: שניהם חיוביים? שניהם שליליים? אחד חיובי ואחד שלילי? אחד אפס והשני חיובי? אם כן תנו דוגמאות. אם לא הסבירו מדוע אין מספרים כאל בחרו מבין הביטויים הבאים זוגות של ביטויים המתארים נגדיים וזוגות של ביטויים המתארים הופכיים: a a a a כמה זוגות נגדיים מצאתם? כמה זוגות הופכיים מצאתם?.. רשמו ביטוי אלגברי למספר ההופכי של a. הקיפו את המספרים שאם נציב אותם בביטוי שרשמתם נקבל מספרים שלמים. 7 מצאו מספר שאם נציב אותו בביטוי שרשמתם נקבל 7 מצאו מספר שאם נציב אותו בביטוי שרשמתם נקבל מצאו מספר שאסור להציב בביטוי שרשמתם. 6 - יחידה 6 כופלים ומחלקים מספרים מכוונים
שיעור. מחלקים חילוק מספרים מכוונים. אנו יודעים כי במקום לחלק במספר אפשר לכפול במספר ההופכי ל. a b כלומר: תוצאת המנה a : b היא כמו תוצאת המכפלה : () : כיצד תפתרו את התרגילים הבאים? 6 : : נרשום את תרגילי החילוק כתרגילי כפל. נלמד לפתור תרגילי חילוק במספרים מכוונים. : = פ תרו והשוו כל זוג תרגילים. מה מצאתם? האם אתם יודעים כיצד לפתור תרגילי חילוק בעולם המספרים המורחב? הסביר = 6 : = 6 =. : (6) = = 6 6 : = 6 = : ( 7)= = 7 0 : = = 0. ה פכו כל אחד מהתרגילים הבאים לתרגיל כפל בהופכי ופ תר 7 : = 8 8 : = : = : = : = : =. מצאו קשר בין סימני המחלק והמחולק ובין סימן המנה שלהם. הסביר יחידה 6 כופלים ומחלקים מספרים מכוונים
כל תרגיל חילוק אפשר להפוך לתרגיל כפל על-ידי כתיבתו כמכפלה של המספר הראשון בהופכי של המספר השני. המנה של שני מספרים חיוביים או של שני מספרים שליליים היא מספר חיובי. המנה של מספר חיובי ומספר שלילי היא מספר שלילי. 0 : רונן כתב תרגיל = 0 0 : אמר: גל לתרגיל 0 : אין משמעות אמר: גלעד עמית אמר: = 0 0 : מי צודק? הסביר כי תרגיל הכפל המתאים הוא = 0 0 =. 0 : כי ל- 0 אין מספר הופכי. כי אם נכפיל את 0 ב- נקבל 0.. : 0 רונן כתב תרגיל לתרגיל : 0 אין משמעות אמר: גל = 0 0 : אמר: גלעד עמית אמר: לתרגיל : 0 אין משמעות מי צודק? הסביר כי התרגיל שקול לכפל של במספר ההופכי ל- 0 ול- 0 אין הופכי. כי אין מספר שאם נכפול אותו ב- 0 נקבל...a 0 0 = a או 0 עבור 0 : a = 0 אבל : 0 a הוא ביטוי חסר משמעות. יחידה 6 כופלים ומחלקים מספרים מכוונים
a ו- b מייצגים מספרים על הציר. קבעו אם מכפלתם a b ומנתם a : b היא מספר חיובי שלילי או 0 נמק.6 0 : a מספר שונה מ-.0 אנו יודעים כי = 0 a אבל : 0 a הוא ביטוי חסר משמעות. הסבירו מדוע..7 67-7 יחידה 6 כופלים ומחלקים מספרים מכוונים
. הוסיפו < > או = כך שיתקבלו פסוקי אמת. 8 0 8 () 0 0 () 7 () 0 0 0 () 0 0. פתר () = = (0) (8) = = () 6 6 () = = 8 () = = (7) 6 חברו שני תרגילי כפל שתוצאתם. חברו שני תרגילי כפל שתוצאתם. חברו שני תרגילי כפל שתוצאתם 0... פתר 0 () = = (0) 7 (0) = = 0 0 0 (0) = = 0. חברו שלושה תרגילי כפל עם שני גורמים כל אחד שתוצאתם 0. = 0 = 0 = 0 כתבו כל אחד מהמספרים 6 8 00 0 0 כמכפלות בארבע דרכים שונות. (6) (6) = 6 6 6 = 6 = 6 דוגמה: = 6 () () יחידה 6 כפל וחילוק של מספרים מכוונים 6
6. השלימו את לוח הכפל. 7. כפל 8 (0) = = () = = 00 0 8 = = 0 () = = () ט. 0 (7) = = () י. 8. היעזרו בשיקולים והשלימו סימן סדר מתאים (< < =) () 709 (709) 0 (709) 97 97 () 709 0 709 709 () 0 () 9 0 0 0 0 9 9 ט. () 8 י. 9 8 7 יחידה 6 כפל וחילוק של מספרים מכוונים
