מרתון חדו"א2 למדעי המחשב והנדסת תוכנה

תמליל

1 מרתון חדו"א מבחן סיום קורס חוברת זו מכילה תרגילים ממבחנים של שנים קודמות, תרגילים מתרגולים ותרגילים שהוכנו על ידי צוות קל-קולוס. בנוסף תוכלו למצוא סיכומים בנושאים שונים באתר האינטרנט תחת הלשונית "קבצים". המלצות ללמידה היעילה ביותר. לפני שתיגשו לפתור מבחנים תעברו על כל נושא ותראו שאתם מצליחים להתמודד עם תרגילי החימום.. אין טעם להתעכב על תרגיל יותר מ- דקות, במידה ולא הצלחתם עברו הלאה לתרגיל הבא ונסו שוב בהמשך, במידה ועדיין לא הצלחתם אתם מוזמנים לפרסם את התרגיל בעמוד הפייסבוק ותקבלו הכוונה לפתרון.. תלמדו עם אנשים )מומלץ לא יותר מ אנשים(.. הכינו לעצמכם דף נוסחאות ותתרגלו איתו לאורך כל הדרך, הטעות הכי גדולה היא להכין אותו בשבוע של המבחן ואז כל המבחן הוא יושב בצד כי לא התרגלתם אליו. 5. התמקדו בנושאים החשובים )תוכלו לדעת אילו נושאים יותר חשובים לפי הגרף המצורף בסוף החוברת( וודאו שאתם סגורים עליהם היטב, לאחר מכן עברו לנושאים הפחות חשובים. פתרונות סופיים ניתן למצוא בסוף החוברת. פתרונות מלאים תוכלו לבקש בעמוד הפייסבוק שלנו. שאלות ובירורים דוד פדלון אתר האינטרנט חפשו אותנו בפייסבוק "מרתונים ושיעורים פרטיים - קל-קולוס"

2 i. lim arccos i. lim i i. i lim si i. lim i 5 i 5. lim i i i 6. lim l i 5 7. lim i 5 i i 8. lim i i i 9. lim. i i i. lim i i i. lim i cos i. lim i i e i l i l. lim i i i. lim si i i 5. i lim i arctg i 6. e lim l i ei 7. i i lim si i אינטגרל לפי הגדרה )סכומי רימן( האינטגרל המסויים

3 )מבחן סמסטר ב מועד ב(. d cos l... l e )מבחן סמסטר ב מועד א( d )מבחן סמסטר ב מועד ב( arcsi d 5 )מבחן סמסטר ב מועד א( d שימושים של האינטגרל המסויים חישוב של אינטגרל מסויים l l lim 5 si si cos d )מבחן סמסטר ב מועד ב( d 8. l si d cos 9. )מבחן סמסטר ב מועד א) d cos e. )מבחן סמסטר ב מועד א( l d. )בוחן ) d l )בוחן ) d.. )בוחן )5 si d. )מבחן סמסטר ב מועד ג( d si )מבחן סמסטר ג מועד א( )מבחן סמסטר ב מועד א(.5 d 8 si 6. )מבחן סמסטר ג מועד א( d

4 נוסחאות של אינטגרל מסויים נפח גוף סיבוב סביב ציר ה- ( ) a b b V ( ) d a נפח גוף סיבוב סביב ציר ה- ( ) i נסובב מלבן קטן ונקבל גוף מרחבי שנקרא קליפה גלילית

5 5 i i b V ( ) d a מכאן אורך העקום P P B A P t t b L ' d a אורך העקום הנתון בצורה פרמטרית עקום AB הנתון בצורה פרמטרית t כאשר t T T t ' ' t L dt שטח מתחת העקום הנתון בצורה פרמטרית t t t עקום AB הנתון בצורה פרמטרית 5 t כאשר t T T t S t ' t dt

6 6 שטח של עקום r r הנתון בצורה פולארית r r B A O S אז השטח כולו r d אורך עקום בקואורדינטות קוטביות )פולאריות( יהי AB עקום הנתון בצורה פולארית r r ' L r r d 6., e e l שטחים ונפחים חשב את השטח הנוצר ע"י השטח שבין העקומים ו- והישרים מסובב סביב ציר ה-. מצא את נפח הגוף המתקבל.. מצא את נפח גוף הסיבוב,,, 8 השטח מסתובב סביב ציר ה- שמתקבל. והישר סביב הישר חשב את נפח גוף הסיבוב המתקבל כתוצאה מסיבוב הפרבולה 6, הישר,ציר ה-, של השטח התחום ע"י ציר ה- חשב את נפח גוף הסיבוב המתקבל מסיבוב סביב ציר )מבחן סמסטר ב מועד ב( והעקומה cos si r חשב את השטח החסום על ידי העקומה סמסטר ב מועד א( הנתונה בקואורדינטות פולאריות. )מבחן

