תרגיל בית 3 מ ס פ ר י רמזי, מספרי טוראן, זיווגים, משפט קיילי וקוד פרופר: י ה י (E G =,V) ה ג ר ף ה מ ל א על 17 קדקודים. הוכיחו כ י ל כ ל צביעה של קשתות הגרף בשלושת הצבעים כ ח ו ל י ר ו ק ואדום קיימת שלשה של קדקודים בגרף שכל הצלעות ב י נ י ה ם צבועות באותו צ ב ע. (1 עבור קדקוד כ ל ש ה ו v ב ג ר ף נ ק ב ל כי משובח היונים קיים צ ב ע ב ו צ ב ו ע ו ת ל פ ח ו ת 6 מהקשתות היוצאות ממנו. לצורך פשטות נניח בה כ כ י ה צ ב ע ה י נ ו כ ח ו ל ונביט בתת ג ר ף ה מ ו ש ר ה על קבוצה ז ו. נניח בשלילה כי הטענה אינה נכונה. אם קיים זוג קדקודים בתת ג ר ף זה שהצלע המחברת ביניהם צ ב ו ע ה ב כ ח ו ל, נקבל בצירוף עם הקדקוד v ע צ מ ו משולש של קדקודים שכל צ ל ע ו ת י ו כחולות. אחרת, נ ק ב ל כ י ת ת ה ג ר ף ה מ ו ש ר ה ה י נ ו ת ת גרף בגודל 6 א ש ר צ ל ע ו ת י ו צבועות בשני צבעים בלבד : י ר ו ק ואדום. ממה שראינו בכיתה, אנו י ו ד ע י ם כ י = 6 (3,3)R ולכן בתת בגרף ז ה ק י י ם מ ש ו ל ש ש כ ל צ ל ע ו ת י ו אדומות או משולש שכל צ ל ע ו ת י ו י ר ו ק ו ת. י ה י S א ו ס ף ש ל 30 נקודות במרחב הדו- ממדי. נ ת ו ן כי המרחק (האוקלידי ( בין כ ל ש ת י נקודות ב- S הוא לכל היותר 1 ו. ה ו כ י ח כ י ב- S י ש לכל היותר 300 זוגות של נ ק ו ד ו ת שהמרחק ביניהן גדול מ- 1/ 2. ר מ ז : ידוע ממשפט Turan ש-. T(4) = 9: ; (2 נ ב נ ה ג ר ף G ב א ו פ ן ה ב א : S V = ונחבר שתי נ ק ו ד ו ת,x y ב צ ל ע א ם 2 /1 > (y.d(x, נניח בשלילה כ י ק י י מ ת ב- G ק ל י ק ה מ ג ו ד ל ) 4 A K). נ ח ל ק ל מ ק ר י ם : א) א ם 4 הנקודות יוצרות מלבן במרחב ) כ ל ו מ ר כל הזוויות הן 90 מ ע ל ו ת) ה ר י ש ה מ ר ח ק ב י ן ה נ ק ו ד ו ת ש ב פ י נ ו ת מ נ ו ג ד ו ת ש ל ה מ ל ב ן ה ו א ) ; x d(x B, = 1 1 > D Cd(x B, x D ) D + d(x D, x ; ) ב ס ת י ר ה ל נ ת ו ן. ב) א ם ה ן ל א י ו צ ר ו ת ר י ב ו ע ) כלומר קיימות 3 נקודות שהזווית ביניהן קטנה מ 90 מעלות ( א ז י ב ה כ ר ח ק י י מ ו ת 3 נ ק ו ד ו ת ; x x B, x D, שהזווית ביניהן גדולה מ- 90 מעלות. ל כ ן נקבל שוב : 1 = 1 > D d(x B, x ; ) Cd(x B, x D ) D + d(x D, x ; ) ב ס ת י ר ה ל נ ת ו ן. ;F : מכאן שבגרף אין קליקה מגודל 4 ולכן ממשפט Turan י ש ב- G לכל היותר = 300 ; צ ל ע ו ת. כלומר ב- S י ש לכל היותר 300 זוגות של נקודות שהמרחק ביניהם גדול מ- 1/ 2.