9. בלוח הכפל הבא נפלו שלוש שגיאות. מצאו אותן. 0. a ו- b מייצגים מספרים על הציר. קבעו בכל מקרה אם המכפלה a b היא: חיובית שלילית או אפס ונמק. בריבוע הקסם הבא מכפלת המספרים בכל שורה טור או אלכסון היא 6. השלימ 8 יחידה 6 כפל וחילוק של מספרים מכוונים 8
. כפל 0. 0 = = (0) 0. 0. (0) = = 0 0. 6 6 = =. כפל = ( )= ( 7)= 7 8 8 =. הוסיפו סימן סדר מתאים (< < =) כך שיתקבלו טענות נכונות. 0 0 0 0. כפל = = = 8 = = = 8 = 7 8 = 9 9 יחידה 6 כפל וחילוק של מספרים מכוונים
6. כפל (.) = = 0. (0.8) = = 0. 7. כפל 0.7 (.) = = 0. 0. 0. (.) = = (0.7) 0. 0. 0. = = (0.) 0. 0.9 (0.) = = (.6) 0.8 8. הציבו מספר מתאים במקום a בכל אחד מהביטויים הבאים. a = a = = a a = 0 a = = a ( 7).9 ידוע כי 68 =. מצאו בעזרת תרגיל זה את תוצאות התרגילים הבאים. (.) = ( 7) = ( 7) = 6 ( 7) = 0. ידוע כי =. מצאו בעזרת תרגיל זה את תוצאות התרגילים הבאים. ( ) = ( ) = = = יחידה 6 כפל וחילוק של מספרים מכוונים 0
. הוסיפו סימן סדר מתאים > < = כך שיהיה נכון. 6 (0.) 6 0. 6. (0.) 6..6 0..6 0 (0.) 0 0. 0. 0.. קבעו אם המכפלה היא מספר חיובי או שלילי. 9 גורמים שליליים. גורמים שליליים. 0 גורמים שליליים. 6 גורמים שליליים.. סמנו > < או = כך שיהיה נכון. 0 () () () () () () () 0 () () () () () (7) 0 0 0 0 7 0 0 0 0 () (7) 0. קבעו אם המכפלה היא מספר חיובי שלילי או אפס. תנו דוגמ במכפלה שישה גורמים שלושה חיוביים ושלושה שליליים. במכפלה חמישה גורמים שניים חיוביים ושלושה שליליים. במכפלה חמישה גורמים שלושה חיוביים ושניים שליליים. במכפלה שישה גורמים אחד הגורמים אפס שניים חיוביים והשאר שליליים. במכפלה שישה גורמים גורם אחד חיובי והשאר שליליים. מכפלה שבה כל הגורמים חיוביים. יחידה 6 כפל וחילוק של מספרים מכוונים
. קבעו האם המכפלה היא מספר חיובי או שלילי. במכפלה גורמים שליליים ו- גורמים חיוביים. במכפלה 8 גורמים חיוביים ו- גורמים שליליים. במכפלה גורמים שליליים ו- גורמים חיוביים. במכפלה גורמים שליליים בלב במכפלה גורמים חיוביים בלב במכפלה 8 גורמים חיוביים בלב במכפלה 8 גורמים שליליים בלב 6. פתר () = = 7 0 = = () 7 = = 0 0 0 = = (0) 0 ט. () () = = () י. + + ט. י. " כך שיהיה נכון..7 סמנו " = " או " 0 + 0 + 0 0 0 0 יחידה 6 כפל וחילוק של מספרים מכוונים
8. קבעו אם המכפלה היא מספר חיובי או מספר שלילי. 6 () (9) (7) () () () 9 0 () (7) (6) () () () () () () (9) () () 7 ט. () () (7) () י. () () () () () () 7 י () () () י 9. האם תוכלו למצוא קשרים בין הסימנים של שני מחוברים לבין הסימן של סכומם? הדגימ 0. כ תבו כחזקות את המכפלות הבאות וקבעו אם התוצאה היא מספר חיובי או שלילי. 6 6 6 6 () () () 7 7 () () () (). התאימו כל חזקה למכפלה ורשמו במחברותיכם. () () () () () () () יחידה 6 כפל וחילוק של מספרים מכוונים
. קבעו אם תוצאת החזקה היא מספר חיובי או שלילי. () או. הוסיפו = כך שיהיה נכון. () () () () (7) 7 () (7) 7 () או >. השלימו < כך שיהיה נכון. לכן 0 0 () לכן 0 () 0 לכן 0 0 () לכן 0 () 0. בכל אחד מהסעיפים הבאים מצאו את a אם אפשר. מצאו בכל סעיף את כל האפשרויות. דוגמה: = 6 a = a או =.a a = a 8 = a = a 00 = a = 0 a 00 = a = 6 a 7 = יחידה 6 כפל וחילוק של מספרים מכוונים
