מבחן סיווג במתמטיקה מס' סטודנט: פקולטה: משך הבחינה 3 שעות. השימוש בחומר עזר כלשהו אסור. מלאו תשובות במסגרות. לא תיבדק הדרך, והציון על כל סעיף

תמליל

1 מבחן סיווג במתמטיקה.3.06 מס' סטודנט: פקולטה: משך הבחינה 3 שעות. השימוש בחומר עזר כלשהו אסור. מלאו תשובות במסגרות. לא תיבדק הדרך, והציון על כל סעיף של שאלה יהיה 5 נקודות או 0. סכום נקודות אפשרי 00. ציון עובר 55. ניקוד שאלה שאלה שאלה 3 שאלה 4 שאלה 5 שאלה 6 שאלה 7 שאלה 8 שאלה 9 שאלה 0 שאלה שאלה שאלה 3 שאלה 4 שאלה 5 שאלה 6 שאלה 7 שאלה 8 שאלה 9 שאלה 0 סה"כ

2 שאלה מס' נתון ש = 04 ).log (a מהו?a a = 4 04 = 4 שאלה מס' β = arcsin(sin 0π תהא ) 3 β = 0π 3 = 4π 3 שאלה מס' 3 חשבו את ) cos(arcsin 3 cos(arcsin ) = 8 = פתרון: משתמשים בזהות: = (cos(x)) (sin(x)) + cos(arcsin 3 ) = (sin(arcsin 3 )) = כך מקבלים: ) 3 ( שאלה מס' 4 תנו דוגמה לפונקציה f(x) כך שהפונקציה sin(f(x)) g(x) = מקיימת = 0 ().g 0x 0

3 .f( π ) = ו 3 f (x) = cos x sin x שאלה מס' 5 מצאו פונקציה f(x) המקיימת: ln(sin x) + 3.c ונקבל = 3 f( π) נציב = 3 cos x dx = פתרון: d(sin x) = ln(sin x) + c sin x sin x בדקו ע"י גזירת הפונקציה. d(sin x) dx משתמשים בכך ש x = cos שאלה מס' 6, lim ו 0 > x (g(x) (x + 3)) sin לכל x (נדרש x מצאו פונקציה g(x) המקיימת: = 0 3)) + (x (g(x) שהפונקציה g(x) תהיה מוגדרת לכל 0 x). g(x) = sin x + x + 3 (x+) שאלה מס' 7 כתבו נוסחה לסדרה גיאומטרית a n בת 3 איברים שסכומה הוא. שאלה מס' 8 חשבו את הגבול sin( π lim + 0h) sin( π) 4 4 h 0 h = 0 cos( π 4 ) = 5 [ sin( π lim h h) sin( π 4 ) 0h פתרון: נכפול מונה ומכנה ב 0 ונקבל: ] 0 = ) 4 cos( π ואת זה יש להכפיל הביטוי בסוגריים המרובעים הוא נגזרת של סינוס בנקודה 4/π שהיא: ב 0 3

4 שאלה מס' 9 מצאו פונקציה רציפה f(x) שקבוצת הנקודות x המקיימות f(x) היא ] [, ] [, (כאן A B מציין איחוד של A ו B ). (x + )(x + )(x )(x ) + = (x )(x 4) + = x 4 + 5x פתרון: ) )(x. (x + )(x + )(x מתאפס בנקודות,,, וגדול מאפס בקטעים הנדרשים. כעת יש לבצע תיקון על מנת שיתקיים.f(x) ברור שמבחינת חילופי הסימנים זה עובד, השאלה היא מהו הסימן לפני המכפלה. ציירו את גרף הפונקציה, היווכחו שאם מדובר במכפלה מן הסוג הזה, הפנוקציה שואפת למינוס אינסוף כאשר x, ולכן נחוץ סימן המינוס לפני המכפלה. שאלה מס' 0 מסמנים ב ( x ) f (k) את הנגזרת ה k של f(x) בנקודה x. כתבו נוסחה לפונקציה f(x) המקיימת: = (3) (k) f 0 לכל 4 k,0 ו = (3) (5) f (חלק מתפקידכם הוא להבין מה פירוש (x).(f (0) (x 3)5 0 שאלה מס' מצאו וקטור (b u =,a) שהמקבילית שקדקודה בראשית ושתי צלעותיה הן u ו (,) = v היא בעלת שטח.5 a = 5 b = 0. פתרון: שטח מקבילית במישור ניתן לחשב ע"י α S = u v sin כאשר α היא הזווית בין הוקטורים. cos α = u v וכי sin α = cos נזכור כי: u v α S = u v sin α = u v ( u v נקבל ( u v) u v ) = ( u v ) נציב את הנתונים ונקבל b = S = (a + b ) (a + b) = a 5 כעת אפשר לבחור כל שני מספרים שהפרשם 5. למשל = 0 b a = 5 הערה: אפשר גם לבצע ניחוש מושכל, או למשל להניח שהזווית ישרה (מלבן הוא גם מקבילית) ולפתור בצורה פשוטה יותר. 4