7 7 7. במערכת קואורדינטות פולריות במישור נתונים שני תחומים: r, : r cos,, r, : r si, תחום מוגדר כחיתוך. מצא שטח של תחום. G )בוחן ( חשבו את השטח של תחום מישורי החסום על ידי העקומה r cos )בוחן 5( G נתבונן בקבוצה מישורית ידי סיבוב של קבוצה,, : חשב נפח גוף הסיבוב שמתקבל על e. )בוחן ), :,,, סביב ציר מצא נפח של גוף. )בוחן ) תחום במישור מוגדר באופן הבא: שמתקבל על ידי סיבוב של תחום סביב ציר ה- מסתובב סביב ציר. מצאו נפח גוף סיבוב. cos. גרף של הפונקציה,, si si )מבחן סמסטר ב מועד ג(. )בוחן ), :,, r t t t כאשר r אורכי עקומות )כולל עקומות בהצגה פולרית( חשב את אורך העקומה המתקבלת ע"י עקומה r מוגדרת בצורה פרמטרית: מצא אורך של עקומה t t z z cos, si t e dz t e dz l, )מבחן סמסטר ב מועד א( מצא את האורך של העקומה,... si l cos d.. si si si d אינטגרלים של פונקציות זוגיות, אי זוגיות ומחזוריות אינטגרלים לא אמיתיים ( התכנסות והתבדרות של אינטגרלים ) חקור התכנסות האינטגרלים הבאים: si d arcta d 5 5 arcta d 6 l 5 )מבחן סמסטר ב מועד א( d e l 7

8 cos d e arcta d 5 cos d הוכח כי האינטגרל הלא אמיתי נתון אינטגרל לא אמיתי סמסטר ב מועד א( מתכנס בתנאי אך לא בהחלט. חקרו האם מתכנס בהחלט או בתנאי. )מבחן e d l si l חשבו את הערך המדוייק של האינטגרל הלא אמיתי )מבחן סמסטר ב מועד ב( חשבו את התכנסות או התבדרות האינטרגרלים הבאים: tg )בוחן ) d arctg )בוחן ) d si d )בוחן 5( l )מבחן סמסטר ב מועד ג( si d.. l 5 cos )מבחן סמסטר ב מועד א( d l )מבחן סמסטר ג מועד א( )מבחן סמסטר ג מועד ב( 5 e d 5. חשבו את הערך המדוייק של האינטגרל הלא אמיתי 6. חשבו את הערך המדויק של האינטרגל הלא אמיתי d 8

9 9. lim si lim si. lim lim t dt tdt cos t.. arcta t cos t 5. lim e e dt t e dt dt המשפט היסודי של החדו"א חשבו את הגבולות הבאים 9

10 עבור הסדרה בתחום סדרות של פונקציות lim lim הפונקציה הגבולית של הסדרה היא ]התכנסות נקודתית[ נאמר ש- מתכנסת נקודתית ל- אם לכל ]התכנסות במ"ש[ N N ]]לפי הגדרה[[ אם לכל קיים כך שלכל ולכל אך אנחנו לא נשתמש בהגדרה הזאת אלא בשיטת פעולה הבאה lim. נמצא את הפונקציה הגבולית. אם הפונקציה הגבולית אינה רציפה אז אין התכנסות במ"ש. g. נתבונן בביטוי ונפשט אותו עד הסוף. g. אם קיימת סדרה כך ש- אז יש התכנסות במ"ש. אז אין התכנסות במ"ש sup g. אם תרגילי חימום בדוק התכנסות במ"ש של הסדרה בתחום, (,], R,,, [, ) si, R, 6 R, [, )

11 טורים פונקציונלים שאינם טורי חזקות התכנסות במידה שווה מבחני התכנסות במ"ש ומשפטים טורים של פוקנציות s k k ]לפי הגדרה[ בהינתן טור שמתכנסת במ"ש בתחום בתחום הטור מתכנס במ"ש הינה סדרה. ]מבחן לייבניץ[ בהינתן טור. הטור מחליף סימן בתחום אז הטור מתכנס במ"ש אם: הטור מתכנס לפי מבחן לייבניץ. לכל sup R. R a ]משפט שנתמש כשנוכיח לפי לייבניץ[ בהינתן הטור a טור לייבניץ אז מתקיים כאשר R km a k k a ]מבחן ויירשטראס[ בהינתן הטור ו- הוא טור מתכנס. בתחום אז הטור מתכנס במ"ש קיימת סדרה כך ש- a a ]משפט להתכנסות במ"ש[ אם במ"ש אז הוא גם מתכנס בתנאי במ"ש( אז גם מתכנס במ"ש. )כלומר אם הטור מתכנס בהחלט תרגילי חימום לפי הגדרה,,, חקור התכנסות במ"ש של הטור חקור התכנסות במ"ש של הטור בתחום בתחום בתחום בדוק התכנסות נק' ובמ"ש של הטור...

