Limit

גודל: px

התחל להופיע מהדף:

Download "Limit"

בצלאל נחמני
לפני5 שנים
צפיות:

1 פרק כלל השרשרת. וקטור גרדיאנט שאלות (t ).מצאו באמצעות כלל השרשרת f ( t 3cos tarccos :4.3 שאלות עם פתרון שאלה נתון : פונקציה את (0). תחילה נבדוק כי מתקיימים כל התנאים של כלל השרשרת )משפט 4.3.(: ( גזירות בנקודה t 0 ופונקציה arccos. M( (0) (0) (0)) M(31 ) t ( cos t ( פונקציות t 3 דיפרנציאבילית בנקודה ( 1 t הפונקציות הפנימיות גזירות בנקודה t: 0 ( sin t ( 1 (0) ( 0) 0 ( 0) 1 : M ( 31 ) בסביבת הנקודה נמצא את הנגזרות החלקיות עבור פונקציה ( 1 ln f f ( f ( ( הנגזרות החלקיות מוגדרות ורציפות בסביבת הנקודה M לכן לפי התנאי המספיק לדיפרנציאביליות )משפט. M ( 31 ) דיפרנציאבילית בנקודה 4..3 ה( פונקציה ( (0) התנאים של כלל השרשרת מתקיימים לכן: f ( (0) (0) (0)) (0) f ( (0) (0) (0)) (0) f ( (0) (0) (0)) (0) f (31 ) r (0) נחשב את וקטור הגרדיאנט: ln3 3 f (31 ) 0 13 f (31 ) f (31 ) f (31 ) r ( 0) ( (0) (0) (0)) (10 ) 1 6 (0) f (31 ) r (0) 6 נרכיב את וקטור הנגזרת: התשובה הסופית: שאלה 4.3. g ( 1) 1 g( 1) בעלת נגזרות חלקיות רציפות בכל המישור g( נתון: פונקציה (. ) g מוגדרת פונקציה מורכבת ( ). בסביבת הנקודה (11) g ( 1) 157

2 א( הוכיחו כי לגרף הפונקציה f ( קיים מישור המשיק בנקודה (11) ומצאו את משוואתו. ) ב( מצאו את נקודת החיתוך של המישור עם ציר ה-. פתרון f ( תהיה דיפרנציאביליות בנקודה ) g לקיום מישור משיק מספיק שפונקציה (11). לדיפרנציאביליות הפונקציה מספיק קיום נגזרות חלקיות רציפות לכן מומלץ לקבל את הנגזרות f ( ולהוכיח שהן רציפות בנקודה (11). החלקיות לפונקציה ( 8 א( נבדוק אם מתקיימים התנאים של משפט )כלל השרשרת מס' 3(: )g דיפרנציאבילית בכל המישור ובעלת נגזרות חלקיות רציפות. הפונקציות הפונקציה החיצונית (. 0 ( ( גזירות בכל נקודה ) ) ( ) הפנימיות: על פי כלל השרשרת בסביבת הנקודה (11) מתקיים: 1 f ( ) g g f ( ) g g f רציפות בסביבת הנקודה (11). ז"א: הפונקציה ( ) f ( מכאן נובע שהנגזרות החלקיות (. 11) f ((11) דיפרנציאבילית בנקודה הזאת וקיים מישור המשיק לגרף הפונקציה בנקודה f ( ) נרשום את משוואת המישור: f (11) f (11)( 1) f (11)( 1) g(1). f ( 11) לפי כלל השרשרת: f ( 11) g 1 1 g ( 1) g f ( 11) g ב( מהנתון: 3( 1) 3( 1) 3 3 אנו מקבלים סופית: אם הנקודה נמצאת על ציר ה- אזי. 0 וכן 8 הנקודה 8) 00.( שאלה עקום C הוא קו החיתוך של גליל { נמצאת על העקום. ידוע כי. f ( נקודה ) וגרף של פונקציה S {(.f מצאו את ( 11) iˆ ˆj דיפרנציאבילית בכל המישור ו- ). M 0 M 0 (11) משוואת ישר המשיק לעקום C בנקודה 158

3 . t [ 0 ] r( ( cos t sin t f ( cos t אחת מהפרמטריזציות של עקום C היא ((t sin : t גזירה בכל נקודה r ( פונקציה. r 4 r( ( ( ( ( ) ( sin t cos t ( ) 4. r נמצא (11) (t ( לפי כלל השרשרת מס' )משפט 4.3.(: ( f ( cos t sin ) נמצא כי ( f ( cos t sin ( sin f ( cos t sin cos t לכן r( ( sin t cos t f ( cos t sin ( sin f ( cos t sin cos r ( 11 f (11)( 1) f (11) 1) ( 11 1 ) ( 111) 0 4 לפי משפט המשוואה של ישר המשיק: שאלה w( f ( נגדיר:. פונקציה בעלת נגזרות חלקיות רציפות בכל המישור של f ( תהי (. w w הוכיחו כי הפונקציה מקיימת: w w w w נמצא את הנגזרות החלקיות של הפונקציה באמצעות כלל השרשרת: f ( f ( 0 f ( w ( f ( 0 f ( f ( w ( f ( f ( נציב את הביטויים באגף השמאלי של המשוואה: ( f ( ) (f ( ) ( f ( f ( ) w נציב את הביטוי המתאים באגף הימני של המשוואה: ( f ( f ( ) w w w מכאן: שאלה ()f גזירה לכל נקודה. t נגדיר: נתונה פונקציה t ( ) f (cos( )). מצאו ופשטו את הביטוי: 159

