אלגברה ליניארית/מודרנית 1 פתרון 12 9 בפברואר 2017 הערה כללית: שימו לב, אם מדובר בשאלה בכמה שדות שונים (ובאופן כללי), חשוב לעקוב איפה מתרחשות הפעולות בכל דבר שרושמים ולאיזה מהשדות שייך כל דבר, ומאיפה לאיפה פועלות הפונקציות המדוברות..1 נביט בשדה Z p (כאן p ראשוני), ויהי a Z p כלשהו. נביט בפונקציה ϕ : Z p Z p המוגדרת ע"י ϕ(x) = ax עבור אילו ערכי a Z p זהו איזומורפיזם מ Z p לעצמו? (ראו פונקציה זו בתרגילים קודמים. אפשר תחילה להסתכל על מקרה פרטי של p ו a ים, לברר מה קורה שם, ואז להוכיח למקרה הכללי את טענותיכם.) פתרון. הוכחנו בתרגול שאם ϕ הוא איזומורפיזם של שדות, אז הוא בהכרח מעביר את 1 של התחום ל 1 של התווך, כלומר כדי ש ϕ יהיה איזומורפיזם חייב להתקיים = 1 (1)ϕ כאן (אבל זהו לא תנאי מספיק, רק הכרחי). נשים לב שבמקרה שלנו,.ϕ(1) = a 1 = a לכן אם 1 a, אז ϕ לא איזומורפיזם. אם = 1 a, אז מדובר בפונקציה ϕ(x) = x (פונקצית הזהות, מעבירה כל איבר לעצמו). נוכיח שהיא איזומורפיזם. לשם כך, עלינו לבדוק את ארבעת התכונות הבאות: (הערה: שתי התכונות הראשונות כאן חד חד ערכיות ועל מתקיימות תמיד עבור פונקצית הזהות, בלי קשר למקרה פה או לשדות, זוהי טענה כללית על פונקציות בין קבוצות.) (א) ϕ חח"ע. אכן, אם ϕ(y) ϕ(x) = עבור,x, y Z p זה בדיוק אומר ש.x = y כלומר זוהי פונקציה חח"ע. (ב) ϕ היא על. יהי.y Z p עלינו להוכיח שקיים t Z p כך ש.ϕ(t) = y אבל באמת קיים כזה t: ניקח t = y (כלומר y עצמו) ואז מהגדרת ϕ אכן.ϕ(t) = t = y כלומר ϕ היא על. (ג) ϕ שומרת על חיבור. יהיו.x, y Z p עלינו להוכיח ש ϕ(x)+ϕ(y).ϕ(x+y) = אבל זה באמת נכון פשוט מהגדרת,ϕ שהרי ϕ(x + y) = x + y ו x,ϕ(x) =.ϕ(y) = y (ד) ϕ שומרת על כפל. יהיו.x, y Z p עלינו להוכיח ש ϕ(y).ϕ(x y) = ϕ(x) אבל זה שוב נובע באופן מיידי מהגדרת הפונקציה, שהרי = y ϕ(x (y = x.ϕ(x) ϕ(y) 1
לכן סה"כ קיבלנו שאם 1,a אז ϕ(x) = ax לא איזומורפיזם, ואם = 1,a אז ϕ כן איזומורפיזם..2 יהיו F, K שני שדות ותהי ϕ : F K פונקציה ביניהם. (א) הוכיחו כי אם ϕ היא איזומורפיזם של שדות, אז היא מעבירה את 0 F ל 0, K כלומר.ϕ(0 F ) = 0 K (באילו תכונות של ϕ השתמשתם?) הוכחה. על מנת להוכיח ש,ϕ(0 F ) = 0 K מספיק להראות ש ϕ(0 F ) K מקיים את התכונה הדרושה מהאפס של השדה K, כיוון שאנו יודעים שאיבר האפס בשדה הוא יחיד. התכונה שיש להוכיח היא שלכל y K מתקיים ϕ(0 F ) + y = y יהי y K (כלשהו). נוכיח את השוויון הדרוש. נשים לב ש ϕ היא איזומורפיזם ובפרט היא על, לכן קיים x F כך ש ϕ(x) = y (למעשה, x הזה הוא יחיד, כיוון ש ϕ חח"ע, אבל פה זה לא חשוב לנו, מספיק לנו שקיים איזשהו x, וניקח אחד כזה). אז נוכל לרשום