12 מבחן לייבניץ, בדוק התכנסות נק' והתכנסות במ"ש של הטור בדוק התכנסות במ"ש של הטור בתחום בתחום.. בתחום ) [,, si בתחום מבחן ויירשטראס. חקור התכנסות נק' והתכנסות במ"ש של הטור 5. בדוק התכנסות במ"ש של הטור תחום התכנסות תרגילי חימום מצא את תחום ההתכנסות של טורי הפונקציות הבאים cos si

13 a טורי חזקות טור חזקות הינו מהצורה רדיוס התכנסות ועבור R R ניתן למצוא את רדיוס ההתכנסות בדרכים הבאות: רדיוס ההתכנסות של טור יסומן ב- R הטור יתכנס. )! a lim ]נשתמש כאשר נראה ביטויים עם R a R ] lim a ]נשתמש כאשר הביטוי יהיה עם חזקה R אך רדיוס ההתכנסות לא אומר לנו דבר על הקצוות לכן לאחר מציאת רדיוס ההתכנסות נבדוק עבור האם הטור מתכנס. ו R ] אין צורך לבדוק קצוות )אי אפשר( ואם R אז הטור מתכנס רק עבור ]אם R ! log!!.5 si תרגילי חימום חשב רדיוס התכנסות ובדוק מה קורה בקצוות: )בסעיפים, e ו- h לא להתייחס לקצוות(

14 תוקזח ירוט לש היצרגטניאו הריזג תואחסונה תועצמאב רובע.םירחא תוקזח ירוט לש םירוגס םימוכס אוצמל לכונ םומיח יליגרת םיעודי םירוט לש רביא רביא היצרגטניא וא הריזגו םיעודי םירוט י"ע בשח םירוט לש םוכס בושיח םומיח יליגרת םיאבה םירוטה םוכס תא בשח...

15 5 a מציאת הנגזרת ה- של פונקציה באמצעות טורי חזקות! a בתרגילים מסוג זה נשתמש בנוסחה תרגילי חימום כאשר מצאו את של הפונקציות הבאות

16 6 6, l סדרות וטורים תרגילים ברמת מבחן הוכיחו כי סכום s הוא פונקציה ורציפה לכל בקטע l d, 5 יהי הטור s )מבחן סמסטר ב מועד ב( e הוכיחו שסכום הטור )מבחן סמסטר ב מועד ב( הוא פוקנציה רציפה בקטע הוכיחו שסכום הטור הבא הוא פונקציה רציפה בכל קטע וחשבו את )מבחן l si ab, si סמסטר ב מועד א( מצאו את תחום ההתכנסות של טור הפונקציות מצא את תחום ההתכנסות של הטור )מבחן סמסטר ב מועד א( )מבחן סמסטר ב מועד א( מצא את תחום ההתכנסות של טור החזקות מצאו את תחום ההתכנסות של הטור )מבחן 8 סמסטר ב מועד ב( )מבחן 9 סמסטר ב מועד ג( מצאו את תחום ההתכנסות מצא תחום התכנסותו של הטור )מבחן סמסטר ב מועד ב( ; הוא מתכנס בהחלט או בתנאי? )מבחן סמסטר ב si l מועד ב( מצא את תחום ההתכנסות של הטור )מבחן סמסטר ב מועד ב(. מצא את תחומי ההתכנסות של טורי החזקות הבאים ב. ta )מבחן 8 סמסטר ב מועד א( א. l. מצא את תחום ההתכנסות של הטור )מבחן סמסטר ב מועד א( )מבחן סמסטר ב מועד ב( )מבחן 9 סמסטר ב מועד ב( 5. חשבו. חשבו

17 7 )מבחן סמסטר ב מועד א( 5. חשבו.,. [, ) F F cos ]בוחן 5[ הוכיחו כי הפונקציה רציפה בתחום l 6. נגדיר 7. הוכיחו שהטור 8. מצא תחום התכנסות של הטור מתכנס במידה שווה בתחום וחקרו התכנסות בקצוות של התחום..9 נתונה סדרה של פונקציות, a. הוכיחו כי הסדרה מתכנסת במ"ש בתחום [, ),] ( האם הסדרה מתכנסת במ"ש בתחום b. ]מבחן סמסטר ב מועד ג[. האם cos מוגדרת כסכום של טור פונקציות: רציפה בתחום l נמקו. X. פונקציה,. מצאו תחום התכנסות של הטור ]מבחן סמסטר ב מועד א[. מצאו תחום ההתכנסות של טור הפונקציות הבא. חשבו את הסכום של הטור המספרי הבא )מבחן סמסטר ג מועד א( 7. מצאו את תחום ההתכנסות של הטור 5. חשבו את הסכום של הטור )מבחן סמסטר ג מועד ב(

18 8 cos 6. מצאו את תחום ההתכנסות של הטור הפונקציונלי הבא.,5 7. חשבו את הסכום של הטור 8. הוכיחו שסכום של הטור הוא פונקציה רציפה בקטע 8

