Holon Academic Institute of Technology מכון אקדמי טכנולוגי חולון

גודל: px
התחל להופיע מהדף:

Download "Holon Academic Institute of Technology מכון אקדמי טכנולוגי חולון"

תמליל

1 Department of Appled Mathematcs Holon Academc Insttute of Technolog ROBABILITY AND STATISTICS Eugene Kanzeper All rghts reserved 4/5 חומר לימוד בקורס "הסתברות וסטטיסטיקה" מאת יוג'ין קנציפר כל הזכויות שמורות 4/5 הרצאה 6: משתנה מקרי דו ממדי בהרצאה זו נתבונן בזוג של משתנים מקריים. מקרי חד-ממדי (ראה את ההרצאה מס' 4. ניתן להתייחס לחומר זה כלהכללה של נושא משתנה 6.. הגדרות בסיסיות הגדרה: יהיו ו- Y שני משתנים מקריים המוגדרים על אותו מרחב הסתברות. אזי הזוג משתנה מקרי דו-ממדי varable].[bvarate random Y (, יקרא שאלה מס' : נתבונן במשפחה בת ילדים, ונגדיר שני משתנים מקריים: מספר הבנים במשפחה ו- Y מינו של הבכור כך ש- Y אם הבכור הוא בן ו- Y אם הבכור הוא בת. שני משתנים אלו. Ω { MMM, MMF, MFM,MFF, FMM, FMF, FFM, מוגדרים על אותו מרחב המדגם FFF} הערכים האפשריים של שני המשתנים הם {,,,} ו-{,} Y. למשל, עבור התוצאה.Y ( ω ( ω ו- MMM} ω { מתקיים: זוג המשתנים Y (, המקבל את הערכים (,,(,,(,,(,,(,,(,,(,,(, Y (, הוא דוגמא למ.מ. דו-ממדי. ונקראת פונקצית ( x, Y ( מסומנת הגדרה: הסתברות של התוצאה. (, Y של משתנה מקרי דו-ממדי ( x, ההסתברות המשותפת functon] [ont probablt דוגמא: חישוב של פ. הסתברות משותפת. ניתן לראות כי פ. ההסתברות המשותפת עבור הזוג Y (, המוגדר למעלה היא: (, ( FFF (, ( (, ( MFF (, ( 8 (, ( FMF + ( FFM 8 (, ( FMM (, ( MMM 8 (, ( MFM + ( MMF

2 הנני הטבלה: /8 / 4 /8 /8 / 4 /8 6.. תכונות של פונקצית הסתברות משותפת ניתן לראות את התכונות הבאות כהכללה של תכונות מקבילות של פ. ההסתברות עבור מ.מ. חד-ממדי: ( ( x א. ב. ( x, לכל זוג ערכים אפשרי x.6. פונקציות הסתברות שוליות functon] [margnal probablt הגדרה: פונקצית ההסתברות השולית של מ.מ. ופונקצית מוגדרת על ידי. Y ( x ההסתברות השולית של Y ניתנת על ידי, ( מביאה את ההסתברות למצוא את המשתנה הראשון ( משמעות של פ. הסתברות שולית בזוג השווה ל- כאשר לא חשוב כלל מהוא הערך של המשתנה השני Y. באותה דרך, הסתברות Y היא הסתברות למצוא את המשתנה השני ( שולית הערך של המשתנה הראשון. Y השווה ל- כאשר לא חשוב כלל מהוא 46

3 ל'' שאלה: חשב הסתברויות שוליות x ו- עבור הדוגמא הנ. Y ( ( פתרון: ( /8 /8 / 4 /8 /8 /8 / 4 /8 /8 /8 Y ( / / שאלה מס' : שלושה מטבעות תקינים, המסומנים,, מונחים בשקית. בוחרים מטבע באופן מקרי Y מספר התוצאות "עץ" בשלוש מספר המטבע שנבחר, ומטילים אותו פעמים. נסמן: ו- Y וגם את ההסתברויות השוליות. וודא ההטלות. נא לחשב את פ. ההסתברות המשותפת של משמעותן. כי מדובר על ניסוי דו-שלבי (בחירת ({ x} { Y } Y ( פתרון: המטבע בשלב הראשון והטלת המטבע פעמים בשלב השני ואחרון. גם השתמשנו באי תלות בין C ( Y (כי מדובר על ( ו-.{ מכיוון ש- Y המאורעות x} { ו- } C. B(,,(Y ~ אנו מגיעים לתשובה: משתנה בינומי ( 4 טבלת ההסתברות המשותפת וההסתברויות השוליות ניתנת בדף הבא. 47

4 שאלה: בתנאי השאלה הקודמת, חשב את ההסתברויות הבאות:. (, Y ; (, Y ; ( < Y < ; ( ; ( Y ( / 4 / 4 / 4 / 4 / / 4 / 4 / 4 / 4 / / 4 / 4 / 4 / 4 / Y ( /8 /8 /8 /8 שאלה מס' : ציוניהם של 4 תלמידי כיתה ט' באנגלית ובחשבון נרשמו בטבלה הבאה: נכשל אחד מן התלמידים נבחר באופן מקרי. נסמן ב- את ציונו באנגלית וב- Y את ציונו בחשבון, כאשר מסמן נחשל, עבר ו- טוב. עבר אנגלית חשבון נכשל עבר טוב 5 טוב 6 א' רשום את פונקציית ההסתברות המשותפת של השוליות. ו- Y ואת פונקציות ההסתברויות ב' נסמן ב- Z את מספר הבחינות שבהן עמד התלמיד (כלומר, קיבל ציון 'עבר' או 'טוב'. רשום את פונקציית ההסתברות של המשתנה. Z ( א' / 4 / 4 /4 5/ 4 / 4 / 4 / 4 / 4 6/ 4 8/4 /4 Y ( 7/4 5/4 8/4 48