ש ϕ(0 F ) + y = ϕ(0 F ) + ϕ(x) = ϕ(0 F + x) = ϕ(x) = y (השתמשנו בכך ש ϕ שומרת על חיבור ובהגדרה של איבר האפס ב F : 0 F x+ = (.x F לכל x לכן הוכחנו ש ) F 0)ϕ מקיים את התכונה הדרושה מאיבר האפס של K ולכן מיחידות של איבר אפס בשדה, נובע שזהו איבר האפס עצמו, כלומר = ) F 0)ϕ.0 K (הערה: בהוכחה הזאת השתמשנו בכך ש ϕ היא על ובכך שהיא שומרת על חיבור, לא היינו צריכים את שתי התכונות האחרות. בהוכחה אחרת ייתכן ונזדקק לתכונות האחרות.) (ב) נניח הפעם ש ϕ מקיימת את שתי התכונות הבאות בלבד: ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) a, b F ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) a, b F (כלומר, ϕ "שומרת על הפעולות" חיבור וכפל). הוכיחו שוב ש 0)ϕ F ) = 0 K (בהשתמש רק בשתי התכונות האלה). הוכחה. נסמן.b = ϕ(0 F ) K נשים לב שמתקיים b + b = ϕ(0 F ) + ϕ(0 F ) = ϕ(0 F + 0 F ) = ϕ(0 F ) = b אם נחבר לשני האגפים את הנגדי של ) F 0)ϕ (כלומר, נחבר b לשני האגפים), נקבל ( b),b + b + ( b) = b + כלומר.b + 0 K = 0 K כלומר,.b = 0 K וזה מה שרצינו להוכיח. (ג) נניח ש ϕ מקיימת את שתי התכונות מסעיף ב' ובנוסף שהיא אינה זהותית אפס, כלומר שהיא לא מעבירה הכל ל 0 K (במילים אחרות, קיים איבר x F כך ש זאת בתרגול תחת ההנחה ש ϕ [הוכחנו.ϕ(1 F ) = 1 K הוכיחו כי.(ϕ(x) 0 K 2
היא איזומורפיזם. כאן ההנחה חלשה יותר.] הוכחה. לפי ההנחה, קיים x F כך ש 0.ϕ(x) נשתמש ב x הזה כדי להוכיח את הדרוש. נשים לב שמהתכונות של ϕ שהנחנו ומתכונות של שדה נובע: ϕ(1 F ) ϕ(x) = ϕ(1 F x) = ϕ(x) לפי ההנחה, 0,ϕ(x) כלומר זהו איבר שונה מאפס בשדה K, לכן יש לו הופכי בשדה זה. נכפיל בהופכי שלו, 1,(ϕ(x)) את שני האגפים ונקבל ש ϕ(1 F ) ϕ(x) (ϕ(x)) 1 = ϕ(x) (ϕ(x)) 1 כלומר.ϕ(1 F ) 1 K = 1 K אז מההגדרה של 1 K קיבלנו בשוויון האחרון ש,ϕ(1 F ) = 1 K כדרוש. 3. יהי ϕ : F K איזומורפיזם בין שני שדות F ו K ויהי b. F הוכיחו כי אם ב F יש פתרון למשוואה x 3 = b (כלומר קיים t F כך ש t), 3 = b אז ב K ישנו פתרון למשוואה ϕ(b).x 3 = הוכחה. נניח כי t F הוא פתרון של המשוואה,x 3 = b כלומר מתקיים t 3 = b (ב F ). אם נפעיל את הפונקציה ϕ על שני האגפים (שניהם איברים בתחום שלה, והם שני איברים שוים, לכן גם התוצאות תהיינה שוות, מן הסתם), נקבל ϕ(b).ϕ(t 3 ) = כיוון ש ϕ שומרת על כפל, נקבל כי ϕ(t),ϕ(t 3 ) = ϕ(t t t) = ϕ(t) ϕ(t) כלומר ϕ(b) (ϕ(t)) 3 = זה מה שכתוב בשוויון האחרון שהתקבל מהנתון. כלומר, האיבר ϕ(t) K מקיים את המשוואה ϕ(b) x, 3 = כלומר תחת ההנחות, כי פתרון למשוואה הזאת ב K, כדרוש. 