19 9 פונקציות של כמה משתנים תחום הגדרה בדומה לפונקציה עם משתנה אחד כעת תחום ההגדרה יחל על כל אחד ואחד מהמשתנים של הפונקציה. תרגילי חימום., si,.., l., l, arcsi 5. מצא את תחומי ההגדרה של הפונקציה הבאות,,..., a, a,..., a,,..., גבולות עבור הפונקציה במילים אחרות נרצה לחשב את נרצה לחשב את ערך הפונקציה כאשר או. a a. lim,,...,. a כשהתעסקנו עם גבול של פונקציה עם משתנה אחד לדוגמא lim אז המשתנה התקרב לנקודה רק דרך "מסלול" אחד. ]רק צריך ציר האיקס[. אבל כשמדובר בפונקציה עם כמה משתנים כל משתנה יכול להתקרב לכל נקודה מסויימת ע"י אינסוף מסלולים שונים. על מנת שגבול יהיה קיים, אסור שיהיה תלוי במסלול ההתקרבות לנקודה. לדוגמא,, lim, ונרצה לבדוק,, נתבונן בפונקציה דרך להתקרב לנקודה היא דרך הצירים כלומר: ואז 9 lim, lim, או מצד שני ואז,, דרך הישר, אבל אם למשל נבחר להתקרב לנקודה

20 lim, lim, lim lim,, כלומר עבור מסלולים שונים קיבלנו גבולות שונים לכן הגבול אינו קיים! מתי הגבול כן קיים?, si si למשל נתבונן בפונקציה נראה שהגבול הוא מספר כלשהו בלי תלות במסלול lim, lim si si כי סדרה חסומה כפול אפיסה זה.,,,, תרגילי חימום בדוק האם קיים גבול, במידה וקיים חשב אותו lim,, lim,, lim,, lim,, lim,, lim,, l ta si cos

21 , lim,,,, רציפות על מנת שפונקציה תהיה רציפה בנקודה צריך להתקיים תרגיל חימום?, עבור אילו ערכים של a הפונקציה רציפה בנקודה.,.,,,, a,,, cos,,, a,,,., l cos,,, a,,, נגזרת חלקית נגזרת חלקית היא נגזרת של פונקציה לפי משתנה ספציפי. כלומר כל שאר המשתנים מתנהגים כמו קבועים.,, z l z e z לדוגמא z z,, z e z e z z z,, z e z,, z e z z

22 v v,v, נגזרת כיוונית ]הגדרה לפי גבול[ הנגזרת של הפונקציה אז בכיון הווקטור, v, v, hv h, lim lim v h h h h הגרדיאנט לפני שנמשיך נגדיר גרדיאנט גרדיאנט הוא ווקטור הנגזרות החלקיות של הפונקציה,,,, אז נוכל להגדיר באמצעותו את הנגזרת הכיוונית הפעם ללא לימיטים, v, v, v, v v v תרגילי חימום l M,, z חשב את הנגזרת הכיוונית של הפונקציה בנקודה בכיוון של הווקטור,, z e z z, M,,, l iˆ 5 ˆj k.. ˆ,, z z z, M,,, l iˆ ˆj kˆ z,, z l z, M,,, l iˆ 7 ˆj k ˆ z.,, p p, p דיפרנציאביליות על מנת שפונקציה תהיה דיפרינציאבילית בנקודה p, p p, p p, p p, p lim, תרגיל חימום האם הפונקציה הבאה דיפרנציאבילית ב-,,,,,,,

23 כלל השרשרת כלל השרשרת מוגדר כך z d t z u u dt u u, u v z t, t t,, z u, v, z d t v v, z u u dt u v z, z z, z, z z e e, e e.. z, z z, z z, z z,, z, z z,, z.. 5. z, תרגילי חימום הוכח כי הפונקציה מקיימת את המשוואה ' F ', F ', נגזרת של פונקציה סתומה F, אם מגדירה את כפונקציה של אז z ' F ',, z F ',, z z z ' F ',, z F ',, z z z F,, z אם מגדירה את כפונקציה של אז ו- תרגילי חימום ' חשב את z ' ו- z ' חשב את. z. z z l

24 מציאת מקסימום ומינימום z, עבור הפונקציה נרצה למצוא נקודות מינימום,מקסימום ונקודות אוכף. עבור נקודות המינימום והמקסימום נפעל בצורה דומה לפונקציה עם משתנה אחד. נמצא את הנקודות החשודות לקיצון ואז נבדוק אם הן באמת נקודות קיצון. אם נתון תחום מסויים נבדוק גם נקודות בקצוות. z ', ]נגזור לפי כל משתנה ונשווה ל- [. הנקודות הקריטיות הן הפתרונות של המערכת הבאה z ', לאחר שמצאנו את הנקודות נוכל לבדוק האם הן נקודות קיצון M, למשל אם הנקודה היא נק קריטית אז '' '' z '' M z M M z '' M z '' M z '' M z '' M z M M M ואם אז אם z'' M אז הנקודה היא נקודת המינימום המקומית. M z'' M אם אז הנקודה היא נקודה המקסימום המקומית. M M אם אז הנקודה היא נקודת אוכף. z, תרגילי חימום מצא את נקודות המקסימום המקומיות, המינימום המקומיות ואת נקודות האוכף של הגדרה![ ]שים לב לתחום z, z, e z, l 7 6. z, l