4 ( כאשר ). t cos( לפי כלל השרשרת מס' 1 )משפט )4.3.1 : ) f ( f ( ( sin( )) f ( sin( ) 1 f ( f ( ( sin( ))( 1). g( ) f ( f ( 0) iˆ ˆj 3kˆ f ( f ( sin( ). f ( נחבר את הנגזרות: )) f (cos( שאלות לעבודה עצמית שאלה ( פונקציה דיפרנציאבילית בכל המישור. נגדיר: f ( תהי (.g(1) חשבו את f ( 3) אם ˆ i ˆj שאלה נתון: פונקציה ( בעלת נגזרות חלקיות רציפות בכל המרחב s. ( נגדיר פונקציה: st ( s f ( ( s ( s ( s ) ( s s t ( s s t מצאו את דיפרנציאל d(11) כאשר. dt 0. ds 0.1 שאלה נתונה פונקציה ( t f (sin t הבא: ) e f 01) f (01) בעלת נגזרות חלקיות רציפות בכל המישור. הפונקציות g( h( מוגדרות באופן h(. אם h( 0) 1 g( 0) 3 מצאו את ערך הביטוי: f ( t e t ) g(. ( שאלה ). מצאו את הפונקציה הרציפה ) ( ) נגדיר:.( תהי ( פונקציה גזירה לכל t ו- 0 ( את המשוואה: ) מקיימת לכל ( ) כך ש- ( ) ( ) t ( ופונקציה s) 4 3 ( שאלה f ( t נתון: פונקציה (s דיפרנציאבילית בכל נקודה ( f ( ) 1 6 מצאו ופשטו את הביטוי:. t( 1 arctan( s( cos( שאלות מושגיות ושאלות להעמקה ) f שאלה ( s t w) נתון: st w )w. נגדיר את הפונקציה: e ( f ( s( t( w( ) ( לאורך ציר ה- בנקודה (000). מצאו את קצב שינוי הפונקציה ( שאלה

5 גרדיאנט ה f ( 1) f ( 1) בעלת נגזרות חלקיות רציפות בכל המישור נתון: פונקציה (. a (1) מקביל לוקטור f (1) עצם נע על פני השטח של גרף הפונקציה כך שבכל רגע t הקואורדינאטות ו- משתנות לפי. t מצאו את קצב שינוי גובה העצם ברגע. ) t ( 1 החוק: t. ( f ( ( ( ) f (1 t רמז: גובה החלקיק משתנה לפי החוק: (t שאלה f ( t t מתקיימים: (00) כך שלכל t האם הטענה הבאה נכונה: f ( דיפרנציאבילית בסביבת הנקודה קיימת פונקציה (? 0) f (0 ) רמז: היעזרו בכלל השרשרת ובהגדרה של נגזרות חלקיות. שאלה f ( דיפרנציאבילית בכל המישור והומוגנית מסדר 0 פותרת את הוכיחו את הטענה: כל פונקציה ( 0 0 המשוואה: f והיעזרו בהגדרה של פונקציה הומוגנית ובכלל השרשרת. רמז: הציגו את הפונקציה בצורה שאלה ). r הפונקציה מהווה פרמטריזציה של קו 0 ו- t גזירה לכל r( ( ( ( נתון: פונקציה וקטורית ((t f ( דיפרנציאבילית בכל המישור. ) עבור פונקציה {( ) ) הגובה h} ( על הקו וקטור הגרדיאנט ניצב לישר המשיק לקו הגובה )במקרה זה אומרים הוכיחו כי בכל נקודה ( C h שהווקטור ניצב לקו עצמו(. 8 תשובות שאלה g( 1) (8 7) שאלה שאלה f ( 01) f (01) 1 שאלה ( ) שאלה שאלה שאלה קצב שינוי הגובה שווה ל- שאלה הטענה אינה נכונה 161

מסמכים קשורים

2019 שאלות מומלצות לתרגול מס' דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך(. כלל השרשרת. S = ( x, y, z) z = x + 3y על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק

2019 שאלות מומלצות לתרגול מס' דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך(. כלל השרשרת. S = ( x, y, z) z = x + 3y על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך( כלל השרשרת S ( z) z + על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק מקביל : f ( ) + הפונקציה מוגדרת וגזירה ברציפות בכל M( ) שאלה נתון פרבולואיד אליפטי P ( z) + 6 + z + 8 למישור