4. האם קיים איזומורפיזם בין השדות (2 )Q ו ( 3 )Q? רמז: היעזרו בשאלה הקודמת. פתרון. לא קיים איזומורפיזם ביניהם! נניח בשלילה שקיים כזה וניקח אחד כזה, נקרא לו 3) Q(.ϕ : Q( 2) נביט במשוואה = 2 2.x יש לה פתרון ב 2) Q( (למעשה, 2 ו 2 שניהם פתרונות שלה). לכן לפי התרגיל הקודם, למשוואה (2)ϕ x 2 = צריך להיות קיים פתרון ב (3 )Q. נברר מהו (2)ϕ: ϕ(1 Q( 2) ) = 1 Q( 3) לפי מה שהראנו בתרגול וקודם בתרגיל זה, חייב להתקיים (כלומר 1 עובר ל 1 ). לכן מכיוון ש ϕ שומרת על חיבור, נקבל ש ϕ(2) = ϕ(1 + 1) = ϕ(1) + ϕ(1) = 1 + 1 = 2 Q( 3) לכן קיבלנו שלמשוואה = 2 2 x יש פתרון ב 3 Q. אבל זה לא ייתכן! כי אם היה כזה פתרון, נקרא לו 3) Q(,x = a + b 3 אז היה מתקיים כביכול x 2 = 2 (a + b 3) 2 = 2 a 2 + 2 3ab + 3b 2 = 2 מכאן שניתן להביע את המספר האי רציונאלי 2 באופן הבא: 3 = 2 a 2 3b 2 2ab 3
כלומר קיבלנו ש 3 הוא מנה של שני מספרים רציונאליים, כלומר הוא גם כן רציונאלי, וזה לא נכון! קיבלנו סתירה, לכן ההנחה שלנו לא היתה נכונה. כלומר, לא קיים איזומורפיזם בין שני השדות המדוברים בשאלה. (הערה: כאן 0 b,a, אחרת, אם או a או b שוים ל 0, אז מיד מהשוויון הקודם היינו מקבלים ש = 2 2 a או = 2 2,3b ושניהם לא יכולים להתקיים עבור (.a, b Q.5 יהי ϕ : F K איזומורפיזם בין שני שדות.F, K הוכיחו כי לכל x F מתקיים שהאיבר ההופכי של ϕ(x) ב K הוא ) 1.ϕ(x (במילים אחרות, יש להוכיח ש ( 1 ϕ(x מקיים את התכונה הדרושה מהופכי של.ϕ(x) רשמו תחילה מה התכונה הדרושה.) [התכונה שנוכיח כאן היא במילים אחרות: לקחת את x, להפעיל עליו את ϕ ואז לקחת הופכי של מה שהתקבל, זה אותו הדבר כמו להביט ב x, לקחת את ההופכי שלו 1 x, ואז להפעיל את ϕ על 1 x.] הוכחה. עלינו להוכיח ש ) 1 ϕ(x b = מקיים את התכונה שדרושה מההופכי של,ϕ(x) כלומר שמתקיים.b ϕ(x) = 1 K נחשב: b ϕ(x) = ϕ(x 1 ) ϕ(x) = ϕ(x 1 x) = ϕ(1 F ) = 1 K כדרוש. לכן מיחידות של הופכי בשדה נובע ש ( 1 ϕ(x הוא אכן ההופכי של.ϕ(x) (המעבר השני הוא מכך ש ϕ שומרת על כפל, והבא הוא מהגדרת הופכי, והאחרון הוא מכך שהוכחנו כי איזומורפיזם של שדות מעביר את 1 F ל 1.) K שאלות נוספות.1 האם הפונקציה ψ : Z p Z p המוגדרת ע"י ψ(x) = x p היא איזומורפיזם מ Z p לעצמו (מה שנקרא "אוטומורפיזם")? רמז: ישנו פתרון מהיר ולא קשה מדי (המשתמש בתכונות של פעולות ב Z p שהוכחנו פעם) וישנו פתרון ארוך יותר שלמעשה מוכיח מחדש תכונות אלה. פתרון. עלינו לבדוק האם ψ מקיימת את ארבעת התכונות הדרושות מאיזומורפיזם, כלומר האם היא חח"ע, על, שומרת על חיבור, שומרת על כפל. נשים לב ששמירה על חיבור וכפל מתקיימת: ψ(x + y) = (x + y) p = x p + y p = ψ(x) + ψ(y) ψ(xy) = (xy) p = x p y p = ψ(x) ψ(y) (התכונה השניה די ברורה