25 5 שיטת כופלי לגראנז כאשר נרצה לפתור בעיה מסויימת )למצוא מקסימום ומינימום של פונקציה( תחת אילוץ מסויים נשתמש בשיטת כופלי לגרנז. - פונקציית לגרנז'. -פונקציית המטרה ]הבעיה[ - משוואת האילוץ, g,,,,, נסמן L g L ',, L ',, g, נוכל למצוא את הנקודות הקריטיות תחת האילוץ באופן הבא,, 7 לדוגמא על האליפסה מינימלי. נרצה למצוא את הנקודה שבה סכום שתי הקואורדינטות, כלומר הבעיה היא למצוא נקודה שסכום הקואורדינטות שלה מינימלי פונקציית המטרה 7 אבל אנו מוגבלים בנקודות שנמצאות רק על האליפסה אז זוהי משוואת האילוץ!,, 7 L ומשוואות האילוץ. מצא את הנקודות הקריטיות בשיטת כופלי לגרנז' וחשב את g, 7, אז פונקציית לגרנז היא תרגילי חימום נתונות פונקצית מטרה ערכי פונקצית המטרה בנקודות אלה, 6,.,,. מצא על המעגל את הנקודה הקרובה ביותר לנקודה ואת הנקודה הרחוקה ביותר מנקודה. חשב את המרחק המינימלי והמרחק המקסימלי מן הנקודה A עד המעגל )צרף שרטוט מתאים(. 6 8, A 8, A A. 5

26 6 אינטגרלים כפולים נתבקש לבצע אינטגרל לפונקציה בעלת כמה משתנים. אנו נתעסק רק באינטגרלים כפולים. למשל בתחום,, כלומר הינו מלבן, נרצה לחשב את האינטגרל של,., dd dd d d d d d נשים לב שבמקרה זה לא חשוב סדר האינטגרציה )כי אין תלות במשתנים בגבולות האינטגרל( 6 dd dd d d d d, אך אם נקבל אינטגרל שאחד הגבולות שלו הוא תלוי ב דוגמא או ב סדר האינטגרציה חשוב!., הישר חשבו את e dd כאשר הוא התחום החסום בין ציר ה- והגרף, : מצד אחד אבל הבעיה היא שאיננו יודעים איך לחשב את האינטגרל הפנימי. e d ואז נקבל d אז נוכל להסתכל על זה מצד שני כך, : ואז נקבל אינטגרל ואת האינטגרל הזה אנו יודעים לחשב. e d d 6 שיטת ההצבה לפעמים לא נוכל לחשב אינטגרלים עם גבולות מסויימים, אז נרצה להחליף את סדר האינטגרציה., dd, נתונה פונקציה של שני משתנים אם נבצע החלפת משתנים כלומר והתבקשנו לחשב, v v ומכך ברור ש- בתחום כלשהו. u, v u, v ו u u,

27 7.,,,,. g u v u v u v תחומי האינטגרל משתנים כעת התחום הוא u, v u, v u v J u, v det u, v u, v u v. dudv ל dd נקבל פונקציה חדשה את היחס בין נוכל לחשב באמצעות היעקוביאן -,,,,,, נקבל אינטגרל חדש u v u v J u v dudv g u v J u v dudv הצבה פולרית במקרים רבים נבצע הצבה פולרית. dd r drd כלומר J r, ו- r rcos rsi החלפת סדר האינטגרציה אם נתבקש להחליף את סדר האינטגרציה נצטרך לסרטט את התחום ולמצוא את הפונקציות ההפוכות לדוגמה I, d d ]. ]אין צורך לפתור את האינטגרל, אלא לכתוב אותו כך שקודם מחשבים אותו לפי ואז לפי נשחזר את תחום האינטגרל, :, נצייר את הקווים 7