נסמנם ב( ייתכן שיש( תזכורת : שידוך M מרווה את קבוצת הקדקודים* נ י ת ן( וכמובן ש( כי בתת( V B י ה י E) G = (V B V D, ג ר ף ד ו צ ד ד י כ ך ש. E V B V D א) ה ו כ י ח ו כי קיים ז י ו ו ג M ה מ ר ו ו ה א ת ק ד ק ו ד י V B א ם ו ר ק א ם S S V B : u : א ם S. Γ(S).S, v s. t. (u, v) M ב) ה ו כ י ח ו כ י א ם ד ר ג ת כ ל ק ד ק ו ד ב- BV גדולה או שווה ל ד ר ג ת כ ל ק ד ק ו ד ב- V D א ז ק י י ם ב- G זיווג המרווה את להשתמש בסעיף הקודם (. (3 = קיים> אם זיווג המרווה את קדקודי V B מושלם, בפרט הוא שידוך ע ב ו ר ת ת ה ג ר ף G המושרה, התת- גרף על הקדקודים ) B V B Γ(V ש ל G ז ה י ש א ת כ ל ה ק ש ת ו ת מ- BV ל ש כ נ י ו וכל הקדקודים השכנים נ מ צ א י ם ב ו (. ל כ ן, ל כ ל S V B מ ת ק י י ם S Γ Y B א ך מ כ י ו ו ן ש מ ס פ ר ה ש כ נ י ם ש ל ק ב ו צ ה V ב ג ר ף G ש ו ו ה ל מ ס פ ר ש- ( S ) X ה ש כ נ י ם ש ל ה ב-, G B נ ק ב ל כ י Γ(S) V B = Γ(V B ( S כ י יש ביניהם ש י ד ו ך. > = ר א ש י ת נ ש י ם ל ב כ י Γ(V B ) V D ו ל כ ן לפי הנחת השאלה V B Γ(V B ( V D ם. א V B = V D מ מ ש פ ט Hall נ ק ב ל כ י י ש זיווג מושלם בגרף ו ל כ ן ב פ ר ט מ ר ו ו ה א ת. V B ל כ ן נ נ י ח כ י V. B < V D נ ג ד י ר גרף חדש G ע ל י ד י ה ו ס פ ה ש ל ע ו ד B V D V ק ד ק ו ד י ם ל- G B V א ת ה ק ד ק ו ד י ם ה ח ד ש י ם י ח ד ע ם ( V B ו נ ח ב ר כל קדקוד מהקדקודים ה ח ד ש י ם לכל קדקודי V. D ר א ש י ת נ ש י ם ל ב כי הגרף ד ו- צ ד ד י עם הצדדים B V D ו מ ה ג ד ר ת ו D V. V Y B = V ל כ ל Y A V B מ ת ק י י ם Γ(A) A מ: א ם ב- A א י ן ק ד ק ו ד י ם ח ד ש י ם V Y B V\ B נ ק ב ל ז א ת מהנתון, אחרת קיים ב- A קדקוד חדש ו ל כ ן A Γ(A) = V D >. ל כ ן נקבל ממשפט Hall שיש ז י ו ו ג ב- G, ו ה י ו ת ולא הוספנו צ ל ע ו ת ל ק ד ק ו ד י V B ה ו א מ ר ו ו ה א ת ק ד ק ו ד י ג ם ב ג ר ף G. V B א) ב) נ ס מ ן ב- d א ת ה ד ר ג ה ה מ י נ י מ ל י ת ב-. BV א ז י ל כ ל v V B מ ת ק י י ם deg(v) d ו ל כ ל u V D מ ת ק י י ם. deg(u) d כ ע ת, נתבונן בקבוצה A V B שכל. מכיוון צלע שחלה ב ק ד ק ו ד מ- A מ ח ב ר ת ב י ן ק ד ק ו ד מ- A לקדקוד ב-( Γ(A ם, מ ת ק י י כ י: e deg(a) j i e deg(b) g h(i) צלעות המחברות בין קדקוד ב-( Γ(A לקדקוד שאינו ב- A אך ל א ל ה י פ ך (. ל כ ן, d Γ(A). d A deg(a) deg(b) כ ל ו מ ר, Γ(A) A. j i g h(i) בצירוף הטענה משאלה 1 נקבל את הנדרש. שני הקוסמים ג נ ד א ל ף ו ס א ר ו מ ן נ ו ת נ י ם לקהל משולהב חפיסת קלפים. מתנדב מהקהל מערבב את החפיסה, בוחר אקראית חמישה קלפים מתוך החפיסה ונותן אותם ל ס א ר ו מ ן. סארומן מביט בהם, מראה לגנדאלף ארבעה קלפים מתוכם מסודרים בשורה, ו ג נ דא ל ף (4