ונובעת מהגדרת חזקה ואינדוקציה, אם רוצים לדייק. התכונה הראשונה היא המהותית כאן והיא נובעת מטענה שהוכחנו עבור שדה עם מציין,char = p שהיא בדיוק אומרת כי לכל שני איברים בשדה עם מציין p (ראשוני) מתקיים (x + y) p = x p + y p (דיברנו על זה בתרגול וגם בתרגילים קודמים, ההוכחה משתמשת בבינום ניוטון). נותר להוכיח ש ψ היא חח" ע ועל. נבחן את הפונקציה הזאת ביתר ריכוז: נראה תחילה שהיא חח" ע: דרך א'. נניח כי ψ(b),ψ(a) = ועלינו להוכיח ש.a = b לפי ההנחה,,a p = b p לכן = 0 p.a p + ( b p ) = a p b ניעזר שוב בבינום ניוטון: p ( ) p (a b) p = a p k ( 1) k b k = a p + ( 1) p b p (mod p) ( ) k k=0 4
הסבר: השוויון האחרון נובע מאותו שיקול שהזכרנו קודם: לכל 1 p k 1, ) ( מכיל את p במונה ובמכנה ישנם רק מספרים p k = p! k!(p k)! המקדם הבינומי שקטנים מ p, ולכן כיוון ש p ראשוני, איננו כפולה של שני מספרים שקטנים ( ממנו, p ) לכן אין שום דבר במכנה שיכול לצמצם את p שבמונה. לכן המספר (השלם!) k מתחלק ב p עבור k בין 1 ל 1 p. כלומר בשדה Z p כל המקדמים חוץ מהראשון מהאחרון מתאפסים (אלא שמתאימים ל 0 = k ו p k = לא מתאפסים, כי שם דווקא כן מופיע p גם במכנה). לכן מכל הסכום נשארים רק המחובר הראשון והאחרון, שזה מה שרשמנו בשוויון ( ). כעת נבחין בין שני מקרים: (a b) 2 = a 2 + b 2 (mod 2) אם = 2 p, אז ( ) אומר לנו ש אבל בשדה עם מציין,2 c c = (כי = 0,(2c לכן,b 2 = b 2 לכן למעשה כתוב כאן לפי ההנחה שלנו ש a: 2 = b 2 (a b) 2 = a 2 b 2 = 0 לכן = 0 2 (b a), ובשדה מכפלת שני איברים שווה ל 0 אם ורק אם לפחות אחד מהם שווה ל 0 (הוכחנו תכונה זו שקראנו לה "בשדה אין מחלקי אפס"). לכן שהכרח = 0 b a בעצמו, לכן a = b (ע"י חיבור של b לשני האגפים), כדרוש. אם > 2 p ראשוני, כלומר הוא ראשוני אי זוגי, אז השוויון ( ) אומר ש (a b) p = a p + ( 1) p b p = a p b p = 0 לכן מאותו שיקול ("בשדה אין מחלקי אפס") נקבל שוב ש = 0 b a, כלומר.a = b לכן ψ היא חח" ע. דרך ב'. נראה ברישום קצת אחרת שמדובר בפונקציה חח"ע. יהיו x, y Z p שונים: x y (נניח x < y < p.(0 עלינו להוכיח כי ϕ(y) ϕ(x) כלומר כי.x p y p נרשום y = x + k כאשר < k < p x.0 אז לפי בינום ניוטון, y p x p = (x + k) p x p = i=0 p i=0 p 1 ( ) p = x p + x i k p i x p = i ( ) p x i k p i x p = i p 1 i=0 ( ) p x i k p i i ( p בשדה עם מציין p: הם כולם מתאפס i) אנו כבר מלומדים בנוגע למקדמי בינום פרט ל i. =,0 p לכן סה"כ = k p 5