28 8 אז נתבונן בפונקציות ההפוכות ונגדיר מחדש את התחום 8

29 9, :, :, :.5.5 כעת התחום הוא I, d d, d d, d d ולכן אוסף משוואות בתלת מימד 9

30 שאלות ברמת מבחן פונקציות ]מבחן סמסטר ב מועד ב )חדוא לביוטכנולוגיה מ. ברברמן([., M, נתונה פונקציה z 8 מצאו נקודות אקסטרמום של הפונקציה. מצאו את המסה של הגוף המישורי, :, בעל צפיפות חשבו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה z בתחום MM M,, :, חשבו את נגזרת הפונקציה מצאו את הנפח של הגוף הבא z בנקודה בכיוון של הוקטור כאשר T,, z : z,, l I d, d I dd,, :,, החליף את סדר האינטגרציה באינטגרל הבא חשבו את האינטגרל הבא ]מבחן סמסטר ב מועד ב[ si,,,,,,,?,, האם הנגזרות החלקיות קיימות ורציפות בנקודה האם הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה?,,.8 ]מבחן סמסטר ב מועד א[, u נגדיר. t נניח שהפונקציה t הביטוי היא גזירה לכל חשב את ערכו של u u A, u.9 a,, R ]מבחן סמסטר ב מועד ב[. נגדיר פונקציה, u באופן הבא: תהא t פונקציה גזירה בכל, si si si u u u cos, cos, cos cos,, z z z הוכיחו ש..חשבו את הנגזרת המכוונת של הפונקציה בכיוון הווקטור. M,, בנקודה

31 ,, u a, מצא את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה, R, : 5 בתחום..מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה.חשבו את האינטגרל הכפול בתנאי כאשר l dd., R :, 5.החליפו את סדר האינטגרציה בסכום האינטגרלים הבא,, d d d d T,, z R :,, z R 6.מצאו את נפח הגוף הבא ]מבחן סמסטר ב מועד א[ 7.תהא z חשבו פונקציה גזירה בכל. נגדיר פונקציה, u באופן הבא: u u A u,,,,, 8.חשבו את הנגזרת המכוונת של הפונקציה בכיוון הווקטור בנקודה, 6, e. M, 9.מצא את הערך הגדול ביותר את הערך הקטן ביותר של הפונקציה R, : 5 בתחום.מצאו את נקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה הגדרתה..חשבו את האינטגרל הכפול כאשר בכל תחום R, :, 6 d, d dd T,, z R : z.החליפו את סדר האינטגרציה באינטגרל הבא.מצאו את נפח הגוף הבא ]מבחן 8 סמסטר ב מועד א[ I d, d, l.שנה את סדר האינטגרציה 5.מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה 6.מצא את הנפח של הגוף המוגבל על ידי הספירה z והגליל

32 7.מצא את מרכז המסה של המשולש עם הקודקודים,,,,, כאשר צפיפות המסה היא z,. 8.מצא את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום סגור M, MM M,, :, ]מבחן 9 סמסטר ב מועד ב[ חשבו את נגזרת הפונקציה z בנקודה בכיוון של הוקטור כאשר. חשבו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה z, בתחום z, z, :,.9.מצאו נפח של הגוף במוגבל ע"י משטחים הבאים, נתון. t u.פונקציה t גזירה לכל חשבו את ערכו של הביטוי d, d u u A u.החליפו סדר האינטגרציה באינטגרל כפול הבא.מצאו את המסה של העקומה בין הנקודות A,, B, כאשר הצפיפות מסה היא, 5.מצאו נקודות קיצון של הפונקציה z, 6 8 z i j R 9 I d, d 6 ]מבחן סמסטר ב מועד א[ z 6.שנה את סדר האינטגרציה 7.נתונה הפונקציה 8.מצאו את המסה של הגוף המישורי מצא את כל הנקודות ב- כך שבהן, : כאשר פונקצית הצפיפות היא M, בנוקדה. T,, z : z ; ; z l, 9.מצא את הנפח של הגוף הבא.מצא את הנגזרת המכוונת של הפונקציה כאשר בכיוון של הוקטור. M, MM ]מבחן 8 סמסטר ב מועד ב[.מצא את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה z בתחום סגור, :,

33 . XOY z i j z.נתונה פונקציה מצא נקודות ב- R.מצא את שטח הפנים של חלק הפרבולואיד כך שבהן z הממוקם מעל המישור z, z.חשב את נפח הגוף החסום על ידי המשטחים MM M, ]מבחן 9 סמסטר ב מועד ג[ 5.חשבו את נגזרת הפונקציה z בנקודה בכיוון של הווקטור כאשר z, M, 6. חשבו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה z, z, :, 7.מצאו נפח של הגוף המוגבל ע"י המשטחים הבאים, u נתון. t t 8.פונקציה גזירה לכל חשבו את ערכו של הביטוי u u A u 9.נתונה הפונקציה u, 8 מצאו מינימום מקומי ומקסימום מקומי של l d, d.u, הפונקציה 5.החליפו את סדר האינטגרציה באינטגרל הבא 5.מצאו את המסה של הגוף המישורי M, : ; בעל צפיפות, ]כמו שאתם רואים חצי מהתרגילים במבחן הזה ממוחזרים, מסקנה: תשיגו מועד ג'[ a,, l ]מבחן סמסטר ב מועד א[ 5.חשב נגזרת מכוונת של פונקציה בנקודה בכיוון של הווקטור, u e נגדיר. t. M, 5.תהי t פונקציה גזירה לכל הוכיחו ש, 6 8, u u,, 5.מצאו את נקודות המינימום והמקסימום המקומיות של הפונקציה 55.מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום l d, d, R :, 56.החליפו את סדר האינטגרציה באינטגרל הבא