5 שאלה מס' מצאו נקודה במישור שמרחקה מן הנקודה (,) הוא 3 ומרחקה מן הנקודה (0,7) הוא 7. x =.8 y = 4.4. פתרון: אפשר בדרך הסטנדרטית (והמייגעת) לסמן את הנקודה ע"י (y,x) ולהשתמש בנוסחאת מרחק בין שתי נקודות. המרחק מהנקודה ) (, הוא 3 משמעו: ) (y (x ) + = 3 המרחק מן הנקודה 0) (7, הוא 7 משמעו: 0) (y (x 7) + = 7 כך נקבל שתי משוואות (ריבועיות) אם שני נעלמים שניתן לפתור. דרך פשוטה יותר: נשים לב שהמרחק בין הנקודה ) (, לנקודה 0) (7, הוא = 0 ) (0 + ) (7 לכן הנקודה המבוקשת נמצאת על הישר המחבר ביניהם ובעזרת יחסי פרופורציה נקבל את הנקודה המבוקשת..f(3) = ו 7 f (x) = x x+ שאלה מס' 3 מצאו פונקציה f(x) המקיימת x ln x + + 4(ln + ).f (x) = x x+ = x+( ) x+ = x+ x+ + x+ = פתרון: +x ע"י אינטגרציה נקבל: x ln x + + C ומן התנאי ש 7 = f(3) נובע (מציבים בביטוי = 3 (x ש (.C = ln = 4(ln + a = ( 0 ) = 45 שאלה מס' 4 מהו המקדם של x ב x) 0 +?( פתרון: נוסחאת הבינום של ניוטון שאלה מס' 5 מצאו ארבעה מספרים x, y, z, w ש =,x+y+3z+w x+y+z+w = 5,x+y+3z+w = 3.x y 5z w = 4 x = 6 y = 5.5 z = w = פתרון: מערכת משוואות לינאריות 5

6 שאלה מס' 6 תנו דוגמה לפונקציה f(x) שמקבלת מקסימום מקומי ב = 0 x ומינימום מקומי ב = x, ואינה קבועה בשום קטע. כתבו את הפונקציה בנוסחה אחת. x 3 3 x פתרון: הנגזרת של הפונקציה מתאפסת ב 0 = x ו =,x כלומר x). Ax(x ) = A(x אם תציירו את הפונקציה תראו שהיא שואפת לאינסוף כש x, ולכן > 0 A. אפשר לקחת = A (הרי. x3 אפשר כאן להוסיף מחפשים רק דוגמה אחת), ונקבל:,f (x) = x x ולכן אפשר לקחת x 3 קבוע אבל כאמור בקשו רק דוגמה של פונקציה אחת.. ln(x ) x שאלה מס' 7 מצאו פונקציה f(x) שהנגזרת שלה היא ln x. ) ln(x בדקו ע"י גזירת הפונקציה. x dx = ln(x) פתרון: dx = ln xd(ln x) = ln x x d(ln x) dx משתמשים בכלל: ln ax = x ln a בכך ש = x שאלה מס' 8 כתבו נוסחה סגורה לסדרה a n ש n a n a n = לכל n ו 0 =.a a n = 0 + (n + )(n ). פתרון: כדי להבין משהו, כדאי תמיד לעשות דוגמאות פשוטות. במקרה זה, חישוב האיברים הראשונים בסדרה: a = 0, a = a + 4 = = 4, a 3 = a + 6 = (0 + 4) + 6 = 0,... מזה מבינים ש n).a n = 0 + ( נשים לב (n + 6 4) + הוא סכום של סדרה חשבונית שאיברה הראשון הוא 4 ומכילה n איברים. a n = 0 + (4+n)(n ) כלומר, ) )(n (n = 6

7 שאלה מס' 9 נתון ש b.cos α = בטאו בעזרת b את.cos 4α cos 4α = (b ) פתרון: נשתמש בזהות α cos α = cos α sin α = cos לכן cos 4α = cos α = ( cos α ) = (b ) שאלה מס' 0 מהי השארית של + x x 3 + x + בחלוקה ב + x?x + פתרון: חלוקה עם שארית (אפשר לבצע חלוקת פולינומים) + ) + x x 3 + x + x + = x(x + 7