כלומר, עלינו רק להוכיח ש p) k p 0 (mod כאשר < k < p x.0 אבל אנו יודעים כי כדי שיתקיים = 0 p k דרוש ש k p יתחלק ב p. וכיוון ש p < k < p x 0 אכן k לא מתחלק ב p. מכאן הדרוש. הערה: הוכחה זהה לגבי שמירה על חיבור ועל כפל תקפה לכל שדה עם מציין p, גם שדות אינסופיים. כלומר, בשדה עם מציין p תמיד נוכל להגדיר העתקה (=פונקציה) שתשמור על הפעולות: x. x p באופן כללי, העתקה משדה לעצמו השומרת על הפעולות נקראת אנדומורפיזם או פשוט מורפיזם מהשדה לעצמו. המורפיזם המסוים הזה, השולח כל איבר לחזקת p שלו נקרא אנדומורפיזם פרובניוס, לכבוד 1917) (1849 robenius.f erdinand Georg F (העתקה זו יכולה להיות מוגדרת גם במבנים יותר כלליים משדות. ויש לה שימוש למשל בתחום באלגברה שנקרא תורת גלואה.) למה היא גם על? ברגע שהראנו שמדובר בפונקציה חח"ע, אנו יכולים להסיק שהיא גם פונקציה על, כיוון שמדובר בפונקציה מקבוצה סופית לעצמה: אם היא חח"ע, אז התמונה שלה, שזו הקבוצה } p {x p : x Z p } = {0 p, 1 p,..., (p 1) היא קבוצה בת p איברים בדיוק (כי הוכחנו שכל שניים מהם שונים זה וזה), לכן התמונה היא תת קבוצה של Z p שבה יש בדיוק p איברים שונים, כלומר זו כל הקבוצה. (אם זו לא היתה כל הקבוצה, כלומר אם בתמונה פחות מ p איברים, היינו מקבלים סתירה לחד חד ערכיות שכבר הוכחנו). [טיעון זה תקף עבור כל פונקציה מקבוצה סופית לעצמה: אם הפונקציה היא חח" ע, אז היא גם על, ולהפך. כלומר במקרה כזה חח"ע ועל שקולות זו לזו וגוררות זו את זו, אבל זה לא תקף במקרה כללי!] פתרון נוסף לשאלה קצר יותר. ניזכר שהוכחנו את משפט פרמה הקטן, על פיו לכל a Z p מתקיים (p a. p = a (mod לכן ההעתקה שלנו היא למעשה העתקת הזהות! ולכן בוודאי היא איזומורפיזם בין Z p לעצמו. הערה: כדאי לשים לב שההוכחה נראית קצרה, אבל הרי השתמשנו במשפט לא טריביאלי שהוכחנו קודם, וההוכחה שלו (שהיא נחמדה מאוד) דרשה כמה מעברים ורעיון לא טריוויאלי (ממבט ראשון לפחות). (כמו כן, כדאי לשים לב שההוכחה הקודמת של חח"ע לדוגמא עובדת גם בשדה כללי עם מציין p, לאוו דווקא Z p ואילו המשפט הקטן של פרמה הוכח אצלינו רק למקרה הפרטי של Z, p לכן למקרה כללי יותר לכל הפחות נצטרך להכליל את ההוכחה של המשפט הקטן של פרמה או לבדוק האם ההוכחה שהיתה לנו עובדת גם למקרה כללי יותר.) 2. (חזרה על טענה מההרצאה) הוכיחו כי השדה GF 4 (שדה עם 4 איברים) נקבע באופן יחיד עד כדי איזומורפיזם, כלומר שעד כדי איזומורפיזם ישנו שדה אחד בעל 4 איברים (כל שני שדות בעלי 4 איברים הם איזומורפיים). פתרון. תחילה נבנה שדה כזה עם 4 איברים (נגדיר את פעולות החיבור והכפל בו, זה משהו שכבר נעשה בהרצאה וגם הוזכר בתרגול) ולאחר מכן נוכיח שהוא יחיד עד כדי איזומורפיזם. 6