= 7 = = 7 6. השלימ = 7. חשב זכרו! פעולת החזקה קודמת לשאר הפעולות. = = (0) = = () + () = = () 8 : () = = () 8 () 8. הציבו בכל אחד מהביטויים וחשב + a + a a + a 7 a 7 a a 9. הציבו בכל אחד מהביטויים וחשב + a a + a + a a 7 a 7 a a a a 0. הציבו בכל אחד מהביטויים וחשב + a + a a + a 7 a 7 a a. קבעו מבלי לפתור אילו מבין המכפלות שווה ל-. 7 7 7 7 יחידה 6 כפל וחילוק של מספרים מכוונים
. השלימו אם אפשר כך שיהיה נכון. (7) = = 0 =. רשמו מספר מתאים במקום הריק כך שיהיה נכון. () = = ( ) = = ( ) = 0 = 0 ( ) = = ט. () = = י.. רשמו מספר מתאים במקום הריק כך שיהיה נכון. = = = = = = = 0 = ט. = = 0 י.. קבעו מבלי לפתור אילו מבין המכפלות שווה ל-. 7 0 יחידה 6 כפל וחילוק של מספרים מכוונים 6
6. הוסיפו סימן סדר מתאים (> < =) כך שיהיה נכון. () ( ) ( ) 0 ( ) 7 ( 7). 7 תנו שלוש דוגמאות לזוגות של מספרים הופכיים. רשמו זוג של מספרים שווים שהם הופכיים זה לז האם יש עוד זוגות כאלה? מהם? האם יש מספר שאין לו הופכי? מיהו? 8. רשמו בכל סעיף שני זוגות של מספרים הופכיים המקיימים: אחד מהם מספר שלם ואחד מהם אינו שלם. שניהם אינם שלמים. שניהם שלמים. 9. השלימ = 0 = = = 0 = 0 = = = = 0. כתבו את ההופכי לכל אחד מן המספרים הבאים. 8 7 8. מהו ההופכי של? של 00? של 000000? למי מהם הופכי קרוב יותר ל- 0? היכן על ציר המספרים יהיו המספרים ההופכיים למספרים הגדולים מ-?. היכן על ציר המספרים יהיו המספרים ההופכיים למספרים הקטנים מ- ()? 7 יחידה 6 כפל וחילוק של מספרים מכוונים
. באילו מן הזוגות הבאים המספרים הופכיים זה לזה? 0. 0. 0. 0 0. 0. 0. 0.8 0. 0.6 0.6 כתבו אם אפשר את ההופכי לכל אחד מן המספרים הבאים. בדקו במחשבון. 0.00 0. 0.6. 0.8 0. בביטוי זה:. נתון הביטוי. a אילו מספרים מתקבלים אם נציב מספרים גדולים מ- מספרים קטנים מ- מספרים בין 0 ל- מספרים בין 0 ל- איזה מספר לא בדקנו? מדוע?. השלימ +. a מייצג מספר שונה מ- 0. השלימו בטבלה: חיובי שלילי או אפס. a a a + a a a a a חיובי חיובי חיובי חיובי יחידה 6 כפל וחילוק של מספרים מכוונים 8
6. a מייצג מספר שונה מ- 0. השלימו בטבלה: חיובי שלילי או אפס. + a a a a + a a a a a + a a a a a חיובי חיובי חיובי חיובי 7. חשב 0 : (0) = : = (0) : () = 0 : (0) = : () = (0) : = 0 : () = ט. : () = 0 : () = 8. חלקו אם אפשר. אם אי-אפשר ציינו מדוע. : 0 = 0 : () = 0 : () = : (0) = : = () : () = 9. חשב 70 : = 0 : (0) = 0 : () = : (6) = 0 : () = : 8 = 8 : (7) = ט. 00 : () = 7 : () = 9 יחידה 6 כפל וחילוק של מספרים מכוונים
60. חשב : 6 = = (8) : 6 78 : () = = (9) : 8 : = = () : 8 : = 8 : = 6. חשב 7 : (0.) = = 0. : 6 : 0. = = () : 0. 600 : = = () : 7 80 : () = = () : 90 6. חשב : ( ) = 6 : ( ) = 6 : = : ( ) = : ( 7 ) = 7 : ( ) = 6. חלקו ללא שימוש במחשבון. ( ) : = : () 6 : = = : 6 = = ( ) : 0 ( ) :0 = כפלו את התוצאות של כל זוג תרגילים. מה קיבלתם? הסביר יחידה 6 כפל וחילוק של מספרים מכוונים 0
היא מספר חיובי שלילי או 0. 6. a מייצג מספר על ציר המספרים. קבעו אם המכפלה a והמנה : a היא מספר חיובי שלילי 0 או חסרת משמעות. 6. a ו- b מייצגים מספרים על הציר. קבעו אם המכפלה a b והמנה a : b 0 0 0 0 66. נתונה רשימת מספרים: בחרו בכל פעם שני מספרים מתוך הרשימה כך שיקיימו: מכפלתם מנתם.. מכפלתם גדולה ככל האפשר. מכפלתם קטנה ככל האפשר. מנתם גדולה ככל האפשר. מנתם קטנה ככל האפשר. יחידה 6 כפל וחילוק של מספרים מכוונים