34 57.חשבו את האינטגרל הכפול dd כאשר תחום T z R z, R :,, :,, 58.חשבו את הנפח של גוף כאשר תחום R, :,, e,,, c,,, ]מבחן סמסטר ב מועד ב[ 59.חשבו את כל הנגזרות החלקיות מסדר שני של הפונקציה 6.מצאו את הערך קבוע c כך שהפונקציה בראשית. הוכיחו. 6.מצאו את נקודות הקיצון המקומיות של הפונקציה רציפה במישור.,, 6.מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתנאי ש-, R : ; ; dd 6.מצאו את שטח התחום 6.חשבו את האינטגרל הכפול כאשר התחום, R : T,, z R :, ; z כאשר התחום 65.חשבו את נפח הגוף R, : ; ;, ]מבחן סמסטר ג מועד א[ 66.חשבו נגזרת מכוונת של הפונקציה בנקודה בכיוון של הווקטור מצאו ערך של קבוע C כך שעבורו,. M, a,,,, 67.נתונה הפונקציה C,,, הפונקציה רציפה בראשית. הוכיחו., e 68.מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה

35 5 69.מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה, בתנאי, :,,, :, כאשר dd, T,, z :, כאשר z. 7.חשבו את השטח של התחום 7.חשבו את האינטגרל הכפול 7.חשבו את הנפח של הגוף, :, ]מבחן סמסטר ג מועד ב[, l e, 7.חשבו את כל הנגזרות החלקיות מסדר שני של הפונקציה, נגדיר:. u, 5 u, u, A 7.מצאו את כל נקודות הקיצון של הפונקציה, 75.פונקציה חשבו את: מוגדרת וגזירה ב- R 5, u, 76.מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום l dd, :, 77.חשבו את האינטגרל הכפול הבא: כאשר, T,, z :, כאשר z, :, 78.חשבו את הנפח של הגוף, : 5, u e נגדיר, t ]מבחן סמסטר ב מועד א[ 79.תהי t פונקציה גזירה לכל הוכיחו ש-, u u,, 8.מצאו את הערך הגדול ביותר והערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום. 6,, שחסום על ידי הקווים

36 6, 5 5,,, C,,, 8.מצאו את הערך הקבוע C בראשית. הוכיחו. 8.חשבו את האינטגרל הכפול כך שהפונקציה כאשר תחום רציפה R, :,, R :,, si dd 8.חשבו את האינטגרל הכפול dd ]מבחן סמסטר ב מועד ג[ 8.תהי פונקציה גזירה לכל כאשר תחום,. u הוכיחו ש-. t נגדיר u u t u, 85.מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום, שחסום על ידי קווים.,,,,,,, 86.נתונה הפונקציה בדקו האם היא דיפרנציאבילית בנקודה cos dd., 87.חשבו את האינטגרל הכפול כאשר תחום, R :, 88.חשבו את האינטגרל הכפול dd כאשר תחום, R :,, 6

37 7 דף תשובות 7.. arccos d d si d 78 d 5 d l d l 5 7 d l d l d 7l 6 d l cos d e d e 5 e l d l. si אינטגרל לפי הגדרה )סכומי רימן( האינטגרל המסויים cos d arcta d l l d e l e el e e si d si cos.

38 8 l l e l l l l 9. l e..9. l.5 שימושים של האינטגרל המסויים חישוב של האינטגרל המסוייים l l S e e 8.65 V d 8 5. שטחים ונפחים

39 9. 8 V d d 8 V 6 6 d V l.887 cos 9 S si d d cos.7 8. S 9. S d d.75. V arcta.. L d 6.8. L 8. 6 l L אורכי עקומות אינטגרלים של פונקציות זוגיות, אי זוגיות ומחזוריות 9 אינטגרלים לא אמיתיים )התכנסות והתבדרות של אינטגרלים( מתכנס. מתבדר. מתכנס. מתכנס. מתכנס 5. מתכנס 6. הוכחה 7. מתכנס בהחלט 8..9

40 . מתכנס. מתבדר. מתכנס בתנאי. מתכנס בתנאי. מתכנס בהחלט e.5.6 המשפט היסודי של החדו"א e תרגילי חימום סדרות של פונקציות אינה רציפה. לא קיימת. טורים של פונקציות. אינה מתכנסת במ"ש, כי. אינה מתכנסת במ"ש, כי אינה מתכנסת במ"ש. אינה מתכנסת במ"ש. אינה מתכנסת במ"ש. מתכנסת במ"ש. מתכנסת במ"ש. טורים פונקציונליים שאינם טורי חזקות התכנסות במ"ש לפי הגדרה. אינו מתכנס במ"ש.. מתכנס במ"ש.. אינו מתכנס במ"ש. מבחן לייבניץ מתכנס במ"ש.. מתכנס במ"ש..