בניה. ניקח את האיברים,0 1 שחייבים להיות בשדה ונוסיף עוד שני איברים,a b השונים מהם ושונים זה מזה. נרצה להגדיר על ארבעת האיברים האלה חיבור וכפל שיקיימו את כל התכונות הדרושות מהם כפעולות של שדה וגם כך שיתקבל שדה עם מציין 2 (שדה בעל ארבעה איברים חייב להיות בעל מציין 2. למה לא 3? את זה נגלה תיכף במהלך בניית הטבלאות. אז נבנה מבלי להניח זאת.) נתחיל מטבלת הכפל 0 1 a b 0 0 0 0 0 1 0 1 a b a 0 a b 0 b 0 1 a b 0 0 0 0 0 1 0 1 a b a 0 a 1? b?! b 0 b 0 1 a b 0 0 0 0 0 1 0 1 a b a 0 a b 1 b 0 b 1 a הסבר: נביט בשורה של a. עבור a 2 יש שני ערכים אפשריים:,1 b (כיוון שבכל שורה בטבלה אמור להופיע כל איבר פעם אחת בדיוק). האם ייתכן ש 1 = 2 a? אז,ab = b לכן a, 2 = b לכן זה לא ייתכן. אבל אז = 1 a (כי 0 b ואפשר לצמצם בו)..b 2 = ו a ab = 1 = ba נעבור לטבלת החיבור: + 0 1 a b 0 0 1 a b 1 1 a a b b + 0 1 a b 0 0 1 a b 1 1 a? b 0 a a b b?! b b 0 + 0 1 a b 0 0 1 a b 1 1 0 b a a a b 0 1 b b a 1 0 האם ייתכן ש a = 1 1? + אז מה לגבי + a 1? הוא לא יכול להיות שווה a או 1 (כי אז השני מהם הוא 0), ולכן הוא בהכרח שווה ל b. ואז = 0 b + 1. מה לגבי a? + a a + a = a(1 + 1) = a 2 = b אבל זה יוצר סתירה בטבלת החיבור שלנו. לכן לא ייתכן = a 1 1 + ובאופן דומה גם לא = b 1.1 + (ולא = 1 1 1 + כי אז = 0.(1 לכן = 0 1 1 + בהכרח. לכן גם.b + b וגם = 0 a + a = a(1 + 1) = a 0 = 0 כמו כן, + a 1 לא יכול להיות,1 a,0, לכן הוא חייב להיות b. זה גורם לנו להשלים את הטבלת החיבור. הקבוצה {b F =,0},1,a עם חיבור וכפל שמוגדר ע"י טבלאות אלה אכן מהווה שדה. לכן הוכחנו כרגע כי קיים שדה עם ארבעה איברים. חוץ מזה, הגענו למסקנה שהוא חייב להיות עם מציין 2. אבל האם יכולים להיות כמה שדות שונים כאלה? מה זה שונים בכלל? אנו רוצים שדות עד כדי איזומורפיזם, שהרי קיום איזומורפיזם בדיוק אומר כי השדות זהים עד כדי שינוי בסימונים. לכן נשאר להשתכנע שכל שדה אחר עם 4 איברים יהיה בעל טבלאות כפל וחיבור זהות (ולמעשה בנינו אותן כאן, ואכן יש רק אפשרות אחת לבנות את הטבלאות, עד כדי שינוי בשמות איברי השדה). הוכחת יחידות. נניח כי יש לנו שדה אחר בעל ארבעה איברים } b.f = {0, 1, a, 7
נשים לב כי טבלאות החיבור והכפל שבנינו חייבות להיות זהות כאן (תו באותו תו עם תג). כמו כן, ניתן לסדר דווקא בסדר זה את b a, בכתיבת הטבלאות, בכל מקרה התפקידים שלהם סימטריים כך שאם נרצה להחליף ביניהם, כל שעלינו לעשות הוא להחליף בהתאם,a b גם בתוך הטבלה (1,0 ישארו במקום). לכן נוכל לקחת איזומורפיזם F ϕ : F בין שני השדות המוגדר כך: 0 0, 1 1, a a, b b זוהי העתקה חח"ע ועל והיא שומרת על הפעולות (כי y,ϕ(x + y) = (x + y) = x + אפשר לבדוק את כל האפשרויות. למשל, +a.