5 לא( z /4 7/4 /4 (, : Y ו- (,,(,,(,,(, (,,(,,(,,(, Z {,,} המאורע Z המאורע Z המאורע Z ב' פירושו פירושו פירושו.6.4 תלות ומתאם correlatons] [ndependence and הגדרה: שני משתנים מקריים בעלי התפלגות משותפת יקראו משתנים בלתי תלויים מתקיים אם לכל [ndependent random varables] (. Y ( בשאלה מס' הם בלתי תלויים? Y, בשאלה מס' הם בלתי תלויים? (כן Y, בשאלה מס' הם בלתי תלויים? (לא Y, שאלה א': האם המשתנים שאלה ב': האם המשתנים שאלה ג': האם המשתנים הגדרה: שני משתנים מקריים נקראים בלתי מתואמים [uncorrelated] אם מתקיים. E[ Y ] E[ ] E[ E[ x, ( x, Y פה חשוב! אם נכון! הם משתנים בלתי-תלויים, אזי הם גם בלתי מתואמים (הוכח/חי!!. ההפך לא בהכרח בשאלה מס' הם בלתי מתואמים? (לא Y, בשאלה מס' הם בלתי מתואמים? (כן Y, בשאלה מס' הם בלתי מתואמים? (לא Y, שאלה א': האם המשתנים שאלה ב': האם המשתנים שאלה ג': האם המשתנים פתרונות: T בשאלה מס' : t / /8 /4 /8 E[ T] E[ ] ; E[ ] / ; E[ / ; 49

6 T בשאלה מס ' : E[ T] E[ ] ; E[ ] ; E[ / ; T בשאלה מס ' : E[ T] E[ ] /8; E[ ] 6/5; E[ 4/ 4; / שונות משותפת ומקדם המתאם [covarance and correlaton coeffcent] הגדרות בסיסיות הגדרה: השונות המשותפת [covarance] של שני מ.מ. ו- Y בעלי תוחלת סופית ומוגדרת על ידי הנוסחא: cov(, Y מסומנת על-ידי cov(, Y E[ E[ ] E[ נראה בהמשך כי שונות משותפת מתארת את מידת הקשר הסטטיסטי הלינארי בין שני המשתנים.. cov(, Y חשוב: למשתנים ו- Y בלתי מתואמים ρ(, Y מסומן ב- Y ו- ρ(, Y coeffcent] [correlaton בין מ.מ. cov(, Y ] הגדרה: מקדם המתאם ומוגדר על-ידי חשוב: א. מקדם מתאם חיובי גבוה (קרובה ל- מצביע על קשר סטטיסטי בין שני משתנים מקריים. ב. ρ(, ו-. ρ (, שאלה: חשב את מקדם המתאם בשאלות מס'.,, תכונות של מקדם המתאם ρ (, Y ρ( Y,. סימטריה: אי תלות בקנה המידה ובהזזות: לכל γ, β α, ו- δ היוביים מתקיים. ρ ( β + α, γy + δ ρ(, Y 5

7 ρ (, Y + לכל. ו- Y מתקיים:. 4 Y ρ(, למשתנים בלתי מתואמים אם > a ρ(, Y +, אם Y a + b אזי:. 5 ρ(, Y אם < a,. var[ ] σ כייון ש- שאלה: נא להוכיח את התכונה מס' 5. פתרון: נניח שקיים הקשר הלינארי Y a + b ונסמן E [ ] µ ו-. E אנחנו עומדים לחשב ] σ + µ [ E[, var[ ] מקבלים כי ( E[ ] ]. ρ(, Y cov(, Y ] כדי לחשב את השונות המשותפת, נשתמש בהגדרתה:. cov(, Y E[ E[ ] E[ E[ E[ a + b] ae[ ] + b aµ ברור כי + b ו- ]E. זה מביא: ] E[ ( a + b] ae[ ] + be[ ] a( σ + µ + bµ cov(, Y E[ Y ] E[ ] E[ a( σ + µ + bµ µ ( aµ + b aσ.. var[ var[ a שילוב הנוסחאות האלו נותן: + b] a var[ ] a σ בנוסף, ρ(, Y cov(, Y ] σ aσ a σ a a +,, a >. a < סוף הוכחה שונות של סכום המשתנים שונות של סכום המשתנים ניתנת על ידי הנוסחא: + ] + + cov(, Y הוכחה:. + מכיוון ש- E[ + Y ] E[ ] Y + על פי הגדרה, ] ( ( ( 5

8 E [ + E[ ] + E[ ו- [Y ( Y ] E[ E [ + ] + E [ + E[ ]. Var [ + ] + אנחנו מיד מקבלים: Y + cov(, שאלה: ] Y Var [ + חשב את בשאלות מס'.,, 6.7. רגרסיה לינארית Y a + b הניבוי הלינארי הטוב ביותר ל- Y בהינתן ניתן על ידי כאשר cov(, Y a ρ(, Y ] ], cov(, Y b E[ E[ ] ] Y בהסתברות +, Y ρ(, אם a + b מודד את טיב הניבוי באמצעות קו הרגרסיה. כאשר ρ. a אם < ρ(, Y ו- a > פרטים בנושא ילמדו במהלך ההרצאה! 5