ב ס ד ר ה נ כ ו ן (.( ה ע ר ה :* צריך פשוט( מ ה ו ו ה A ק ל פ י ם מ ת ו ך ה- 5 מ צ ל י ח ל ג ל ו ת מ ה ה ק ל ף ה ח ס ר. פ ע נ ח ו א ת ה ק ס ם - ה צ י ע ו ש י ט ה לביצוע הקסם ו ה ו כ י ח ו ש ה י א ע ו ב ד ת. ג נ ד א ל ף וסארומן חברים ו ת י ק י ם ו י כ ו ל י ם לתכנן אסטרטגיה מראש. בנוסף, בחפיסת הקלפים ישנם 52 קלפים שונים ז ה מ ז ה ) כ א ש ר י ש נ ם 13 ערכים שונים ו א ר ב ע ה סוגים שונים ע ב ו ר כ ל ע ר ך (. נ ג ד י ר ג ר ף ד ו צ ד ד י (E G. = V) B V D, V י ה י ו כל החמישיות האפשרויות של הקלפים, כ ל ו מ ר l md ק ד ק ו ד י ם מ א ח ר ו א נ ו ב ו ח ר י ם m n B 52 ללא חשיבות ל ס ד ר. V י ה י ו כל הרביעיות הסדורות של 4 קלפים, כ ל ו מ ר l md!4 ק ד ק ו ד י ם מ א ח ר ו ק ו ד ם A n D נ ב ח ר 4 ק ל פ י ם מ ת ו ך ה- 52 ו א ז נסדר אותם בשורה (!4). נ מ ת ח צלע בגרף בין חמישייה לכל הרביעיות הסדורות כך שארבעת הקלפים ברביעייה מוכלים בחמישייה. נ ק ב ל כ י ד ר ג ת כ ל ח מ י שי י ה ב- BV ה י א = 120!5 =!4 n l m י( כ ל ת ת A ה ק ב ו צ ו ת כ פ ו ל כל הסידורים (. ל ע ו מ ת ז א ת ה ד ר ג ה ש ל כ ל ר ב י ע יי ה ס ד ו ר ה ב- V D ה י א 48 לבחור איזה קלף נ ו ס ף יהיה בחמישייה חוץ מה- 4 שחייבים ל ה י ו ת ב ה (. מהשאלה הקודמת קיים ז י ו ו ג M ש מ ר ו ו ה א ת כל קדקודי V. B ה ק ס ם עובד בצורה הבאה: ג נ ד א ל ף וסארומן משננים את הזיווג M. ע ל כל חמישייה שסארומן מקבל הוא חושף את הרביעייה הסדורה שמתאימה לה בזיווג ג נ ד א ל ף רואה את הרביעייה הסדורה שסארומן חשף, בודק מה החמישייה ש מ ת א י מ ה לה מהזיווג ומציין מה הקלף החסר מהחמישייה. י ה י ג ר ף (E G =,V) כ ך ש- V = 2k ע ב ו ר 2 k ט ב ע י כ ל ש ה ו. נ ת ו ן כ י V v 2/n deg(v) ו. ה ו כ י ח כ י ב- G ק י י ם זיווג מושלם ) בהכרח G איננו ד ו צ ד ד י (. (5 א ם = 2 k נ ק ב ל ש ל כ ל v V מ ת ק י י ם = 2 deg(v), כ ל ו מ ר ה ג ר ף ה י נ ו ה ג ר ף ה ד ו צ ד ד י K D,D ו ל כ ן ק י י ם ב ו זיווג מושלם. א ח ר ת 3 k ולכל שני קדקודים ) בפרט שאינם שכנים ( V,u v מ ת ק י י ם כ י. deg(u) + deg(v) 9 + 9 = n D D ל כ ן נקבל ממשפט Ore כי בגרף קיים מעגל המילטון. נ ש י ם לב שמעגל המילטון ע ב ו ר מ ס פ ר ז ו ג י ש ל ק ד ק ו ד י ם ה ו א ב פ ר ט זיווג מושלם. עבור המעגל v B, v D, v Dv, v B נ ק ב ל ש ל כ ל i מ ת ק י י ם ש v) Dx, v DxyB ) E ו ל כ ן נ י ת ן לשדך את הקדקודים במקומות הזוגיים לקדקודים האי זוגיים העוקבים אחריהם במעגל המילטון. ת ה י {1,2,3,4,5,6,7} = A ו. ה ו כ י ח כ י ק י י מ ת ת ת- ק ב ו צ ה S A כ ך ש- = 4 A ו- קבוצה בלתי תלויה בלפחות 481 ע צ י ם פ ו ר ש י ם ש ל A. (6