(1+a) = b = 1 ובדומה עבור כפל.) הערה: ישנו עוד איזומורפיזם בין F לעצמו, אשר מחליף בין a ל b. הדיון בנושא זה בהרצאה. ראו גם את 3. נביט בקבוצת הוקטורים במישור עם פעולות חיבור וכפל המוגדרות כך: K = {(a, b) : a, b R} (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) היזכרו בהגדרת השדה C (המרוכבים) והוכיחו כי השדות K ו C הם איזומורפיים (כלומר הוכיחו שקיים איזומורפיזם ביניהם). (לצורך העניין, ניתן להניח שהקבוצה K יחד עם פעולות אלה היא אכן שדה, אבל אם רוצים לחזור על הגדרת השדה, זהו תרגיל נחמד להוכיח ש K הוא אכן שדה.) הוכחה. נגדיר העתקה (=פונקציה) בין שתי הקבוצות ונוכיח שההעתקה שהגדרנו היא איזומורפיזם של שדות, כלומר שהיא חח"ע, על ושומרת על הפעולות. ובכן, ניקח :(a, b R כלומר,a + ib C המוגדרת כך (לכל ϕ : C K ϕ(a + bi) = (a, b) כלומר, היא מתאימה למספר מרוכב את הוקטור שמייצג אותו במישור המרוכב (וקטור שקואו' ראשונה שלו היא החלק הממשי והקואו' השניה שלו היא החלק המדומה.) נבדוק את התכונות הדרושות: (א) חח"ע? יהיו a + bi, c + di C שני מספרים שונים (כאן,(a, b, c, d R עלינו להראות ש di).ϕ(a + bi) ϕ(c + ואכן, = d) ϕ(a + bi) = (a, b) (c, di),ϕ(c + שהרי לפי ההנחה a c או b d (זה "או" מתמטי: כלומר אולי אחד מהם מתקיים ואולי שניהם). (אפשר להוכיח חח"ע בניסוח אחר: להניח שעבור שני מספרים מרוכבים + a (.a+bi = c+di ולהוכיח שאז בהכרח ϕ(a+bi) = ϕ(c+di) מתקיים bi, c+di (ב) על? יהי.(a, b) K עלינו להוכיח שקיים z C כך ש ( b.ϕ(z) = (a, ואכן, z = a + bi מקיים את הדרוש. 8
(ג) שומרת על חיבור? יהיו z = a + bi, w = c + di C (כאן.(a, b, c, d R עלינו להוכיח ש ϕ(w).ϕ(z + w) = ϕ(z) + נבדוק: ϕ(z + w) = ϕ((a + c) + (b + d)i) = (a + c, b + d) ϕ(z) + ϕ(w) = ϕ(a + bi) + ϕ(c + di) = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) כלומר, אכן ההעתקה שהגדרנו שומרת על חיבור! (במעבר האחרון בשורה השניה: השתמשנו בהגדרת החיבור ב K.) זה לא אמור להיות מפתיע מדי, כיוון שהחיבור אצלינו מוגדר "לפי קואורדינטות": קואורדינטה ראשונה של וקטור ב K מתאימה לחלק הממשי, a, של מספר מרוכב a, + bi וקואורדינטה שניה מתאימה לחלק המדומה, b, של אותו מספר. (ד) שומרת על כפל? יהיו z = a + bi, w = c + di C (כאן.(a, b, c, d R עלינו להוכיח ש ϕ(w).ϕ(z w) = ϕ(z) נבדוק: ϕ(z w) = ϕ((ac bd) + (ad + bc)i) = (ac bd, ad + bc) ϕ(z) = (a, b), ϕ(w) = (c, d) ϕ(z) ϕ(w) = (ac bd, ad + bc) כמו כן, ולפי הגדרת הכפל ב K נקבל: כלומר אכן מתקיים השוויון הדרוש לכל שני מספרים מרוכבים,z. w C לכן ההעתקה ϕ : C K שהגדרנו היא חח"ע, על ושומרת על הפעולות, כלומר איזומורפיזם של שדות! לכן שני השדות המדוברים הם איזומורפיים. 9