41 k R k מבחן ויירשטראס מתכנס במ"ש.. מתכנס במ"ש.. תחום התכנסות טורי חזקות רדיוס התכנסות תרגילי חימום..,.,. 5., 6., 7.,, גזירה ואינטגרציה של טורי חזקות תרגילי חימום

42 . l l l 7 l 8 l s s s!!! 6! 5 חישוב סכום של טורים מציאת הנגזרת ה- של פונקציה באמצעות טורי חזקות סדרות וטורים תרגילים ברמת מבחן הוכחה. )צ"ל שהטור מתכנס במ"ש( l הוכחה. )צ"ל שהטור מתכנס במ"ש(.. d l הוכחה. )צ"ל שהטור מתכנס במ"ש(

43 בהחלט ב א.. arcta.7 l הוכחה. הטור מתכנס במ"ש. 7. הוכחה..8 מתכנס עבור.5 9. א. הוכחה ב. לא. מכיוון שהפונקציה הגבולית אינה רציפה ב-.. כן.,. e e,.., הוכחה. פונקציה של כמה משתנים.. R R תחום הגדרה

44 .. 5. l R. Not eist. Not Eist. Not Eist. Not Eist Not Eist גבולות... a a a רציפות נגזרת חלקית אין תרגילים No 6 9 נגזרת כיוונית דיפרנציאביליות כלל השרשרת כל התרגילים הם הוכחות... ' 6 ' z z z', z' נגזרת של פונקציה סתומה

45 5. z ' z z z z z z,z' z z z z z z z z A, 5 מציאת מקסימום ומינימום היא נקודת המינימום המקומית., z היא נקודת אוכף. z A z e A, A, A, הנקודה. הנקודה.. הנקודה היא נקודת אוכף. z A, 5 z A 9 z, l היא נקודת המקסימום המקומית. A,. הנקודה 9. M,, M.. M M M M,,,, mi ma,, 8 שיטת כופלי לגרנז' אינטגרלים כפולים אין תרגילים 5 שאלות ברמת מבחן פונקציות P 6, נקודת אוכף. P 6,. נקודת מקסימום..,.65 P z P Ma, 5 P z P Mi l e,,, l d d d d d d

46 6 6 הפונקציה דיפירנציאבלית בנקודה.,, הנגזרות החלקיות קיימות אך אינן רציפות בנקודה.,, A,.8.9. הוכחה. 8 P 5,5 P 65 Ma 5 P,5 5 5 A, ma mi B, 8 Mi Ma 5l 5 d, d M ,, 5,, 75, : Mi,, 8 d d d d,,, d d d d d d A, 6 Mi

47 7 7 ma ma mi,,,,,, ma,,.8.9,,. mi,, mi,, d d d d , נקודת אוכף. נקודת מקסימום.,,,, d d d d d d 9 6 M,, M, M,, M,. l6 l

48 8 ma z, z,.5 z, z,.6 mi z, z, mi אוכף. מקסימום. e l M M 6, 6,,,, d d d d d d l l.5 5. הוכחה, 5. נקודת אוכף )לא אקסטרמום!(, נקודת מינימום,, mi ma,, e l,,, d d d d d d l e e.59 8 e c.6

49 9 ma mi A נקודת אוכף. נקודת מינימום. נקודת מינימום., B, C,,,,, mi ma M, C Mi,, d 8 6 d d d d d r cos si r cos r dr

50 5 5 e e e e e e e e e e e e e e e e e M M M A,, Saddle B, Mi C,, Mi, A, Mi Ma Ma 968 d r l r rdr l d d הוכחה, 8 mi ma,7 C

51 החלפת סדר האינטגרציה חישוב אינטגרל בתחום חישוב מסה נפח שטח פנים אורך עקומה אינטגרל לא אמיתי אינטגרל מסויים נפח גוף סיבוב שטח בקואורדינטות פולאריות התכנסות במ"ש חישוב סכום תחום ההתכנסות תחום ההתכנסות גרדיאנט דיפרנציאביליות כלל השרשרת )דלמבר קושי( )רדיוס( מציאת מקסימום/מינימום מוחלט מציאת נקודות קיצון פנימיות נגזרות חלקיות נגזרת כיוונית רציפות )כולל 5 mi ma,, 8. הוכחה, לא דיפרנציאבילית ב ולסיום גרף המציג את כמות השאלות שנשאלו במבחנים לפי נושאים בשנים האחרונות, כך תקבלו אינדיקציה באיזה נושא להשקיע יותר ובאיזה פחות סה"כ 5 פונקציות רבות משתנים טורים אינטגרלים רגילים אינטגרלים כפולים שימו לב כי מעולם לא הופיעה שאלה בנושא סדרות של פונקציות באף מבחן! saig..) (just