א ש ר( מכיוון שעץ הינו בפרט( כאשר מתקיים ש( ב י ן( לפי משפט קיילי י ש נ ם 7 m עצים שונים ע ל A. נעזר בעיקרון שובך היונים י ש נ ם l A n יהוו את השובכים (. נ ש י ם לב שבכל ע ץ ישנה קבוצה בלתי A ק ב ו צ ו ת ב ג ו ד ל 4 ש ל ג ר ף ד ו צדדי (. העצים יהוו את היונים, כ א ש ר י ת כ ן תלויה בגודל 4 ש ל ע ץ י ה י ו כמה קבוצות בלתי תלויות מגודל 4 ו ב מ ק ר ה ז ה ה ע ץ י כ נ ס למספר שובכים. נ ע ב ו ר ע ל כל העצים המתויגים ונתאים אותם לקבוצה הבלתי תלויה המתאימה. מעיקרון ~ } שובך היונים, קיים שובך ע ם ל פ ח ו ת = 481 480.2 = l n תהי קבוצה Z} ( λ = 26) λ = {A, B, C,, של. בוחרים קבוצה n קדקודים מתוך λ כ ך ש- 26 n ם. מ ח ש ב י ע ץ ע ל n ה ק ד ק ו ד י ם ש נ ב ח ר ו א ש ר ק ו ד ה פ ר ו פ ר ש ל ו ה ו א. ( A = 1, B = 2,, Z = 26 MISSISSIPPI מצאו מהו n ומהו מספר העלים בעץ. א) בכמה אפנים שונים נ י ת ן לבחור את n האותיות מתוך λ כך שהעץ המתאים ל ק ו ד ב) MISSISSIPPI ע ל ה ק ב ו צ ה ש נ ב ח ר ה מ כ י ל א ת ת ת- ה ע ץ ה ב א : (7 ר א ש י ת נ ב ח י ן כ י כל אות מייצגת קדקוד. במילה הנ ל ישנן 11 אותיות ו ל כ ן לפי קוד.n כ ל ו מ ר = 13, n 2 מתקיים = 11 Prufer מ ת ו ך 13 הקדקודים ישנם ארבעה {P,M},I,S א ש ר מ ו פ י ע י ם ב ק ו ד ולכן אינם ע ל י ם, כלומר מספר העלים הינו = 9 4.13 כ ע ת נ ס פ ו ר א ת מ ס פ ר ה ע צ י ם ה מ כ י ל י ם א ת ת ת ה ע ץ : בקוד D אינו מופיע Prufer ולכן הינו עלה. מהדרישה, D מחובר ל- M. מכיוון שהאות M מופיעה ר ק פ ע ם א ח ת ב ק ו ד Prufer והיא מופיעה ראשונה, בהכרח D הינו העלה המינימלי בעץ. ל א ח ר ה ו ר ד ת D, ה א ו ת M ה י א עלה המחובר לאות. P ל כ ן ק י י מ י ם 7 עלים אשר ע ר כ ם ק ט ן מ ) M כיוון שקוד Prufer מכיל את רשימת הקדקודים ISSISSI ה מ ה ו ו י ם מ ח י ק ת עלים בעל ע ר ך נ מ ו ך י ו ת ר מ ( M. א ו ת ם עלים בעל ע ר ך ג ד ו ל 5 ל 12 ם) ה מ ת א י מ י ל- ISSISSI ף,. ב נ ו ס מ. D י ש נ ם 7 עלים בעלי ערך בין D ל- M ל א ח ר כ ת י ב ת MISSISS גם הקדקוד S ה י נ ו עלה אשר מחובר ל- P, ע ר ך S > M ו ל כ ן ה. S ואילו השני נ כ ת ב לאחר הורדת קדקוד M ה ר א ש ו ן נ כ ת ב לאחר הורדת הקדקוד P מ ש י ק ו ל י ם דומים בהכרח P מחובר ל- I, ו י ש נ ו עוד קדקוד המחובר ל- I ש ע ר כ ו ג ד ו ל י ו ת ר ו ל כ ן I ה י נ ו ה ק ד ק ו ד ה א ח ר ו ן א ש ר נכתב בקוד. Prufer ישנן 7 אפשרויות לקדקוד הנ ל. לכן בסה כ מספר העצים הינו: {l 1. } n 7 = 7
הגרף( דרגתו בתת- בהכרח- מנוון הוא תרגילי חזרה :* מנוון אם- ה ג ד ר ה : ג ר ף (E G =,V) י ק ר א d כ ך ש- d deg(v) ה ו כ י ח ו כ י כ ל ג ר ף d כ ד א י לפתור אך אינם ל ה ג ש ה לכל תת- גרף שלו ) Y G Y = (V Y, E ק י י ם V v. ( ק ט נ ה ש ו ו ה ל- d G + 1 d צ ב י ע. (8 ה ו כ י ח ו כי בהינתן מספר טבעי k ק י י ם מ ס פ ר N(k) כך שכל סדרת מספרים טבעיים a B, a D,, a v מ כ י ל ה ת ת- ס ד ר ה (לא בהכרח ר צ ו פ ה ( ל א עולה או ל א י ו ר ד ת ) ת ת- ס ד ר ה מונוטונית חלשה (. (9